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第二课时 简单复合函数的求导法则
课标要求
素养要求
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.
在根据复合函数的求导法则求复合函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
新识探究
假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且
y＝f(u)＝60u－u2，u＝g(x)＝60－3x，
那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有
y＝60u－u2＝60(60－3x)－(60－3x)2＝180x－9x2，
上式也可这样得到
f(g(x))＝60g(x)－[g(x)]2＝180x－9x2.
问题1 函数f(g(x))与f(x)和g(x)是什么关系？
提示 f(g(x))是f(x)与g(x)的复合函数.
问题2 求f(u)＝60u－u2的导数f′(u)，u＝g(x)＝60－3x的导数u′＝g′(x).
提示 f′(u)＝60－2u＝60－2(60－3x)＝6x－60，u′＝g′(x)＝－3.
问题3 设y＝f(g(x))＝180x－9x2，求y′，并观察f′(u)和u′＝g′(x)的关系.
提示 y′＝180－18x，易知y′＝f′(u)·u′(x).
1.复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定________，则____可以看成____的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数__________与__________的复合函数，其中u为中间变量.
y的值
y
x
f(u)
g(x)
2.复合函数的求导法则
如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为
h′(x)＝[f(g(x))]′＝____________＝______________，即yx′＝yu′·ux′.
f′(u)·g′(x)
f′(g(x))·g′(x)
提示 f(x)不是复合函数.
3.设f(x)＝e－x，则f′(x)＝e－x.(
)
提示 f′(x)＝－e－x.
√
×
×
答案 B
答案 B
3.曲线f(x)＝e－2x＋3在(1，f(1))处的切线的斜率是________.
解析 f′(x)＝－2e－2x＋3，f′(1)＝－2e，即k＝－2e.
答案 －2e
[微思考]
1.复合函数y＝f(g(x))，用中间变量y＝f(u)，u＝g(x)代换后求导的顺序是什么？
提示 根据复合函数的求导法则yx′＝yu′·ux′，求导的顺序是从外向内逐层求导.
(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则yx′＝yu′ux′＝(log2u)′(2x＋1)′
(3)设y＝eu，u＝3x＋2，
则yx′＝y′uu′x＝(eu)′·(3x＋2)′
＝3eu＝3e3x＋2，
即y′＝3e3x＋2.
规律方法 (1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
解 (1)设y＝u4，u＝2x－1，则yx′＝yu′ux′＝(u4)′(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)设y＝10u，u＝2x＋3，则yx′＝yu′ux′＝(10u)′(2x＋3)′
＝10uln
10·2＝2·102x＋3·ln
10＝102x＋3·ln
100.
(3)yx′＝(e－x)′sin
2x＋e－x·(sin
2x)′
＝－e－xsin
2x＋2e－xcos
2x.
规律方法 解此类问题的关键有两个：
(1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏.
(2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点.
【训练2】 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.
解析 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.
所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.
因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.
则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，
所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
答案 2x－y＝0
s′(18)表示当t＝18
h时，潮水的高度上升的速度为
m/h.
规律方法 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
【训练3】 已知某质点的位移s与时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________.
解析 s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.
答案 2
一、素养落地
1.通过学习复合函数的求导法则及其简单应用，提升数学运算素养.
2.求复合函数的导数应处理好以下环节：
(1)中间变量的选择应是基本函数结构；
(2)关键是正确分析函数的复合层次；
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.
答案 B
解析 y＝(3x－1)－2，设y＝u－2，u＝3x－1，
yx′＝yu′ux′＝(u－2)′·(3x－1)′
3.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析 易知y′＝aeax，在点(0，1)处切线斜率k＝ae0＝a，
答案 2第二课时 简单复合函数的求导法则
课标要求
素养要求
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.
