(共29张PPT)
第二课时 导数与函数的最值
课标要求
素养要求
1.能利用导数求函数的极大值，极小值及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
能利用导数求函数的最值，发展学生的直观想象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
新识探究
由函数的图像，来分析判断函数的最值情况.如图为定义在[a，b]上的函数f(x)的图像.
问题 函数f(x)在[a，b]上的极值和最值分别在什么位置取到？
提示 图中f(x1)与f(x3)是极小值，f(x2)是极大值.函数f(x)在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(x3).
1.函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
(1)假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，函数的最值必在________或__________处取得.
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
①求f(x)在开区间(a，b)内所有使________________的点；
②计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和______的函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
极值点
区间端点
f′(x)＝0
端点
2.最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图像.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
拓展深化
[微判断]
1.函数的最大值不一定是函数的极大值.(
)
2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(
)
提示 也可能在极值点处取到.
3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(
)
提示 有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函
数f(x)有极值，但没有最值.
4.函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.(
)
√
×
×
√
解析 y′＝x3＋x2＋x，令y′＝0得x＝0，
又x∈[－1，0)时，y′<0，x∈(0，1]时，y′>0，
∴函数在[－1，0)上单调递减，(0，1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(x)极小值＝f(0)＝0.
答案 A
答案 B
3.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
答案 －71
[微思考]
1.若函数的最大值与最小值所构成的集合为A，则A中的元素个数可能是多少？
提示 可能为0，1，2.
2.在开区间内的连续函数f(x)在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值是最值点吗？
提示 是.
解 (1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∴f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上为增函数.故当x＝－1时，f(x)min＝－12；
当x＝1时，f(x)max＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
规律方法 求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.
【训练1】 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数.
解 (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
－2
(－2，0)
0
(0，2)
2
(2，4)
4
f′(x)
?
＋
0
－
0
＋
?
f(x)
－37
↗
极大值3
↘
极小值－5
↗
35
∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，
即f(x)在[0，a]上是减函数.
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
即f(x)的最小值为e－a－ea，最大值为0.
题型二 含参数的函数的最值问题
【例2】 已知f(x)＝ax－ln
x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln
x，x∈(0，e]有最小值3，
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，
综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.
规律方法 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
【训练2】 已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值.
解 f′(x)＝3x2－2ax.
f(x)在[0，2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
f(x)在[0，2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
题型三 由函数的最值求参数问题
【例3】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]时，f(x)的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数，与题设矛盾.
∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
(1)当a>0时，列表如下：
x
－1
(－1，0)
0
(0，2)
2
f′(x)
?
＋
0
－
?
f(x)
－7a＋b
?
b
?
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得最大值.
∴f(0)＝3，即b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3
∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝－29，∴b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
规律方法 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
【训练3】 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3，1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
?
28
?
－4
?
当x＝－3时，取极大值28；
当x＝1时，取极小值－4.
而h(2)＝3所以k的取值范围为(－∞，－3].
一、素养落地
1.通过学习函数最值的概念及求解方法，培养数学抽象和数学运算素养.
2.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.
3.已知最值求参数时，可先用参数表示最值，有时需分类讨论.
二、素养训练
1.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值
D.既无最大值，也无最小值
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
答案 D
答案 C
3.已知函数f(x)的图像过点(0，－5)，它的导数f′(x)＝4x3－4x，则当f(x)取得最大值－5时，x的值应为________.
A.－1
B.0
C.1
D.±1
解析 由题意易知f(x)＝x4－2x2－5.由f′(x)＝0得x＝0或x＝±1，只有f(0)＝－5，故x的值为0.
答案 0
4.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.
即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.
f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在[－1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增，
∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
答案 －4(共30张PPT)
6.2.2 导数与函数的极值、最值
第一课时 导数与函数的极值
课标要求
素养要求
1.结合实例，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.
应用函数的极值，培养直观想象素养，逻辑推理素养和数学抽象素养.
新识探究
“物以稀为贵”一般来说，当市面上某种商品的出售量比较多时，这种商品的价格就比较低，而出售量比较少时，价格就会比较高，这种价格的高、低都是在一定的时间范围内的.
问题 从函数的角度来看，如何说明函数在一定范围内的函数值的大小？
提示 如果在点x0附近的任意x，都有f(x0)≥f(x)，则称x0为函数的极大值点，f(x0)为极大值.
1.极值点与极值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1)f(x)(2)__________，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取________.极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.
