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第二课时 等差数列的性质
课标要求
素养要求
1.掌握等差中项的概念.
2.掌握等差数列的性质，会用性质解决有关问题.
根据等差数列的定义与通项推出等差数列的性质，发展学生的逻辑推理素养、数学抽象素养和数学运算素养.
新识探究
请同学们思考以下问题：
若等差数列{an}为1，3，5，7，…，2n－1，则数列{an＋2}，{2an}是等差数列吗？
提示 因为等差数列的通项为an＝2n－1，则an＋2＝2n－1＋2＝2n＋1，2an＝2(2n－1)＝4n－2，可判断数列{an＋2}，{2an}都是等差数列，一般地，若{an}为等差数列，则{an＋c}，{can}也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？
2.等差数列的性质
一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q，满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝____________，特别地，如果2s＝p＋q，则有________＝ap＋aq.
ap＋aq
2as
3.由等差数列衍生的新数列
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
拓展深化
[微判断]
1.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(
)
2.数列{an}为等差数列，bn＝λan＋b，则数列{bn}仍为等差数列，且公差不变.(
)
提示 bn＝λan＋b，{an}的公差为d，故{bn}仍为等差数列，
但公差为λd.
3.在等差数列{an}中，a4＋a6＝a10.(
)
提示 在等差数列中，a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝2a1＋8d，而a10＝a1＋9d，只有当a1＝d时，才能相等.
√
×
×
[微训练]
1.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
解析 因为A，B，C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.
答案 B
答案 C
3.在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是________.
解析 由a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝16－1＝15.
答案 15
[微思考]
1.在等差数列{an}中，ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是等差数列吗？若是，公差是多少？
提示 是.若{an}的公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…的公差为md.
2.在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，其中m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as成立？
提示 设公差为d，则am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as成立.
题型一 等差中项
【例1】 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.
(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p，q的值.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②
将②代入①，得p＝1.
【训练1】 若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
题型二 等差数列的性质
【例2】 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.
解 (1)法一 根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.
法二 根据等差数列性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.
由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，
(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d，
∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5，
又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
规律方法 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.
【训练2】 在等差数列{an}中：
(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；
(2)若a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则a1＋a20
等于________.
解析 (1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.
(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54?a1＋a20＝18.
答案 (1)15 (2)18
题型三 灵活设元求解等差数列问题
【例3】 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.
解 法一 设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，
故所求的四个数为－2，0，2，4.
法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，
所以d>0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四个数为－2，0，2，4.
规律方法 利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算.一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量.
【训练3】 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数.
解 法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2，2，6或6，2，－2.
法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24，4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，
当d＝4时，a＝－2，当d＝－4时，a＝6，
三个数为－2，2，6或6，2，－2.
题型四 等差数列的实际应用
【例4】 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.
请您根据提供的信息说明，求
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)哪一年的规模最大？请说明理由.
解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；
从第1年到第6年全县每年出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.
(1)由a1＝1，a6＝2，
由b1＝30，b6＝10，
∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，
故第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只.
(2)c6＝a6b6＝2×10＝20(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，
∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6).
规律方法 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征.这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华.
【训练4】 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，
且首项a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220<0，解得n>11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.
3.等差中项的一般式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N＋，n≥2)可以用来证明一个数列是否为等差数列.
二、素养训练
1.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A.26
B.29
C.39
D.52
解析 ∵5，x，y，z，21成等差数列，∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.
∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.
答案 C
2.下列说法中正确的是( )
A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
解析 由a＋c＝2b成立，则2(b＋2)＝a＋c＋4.
答案 C
3.已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2，n∈N＋)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.
解析 ∵数列{an}为等差数列，∴a2＋a8＝2a5，即a8＝21.
答案 21
4.设数列{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
解析 数列{an＋bn}仍为等差数列，故2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，∴a5＋b5＝35.
答案 35第二课时 等差数列的性质
课标要求
素养要求
1.掌握等差中项的概念.2.掌握等差数列的性质，会用性质解决有关问题.
根据等差数列的定义与通项推出等差数列的性质，发展学生的逻辑推理素养、数学抽象素养和数学运算素养.