在根据复合函数的求导法则求复合函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
新知探究
假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且
y＝f(u)＝60u－u2，u＝g(x)＝60－3x，
那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有
y＝60u－u2＝60(60－3x)－(60－3x)2＝180x－9x2，
上式也可这样得到
f(g(x))＝60g(x)－[g(x)]2＝180x－9x2.
问题1 函数f(g(x))与f(x)和g(x)是什么关系？
提示 f(g(x))是f(x)与g(x)的复合函数.
问题2 求f(u)＝60u－u2的导数f′(u)，u＝g(x)＝60－3x的导数u′＝g′(x).
提示 f′(u)＝60－2u＝60－2(60－3x)＝6x－60，u′＝g′(x)＝－3.
问题3 设y＝f(g(x))＝180x－9x2，求y′，并观察f′(u)和u′＝g′(x)的关系.
提示 y′＝180－18x，易知y′＝f′(u)·u′(x).
1.复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u为中间变量.
2.复合函数的求导法则
如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为
h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)＝f′(g(x))·g′(x)，即yx′＝yu′·ux′.
拓展深化
[微判断]
1.函数f(x)＝ln(－2x＋1)是由y＝ln
u与u＝－2x＋1复合而成的.(√)
2.f(x)＝2x2－是复合函数.(×)
提示 f(x)不是复合函数.
3.设f(x)＝e－x，则f′(x)＝e－x.(×)
提示 f′(x)＝－e－x.
[微训练]
1.设f(x)＝ln(2x＋1)，则f′(x)＝( )
A.
B.
C.－
D.－
解析 f′(x)＝[ln(2x＋1)]′(2x＋1)′＝.
答案 B
2.设f(x)＝cos
2x－3x，则f′＝( )
A.－5
B.－3
C.－4
D.－
解析 f′(x)＝－2sin
2x－3，f′＝－2sin
π－3＝－3.
答案 B
3.曲线f(x)＝e－2x＋3在(1，f(1))处的切线的斜率是________.
解析 f′(x)＝－2e－2x＋3，f′(1)＝－2e，即k＝－2e.
答案 －2e
[微思考]
1.复合函数y＝f(g(x))，用中间变量y＝f(u)，u＝g(x)代换后求导的顺序是什么？
提示 根据复合函数的求导法则yx′＝yu′·ux′，求导的顺序是从外向内逐层求导.
2.函数f(x)＝是由哪两个函数复合而成的？
提示 由y＝u－和u＝2x－ex复合而成.
题型一 求复合函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.
(1)y＝；(2)y＝log2(2x＋1)；(3)y＝e3x＋2；(4)y＝sin.
解 (1)y＝(1－2x)－，
设y＝u－，u＝1－2x，
则yx′＝yu′ux′＝(u－)′(1－2x)′
＝·(－2)＝(1－2x)－.
(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则yx′＝yu′ux′＝(log2u)′(2x＋1)′
＝·2＝
即y′＝
(3)设y＝eu，u＝3x＋2，
则yx′＝y′uu′x＝(eu)′·(3x＋2)′
＝3eu＝3e3x＋2，
即y′＝3e3x＋2.
(4)设y＝sin
u，u＝2x＋，
则yx′＝yu′ux′＝(sin
u)′′
＝cos
u·2＝2cos.
规律方法 (1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
【训练1】 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝e－x·sin
2x；
(4)y＝.
解 (1)设y＝u4，u＝2x－1，
则yx′＝yu′ux′＝(u4)′(2x－1)′
＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)设y＝10u，u＝2x＋3，
则yx′＝yu′ux′＝(10u)′(2x＋3)′
＝10uln
10·2＝2·102x＋3·ln
10＝102x＋3·ln
100.
(3)yx′＝(e－x)′sin
2x＋e－x·(sin
2x)′
＝－e－xsin
2x＋2e－xcos
2x.
(4)yx′＝
＝＝.
题型二 与复合函数有关的切线问题
【例2】 求曲线y＝在点(1，)处的切线方程.