极大值点
x0处
f(x)>f(x0)
极小值
2.极值与导数之间的关系
一般地，设函数f(x)在x0处可得，且__________________.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有________________；对于x0右侧附近的任意x，都有________________，那么此时x0是f(x)的极大值点.
(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有________________；对于x0右侧附近的任意x，都有________________，那么此时x0是f(x)的极小值点.
(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近________________________，则x0一定______y＝f(x)的极值点.
f′(x0)＝0
f′(x)>0
f′(x)<0
f′(x)<0
f′(x)>0
均为正号(或均为负号)
不是
拓展深化
[微判断]
1.导数为0的点一定是极值点.(
)
提示 反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
2.函数的极大值一定大于极小值.(
)
提示 反例：如图所示：
极大值f(x1)小于极小值f(x2).
3.函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.(
)
提示 反例：f(x)＝x3既没有极大值，也没有极小值.
×
×
×
[微训练]
1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图像如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点.
答案 A
2.函数y＝(x2－1)3＋1在x＝－1处( )
A.有极大值
B.无极值
C.有极小值
D.无法确定极值情况
解析 y′＝6x(x2－1)2，令y′＝0得x＝0，－1，1，当x<－1时，y′<0，当－1答案 B
答案 3
[微思考]
1.函数的极值点与函数的单调性有什么关系？
提示 极大值点可以看成函数单调递增区间到单调递减区间的转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间到单调递增区间的转折点.
2.函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗？
提示 可以，如函数f(x)＝sin
x，f(x)＝cos
x在R上有无数多个极大值和极小值.
解 f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；
由f′(x)＜0得－2＜x＜2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
规律方法 求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
解 (1)∵y′＝24x2－24x＋6，
法一 当x>0时，y＝x2是单调增函数；
当x<0时，y＝－x2也是单调增函数.
故函数y＝x|x|在x＝0处无极值.
法二 ∵当x>0时，y′＝2x，y′＝0无解；
当x<0时，y′＝－2x，y′＝0也无解，
∴函数y＝x|x|没有极值.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
3
?
解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
分以下两种情况讨论：
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
规律方法 讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2是否相等入手进行.
【训练2】 已知函数f(x)＝x－aln
x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值.
∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,
∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1),
即x＋y－2＝0.
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;
∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln
a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln
a，无极大值.
题型三 利用函数极值确定参数的值
【例3】 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.
解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
③
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1，1)上是减函数，∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.
【训练3】 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.
解 因为f(x)在x＝－1时有极值0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
一、素养落地
1.通过学习极值与极值点的概念，培养数学抽象素养，通过学习求函数的极值以及利用函数的极值求参数，提升数学运算素养.
2.函数的极值是函数的局部性质，可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反，所以求函数的极值时要严格按其步骤进行.
3.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
解析 对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.
在区间(－∞，0)上，y′>0；在区间(0，＋∞)上，y′<0.
故x＝0为函数y＝x－ex的极大值点.
答案 B
2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图像如图所示，则下面结论错误的是( )
A.在(1，2)上函数f(x)为增函数
B.在(3，4)上函数f(x)为减函数
C.在(1，3)上函数f(x)有极大值
D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点
解析 根据导函数图像知，x∈(1，2)时，f′(x)>0，x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.
答案 D
3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(
)
A.(－1，2)
B.(－3，6)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
答案 D
4.函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________.6.2.2 导数与函数的极值、最值
第一课时 导数与函数的极值
课标要求
素养要求
1.结合实例，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.
应用函数的极值，培养直观想象素养，逻辑推理素养和数学抽象素养.
新知探究
“物以稀为贵”一般来说，当市面上某种商品的出售量比较多时，这种商品的价格就比较低，而出售量比较少时，价格就会比较高，这种价格的高、低都是在一定的时间范围内的.
问题 从函数的角度来看，如何说明函数在一定范围内的函数值的大小？
提示 如果在点x0附近的任意x，都有f(x0)≥f(x)，则称x0为函数的极大值点，f(x0)为极大值.
1.极值点与极值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1)f(x)(2)f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值.极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.
2.极值与导数之间的关系
一般地，设函数f(x)在x0处可得，且f′(x0)＝0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点.
(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点.
(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点.
拓展深化
[微判断]
1.导数为0的点一定是极值点.(×)
提示 反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
2.函数的极大值一定大于极小值.(×)
提示 反例：如图所示：
极大值f(x1)小于极小值f(x2).
