习题课 求数列的通项
题型一 利用累加、累乘法求数列的通项公式
【例1】 (1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an.
解 (1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，
即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，
即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，n≥2.
又a1＝1也适合上式，∴an＝，n∈N＋.
(2)由条件知＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得(n－1)个等式，累乘，
即···…·＝×××…·(n≥2).
∴＝，又∵a1＝，∴an＝，n≥2.
又a1＝也适合上式，∴an＝，n∈N＋.
规律方法 (1)求形如an＋1＝an＋f(n)的通项公式.
将原来的递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1).
(2)求形如an＋1＝f(n)an的通项公式.
将原递推公式转化为＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由＝f(1)，＝f(2)，…，＝
f(n－1)，累乘可得＝f(1)f(2)…f(n－1).
【训练1】 数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通项公式.
解 因为a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，
故an＝＋2＝2n，当n＝1时，a1也符合上式，
所以an＝2n.
题型二 构造等差(比)数列求通项公式
【例2】 (1)在数列{an}中，a1＝，6anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N＋).
①证明：数列是等差数列；
②求数列{an}的通项公式.
(2)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，求an.
(1)①证明 由6anan－1＋an－an－1＝0，
整理得－＝6(n≥2)，故数列是以3为首项，6为公差的等差数列.
②解 由①可得＝3＋(n－1)×6＝6n－3，
所以an＝，n∈N＋.
(2)解 由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，
所以数列{an－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则an－3＝(－1)·
2n－1，即an＝－2n－1＋3.
规律方法 (1)课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深.
(2)形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：
第一步 假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；
第二步 由待定系数法，解得t＝；
第三步 写出数列的通项公式；
第四步 写出数列{an}的通项公式.
【训练2】 已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2).试求数列{bn}的通项公式.
解 ∵
Sn－Sn－1＝＋(n≥2)，
∴(＋)(－)＝＋(n≥2).
又>0，∴－＝1.
又＝1，∴数列{}是首项为1，公差为1
的等差数列，
∴＝1＋(n－1)×1＝n，故Sn＝n2.
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时，b1＝1符合上式.
∴bn＝2n－1.
题型三 利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
【例3】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N＋，则an等于( )
A.2n＋1
B.2n
C.2n－1
D.2n－2
(2)已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝·an，则的最大值为( )
A.－3
B.－1
C.3
D.1
解析 (1)因为Sn＝2an－4，所以n≥2时，Sn－1＝2an－1－4，两式相减可得Sn－
Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以＝2.因为S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.
(2)由Sn＝an得，当n≥2时，Sn－1＝an－1，
两式作差可得：an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得＝＝1＋，
由此可得，当n＝2时，取得最大值，其最大值为3.
答案 (1)A (2)C
规律方法 已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)的解题步骤：
第一步 利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式；
第二步 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；
第三步 若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式.如果求出的是{an}的递推公式，则问题化归为例2形式的问题.
【训练3】 在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式an.
解 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，得
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an，
两式作差得nan＝an＋1－an，
得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，
即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2×3n－2.
于是an＝
一、素养落地
1.通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养.
2.求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解.
二、素养训练
1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式可能是( )
A.an＝
B.an＝
C.an＝
D.an＝
解析 由题意可得，a1＝1，
a2－a1＝2，
a3－a2＝3，
a4－a3＝4，
a5－a4＝5，
……
∴an－an－1＝n(n≥2)，
故数列的递推公式为an＝故选B.
答案 B
2.数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an＋2n，则a9＝( )
A.1
024
B.1
023
C.510
D.511
解析 由题意可得an＋1－an＝2n，则a9＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a9－a8)＝1＋21＋22＋…＋28＝29－1＝511.故选D.
答案 D
3.已知数列{an}中，a1＝1，对于任意的n≥2，n∈N＋，都有a1a2a3…an＝n2，则a10＝________.
解析 由a1a2a3…an＝n2，得a1a2a3…an－1＝(n－1)2(n≥2)，所以an＝(n≥2)，所以a10＝.
答案
4.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式.
解 由an＋1＝，得＝＋1，
所以＋1＝2.又a1＝1，所以＋1＝2，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝.
基础达标
一、选择题
1.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N＋)，则a100的值是( )
A.9
900
B.9
902
C.9
904
D.11
000
解析 a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2×(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2×＋2＝9
902.
答案 B
2.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项为( )
A.2n－1
B.2n＋1
C.
D.
解析 ∵an＋1＝，a1＝1，∴－＝2.
∴为等差数列，公差为2，首项＝1.
∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴an＝.
答案 C
3.若数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，则a2
021的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ∵a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，∴an＋1＋an＝4，∴an＋1＝an－1，∴an＝an＋2，即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，又∵a1＝3，∴a2
021＝3.
答案 C
4.已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的通项公式an等于( )
A.2n
B.n(n＋1)
C.
D.
解析 ∵an＋1＝an＋，∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，
即2n＋1an＋1－2nan＝2.
又21a1＝2，
∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴an＝.
答案 C
5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则a12＝( )
A.20
480
B.49
152
C.60
152
D.89
150
解析 由题意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8，故a2－2a1＝4，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，因此数列
{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－2an＝4×
2n－1＝2n＋1，于是－＝1，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，得＝1＋(n－1)＝n，即an＝n·2n.所以a12＝12×212＝49
152，故选B.