解 y′＝()′＝(3x2＋1)－·(3x2＋1)′
＝··6x＝，
当x＝1时，y′＝，∴切线的斜率为k＝，
∴过点(1，)的切线方程为y－＝(x－1)，
即x－y＋1＝0.
规律方法 解此类问题的关键有两个：
(1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏.
(2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点.
【训练2】 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.
解析 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.
所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.
因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.
则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，
所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
答案 2x－y＝0
题型三 复合函数导数的综合问题
【例3】 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.
解 设f(x)＝3sin
x，x＝φ(t)＝t＋，
所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cos
x·＝cos，
将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝(m/h).
s′(18)表示当t＝18
h时，潮水的高度上升的速度为
m/h.
规律方法 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
【训练3】 已知某质点的位移s与时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________.
解析 s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.
答案 2
一、素养落地
1.通过学习复合函数的求导法则及其简单应用，提升数学运算素养.
2.求复合函数的导数应处理好以下环节：
(1)中间变量的选择应是基本函数结构；
(2)关键是正确分析函数的复合层次；
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.
二、素养训练
1.设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)＝( )
A.1
B.
C.－1
D.－2
解析 f′(x)＝－6x，故f′(0)＝－0＝.
答案 B
2.函数y＝的导数y′＝________.
解析 y＝(3x－1)－2，设y＝u－2，u＝3x－1，
yx′＝yu′ux′＝(u－2)′·(3x－1)′
＝－2u－3·3＝－6(3x－1)－3＝－.
答案 －
3.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析 易知y′＝aeax，在点(0，1)处切线斜率k＝ae0＝a，
故a×＝－1，则a＝2.
答案 2
4.已知函数f(x)的导函数f′(x)，若f(x)＝f′sin
3x＋cos
3x，则f′＝________.
解析 ∵f(x)＝f′sin
3x＋cos
3x，
∴f′(x)＝f′·3cos
3x－3sin
3x，
令x＝可得f′＝f′×3cos
－3sin
＝f′－3×，解得f′＝3.
答案 3
基础达标
一、选择题
1.设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝( )
A.ln
3
B.－ln
3
C.
D.－
解析 f′(x)＝，故f′(2)＝.
答案 C
2.函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且当x＝2时，y′＝5，则a＝( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析 y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.
答案 A
3.设函数f(x)＝(2
020－2
019x)3，则f′(1)＝( )
A.6
057
B.－6
057
C.2
019
D.－2
019
解析 f′(x)＝3×(－2
019)(2
020－2
019x)2，
则f′(1)＝3×(－2
019)＝－6
057.
答案 B
4.(多选题)下列结论中不正确的是( )
A.若y＝cos
，则y′＝－sin
B.若y＝sin
x2，则y′＝2xcos
x2
C.若y＝cos
5x，则y′＝－sin
5x
D.若y＝xsin
2x，则y′＝xsin
2x
解析 对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误；
对于B，y＝sin
x2，则y′＝2xcos
x2，故正确；
对于C，y＝cos
5x，则y′＝－5sin
5x，故错误；
对于D，y＝xsin
2x，则y′＝sin
2x＋xcos
2x，故错误.
答案 ACD
5.曲线y＝cos在x＝处切线的斜率为( )
A.2
B.－2
C.
D.－
解析 设y＝cos
u，u＝2x＋，
yx′＝(cos
u)′′＝－2sin，
故k＝－2sin＝－2.
答案 B
二、填空题
6.某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160
km/h.假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行使时间t(s)的关系v＝0.4t＋0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到24
m/s时加速度为________(m/s2).
解析 当v＝24时，0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6(负根舍去)，v′＝0.4＋1.2t，当t＝6时，v′＝0.4＋1.2×6＝7.6(m/s2).
答案 7.6
7.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________.
解析 设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
又曲线导数为y′＝，
∴＝1，即x0＋a＝1.
∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
答案 2
8.曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
解析 ∵y′＝ex，∴切线斜率k＝e2.