新知探究
请同学们思考以下问题：
若等差数列{an}为1，3，5，7，…，2n－1，则数列{an＋2}，{2an}是等差数列吗？
提示 因为等差数列的通项为an＝2n－1，则an＋2＝2n－1＋2＝2n＋1，2an＝2(2n－1)＝4n－2，可判断数列{an＋2}，{2an}都是等差数列，一般地，若{an}为等差数列，则{an＋c}，{can}也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？
1.等差中项
(1)如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝.
(2)推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.
2.等差数列的性质
一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q，满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq，特别地，如果2s＝p＋q，则有2as＝ap＋aq.
3.由等差数列衍生的新数列
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
拓展深化
[微判断]
1.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(√)
2.数列{an}为等差数列，bn＝λan＋b，则数列{bn}仍为等差数列，且公差不变.(×)
提示 bn＝λan＋b，{an}的公差为d，故{bn}仍为等差数列，
但公差为λd.
3.在等差数列{an}中，a4＋a6＝a10.(×)
提示 在等差数列中，a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝2a1＋8d，而a10＝a1＋9d，只有当a1＝d时，才能相等.
[微训练]
1.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
解析 因为A，B，C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.
答案 B
2.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵b是x，2x的等差中项，b＝＝x，
又∵x是a,
b的等差中项，则2x＝a＋b，
∴a＝，∴＝.
答案 C
3.在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是________.
解析 由a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝16－1＝15.
答案 15
[微思考]
1.在等差数列{an}中，ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是等差数列吗？若是，公差是多少？
提示 是.若{an}的公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…的公差为md.
2.在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，其中m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as成立？
提示 设公差为d，则am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as成立.
题型一 等差中项
【例1】 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.
(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p，q的值.
解 (1)∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项.∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②
将②代入①，得p＝1.
规律方法 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
【训练1】 若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.∴m和n的等差中项为＝3.
题型二 等差数列的性质
【例2】 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.
解 (1)法一 根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.
法二 根据等差数列性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.
由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，
解得a6＝，∴a4＋a8＝2a6＝.
(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d，
∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5，
又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
规律方法 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.
【训练2】 在等差数列{an}中：
(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；
(2)若a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则a1＋a20
等于________.
解析 (1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.
(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54?a1＋a20＝18.
答案 (1)15 (2)18
题型三 灵活设元求解等差数列问题
【例3】 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.
解 法一 设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，
故所求的四个数为－2，0，2，4.
法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，
得(1－d)(1＋d)＝－8，
即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，
所以d>0，所以d＝2，a＝－2.
故所求的四个数为－2，0，2，4.
规律方法 利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算.一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量.
【训练3】 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数.
解 法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2，2，6或6，2，－2.
法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24，4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4，
当d＝4时，a＝－2，当d＝－4时，a＝6，
三个数为－2，2，6或6，2，－2.
题型四 等差数列的实际应用
【例4】 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.
请您根据提供的信息说明，求
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)哪一年的规模最大？请说明理由.
解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；
从第1年到第6年全县每年出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.
(1)由a1＝1，a6＝2，
得∴?a2＝1.2；
由b1＝30，b6＝10，
得∴?b2＝26.
∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，
故第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只.
(2)c6＝a6b6＝2×10＝20(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，
∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6).
∵2与的距离最近，∴当n＝2时，cn最大.
故第2年的规模最大.
规律方法 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征.这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华.
【训练4】 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，
且首项a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)
＝－20n＋220.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220<0，解得n>11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.
一、素养落地
1.根据等差数列的定义与通项推出等差数列的性质，培养学生的逻辑推理素养、数学抽象素养和数学运算素养.
2.运用等差数列的性质解决相关问题，可以避免繁琐的运算，从而使解答过程简单快捷，常用的等差数列的性质有：
(1)等差数列{an}中，若公差d>0，则数列为递增数列；若d<0，则数列为递减数列；若d＝0，则数列为常数列.
(2)等差数列{an}中，公差d＝(m，n∈N＋且m≠n).
(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq.
特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
(4)等差数列{an}每隔一定距离抽取一项所组成的数列仍成等差数列.