答案 B
二、填空题
6.在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
则数列{an}的通项公式为________.
解析 当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意.
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，
所以公比q＝3，故an＝2×3n－1.
答案 an＝2×3n－1
7.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析 由an＋1＝an，得＝，当n≥2时，an＝··…···a1
＝··…··＝n，
当n＝1时，a1＝1也符合此式，∴an＝n.
答案 n
8.已知数列{an}满足···…·＝(n∈N＋)，则a10＝________.
解析 ∵···…·＝(n∈N＋)，
∴···…·＝(n≥2)，
∴ln
an＝(n≥2)，
∴an＝e(n≥2)，∴a10＝e.
答案 e
三、解答题
9.设f(x)＝log2x－logx4(0解 ∵f(x)＝log2x－logx4(0∴log22an－log2an4＝2n，由换底公式得log22an－＝2n，
即an－＝2n，∴a－2nan－2＝0，解得an＝n±.
又0∴an＝n－，
∴数列{an}的通项公式是an＝n－.
10.设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，
n∈N＋.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式.
解 (1)当n＝1时，T1＝2S1－1，
因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，所以a1＝1.
(2)当n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，
则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]
＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1，
因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，
所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，①
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，②
①－②，得an＝2an－2an－1－2，
所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2·(an－1＋2)，
因为a1＋2＝3≠0，
所以数列{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋2＝3×2n－1，所以an＝3×2n－1－2.
能力提升
11.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，若an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析 由题意知anan－1＋2anan＋1＝3an－1an＋1，
∴＋＝，∴－＝2，
即＝2，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴－＝2×2n－1＝2n.利用累加法，
得＋＋＋…＋＝1＋2＋22＋…＋2n－1，
即＝＝2n－1，∴an＝.
答案
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.
解 (1)法一 由nSn＋1－(n＋1)Sn＝，
得－＝，
∴数列是首项为＝1，公差为的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)，∴Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
而a1＝1适合上式，∴an＝n.
法二 由nSn＋1－(n＋1)Sn＝，
得n(Sn＋1－Sn)－Sn＝，
∴nan＋1－Sn＝.①
当n≥2时，(n－1)an－Sn－1＝，②
①－②，得nan＋1－(n－1)an－an＝－，
∴nan＋1－nan＝n，∴an＋1－an＝1，
∴数列{an}是从第2项起的等差数列，且首项为a2＝2，公差为1，
∴an＝2＋(n－2)×1＝n(n≥2).
而a1＝1适合上式，∴an＝n.
(2)由(1)，知an＝n，Sn＝.
假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列，
则S＝ak·a4k，即＝k·4k.
∵k为正整数，∴(2k＋1)2＝4.
得2k＋1＝2或2k＋1＝－2，
解得k＝或k＝－，与k为正整数矛盾.
∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列.
创新猜想
13.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈
N＋，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则( )
A.a9＝17
B.a10＝18
C.S9＝81
D.S10＝91
解析 ∵对于任意n>1，n∈N＋，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，
∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，∴an＋1－an＝2.
∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.又a1＝1，a2＝2，
则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2＝91.故选BD.
答案 BD
14.(多空题)设Sn是数列{an}的前n项和，且满足a＋1＝2anSn，且an>0，则Sn＝________，a100＝________.
解析 由Sn是数列{an}的前n项和，且满足a＋1＝2anSn，
则当n＝1时，a＋1＝2a1S1，即S＝1；当n≥2时，(Sn－Sn－1)2＋1＝2(Sn－Sn－1)Sn，整理得S－S＝1.
所以数列{S}是以1为首项，1为公差的等差数列，则S＝n.由于an>0，所以Sn＝，故a100＝S100－S99＝－＝10－3.
答案 10－3(共18张PPT)
解 (1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，
即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，
习题课 求数列的通项
【训练1】 数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通项公式.
解 因为a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，
a1也符合上式，
所以an＝2n.
(1)①证明 由6anan－1＋an－an－1＝0，
(2)解 由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，
所以数列{an－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则an－3＝(－1)·2n－1，
即an＝－2n－1＋3.
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时，b1＝1符合上式.
∴bn＝2n－1.
答案 (1)A (2)C
规律方法 已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)的解题步骤：
第一步 利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式；
第二步 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；
第三步 若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式.如果求出的是{an}的递推公式，则问题化归为例2形式的问题.
得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2×3n－2.
一、素养落地
1.通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养.
2.求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解.
解析 由题意可得，a1＝1，
a2－a1＝2，
a3－a2＝3，
a4－a3＝4，
a5－a4＝5，
……
∴an－an－1＝n(n≥2)，
答案 B
2.数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an＋2n，则a9＝( )
A.1
024
B.1
023
C.510
D.511
解析 由题意可得an＋1－an＝2n，则a9＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a9－a8)＝1＋21＋22＋…＋28＝29－1＝511.故选D.
答案 D
3.已知数列{an}中，a1＝1，对于任意的n≥2，n∈N＋，都有a1a2a3…an＝n2，则a10＝________.