∴曲线在点(4，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－4)，
整理得：y＝e2x－e2，
切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2，0)，
则切线与坐标轴围成的三角形面积
S＝×|－e2|×|2|＝e2.
答案 e2
三、解答题
9.求下列函数的导数：
(1)y＝(1＋2x2)8；(2)y＝；(3)y＝sin
2x－cos
2x；(4)y＝cos
x2.
解 (1)设y＝u8，u＝1＋2x2，
∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x
＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.
(2)设y＝u－，u＝1－x2，
则yx′＝′(1－x2)′
＝·(－2x)＝x(1－x2)－.
(3)yx′＝(sin
2x－cos
2x)′＝(sin
2x)′－(cos
2x)′＝2cos
2x＋2sin
2x＝2sin.
(4)设y＝cos
u，u＝x2，则yx′＝(cos
u)′·(x2)′
＝(－sin
u)·2x＝(－sin
x2)·2x＝－2xsin
x2.
10.已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线.求切线l的方程.
解 f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.
∴f′(x)＝2ax－2＋＝，f′(0)＝－1，
∴切点P的坐标为(0，1)，l的斜率为－1，∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
能力提升
11.已知函数f(x)＝＋x2
021＋sin
x(x∈R)，则f(2
021)＋f(－2
021)＋f′(2
021)－f′(－2
021)值为________.
解析 由题意，f′(x)＝＋2
021x2
020＋cos
x，
f′(－x)＝＋2
021(－x)2
020＋cos(－x)
＝＋2
021x2
020＋cos
x＝f′(x)，又x∈R，
∴f′(x)是偶函数，∴f′(x)－f′(－x)＝0，
又f(x)＋f(－x)
＝＋x2
021＋sin
x＋＋(－x)2
021＋sin(－x)＝＋＝2.
∴f(2
021)＋f(－2
021)＋f′(2
021)－f′(－2
021)＝2.
答案 2
12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离S(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为S＝S(t)＝5－.求函数在t＝1
s时的导数，并解释它的实际意义.
解 函数S＝5－可以看作函数S＝5－和x＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量.
由导数公式表可得Sx′＝－x－，xt′＝－18t.
故由复合函数求导法则得
S′t＝S′x·x′t＝·(－18t)＝，
将t＝1代入S′(t)，得S′(1)＝2.25(m/s).
它表示当t＝1
s时，梯子上端下滑的速度为2.25
m/s.
创新猜想
13.(多选题)曲线y＝e2xcos
3x在点(0，1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为( )
A.y＝2x＋6
B.y＝2x－4
C.y＝3x＋1
D.y＝3x－4
解析 y′＝e2x(2cos
3x－3sin
3x)，∴在点(0，1)处切线斜率k＝2，
则所求的切线方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b(b≠1)，则＝，解得b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
答案 AB
14.(多空题)设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切，则a＝________，b＝________.
解析 由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln
1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率.
由题意，得＋a＝，故a＝0.
所以a＝0，b＝－1.
答案 0 －16.1.4 求导法则及其应用
第一课时 导数的四则运算法则
课标要求
素养要求
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.
在利用导数的运算法则求函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
新知探究
已知f(x)＝x，g(x)＝.
Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x)
问题1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？
提示 f′(x)＝1，g′(x)＝－.
问题2 试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系.
提示 ∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，∴＝1－.
∴Q′(x)＝
＝
＝1－.同理，H′(x)＝1＋.
显然Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.
导数的求导法则
一般地，如果f(x)，g(x)都可导，则：
(1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x).即两个函数之和(差)的导数，等于这两个函数的导数和(差).
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x).
即两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数.
特别当g(x)是常数函数，即g(x)＝C时，[C·f(x)]′＝C·f′(x).
(3)′＝，特别当f(x)＝1时，′＝(g(x)≠0，g′(x)≠0).即两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方.