3.函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.(×)
提示 反例：f(x)＝x3既没有极大值，也没有极小值.
[微训练]
1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图像如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点.
答案 A
2.函数y＝(x2－1)3＋1在x＝－1处( )
A.有极大值
B.无极值
C.有极小值
D.无法确定极值情况
解析 y′＝6x(x2－1)2，令y′＝0得x＝0，－1，1，当x<－1时，y′<0，当－1答案 B
3.若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
解析 f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，则x2＋2x－a＝0，x≠－1，又f(x)在x＝1处取得极值，所以x＝1是x2＋2x－a＝0的根，所以a＝3(经检验满足题意).
答案 3
[微思考]
1.函数的极值点与函数的单调性有什么关系？
提示 极大值点可以看成函数单调递增区间到单调递减区间的转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间到单调递增区间的转折点.
2.函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗？
提示 可以，如函数f(x)＝sin
x，f(x)＝cos
x在R上有无数多个极大值和极小值.
题型一 不含参数的函数求极值
【例1】 求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值.
解 f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；
由f′(x)＜0得－2＜x＜2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
?
－
?
由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝.
当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.
规律方法 求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
【训练1】 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由.
(1)y＝8x3－12x2＋6x＋1；
(2)y＝x|x|；
(3)y＝＋3ln
x的极值.
解 (1)∵y′＝24x2－24x＋6，
令y′＝0，即24x2－24x＋6＝0，解得x＝，
当x>时，y′>0；当x<时，y′>0.
∴此函数无极值.
(2)y＝
法一 当x>0时，y＝x2是单调增函数；
当x<0时，y＝－x2也是单调增函数.
故函数y＝x|x|在x＝0处无极值.
法二 ∵当x>0时，y′＝2x，y′＝0无解；
当x<0时，y′＝－2x，y′＝0也无解，
∴函数y＝x|x|没有极值.
(3)函数f(x)＝＋3ln
x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
3
?
因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.
题型二 含参数的函数求极值
【例2】 已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.
解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠知－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a>，则－2a当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
规律方法 讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2是否相等入手进行.
【训练2】 已知函数f(x)＝x－aln
x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值.
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln
x，f′(x)＝1－(x>0),
∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,
∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1),
即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0.
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;
∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln
a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln
a，无极大值.
题型三 利用函数极值确定参数的值
【例3】 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.
解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系，得
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1，1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.
【训练3】 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.
解 因为f(x)在x＝－1时有极值0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解之得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
一、素养落地
1.通过学习极值与极值点的概念，培养数学抽象素养，通过学习求函数的极值以及利用函数的极值求参数，提升数学运算素养.
2.函数的极值是函数的局部性质，可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反，所以求函数的极值时要严格按其步骤进行.
3.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
二、素养训练
1.下列函数中存在极值的是( )
A.y＝
B.y＝x－ex
C.y＝2
D.y＝x3
解析 对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.
在区间(－∞，0)上，y′>0；在区间(0，＋∞)上，y′<0.
故x＝0为函数y＝x－ex的极大值点.
答案 B
2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图像如图所示，则下面结论错误的是( )
A.在(1，2)上函数f(x)为增函数
B.在(3，4)上函数f(x)为减函数
C.在(1，3)上函数f(x)有极大值
D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点
解析 根据导函数图像知，x∈(1，2)时，f′(x)>0，x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.
答案 D
3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(
)
A.(－1，2)
B.(－3，6)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
答案 D
4.函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________.
解析 f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
因为当x∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈(－，)时，f′(x)<0，
所以f(x)极大值＝f(－)＝a＋4，
f(x)极小值＝f()＝a－4.
答案 a＋4 a－4
基础达标
一、选择题
1.(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图像如图所示，以下结论正确的是( )
A.－3是f(x)的一个极小值点
B.－2和－1都是f(x)的极大值点
C.f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)
D.f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)
解析 当x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3，＋∞)时f′(x)≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3).故选ACD.
答案 ACD
2.函数f(x)＝ln
x－x在区间(0，e)上的极大值为( )
A.－e
B.1－e
C.－1
D.0
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－1.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln
1－1＝0－1＝－1.
答案 C
3.若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是( )
A.(0，4)
B.[0，4)
C.[1，4)
D.(1，4)
解析 f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f(x)在(－1，2)内有极值，∴f′(x)在(－1，2)内有变号零点，∴0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故选A.
