(共31张PPT)
6.3 利用导数解决实际问题
课标要求
素养要求
1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用.
2.能利用导数解决实际问题中的最优化问题.
综合运用导数知识解决实际问题，发展学生的数学抽象素养，逻辑推理素养和数学建模素养.
新识探究
某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB＝BC＝2AO＝4
km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上.
问题 如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？如何解决这类问题？
提示 将问题归结为函数的最大值问题，用导数求函数的最大值.
生活中的优化问题
(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为__________.
(2)利用导数解决优化问题的实质是____________.
(3)解决优化问题的基本思路
优化问题
求函数最值
上述解决优化问题的过程是一个典型的__________过程.
数学建模
拓展深化
[微判断]
1.生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题.(
)
2.用导数求出函数的最大值(最小值)就是实际问题中的最大值(最小值).(
)
提示 求出函数的最大值(最小值)需检验是否符合实际意义，再作出判断.
√
×
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
答案 C
答案 A
[微思考]
用导数解决实际中的最优化问题应注意哪些？
提示 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.
(2)用函数的极值求函数的最值，如果函数在给定区间内只有一个极值点或在区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.
题型一 用料最省问题
【例1】 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
令y′＝0，解得x＝30(x＝－30舍去).
在(0，50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30
km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20
(km).
∴供水站建在A、D之间距甲厂20
km处，可使水管费用最省.
规律方法 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
而建造费用为C1(x)＝6x.
因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
当0
0，
答 当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元.
题型二 面积、容积的最值问题
【例2】 如图，要设计一张矩形广告，该广告中有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18
000
cm2，四周空白的宽度为10
cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
其中x>20，y>25.
令S′>0得x>140，令S′<0得20∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140).
当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24
500，故当广告的高为140
cm，宽为175
cm时，可使广告的面积最小.
规律方法 (1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.
(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：回归实际问题，写出答案.
【训练2】 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解 如图，设圆柱的高为h，底面半径为R，则表面积S＝2πRh＋2πR2，
因为S(R)在R∈(0，＋∞)上只有一个极小值，即也是最小值.
所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省.
解 (1)当0得x＝9，
当x∈(0，9)时，W′>0，当x∈(9，10)时，W′<0，
所以当x＝9时，W取得最大值，
综上可得，当x＝9时，W取得最大值38.6.
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.
规律方法 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本.
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.
求得唯一的极大值点q＝84.
所以产量为84时，利润L最大.
一、素养落地
1.综合运用导数知识解决实际问题，提升数学抽象，逻辑推理素养和数学建模素养.
2.利用导数解决生活中最优化问题的基本思路
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，利用数学知识建立实际问题的数学模型，再对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，最后把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：
二、素养训练
1.方底无盖水箱的容积为256，则用料最省时，它的高为( )
A.4
B.6
C.4.5
D.8
解析 用料最省时，表面积最小.
设底面边长为x，高为h，
令S′(x)＝0，解得x＝8，
答案 A
2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )
A.9千台
B.8千台
C.6千台
D.3千台
解析 构造利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，由y′＝0，得x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函数y在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点.
答案 C
解析 设底面边长为x，
答案 C
4.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10
km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km处.
得x＝5(x＝－5舍去)，
此时y取得最小值.
故当仓库建在离车站5
km处时，两项费用之和最小.
答案 56.3 利用导数解决实际问题
课标要求
素养要求
1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决实际问题中的最优化问题.
综合运用导数知识解决实际问题，发展学生的数学抽象素养，逻辑推理素养和数学建模素养.
新知探究
某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB＝BC＝2AO＝4
km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上.
问题 如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？如何解决这类问题？
提示 将问题归结为函数的最大值问题，用导数求函数的最大值.
生活中的优化问题
(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.
(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.
(3)解决优化问题的基本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
拓展深化
[微判断]
1.生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题.(√)
2.用导数求出函数的最大值(最小值)就是实际问题中的最大值(最小值).(×)
提示 求出函数的最大值(最小值)需检验是否符合实际意义，再作出判断.
[微训练]
1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A.8
B.
C.－1
D.－8
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
答案 C
2.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点.
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为π.