拓展深化
[微判断]
1.函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1).(√)
2.当g(x)≠0时，′＝.(√)
3.函数f(x)＝xln
x的导数是f′(x)＝x.(×)
提示 f′(x)＝(x)′ln
x＋x(ln
x)′＝ln
x＋1.
[微训练]
1.(多选题)下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋
B.(sin
x＋cos
x)′＝cos
x－sin
x
C.′＝
D.(x2cos
x)′＝－2xsin
x
解析 A中′＝1－，A不正确；
D中，(x2cos
x)′＝2xcos
x－x2sin
x，D不正确；BC正确.
答案 BC
2.设f(x)＝x3＋ax2－2x＋b，若f′(1)＝4，则a的值是( )
A.
B.
C.－1
D.－
解析 f′(x)＝3x2＋2ax－2，故f′(1)＝3＋2a－2＝4，解得a＝.
答案 B
3.设f(x)＝，则f′(0)＝________.
解析 f′(x)＝＝，故f′(0)＝1.
答案 1
[微思考]
1.设f(x)＝tan
x，如何求f′(x)?
提示 f(x)＝tan
x＝，所以f′(x)＝＝.
2.设f(x)＝，如何求f′(x)?
提示 f(x)＝＝x2＋2x－3＋x－2，
故f′(x)＝2x＋2－2x－3.
题型一 利用运算法则求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(2)y＝；
(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝.
解 (1)法一 可以先展开后再求导：
y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.
法二 可以利用乘法的求导法则进行求导：
y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
(2)把函数的解析式整理变形可得：
y＝＝＝1－，
∴y′＝－＝.
(3)根据求导法则进行求导可得：
y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln
3·ex＋3xex－2xln
2＝(3e)xln
3e－2xln
2.
(4)利用除法的求导法则进行求导可得：
y′＝
＝＝.
规律方法 利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
【训练1】 求下列函数的导数.
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
(2)y＝3x＋lg
x；
(3)y＝x2＋tan
x；
(4)y＝.
解 (1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
(2)y′＝(3x)′＋(lg
x)′＝3xln
3＋.
(3)因为y＝x2＋，
所以y′＝(x2)′＋′
＝2x＋＝2x＋.
(4)y′＝
＝＝.
题型二 求导法则的应用
角度1 求导法则的逆向应用
【例2】 已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式.
解 由f′(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，f′(x)代入关于x的方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，又该方程对一切x∈R恒成立，所以解得所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.
【训练2】 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式.
解 ∵f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，
又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c＝0，即c＝，
∴f(x)的表达式为f(x)＝x2＋x＋.
角度2 求导法则在导数几何意义中的应用
【例3】 已知函数f(x)＝ax3－x2－x＋b(a，b∈R，a≠0)，g(x)＝ex，f(x)的图像在x＝－处的切线方程为y＝x＋.
(1)求a，b的值.
(2)直线y＝x＋是否与函数g(x)的图像相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由.
解 (1)f′(x)＝3ax2－2x－1.
∵f(x)的图像在x＝－处的切线方程为y＝x＋，
∴f′＝，即3a·＋1－1＝，解得a＝1，又f(x)的图像过点，
∴－－＋b＝，解得b＝.
综上，a＝1，b＝.
(2)设直线y＝x＋与函数g(x)的图像相切于点A(x0，y0).
∵g′(x)＝ex，∴g′(x0)＝ex0＝，解得x0＝－，
将x0＝－代入g(x)＝ex，得点A的坐标是，∴切线方程为y－＝
，化简得y＝x＋，故直线y＝x＋与函数g(x)的图像相切，切点坐标是.
规律方法 (1)此类问题主要涉及切点，切点处的导数、切线方程三个主要元素，解题方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
【训练3】 (1)已知函数f(x)＝，且f(x)的图像在x＝1处与直线y＝2相切.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图像上的任意一点，直线l与f(x)的图像切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.