答案 A
4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图像，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)
B.函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)
C.x＝－2是函数的极小值点
D.x＝2是函数的极小值点
解析 由题意，当02，f′(x)>0；当－20；即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.
答案 BD
5.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，0)
B.(0，1)
C.(－∞，－1)
D.(1，＋∞)
解析 由题意知f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意.
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln
a，
∴当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)>0.
可知x＝ln
a为f(x)的极值点，∴ln
a<0，∴a∈(0，1).故选B.
答案 B
二、填空题
6.函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为a＝________，b＝________.
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋b，又当x＝1时有极值－2，
∵f′(1)＝3a＋b＝0，①
a＋b＝－2，②
联立①②，解得∴故答案为1，－3.
答案 1 －3
7.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________.
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
8.函数f(x)＝ax－1－ln
x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________.
解析 因为x>0，f′(x)＝a－＝，
所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上是单调递减的，
所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点.
答案 0
三、解答题
9.求函数f(x)＝－2的极值.
解 函数的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
－3
?
－1
?
由上表可以看出：
当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
10.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln
x＋bx2＋x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.
解 (1)∵f(x)＝aln
x＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：
f′(1)＝f′(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解得，a＝－，b＝－.
(2)由(1)可知f(x)＝－ln
x－x2＋x，
且其定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝－x－1－x＋1＝－.
当x∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0；
当x∈(1，2)时，f′(x)>0；
所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，
x＝2是函数f(x)的极大值点.
能力提升
11.函数f(x)＝ex(x－aex)恰有两个极值点x1，x2(x1解析 ∵函数f(x)＝ex(x－aex)，∴f′(x)＝(x＋1－2aex)ex.
∵函数f(x)恰有两个极值点x1，x2，∴x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不相等的实数根.
令x＋1－2aex＝0，可知a≠0，∴＝ex.
设y1＝(a≠0)，y2＝ex，在同一坐标系内画出两个函数的图像，如图所示.
要使这两个函数有两个不同的交点，应满足>1，解得0答案
12.已知函数f(x)＝x2＋aln
x.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方.
(1)解 易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f′(x)＝x－＝.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去).
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，
因此函数f(x)在(0，1)上是减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
因此函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数.
故x＝1是f(x)的极小值点，所以f(x)在x＝1处取得极小值.
(2)证明 设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln
x－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2
＝＝.
显然由2x2＋x＋1＝2＋及x>0可知，
当x>1时，F′(x)<0，故F(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，
又F(1)＝－<0，所以在区间[1，＋∞)上，F(x)≤F(1)<0，即F(x)<0恒成立，即f(x)因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)的图像的下方.
创新猜想
13.(多选题)设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln
x，f(1)＝，则下列结论正确的是( )
A.xf(x)在(1，＋∞)单调递增
B.xf(x)在(1，＋∞)单调递减
C.xf(x)在(0，＋∞)上有极大值
D.xf(x)在(0，＋∞)上有极小值
解析 由x2f′(x)＋xf(x)＝ln
x得x>0，则xf′(x)＋f(x)＝，即[xf(x)]′＝，设g(x)＝xf(x)，由g′(x)＝>0得x>1，由g′(x)<0得0答案 AD
14.(多选题)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( )
A.a＝－3，b＝2
B.a＝－3，b＝－3
C.a＝－3，b>2
D.a＝1，b＝2
解析 记f(x)＝x3＋ax＋b，那么f′(x)＝3x2＋a.
当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一实根，D项满足题意；
当a<0时，由于选项中只有a＝－3，故只考虑a＝－3即可.
此时f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
故x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增；x∈(－1，1)时，f(x)单调递减，
故f(x)极大值＝f(－1)＝b＋2，f(x)极小值＝f(1)＝b－2，
只有一个实根，则需满足f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
则b<－2或b>2，B、C项满足.故选BCD.
答案 BCD第二课时 导数与函数的最值
课标要求
素养要求
1.能利用导数求函数的极大值，极小值及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
能利用导数求函数的最值，发展学生的直观想象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
新知探究
由函数的图像，来分析判断函数的最值情况.如图为定义在[a，b]上的函数f(x)的图像.
问题 函数f(x)在[a，b]上的极值和最值分别在什么位置取到？
提示 图中f(x1)与f(x3)是极小值，f(x2)是极大值.函数f(x)在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(x3).