(5)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列.
3.等差中项的一般式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N＋，n≥2)可以用来证明一个数列是否为等差数列.
二、素养训练
1.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A.26
B.29
C.39
D.52
解析 ∵5，x，y，z，21成等差数列，∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.
∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.
答案 C
2.下列说法中正确的是( )
A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
解析 由a＋c＝2b成立，则2(b＋2)＝a＋c＋4.
答案 C
3.已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2，n∈N＋)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.
解析 ∵数列{an}为等差数列，∴a2＋a8＝2a5，即a8＝21.
答案 21
4.设数列{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
解析 数列{an＋bn}仍为等差数列，故2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，∴a5＋b5＝35.
答案 35
基础达标
一、选择题
1.在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )
A.3
B.－3
C.
D.－
解析 由等差数列的性质，
得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.
答案 A
2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A.12
B.8
C.6
D.4
解析 由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
答案 B
3.在等差数列－5，－3，－2，－，…中，每组相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( )
A.an＝n－
B.an＝－5－(n－1)
C.an＝－5－(n－1)
D.an＝n2－3n
解析 首项仍为－5，公差d＝＝，故an＝－5＋(n－1)＝n－.
答案 A
4.已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A.
B.±
C.－
D.－
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan＝tan＝－.
答案 D
5.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于( )
A.45
B.75
C.180
D.300
解析 ∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
答案 C
二、填空题
6.在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，则a5＋a8＝________.
解析 由根与系数关系，得a5＋a8＝a3＋a10＝3.
答案 3
7.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________.
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1，3，7或7，3，－1.
∴这三个数的积为－21.
答案 －21
8.若{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝34，b1＝66，a98＝85，b98＝15，则a2
021＋b2
021＝________.
解析 ∵{an}，{bn}均为等差数列，
∴{an＋bn}也为等差数列.
又∵a1＋b1＝100，a98＋b98＝100，
∴{an＋bn}是常数列，
即an＋bn＝100.
代入n＝2
021，得a2
021＋b2
021＝100.
答案 100
三、解答题
9.成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.
解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
∴解得或
所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
10.已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列.
证明 ∵，，成等差数列，
∴＝＋，
即2ac＝b(a＋c).
∵＋＝＝＝＝＝，
∴，，也成等差数列.
能力提升
11.在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，则am＋n＝________.
解析 法一 设公差为d，
则d＝＝＝－1，
从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.
法二 设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，则
得a＝－1，b＝m＋n.所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.
答案 0
12.已知数列{an}的通项公式为an＝3n＋2，从这个数列中依次取出第2项，第6项，第10项，…，第4n－2项，…，按照原来的顺序排成新数列{bn}，求数列{bn}的通项公式.
解 根据题意，得
bn＝a4n－2＝3(4n－2)＋2＝12n－4.
∴数列{bn}的通项公式为bn＝12n－4.
创新猜想
13.(多选题)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法，其中正确的是( )
A.数列{an}是递增数列
B.数列{nan}是递增数列
C.数列{}是递增数列
D.数列{an＋3nd}是递增数列
解析 对于A：an＝a1＋(n－1)d，d>0，
∴an－an－1＝d>0，则A正确；
对于B：nan＝na1＋n(n－1)d，
∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关.
故数列{nan}不一定递增，则B不正确；
对于C：＝＋d，∴－＝，
当d－a1>0，即d>a1时，数列是递增数列，
但d>a1不一定成立，则C不正确；
对于D：设bn＝an＋3nd，
则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d>0.
∴数列{an＋3nd}是递增数列，D正确.
综上，正确的说法为AD.
答案 AD
14.(多空题)已知数列8，a，2，b，－4是等差数列，则a＝________，b＋a＝________.
解析 依据等差中项的定义，且8，a，2是等差数列，
得2a＝8＋2，解得a＝5.b＋a＝8＋(－4)＝4.
答案 5 4(共31张PPT)
5.2 等差数列
5.2.1 等差数列
第一课时 等差数列的概念及通项公式
课标要求
素养要求
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.体会等差数列与一次函数的关系.