解 (1)由题意得f′(x)＝
＝
＝，
因为f(x)的图像在x＝1处与直线y＝2相切，
所以解得
则f(x)＝；
(2)由(1)可得，f′(x)＝，
所以直线l的斜率
k＝f′(x0)＝eq
\f(－4x＋4,（x＋1）2)＝eq
\f(－4（x＋1）＋8,（x＋1）2)
＝－4·eq
\f(1,x＋1)＋eq
\f(8,（x＋1）2)
设t＝eq
\f(1,x＋1)，则t∈(0，1]，
所以k＝4(2t2－t)＝8－，
则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，
所以直线l的斜率k的取值范围是.
一、素养落地
1.通过利用导数的运算法则求导数提升数学运算素养.
2.导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数.
3.和与差的运算法则可以推广
[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn).
4.积、商的求导法则
(1)若c为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
′＝(g(x)≠0)；
(3)当f(x)＝1时，有′＝－(g(x)≠0).
二、素养训练
1.函数y＝(＋1)(－1)的导数等于( )
A.1
B.－
C.
D.－
解析 因为y＝(＋1)(－1)＝x－1，
所以y′＝x′－1′＝1.
答案 A
2.已知函数f(x)＝xex＋ax，若f′(0)＝2，则实数a的值为( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 f′(x)＝ex(x＋1)＋a，故f′(0)＝1＋a＝2，所以a＝1.
答案 C
3.曲线f(x)＝xln
x在点(1，f(1))处的切线的方程为________.
解析 f′(x)＝1＋ln
x，则在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，故所求的切线方程为y－0＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.
答案 x－y－1＝0
4.已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
解析 由于f′(0)是常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
答案 1
基础达标
一、选择题
1.曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.
解析 因为f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，所以在x＝1处的切线的倾斜角为.
答案 B
2.函数y＝的导数是( )
A.
B.
C.
D.
解析 y′＝′＝
＝＝.
答案 A
3.下列运算中正确的是( )
A.(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′＋(c)′
B.(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2′(x2)′
C.′＝
D.(cos
x·sin
x)′＝(sin
x)′cos
x＋(cos
x)′cos
x
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′＋(c)′正确；
B项中，(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2(x2)′错误；
C项中，′＝错误；
D项中，(cos
x·sin
x)′＝(cos
x)′sin
x＋cos
x(sin
x)′错误.
答案 A
4.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A.－1
B.－2
C.2
D.0
解析 f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)是奇函数，
故f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
答案 B
5.已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图像是( )
解析 ∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos
x，∴f′(x)＝x－sin
x.易知f′(x)＝x－sin
x是奇函数，其图像关于原点对称，故排除B，D.由f′＝－<0，排除C，故选A.
答案 A
二、填空题
6.函数f(x)＝exsin
x的图像在点(0，f(0))处切线的倾斜角为________.
解析 由题意得，f′(x)＝exsin
x＋excos
x＝ex(sin
x＋cos
x)，∴函数f(x)的图像在点(0，f(0))处切线的斜率k＝f′(0)＝1，则所求的倾斜角为.
答案
7.已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________.
解析 f′(x)＝若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－4.
答案 或－4
8.设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________.
解析 由题意知f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
∵h′(x)＝，
∴h′(5)＝
＝＝.
答案
三、解答题
9.求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(x2＋9)；(2)f(x)＝.
解 (1)f(x)＝x3＋6x－，f′(x)＝3x2＋＋6.
(2)f′(x)＝
＝＝.
10.已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，且在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值.
解 由抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，
得1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.
因为f′(x)＝2ax＋b，且抛物线在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0，所以f′(1)＝4，即2a＋b－4＝0.
由解得即a，b的值分别为－4和12.
能力提升
11.若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公共切线，则实数a的取值范围为( )
A.(0，1)
B.
C.
D.