答案 A
[微思考]
用导数解决实际中的最优化问题应注意哪些？
提示 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.
(2)用函数的极值求函数的最值，如果函数在给定区间内只有一个极值点或在区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.
题型一 用料最省问题
【例1】 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解 如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x
km，则BC＝＝，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a(0令y′＝0，解得x＝30(x＝－30舍去).
在(0，50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30
km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20
(km).
∴供水站建在A、D之间距甲厂20
km处，可使水管费用最省.
规律方法 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
【训练1】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.
解 (1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5或x＝－(舍去).
当00，
故当x＝5时，f(x)取到最小值，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
答 当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元.
题型二 面积、容积的最值问题
【例2】 如图，要设计一张矩形广告，该广告中有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18
000
cm2，四周空白的宽度为10
cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
解 设广告的高和宽分别为x
cm，y
cm，
则每栏的高和宽分别为x－20
cm，
cm，
其中x>20，y>25.
两栏面积之和为2(x－20)·＝18
000，
由此得y＝＋25(x>20).
广告的面积S＝xy＝x＝＋25x(x>20)，
∴S′＝＋25＝＋25.
令S′>0得x>140，令S′<0得20∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140).
当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24
500，故当广告的高为140
cm，宽为175
cm时，可使广告的面积最小.
规律方法 (1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.
(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：回归实际问题，写出答案.
【训练2】 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解 如图，设圆柱的高为h，底面半径为R，则表面积S＝2πRh＋2πR2，
由V＝πR2h，得h＝，
则S(R)＝2πR＋2πR2＝＋2πR2，
令S′(R)＝－＋4πR＝0，解得R＝，
从而h＝＝＝
＝2
，即h＝2R.
因为S(R)在R∈(0，＋∞)上只有一个极小值，即也是最小值.
所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省.
题型三 成本与利润问题
【例3】 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.
解 (1)当0W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；
当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.
所以W＝
(2)当0当x∈(0，9)时，W′>0，当x∈(9，10)时，W′<0，
所以当x＝9时，W取得最大值，
且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6，
当x>10时，W＝98－
≤98－2＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝时，Wmax＝38，
综上可得，当x＝9时，W取得最大值38.6.
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.
规律方法 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本.
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.
【训练3】 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q.求产量q为何值时，利润L最大？
解 收入R＝q·p＝q＝25q－q2，
利润L＝R－C＝－(100＋4q)
＝－q2＋21q－100(0L′＝－q＋21，
令L′＝0，即－q＋21＝0，q＝84，L′＞0时，0＜q＜84，函数单调递增；L′＜0时，q＞84，函数单调递减，
求得唯一的极大值点q＝84.
所以产量为84时，利润L最大.
一、素养落地
1.综合运用导数知识解决实际问题，提升数学抽象，逻辑推理素养和数学建模素养.
2.利用导数解决生活中最优化问题的基本思路
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，利用数学知识建立实际问题的数学模型，再对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，最后把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：
二、素养训练
1.方底无盖水箱的容积为256，则用料最省时，它的高为( )
A.4
B.6
C.4.5
D.8
解析 用料最省时，表面积最小.
设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋(x>0)，
∴S′(x)＝2x－.
令S′(x)＝0，解得x＝8，
则当x＝8时，S(x)最小，此时h＝＝4.
答案 A
2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )
A.9千台
B.8千台
C.6千台
D.3千台
解析 构造利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，由y′＝0，得x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函数y在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点.
答案 C
3.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为( )
A.
B.
C.
D.2
解析 设底面边长为x，
则表面积S＝x2＋V(x>0).
∴S′＝(x3－4V).令S′＝0，得x＝.
答案 C
4.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10
km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km处.
解析 依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，令y′＝0，
得x＝5(x＝－5舍去)，
此时y取得最小值.
故当仓库建在离车站5
km处时，两项费用之和最小.
答案 5
基础达标
一、选择题
1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是( )
A.1秒末
B.0秒
C.2秒末
D.0或1秒末
解析 ∵t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t＝0或1.
答案 D
2.用边长为120
cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )
A.120
000
cm3
B.128
000
cm3
C.150
000
cm3
D.158
000
cm3
解析 设水箱底边长为x
cm，则水箱高h＝60－(cm).