通过对等差数列概念及通项公式的理解及应用，发展学生的数学运算素养、数学抽象素养和逻辑推理素养.
新识探究
观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.
我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为
2
017，2
029，2
041，2
053，2
065，2
077，…；①
我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为
275，270，265，260，255，250，…；②
2020年1月中，每个星期日的日期为
5，12，19，26.③
问题 数列①②③有什么共同的特点？
提示 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，都是等差数列.
1.等差数列的概念
一般地，如果数列{an}从________起，每一项与它的________之差都等于________常数d，即____________________恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差.
一般地，如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么等差数列的通项公式为__________________________.
第2项
前一项
同一个
an＋1－an＝d
2.等差数列的
通项公式
若已知第m项am与公差d，则通项an＝am＋(n－m)d.
an＝a1＋(n－1)d
3.等差数列与一次函数的关系
如果记f(x)＝dx＋a1－d，则等差数列的通项公式an＝f(n)，而且：
①当公差d＝0时，f(x)是常数函数，此时数列{an}是________(因此，公差为0的等差数列是常数列)；
②当公差d≠0时，f(x)是一次函数，而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号，因此，当________时，{an}是递增数列；当________时，{an}是递减数列.
常数列
d>0
d<0
拓展深化
[微判断]
1.若an－an－1＝n(n∈N＋，n≥2)，则数列{an}是等差数列.(
)
提示 n不是固定的常数，故{an}不是等差数列.
2.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差.(
)
提示 等差数列的公差必须是后项与前项之差，而an－1－an＝－d.
3.等差数列{an}的单调性与公差d有关.(
)
×
×
√
答案 D
2.已知等差数列－5，－2，1，…，则该数列的第20项为( )
A.52
B.62
C.－62
D.－52
解析 公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.
答案 A
3.在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析 设等差数列的公差为d，首项为a1，则a3＝a1＋2d＝7，a5－a2＝3d＝6.∴d＝2，a1＝3，∴a6＝a1＋5d＝13.
答案 13
[微思考]
1.等差数列{an}中，an与am的差与公差d有何关系？
2.若一个数列中任意相邻两项的差都等于常数，这一数列是等差数列吗？
提示 不是，等差数列的定义中“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻；③全部的后项与前项的差等于同一个常数.这也是判断数列是否为等差数列的方法.
题型一 等差数列的概念及应用
【例1】 判断下列数列是否为等差数列，如果不是，请说明理由.
(1)1，3，5，7，9，…；
(2)2，－2，2，－2，2，－2，…；
(3)1，1，1，1，…；
(4)6，5，3，1，－1，－3，…；
(5)m，m＋n，m＋2n，2m＋n；
(6)a－d，a，a＋d.
解 (1)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数2，所以是等差数列；
(2)－2－2＝－4，2－(－2)＝4，不是同一个常数，所以该数列不是等差数列；
(3)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，所以是等差数列；
(4)∵5－6＝－1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数－2，∴该数列不是等差数列，但可以说从第2项起是等差数列.
(5)∵(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n，2m＋n－(m＋2n)＝m－n，当m＝2n时，该数列是等差数列，当m≠2n时，该数列不是等差数列.
(6)∵a－(a－d)＝a＋d－a＝d，∴该数列是等差数列.
规律方法 判断一个数列是否是等差数列，关键是看它是否符合等差数列的定义，逐一检验定义中“从第二项起每一项减去它前面一项的差都等于同一个常数”即可.
(2)由a＋3－3＝3－1，∴a＝2，公差d＝3－1＝2，∴b＝5＋2＝7.通项an＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴a6＝11.
答案 (1)B (2)2 7 11
解得d＝2，a1＝2.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)法一 ∵a5＝10，a12＝31，则
所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3.
法二 ∵a12＝a5＋7d，即31＝10＋7d则d＝3，
由10＝a1＋(5－1)×3，得a1＝－2，
所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3.
∴a15＝a1＋(15－1)d
法二 由a7＝a3＋(7－3)d，
解 (1)①设首项为a1，公差为d，则
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4，
规律方法 证明一个数列{an}为等差数列，用定义an＋1－an＝d证明是最常用的基本方法.