解析 y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，y＝(a>0)在点处的切线斜率为en，如果两条曲线存在公共切线，那么2m＝en.又由斜率公式可得2m＝，由此得到m＝2n－2，则4n－4＝en有解，所以函数y＝4x－4与y＝ex的图像有交点即可.当直线y＝4x－4与函数y＝ex的图像相切时，设切点为(s，t)，则es＝4，且t＝4s－4＝es，即有切点(2，4)，a＝，故实数a的取值范围是.故选D.
答案 D
12.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
(1)解 由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①②得解得
故f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x)))(x－x0)，
即y－＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x)))(x－x0).
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
创新猜想
13.(多选题)过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程为( )
A.3x＋y＝0
B.24x－y－54＝0
C.3x－y＝0
D.24x－y＋54＝0
解析 设切点为(m，m3－3m)，
f(x)＝x3－3x的导数为f′(x)＝3x2－3，
则切线斜率k＝3m2－3，
由点斜式方程可得切线方程为
y－m3＋3m＝(3m2－3)(x－m)，
将点P(2，－6)代入可得－6－m3＋3m＝(3m2－3)(2－m)，
解得m＝0或m＝3.
当m＝0时，切点为(0，0)，切线方程为3x＋y＝0；
当m＝3时，切点为(3，18)，切线方程为24x－y－54＝0.
答案 AB
14.(多空题)如图所示的图像中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则这个图像的序号是________，f(－1)＝________.
解析 ∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图像开口向上，排除图像②④；
又a≠0，∴f′(x)不是偶函数，其图像不关于y轴对称，
故f′(x)的图像的序号为③.由图像特征可知，f′(0)＝0，
∴a2－1＝0，且对称轴x＝－a>0，
∴a＝－1，∴f(x)＝x3－x2＋1，则f(－1)＝－.
答案 ③ －(共32张PPT)
6.1.4 求导法则及其应用
第一课时 导数的四则运算法则
课标要求
素养要求
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.
在利用导数的运算法则求函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
新识探究
问题2 试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系.
导数的求导法则
一般地，如果f(x)，g(x)都可导，则：
(1)(f(x)±g(x))′＝______________.即两个函数之和(差)的导数，等于这两个函数的______________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝___________________.
即两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上________________________________.
特别当g(x)是常数函数，即g(x)＝C时，[C·f(x)]′＝
.
f′(x)±g′(x)
导数和(差)
f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)
第一个函数乘以第二个函数的导数
C·f′(x)
提示 f′(x)＝(x)′ln
x＋x(ln
x)′＝ln
x＋1.
√
√
×
答案 BC
答案 B
答案 1
[微思考]
1.设f(x)＝tan
x，如何求f′(x)?
解 (1)法一 可以先展开后再求导：
y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.
法二 可以利用乘法的求导法则进行求导：
y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
(2)把函数的解析式整理变形可得：
(3)根据求导法则进行求导可得：
y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln
3·ex＋3xex－2xln
2＝(3e)xln
3e－2xln
2.
(4)利用除法的求导法则进行求导可得：
规律方法 利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
解 (1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
题型二 求导法则的应用
角度1 求导法则的逆向应用
【例2】 已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式.
规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.
【训练2】 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式.
解 ∵f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，
解 (1)f′(x)＝3ax2－2x－1.
规律方法 (1)此类问题主要涉及切点，切点处的导数、切线方程三个主要元素，解题方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
因为f(x)的图像在x＝1处与直线y＝2相切，
所以直线l的斜率
一、素养落地
1.通过利用导数的运算法则求导数提升数学运算素养.
2.导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数.
答案 A
2.已知函数f(x)＝xex＋ax，若f′(0)＝2，则实数a的值为( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 f′(x)＝ex(x＋1)＋a，故f′(0)＝1＋a＝2，所以a＝1.
答案 C
3.曲线f(x)＝xln
x在点(1，f(1))处的切线的方程为________.
解析 f′(x)＝1＋ln
x，则在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，故所求的切线方程为y－0＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.
答案 x－y－1＝0
解析 由于f′(0)是常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
答案 1