1.函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
(1)假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
①求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点；
②计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
2.最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图像.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
拓展深化
[微判断]
1.函数的最大值不一定是函数的极大值.(√)
2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(×)
提示 也可能在极值点处取到.
3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(×)
提示 有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有最值.
4.函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.(√)
[微训练]
1.函数y＝x4＋x3＋x2在区间[－1，1]上的最小值为( )
A.0
B.－2
C.－1
D.
解析 y′＝x3＋x2＋x，令y′＝0得x＝0，
又x∈[－1，0)时，y′<0，x∈(0，1]时，y′>0，
∴函数在[－1，0)上单调递减，(0，1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(x)极小值＝f(0)＝0.
答案 A
2.函数f(x)＝x＋2cos
x在区间上取得最大值时，x的值为( )
A.0
B.
C.
D.
解析 令f′(x)＝1－2sin
x＝0，得x＝，∴f(x)在上单调递增，
在上单调递减，所以当x＝时，f(x)取得最大值.
答案 B
3.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
答案 －71
[微思考]
1.若函数的最大值与最小值所构成的集合为A，则A中的元素个数可能是多少？
提示 可能为0，1，2.
2.在开区间内的连续函数f(x)在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值是最值点吗？
提示 是.
题型一 求函数的最值
【例1】 求下列各函数的最值.
(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；
(2)f(x)＝x＋sin
x，x∈[0，2π].
解 (1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∴f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上为增函数.故当x＝－1时，f(x)min＝－12；
当x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
(2)f′(x)＝＋cos
x，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝，
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，
f＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
规律方法 求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.
【训练1】 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数.
解 (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
－2
(－2，0)
0
(0，2)
2
(2，4)
4
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－37
↗
极大值3
↘
极小值－5
↗
35
∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
(2)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－.
当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，
即f(x)在[0，a]上是减函数.
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
即f(x)的最小值为e－a－ea，最大值为0.
题型二 含参数的函数的最值问题
【例2】 已知f(x)＝ax－ln
x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x－ln
x，f′(x)＝1－＝，
∴所求切线的斜率为f′(2)＝，切点为(2，2－ln
2)，
∴所求切线的方程为y－(2－ln
2)＝(x－2)，即x－2y＋2－2ln
2＝0.
(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln
x，x∈(0，e]有最小值3，
f′(x)＝a－＝.
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，故f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，解得a＝(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a；
②当0<时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)min＝f＝1＋ln
a＝3，解得a＝e2，满足条件；
③当≥e，即0综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.
规律方法 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
【训练2】 已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值.
解 f′(x)＝3x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
(1)当≤0，即a≤0时，
f(x)在[0，2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
(2)当≥2，即a≥3时，
f(x)在[0，2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
(3)当0<<2，即0从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
题型三 由函数的最值求参数问题
【例3】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]时，f(x)的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数，与题设矛盾.
∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
(1)当a>0时，列表如下：
x
－1
(－1，0)
0
(0，2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
?
b
?
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得最大值.
∴f(0)＝3，即b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝－29，∴b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
规律方法 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
【训练3】 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3，1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
?
28
?
－4
?
当x＝－3时，取极大值28；
当x＝1时，取极小值－4.
而h(2)＝3所以k的取值范围为(－∞，－3].
一、素养落地
1.通过学习函数最值的概念及求解方法，培养数学抽象和数学运算素养.
2.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.
3.已知最值求参数时，可先用参数表示最值，有时需分类讨论.
二、素养训练
1.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值
D.既无最大值，也无最小值
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
答案 D
2.函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是( )
A.π－1
B.－1
C.π
D.π＋1
解析 因为y′＝1－cos
x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，
所以y的最大值为ymax＝π－sin
π＝π，故选C.
答案 C
3.已知函数f(x)的图像过点(0，－5)，它的导数f′(x)＝4x3－4x，则当f(x)取得最大值－5时，x的值应为________.
A.－1
B.0
C.1
D.±1
解析 由题意易知f(x)＝x4－2x2－5.由f′(x)＝0得x＝0或x＝±1，只有f(0)＝－5，故x的值为0.
答案 0
4.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.
即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.
f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在[－1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增，
∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
答案 －4
基础达标
一、选择题
1.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A.f(a)－g(a)
B.f(b)－g(b)
C.f(a)－g(b)
D.f(b)－g(a)
解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).
答案 A
2.函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A.[0，1)
B.(0，1)
C.(－1，1)
D.