一、素养落地
1.理解等差数列的概念及通项公式，提升学生的数学抽象素养、数学运算素养、逻辑推理素养.
2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
3.若通项公式变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量n的一次函数，从而等差数列{an}的图像是分布于一条直线上的一列孤立的点.
4.等差数列定义里的“差”是从第二项起每一项与它的前一项的差，顺序不能颠倒，这些“差”是同一个常数，公差可以是正数，也可以是0或负数.
d>0?等差数列为递增数列；
d<0?等差数列为递减数列；
d＝0?等差数列为常数列.
二、素养训练
1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A.2
B.3
C.－2
D.－3
解析 由等差数列的定义，得d＝an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2.
答案 C
2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0，则数列的通项an等于( )
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
D.3－n
解析 ∵an＋1－an＝－1，∴数列{an}是等差数列，公差为－1，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n.
答案 D
3.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )
A.92
B.47
C.46
D.45
解析 d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，则－89＝1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·(－2)，∴n＝46.
答案 C
4.已知数列{an}是等差数列，且a5＝11，a8＝5，求an.
∴an＝－2n＋21(n∈N＋).
法二 设数列{an}的首项为a1，公差为d，则a8＝a5＋3d，即5＝11＋3d，∴d＝－2.
∵a5＝a1＋(5－1)d，∴a1＝19.
∴an＝19＋(n－1)×(－2)，即an＝－2n＋21(n∈N＋).5.2 等差数列
5.2.1 等差数列
第一课时 等差数列的概念及通项公式
课标要求
素养要求
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.体会等差数列与一次函数的关系.
通过对等差数列概念及通项公式的理解及应用，发展学生的数学运算素养、数学抽象素养和逻辑推理素养.
新知探究
观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.
我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为
2
017，2
029，2
041，2
053，2
065，2
077，…；①
我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为
275，270，265，260，255，250，…；②
2020年1月中，每个星期日的日期为
5，12，19，26.③
问题 数列①②③有什么共同的特点？
提示 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，都是等差数列.
1.等差数列的概念
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差.
2.等差数列的通项公式
若已知第m项am与公差d，则通项an＝am＋(n－m)d.
一般地，如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
3.等差数列与一次函数的关系
如果记f(x)＝dx＋a1－d，则等差数列的通项公式an＝f(n)，而且：
①当公差d＝0时，f(x)是常数函数，此时数列{an}是常数列(因此，公差为0的等差数列是常数列)；
②当公差d≠0时，f(x)是一次函数，而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号，因此，当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列.
拓展深化
[微判断]
1.若an－an－1＝n(n∈N＋，n≥2)，则数列{an}是等差数列.(×)
提示 n不是固定的常数，故{an}不是等差数列.
2.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差.(×)
提示 等差数列的公差必须是后项与前项之差，而an－1－an＝－d.
3.等差数列{an}的单调性与公差d有关.(√)
[微训练]
1.下列数列不是等差数列的是( )
A.6，6，6，…，6，…
B.－2，－1，0，…，n－3，…
C.5，8，11，…，3n＋2，…
D.0，1，3，…，，…
解析 由等差数列的定义知，A，B，C给出的数列都是等差数列，且公差分别为0，1，3.对于D，an＋1－an＝－＝n，不是常数，故此数列不是等差数列.
答案 D
2.已知等差数列－5，－2，1，…，则该数列的第20项为( )
A.52
B.62
C.－62
D.－52
解析 公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.
答案 A
3.在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析 设等差数列的公差为d，首项为a1，则a3＝a1＋2d＝7，a5－a2＝3d＝6.∴d＝2，a1＝3，∴a6＝a1＋5d＝13.
答案 13
[微思考]
1.等差数列{an}中，an与am的差与公差d有何关系？
提示 由于an＝a1＋(n－1)·d，am＝a1＋(m－1)·d，故an－am＝(n－m)·d，即d＝(n≠m).
2.若一个数列中任意相邻两项的差都等于常数，这一数列是等差数列吗？
提示 不是，等差数列的定义中“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻；③全部的后项与前项的差等于同一个常数.这也是判断数列是否为等差数列的方法.
