章末检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.设曲线y＝在点(1，0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，则a＝( )
A.－
B.
C.－2
D.2
解析 由题意得，y′＝＝(x>0)，∵曲线在点(1，0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，∴＝－a，解得a＝－，故选A.
答案 A
2.函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( )
A.(－∞，－1)和(0，1)
B.(－1，0)和(1，＋∞)
C.(－1，1)
D.(－∞，－1)和(1，＋∞)
解析 y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.
答案 A
3.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.
答案 D
4.若函数f(x)＝(x>1)有最大值－4，则实数a的值是( )
A.1
B.－1
C.4
D.－4
解析 由函数f(x)＝(x>1)，则f′(x)＝＝，要使得函数f(x)有最大值－4，则a<0，
则当x∈(1，2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，
所以当x＝2时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max＝f(2)＝＝－4，解得a＝－1，满足题意，故选B.
答案 B
5.已知函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.[1，＋∞)
B.(－∞，0)∪(0，1]
C.(0，1]
D.(－∞，0)∪[1，＋∞)
解析 由题意知f′(x)＝1－，由于f(x)在(－∞，－1)上单调递增，则f′(x)≥0在(－∞，－1)上恒成立，即≤x2在(－∞，－1)上恒成立.当x<－1时，x2>1，则有≤1，解得a≥1或a<0.故选D.
答案 D
6.函数f(x)＝的部分图像大致为( )
解析 f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－，则f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，图像关于原点对称，故排除B；f(1)＝<1，故排除A；∵f(x)＝，当x>0时，可得f′(x)＝，当x>1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，故排除D.故选C.
答案 C
7.设a＝e，b＝，c＝，则a，b，c大小关系是( )
A.a
B.bC.cD.c解析 构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，当x>e时，f′(x)>0，则f(x)在(e，＋∞)上单调递增.又e<3<π，∴f(e)答案 A
8.方程－ln
x－2＝0的根的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 令f(x)＝－ln
x－2(x>0)，则f′(x)＝x－－＝，当x∈(0，4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，且f(4)＝2
ln
4－2<0，f(e6)＝e3－ln
e6－2＝e3－8>0，f(e－2)＝e－1－ln
e－2－2＝>0，结合函数零点存在定理可知函数在区间(0，4)上存在一个零点，在区间(4，＋∞)上也存在一个零点，故方程－ln
x－2＝0的根的个数为2.故选C.
答案 C
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是( )
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝e－x
C.f(x)＝ln
x
D.f(x)＝
解析 A.f′(x)＝2x，由x2＝2x得x＝0或x＝2，有“巧值点”；
B.f′(x)＝－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”；
C.f′(x)＝，方程ln
x＝有解，有“巧值点”；
D.f′(x)＝－，由＝－，得x＝－1，有“巧值点”.
答案 ACD
10.将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )
解析 对于A选项，由函数y＝f′(x)的图像可知，f′(0)＝0，但函数y＝f(x)在x＝0处的切线斜率不存在，不合乎题意；
对于B选项，由函数y＝f′(x)的图像可知，函数y＝f(x)存在增区间，但B选项的图中，函数y＝f(x)没有增区间，不合乎题意；
对于C选项，由函数y＝f′(x)的图像可知，函数y＝f(x)在R上为增函数，合乎题意；
对于D选项，由函数y＝f′(x)的图像可知，函数y＝f(x)有两个单调区间，但D选项的图中，函数y＝f(x)有三个单调区间，不合乎题意.故选：ABD.
答案 ABD
11.定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)在区间(0，4)单调递增
B.函数f(x)在区间单调递减
C.函数f(x)在x＝1处取得极大值
D.函数f(x)在x＝0处取得极小值
解析 根据导函数图像可知，f(x)在区间上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(0，4)上，f′(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值.所以A，B，D选项正确，C选项错误.故选ABD.
答案 ABD
12.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且(x＋1)f′(x)－f(x)A.2f(2)－3f(1)>5
B.若f(1)＝2，x>1，则f(x)>x2＋x＋
C.f(3)－2f(1)<7
D.若f(1)＝2，0x2＋x＋
解析 设函数g(x)＝，则g′(x)＝＝
因为(x＋1)f′(x)－f(x)故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而g(1)>g(2)>g(3)，整理得2f(2)－3f(1)<5，
f(3)－2f(1)<7，故A错误，C正确.