水箱容积V(x)＝x2h＝60x2－(0V′(x)＝120x－x2.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.
可判断得当x＝80
cm时，V取最大值为128
000
cm3.
答案 B
3.现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地与B地之间的距离约为500海里.运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船的行驶的速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元.为了使全程运输成本最低，轮船行驶速度应为( )
A.25海里/时
B.35海里/时
C.70海里/时
D.75海里/时
解析 设轮船的行驶速度为x海里/时，运输成本为y元.
依题意得y＝×(960＋0.6x2)
＝＋300x，x∈(0，35]，
则y′＝300－，x∈(0，35].
当0所以函数y＝＋300x在(0，35]上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值.
故为了使全程运输成本最小，
轮船应以35海里/时的速度行驶.
答案 B
4.把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )
A.
cm2
B.4
cm2
C.3
cm2
D.2
cm2
解析 设一个正三角形的边长为x
cm(0答案 D
5.某公司生产一种产品，
固定成本为20
000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A.150
B.200
C.250
D.300
解析 由题意得，总利润
P(x)＝
当0≤x≤390时，由P′(x)＝－＋300，令P′(x)＝0，得x＝300(x＝－300舍去)，此时P(x)有一个极值点x＝300；当x>390时，P(x)答案 D
二、填空题
6.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________.
解析 由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40，或x＜－1，令y′<0，解得0故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0，40]上递减，∴当x＝40时，y取得最小值.
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
答案 40
7.某厂生产某种产品x件的总成本(单位：元)为C(x)＝1
200＋x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比
，若生产100件这样的产品，单价为50元，则要使总利润最大，产量应定为________件.
解析 设产品单价为a元，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k(k为比例系数).
由题意知，k＝250
000，
则a2x＝250
000，所以a＝.
设总利润为y元，
则y＝500－x3－1
200(x>0)，
则y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，
当x∈(0，25)时，y′>0，当x∈(25，＋∞)时，y′<0，
所以当x＝25时，y取得最大值.故要使总利润最大，产量应定为25件.
答案 25
8.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________.
解析 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小，由题意，S(R)＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，
∴S′(R)＝2πR－＝0，
∴R＝3，则当R＝3时，S(R)最小.
答案 3
三、解答题
9.某单位用2
160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2
000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元).为使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则
f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N)，
f′(x)＝48－，
令f′(x)＝0，得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0，当10≤x<15时，f′(x)<0.
因此，当x＝15时，f(x)取得最小值f(15)＝2
000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.
10.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？
解 设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数(k≠0)，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝＝0.006，于是有p＝0.006v3.
又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以，航行1海里的总费用为：
q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋(v>0).
q′＝0.012v－＝(v3－8
000)，
令q′＝0，解得v＝20.∵当0当v>20时，q′>0，∴当v＝20时，q取得最小值，
即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.
能力提升
11.一个帐篷，它下部的形状是高为1
m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3
m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________m时，帐篷的体积最大.
解析 设OO1＝x，则1由题设可得正六棱锥底面边长为
＝.
于是底面正六边形的面积为
6··()2＝(8＋2x－x2).
帐篷的体积为
V(x)＝(8＋2x－x2)
＝(16＋12x－x3).
则V′(x)＝(12－3x2).
令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合题意，舍去)或x＝2.
当10，V(x)为增函数；
当2综上，当x＝2时，V(x)最大.
答案 2
12.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
解 (1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2，3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6).
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值42
?
由上表可知，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点.所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
创新猜想
13.(多空题)为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计).
解析 设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝.于是y＝＝＝(0令y′＝＝0，得a＝6或a＝－10(舍去).
∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点.
当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
答案 6 3
14.(多空题)已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________，矩形的最大面积为________.
解析 由题意，设矩形边长|AD|＝2x，则|AB|＝4－x2，
∴矩形面积S＝2x·(4－x2)＝8x－2x3(0∴S′＝8－6x2，令S′＝0得x＝或x＝－(舍去).
当00，当∴当x＝时，S取最大值，矩形边长分别为，时，矩形面积最大值为.
答案 与 