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a，
令f′(x)＝0，可得a＝x2，
又∵x∈(0，1)，∴0答案 B
3.函数f(x)＝x＋2cos
x在区间上的最小值是( )
A.－
B.2
C.＋
D.＋1
解析 f′(x)＝1－2sin
x，因为x∈，
所以sin
x∈[－1，0]，所以－2sin
x∈[0，2].
所以f′(x)＝1－2sin
x＞0在上恒成立.
所以f(x)在上单调递增.
所以f(x)min＝－＋2cos＝－.
答案 A
4.若函数f(x)＝asin
x＋sin
3x在x＝处有最值，则a等于( )
A.2
B.1
C.
D.0
解析 ∵f(x)在x＝处有最值，
∴x＝是函数f(x)的极值点.
又∵f′(x)＝acos
x＋cos
3x，
∴f′＝acos
＋cos
π＝0，解得a＝2.
答案 A
5.关于函数f(x)＝x3－4x＋4.下列说法中：
①它的极大值为，极小值为－；②当x∈[3，4]时，它的最大值为，最小值为－；③它的单调减区间为[－2，2]；④它在点(0，4)处的切线方程为y＝－4x＋4，其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ∵函数f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4＝(x－2)·(x＋2).由f′(x)＝(x－2)(x＋2)>0，得x>2或x<－2，此时函数单调递增；由f′(x)＝(x－2)(x＋2)<0，得－2答案 C
二、填空题
6.设函数f(x)＝，x∈[1，4]，则f(x)的最大值为________，最小值为________.
解析 由f(x)＝得f′(x)＝，
令f′(x)>0，则1－ln
x>0，解得0令f′(x)<0，则1－ln
x<0，解得x>e.
∴函数f(x)在[1，e]上单调递增，在[e，4]上单调递减，
且f(1)＝0，f(4)＝>0，∴f(x)的最大值为f(e)＝＝，f(x)的最小值为f(1)＝0.
答案 0
7.已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________.
解析 f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由题意得∈(－2，－1)，故m∈(－4，－2).
答案 (－4，－2)
8.已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图像上的点(1，f(1))处的切线方程是________.
解析 ∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切线方程为y－＝5(x－1).
即15x－3y－2＝0.
答案 15x－3y－2＝0
三、解答题
9.已知函数f(x)＝aln
x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值.
解 (1)f′(x)＝－2bx(x>0).
由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
得即解得
(2)由(1)，得f(x)＝ln
x－x2，定义域为(0，＋∞).
f′(x)＝－x＝.
令f′(x)>0，得01，
所以f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－.
10.已知函数f(x)＝2ex(x＋1).
(1)求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>－3)上的最小值.
解 (1)f′(x)＝2ex(x＋2)，
由f′(x)>0，得x>－2；由f′(x)<0，得x<－2.
∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∴f(x)的极小值为
f(－2)＝－2e－2，无极大值.
(2)由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.
∵t>－3，∴t＋1>－2.
①当－3∴f(x)min＝f(－2)＝－2e－2.
②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)，
∴f(x)min＝
能力提升
11.已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝ln
x－ax，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为________.
解析 由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，又a>，
所以0<<2，
当00；
当2>x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f＝－ln
a－1＝－1.
解得a＝1.
答案 1
12.已知函数f(x)＝ln
x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值.
解 函数f(x)＝ln
x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上是单调递增的.
∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞).
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)是单调递增，其最小值为f(1)＝a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当10，f(x)是单调递增的，
所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln
a＋1，由ln
a＋1＝，得a＝.
③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋≥2，与最小值是相矛盾.
综上所述，a的值为.
创新猜想
13.(多选题)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A.f(x)>0的解集是{x|0B.f(－)是极小值，f()是极大值
C.f(x)没有最小值，也没有最大值
D.f(x)有最大值无最小值
解析 由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±，
当x<－或x>时，f′(x)<0，
当－0，
∴当x＝－时，f(x)取得极小值，
当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确.
当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)<0，且f()>0，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确.
答案 ABD
14.(多选题)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－eD.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
解析 A.令f(x)＝0，解得x＝，所以A正确；
B.f′(x)＝－＝－，
当f′(x)>0时，－1当f′(x)<0时，x<－1或x>2，
(－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1，2)是函数的单调递增区间，所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确.
C.当x→＋∞时，y→0，根据B可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知
，当－eD.由图像可知，t的最大值是2，所以不正确.故选ABC.
答案 ABC