当0g(1)＝，即>，即f(x)>x2＋x＋.故D正确，从而B不正确.
即结论正确的是CD，故选CD.
答案 CD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.已知函数f(x)＝f′cos
x＋sin
x，则f的值为________.
解析 因为f′(x)＝－f′sin
x＋cos
x，
所以f′＝－f′sin
＋cos
.
整理，得f′＝－1.
故由f＝f′cos
＋sin
，
解得f＝1.
答案 1
14.用总长为14.8
m的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5
m，要使它的容积最大，则容器底面的宽为________.
解析 设容器底面的宽为x
m，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.由3.2－2x>0和x>0，得0m3，则y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，其中00，当1m时，容器的容积最大.
答案 1
m
15.当x∈[－1，2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是________.
解析 记f(x)＝x3－x2－x，所以f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
又因为f＝，f(2)＝2，f(－1)＝－1，f(1)＝－1，
所以当x∈[－1，2]时，f(x)max＝2，所以m＞2.
答案 (2，＋∞)
16.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数y＝f(x)满足条件：
(1)在闭区间[a，b]上是连续不断的；
(2)在区间(a，b)上都有导数.
则在区间(a，b)上至少存在一个实数t，使得f(b)－f(a)＝f′(t)(b－a)，其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)＝x2在区间[0，1]上的“拉格朗日中值”t＝________.
解析 因为g(x)＝x2，所以g′(x)＝2x，结合“拉格朗日中值”定义可得g′(t)＝＝1，所以2t＝1，即t＝.
答案
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数.
(1)求b，c的值；
(2)求g(x)的单调区间.
解 (1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx，
所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
从而g(x)＝f(x)－f′(x)
＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)
＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.
因为g(x)是一个奇函数，且x∈R，
所以g(0)＝0，得c＝0.由奇函数的定义，得b＝3.
(2)由(1)，知g(x)＝x3－6x，
从而g′(x)＝3x2－6.
令g′(x)＞0，得x＞或x＜－；
令g′(x)＜0，得－＜x＜.
所以(－∞，－)和(，＋∞)是函数g(x)的单调递增区间，(－，)是函数g(x)的单调递减区间.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；
(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.
(1)解 f′(x)＝，f′(0)＝2.
因此曲线y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是
2x－y－1＝0.
(2)证明 当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.
令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.
当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>－1时，
g′(x)>0，g(x)单调递增；所以g(x)≥g(－1)＝0.
因此f(x)＋e≥0.
19.(本小题满分12分)设函数f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x，其中a∈R，f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6).
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
解 (1)∵f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x(x>0)，
∴f′(x)＝2a(x－5)＋(x>0).
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
∴f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1).
∵切线与y轴相交于点(0，6)，
∴6－16a＝8a－6，∴a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln
x(x>0)，
f′(x)＝(x－5)＋＝(x>0).
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝3.
当03时，f′(x)>0，f(x)在区间(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2故f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln
2，
在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln
3.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xex－x－ax2.
(1)当a＝时，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1).
令f′(x)＝0，则x＝－1或0，
当x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1，0).
(2)f(x)＝x(ex－1－ax).
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，
而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a>1，则当x∈(0，ln
a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，
从而当x∈(0，ln
a)时，g(x)<0，即f(x)<0，不符合题意.
综上，实数a的取值范围为(－∞，1].
21.(本小题满分12分)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(03
240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)
解 由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为
f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y
＝(3－0.9x)×3
240×
＝3
240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
则f′(x)＝3
240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数.
所以当x＝时，f(x)取极大值，f＝20
000.
因为f(x)在(0，1)内只有一个极大值，所以它是最大值.
所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20
000万元.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xln
x－ax.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln
x＋1>－成立.
(1)解 当a＝－1时，f(x)＝xln
x＋x，f′(x)＝ln
x＋2(x>0).由f′(x)＝0，得x＝.