题型一 等差数列的概念及应用
【例1】 判断下列数列是否为等差数列，如果不是，请说明理由.
(1)1，3，5，7，9，…；
(2)2，－2，2，－2，2，－2，…；
(3)1，1，1，1，…；
(4)6，5，3，1，－1，－3，…；
(5)m，m＋n，m＋2n，2m＋n；
(6)a－d，a，a＋d.
解 (1)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数2，所以是等差数列；
(2)－2－2＝－4，2－(－2)＝4，不是同一个常数，所以该数列不是等差数列；
(3)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，所以是等差数列；
(4)∵5－6＝－1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数－2，∴该数列不是等差数列，但可以说从第2项起是等差数列.
(5)∵(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n，2m＋n－(m＋2n)＝m－n，当m＝2n时，该数列是等差数列，当m≠2n时，该数列不是等差数列.
(6)∵a－(a－d)＝a＋d－a＝d，∴该数列是等差数列.
规律方法 判断一个数列是否是等差数列，关键是看它是否符合等差数列的定义，逐一检验定义中“从第二项起每一项减去它前面一项的差都等于同一个常数”即可.
【训练1】 (1)若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是( )
A.公差为1的等差数列
B.公差为的等差数列
C.公差为－的等差数列
D.不是等差数列
(2)若数列1，3，a＋3，b是等差数列，则a＝________，b＝________，它的第6项是________.
解析 (1)由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝，所以数列{an}是公差为的等差数列.
(2)由a＋3－3＝3－1，∴a＝2，公差d＝3－1＝2，∴b＝5＋2＝7.通项an＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴a6＝11.
答案 (1)B (2)2 7 11
题型二 数列的通项公式及应用
【例2】 (1)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an；
(2)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d；
(3)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值.
解 (1)由题意，得
解得d＝2，a1＝2.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)法一 ∵a5＝10，a12＝31，则
解得
所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3.
法二 ∵a12＝a5＋7d，即31＝10＋7d则d＝3，
由10＝a1＋(5－1)×3，得a1＝－2，
所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3.
(3)法一 由得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋(15－1)d
＝＋14×＝－.
法二 由a7＝a3＋(7－3)d，
即－＝＋4d，得d＝－.
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
规律方法 (1)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想.一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式.
(2)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d则较为简捷.
【训练2】 (1)已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：
①a3＝5，a7＝13；
②前三项为a，2a－1，3－a.
(2)在等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值.
解 (1)①设首项为a1，公差为d，则
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
②由2a－1－a＝3－a－(2a－1)得a＝，
∴首项为a＝，公差为2a－1－a＝a－1＝－1＝，
∴an＝＋(n－1)×＝＋1.
(2)∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4，
∴d＝，∴an＝＋(n－1)×＝n－.
由an＝n－＝33，解得n＝50.
题型三 等差数列的证明及应用
【例3】 已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N＋)确定.
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x100.
(1)证明 因为xn＝f(xn－1)＝(n≥2，n∈N＋)，
所以＝＝＋，
即－＝(n≥2，n∈N＋)，所以是等差数列.
(2)解 由(1)知的公差为，又x1＝，
所以＝＋，
所以＝2＋(100－1)×＝35，所以x100＝.
规律方法 证明一个数列{an}为等差数列，用定义an＋1－an＝d证明是最常用的基本方法.
【训练3】 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2，n∈N＋)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 ∵an＝4－(n≥2，n∈N＋)，
∴an＋1－2＝2－＝(n≥1，n∈N＋)，
∴＝＝＋(n≥1，n∈N＋).
∴－＝(n≥1)，即bn＋1－bn＝(n≥1，n∈N＋).∴{bn}是等差数列.
(2)解 由(1)知是等差数列，
∴＝＋(n－1)·＝，解得an＝2＋.
∴{an}的通项公式为an＝2＋.
一、素养落地
1.理解等差数列的概念及通项公式，提升学生的数学抽象素养、数学运算素养、逻辑推理素养.
2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
3.若通项公式变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量n的一次函数，从而等差数列{an}的图像是分布于一条直线上的一列孤立的点.