当x∈时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0.
所以f(x)在上是减函数，在上是增函数.因此f(x)在x＝处取得最小值，即f(x)min＝f＝－.
显然，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f(x)没有最大值.
(2)证明 当x>0时，ln
x＋1>－等价于x(ln
x＋1)>－.由(1)知a＝－1时，f(x)＝xln
x＋x的最小值是－，当且仅当x＝时取等号.设g(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝，易知g(x)max＝g(1)＝－，
当且仅当x＝1时取到，从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)>g(x)，即ln
x＋1>－.章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比的极限，即Δx→0时，趋于确定的常数值.函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.
2.曲线的切线方程
利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：
(1)判断P点是否在曲线上；
(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，如果切线不平行于y轴，P点处的切线斜率为f′(x0).
3.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.
4.复合函数的求导法则
(1)复合函数记法：y＝f(g(x)).
(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x).
(3)逐层求导法则：yx′＝yu′·ux′.
5.函数的单调性与导数
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；
(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.
6.利用导数研究函数的极值要注意
(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的.
(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.
(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号.
7.求函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1，1).
(2)求函数最值的步骤
一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
8.应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是函数的最值.
要点一 导数的几何意义及应用
导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1).①
又已知y1＝f(x1)②
由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.
切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等.
【例1】 (1)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln
x的图像在点(1，f(1))
处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.
(2)若曲线C1：y＝ax3－6x2＋12x与曲线C2：y＝ex在x＝1处的两条切线互相垂直，则实数a＝________.
解析 (1)由题意可知f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，因为f(1)＝a，所以切点坐标为(1，a)，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，即y＝(a－1)x＋1.
令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.
(2)设f(x)＝ax3－6x2＋12x，g(x)＝ex，则f′(x)＝3ax2－12x＋12，g′(x)＝ex，
∴f′(1)＝3a，g′(1)＝e.由题意3a·e＝－1，∴a＝－.
答案 (1)1 (2)－
【训练1】 曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为________.
解析 f′(x)＝＝，所以曲线在x＝0处的切线斜率为k＝f′(0)＝－2，又f(0)＝－1，则所求的切线方程为y＋1＝－2x，即2x＋y＋1＝0.
答案 2x＋y＋1＝0
要点二 应用导数求函数的单调区间
在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.
【例2】 已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln
x)，a＞0.讨论f(x)的单调性.
解 由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数.
②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数.
③当Δ＞0即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根
x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
此时f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增.
【训练2】 已知函数f(x)＝ln
x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性.
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.
要点三 利用导数求函数的极值和最值
1.利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号.
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点.
2.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，
这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).
【例3】 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝时取极大值.
(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时对应的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值.
解 (1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，
又因为当x＝－1，x＝时，
函数分别取得极小值、极大值，
所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根.
所以a＝－1＋，－＝(－1)×.
于是a＝－，b＝2，则f(x)＝－x3－x2＋2x.
当x＝－2时，f(－2)＝2，即切点为(－2，2).
又因为切线斜率k＝f′(－2)＝－8，
所以，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，
即8x＋y＋14＝0.
(2)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1，)
(，1)
1
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
2
单调递减?
－
单调递增?
单调递减?
因此，f(x)在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－.
【训练3】 已知函数f(x)＝x－acos
x，x∈.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的极大值；
(2)若函数f(x)有极大值，求实数a的取值范围.
解 (1)因为a＝－2，所以f′(x)＝1－2sin
x.
令f′(x)＝0，得sin
x＝.
又x∈，所以x＝.
又当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，
故当x＝时，f(x)取得极大值，为f＝＋.
(2)f′(x)＝1＋asin
x.
当x∈时，－1x<1，即|sin
x|<1.
①当|a|≤1时，|asin
x|<1，
所以当x∈时，f′(x)>0恒成立，此时f(x)在上没有极值.
②当a>1时，－ax所以1＋asin
x＝0，x∈有解，设为α.
因为y＝asin
x在上单调递增，
所以当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.
因此f(x)在上没有极大值.
③当a<－1时，ax<－a，－1∈(a，－a)，
所以asin
x＋1＝0，x∈有解，设为β.
因为y＝asin
x在上单调递减，所以当x∈时，f′(x)>0；当x∈
时，f′(x)<0.
所以f(x)在x＝β处取得极大值.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－1).
要点四 导数与函数、不等式的综合应用
利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.
【例4】 已知函数f(x)＝xln
x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；
(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
解 (1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln
x，
令f′(x)>0，解得x>，令f′(x)<0，
解得0故f(x)在上单调递减，在上单调递增，
故f(x)min＝f＝ln
＝－.
(2)∵f(x)＝xln
x，
当x≥1时，f(x)≥ax－1恒成立，
等价于xln
x≥ax－1(x≥1)恒成立，
等价于a≤ln
x＋(x≥1)恒成立，
令g(x)＝ln
x＋，则a≤g(x)min(x≥1)恒成立；
∵g′(x)＝－＝，
∴当x≥1时，g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1].
(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，即y＝b的图像和y＝f(x)的图像在(0，＋∞)上有两个不同的交点，
由(1)知当01时，f(x)>0.
f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)min＝f＝ln
＝－；
故当－即若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，则－【训练4】 已知函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.
解 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3－≥－，
由f′(x)≥m恒成立，可得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，
由f′(x)>0?x>2或x<1，由f′(x)<0?1∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
∴f(x)极大值＝f(1)＝－a，f(x)极小值＝f(2)＝2－a.
∵f(x)恰有一个零点，∴－a<0或2－a>0，
即a<2或a>，
所以a的取值范围为(－∞，2)∪.(共32张PPT)
章末复习课
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2.曲线的切线方程
利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：
(1)判断P点是否在曲线上；
(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，如果切线不平行于y轴，P点处的切线斜率为f′(x0).
3.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.
4.复合函数的求导法则
(1)复合函数记法：y＝f(g(x)).
(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x).
(3)逐层求导法则：yx′＝yu′·ux′.
5.函数的单调性与导数
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；
(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.
6.利用导数研究函数的极值要注意
(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的.
(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.
(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号.
7.求函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1，1).
(2)求函数最值的步骤
一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
8.应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是函数的最值.
要点一 导数的几何意义及应用
导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1).①
又已知y1＝f(x1)②
由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.
切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等.
【例1】 (1)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln
x的图像在点(1，f(1))
处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.
(2)若曲线C1：y＝ax3－6x2＋12x与曲线C2：y＝ex在x＝1处的两条切线互相垂直，则实数a＝________.
令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.
(2)设f(x)＝ax3－6x2＋12x，g(x)＝ex，则f′(x)＝3ax2－12x＋12，g′(x)＝ex，
∴f′(1)＝3a，g′(1)＝e.由题意3a·e＝－1，
答案 2x＋y＋1＝0
要点二 应用导数求函数的单调区间
在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.
解 由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
【训练2】 已知函数f(x)＝ln
x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
要点三 利用导数求函数的极值和最值
1.利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号.
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点.
2.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，
这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).
解 (1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，
函数分别取得极小值、极大值，
当x＝－2时，f(－2)＝2，即切点为(－2，2).
又因为切线斜率k＝f′(－2)＝－8，
所以，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，
即8x＋y＋14＝0.
(2)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
解 (1)因为a＝－2，所以f′(x)＝1－2sin
x.
(2)f′(x)＝1＋asin
x.
①当|a|≤1时，|asin
x|<1，
②当a>1时，－ax③当a<－1时，ax<－a，－1∈(a，－a)，
所以f(x)在x＝β处取得极大值.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－1).
要点四 导数与函数、不等式的综合应用
利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.
【例4】 已知函数f(x)＝xln
x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；
(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
解 (1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln
x，
(2)∵f(x)＝xln
x，
当x≥1时，f(x)≥ax－1恒成立，
等价于xln
x≥ax－1(x≥1)恒成立，
∴当x≥1时，g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1].
(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，即y＝b的图像和y＝f(x)的图像在(0，＋∞)上有两个不同的交点，
(2)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，
由f′(x)>0?x>2或x<1，由f′(x)<0?1∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，