4.等差数列定义里的“差”是从第二项起每一项与它的前一项的差，顺序不能颠倒，这些“差”是同一个常数，公差可以是正数，也可以是0或负数.
d>0?等差数列为递增数列；
d<0?等差数列为递减数列；
d＝0?等差数列为常数列.
二、素养训练
1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A.2
B.3
C.－2
D.－3
解析 由等差数列的定义，得d＝an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2.
答案 C
2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0，则数列的通项an等于( )
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
D.3－n
解析 ∵an＋1－an＝－1，∴数列{an}是等差数列，公差为－1，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n.
答案 D
3.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )
A.92
B.47
C.46
D.45
解析 d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，则－89＝1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·
(－2)，∴n＝46.
答案 C
4.已知数列{an}是等差数列，且a5＝11，a8＝5，求an.
解 法一 设an＝a1＋(n－1)d，则
即解得
∴an＝－2n＋21(n∈N＋).
法二 设数列{an}的首项为a1，公差为d，则a8＝a5＋3d，即5＝11＋3d，
∴d＝－2.
∵a5＝a1＋(5－1)d，∴a1＝19.
∴an＝19＋(n－1)×(－2)，即an＝－2n＋21(n∈N＋).
基础达标
一、选择题
1.数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A.是公差为2的等差数列，且为递增数列
B.是公差为5的等差数列，且为递增数列
C.是首项为5的等差数列，且为递减数列
D.是公差为n的等差数列，且为递减数列
解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列，且为递增数列.
答案 A
2.若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是( )
A.b－a
B.
C.
D.
解析 由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d，所以d＝.
答案 C
3.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是( )
A.第7项
B.第8项
C.第9项
D.第10项
解析 a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1＜0.
答案 B
4.若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( )
A.－2
B.－
C.
D.2
解析 因为a7－2a4＝a3＋4d－2a3－2d＝－a3＋2d＝－1.所以d＝－.
答案 B
5.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( )
A.斤
B.斤
C.斤
D.3斤
解析 依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝.
答案 B
二、填空题
6.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝________.
解析 由等差数列的性质，d＝＝＝－1，a6＝a4＋(6－4)d＝0.
答案 0
7.已知等差数列{an}中，a4＝0，a7＝－6，则a10＝________.
解析 法一 设数列{an}的公差为d，则
即解得
故a10＝a1＋9d＝6－18＝－12.
法二 a7＝a4＋(7－4)d＝a4＋3d，
故－6＝0＋3d，解得d＝－2.
a10＝a4＋(10－4)d＝0＋6×(－2)＝－12.
答案 －12
8.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________.
解析 设an＝－24＋(n－1)d，
由解得答案 (，3]
三、解答题
9.(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
解 (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项.
10.若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式.
解 由题意知，∴
解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{an}的通项公式an＝2n.
能力提升
11.若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差为d1和d2，则的值为________.
解析 因为n－m＝3d1，所以d1＝(n－m).
又n－m＝4d2，所以d2＝(n－m).
故＝＝.
答案
12.(1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
解 (1)设{an}的公差为d，首项为a1.
由题意知解得
所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
(2)依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项.
创新猜想
13.(多选题)设等差数列{an}的公差为d，若bn＝2a1an，且数列{bn}为递减数列，则下列说法一定正确的是( )
A.d<0
B.a1d<0
C.为常数
D.数列{bn}为等差数列
解析 ∵{bn}为递减数列，∴bn＋1∴a1an＋1－a1an<0，即a1d<0，又＝2a1an＋1－a1an＝2a1d为常数.
答案 BC
14.(多选题)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{an}为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有( )
A.若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列
B.数列{(－1)n}是等方差数列
C.若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{an}一定是常数列
D.若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列
解析 根据等方差数列的定义易知A正确；因为(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，所以数列{(－1)n}是等方差数列，B正确；
若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，设公差为d，则a－a＝(an－
an－1)·(an＋an－1)＝d[2a1＋(2n－3)d]＝2a1d＋(2n－3)d2＝p.又p为常数，所以d＝0，C正确；
若数列{an}是等方差数列，则a－a＝p，
a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp为常数，D正确.
答案 ABCD
