5.2.2 等差数列的前n项和
第一课时 等差数列的前n项和
课标要求
素养要求
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式.2.理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系.
在探索并应用等差数列前n项和公式中培养逻辑推理素养，数学抽象素养和数学运算素养.
新知探究
据说，高斯小时候曾用很短的时间完成了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和.他所使用的方法是构造出50对和为101的数对，即1＋100，2＋99，3＋98，…，于是很快得到正确的结果.这一年，高斯才9岁.但据数学史更为精细的记载，高斯所解的并不止1加到100那么简单，而是81
297＋81
495＋…＋100
899(公差198，项数100)的一个等差数列的100项之和.高斯的这种求等差数列前n项和的方法叫做“高斯求和法”.
问题 等差数列的前n项和怎样计算？
提示 若已知首项a1和公差d，则Sn＝na1＋d；若已知首项和末项，则Sn＝.
1.若{an}是等差数列，其首项为a1，公差为d，前n项和记作Sn，则
(1)Sn＝.
(2)
Sn也可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d.
2.对于等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形
(1)Sn＝n·；
(2)Sn＝n2＋n；
(3)＝n＋.
3.等差数列前n项和的最值
(1)因为等差数列前n项和可变为Sn＝n2＋(a1－)n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.
(2)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定.拓展深化
[微判断]
1.公式Sn＝只适合项数为偶数的等差数列求和.(×)
提示 公式Sn＝适合等差数列任意项数的前n项和.
2.等差数列的前n(n为奇数)项和，等于其首项与第n项的等差中项的n倍.(√)
[微训练]
1.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( )
A.12
B.24
C.36
D.48
解析 由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24.
答案 B
2.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于( )
A.2
300
B.2
400
C.2
600
D.2
500
解析 由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，
解得m＝50，所以S50＝50×1＋×2＝2
500.
答案 D
3.等差数列{an}中，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，则n＝________.
解析 Sn＝na1＋d，即50n－n(n－1)＝0，
∴n＝51.
答案 51
[微思考]
1.在等差数列{an}中，若已知a5＝8，能求出前9项和S9吗？
提示 S9＝＝9×＝9a5＝72.
2.等差数列{an}的通项an＝dn＋(a1－d)，即为n的一次函数，前n项和公式Sn能否化为n的函数？
提示 由于Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n，是关于n的二次函数.
题型一 等差数列中基本量的计算
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(3)已知a16＝3，求S31.
解 (1)∵Sn＝na1＋n(n－1)d，∴
解方程组得a1＝－8，d＝4.
(2)∵a6＝10，S5＝5，∴
解方程组得a1＝－5，d＝3，
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S8＝＝44.
(3)S31＝×31＝a16×31＝3×31＝93.
规律方法 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
【训练1】 在等差数列{an}中.
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解 (1)由题意，得Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
(3)由得
解方程组得或
题型二 等差数列前n项和的函数形式及其应用
【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N＋)，
当n>1时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－
＝2n－，①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式.
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.
∵an＋1－an＝2(n＋1)－－＝2，
故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列.
规律方法 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.等差数列前n项和Sn＝An2＋Bn是常数项为0的二次函数.
【训练2】 若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，试判断数列{an}是等差数列吗？
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－
＝2n－.①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式.
∴an＝
即数列{an}从第2项起为等差数列，但数列{an}不是等差数列.
题型三 等差数列前n项和的最值
【例3】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值.
解 法一 由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，
∴Sn＝25n＋(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法二 先求出d＝－2，∵a1＝25>0，
由得
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.∵d＝－2<0，a1>0，
∴a13>0，a14<0，
故n＝13时，Sn有最大值169.
规律方法 求等差数列前n项和的最值常用两种方法：
(1)等差数列前n项和Sn＝An2＋Bn，通过配方或根据二次函数求最值的方法求得.但要注意n为正整数.
(2)在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次函数图像求解，还常用邻项变号法来求解.
当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值.
当a1<0，d>0时，满足的项数n，使Sn取最小值，注意两个不等式都有等号.
【训练3】 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
法二 由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
一、素养落地
1.在探索和应用等差数列前n项和公式中，提升逻辑推理素养、数学抽象素养和数学运算素养.
2.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.
3.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的应用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；
若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
4.当公差d≠0时，等差数列前n项和Sn＝n2＋·n是关于n的二次函数.
二、素养训练
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
解析 a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝24，S6＝6a1＋d＝48，联立
①×3－②得：(21－15)d＝24，6d＝24，∴d＝4.故选C.
答案 C
2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A.2
B.3
C.6
D.7
解析 法一 由解得d＝3.
法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
答案 B
3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
解析 S19＝＝＝19a10＝19×10＝190.
答案 190
4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值.
解析 ∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.
∵a1＞0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，a7＜0.
故当n＝5或6时，Sn最大.
答案 5或6
基础达标
一、选择题
1.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A.765
B.665
C.763
D.663
解析 ∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
答案 B
2.在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为( )
A.10
000
B.8
000
C.9
000
D.11
000
解析 由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100＝
＝50×(25＋75＋100)＝10
000.
答案 A
3.在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则等于( )
A.
B.2
C.
D.4
解析 由题意得10a1＋×10×9d＝4，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴＝.
答案 A
4.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A.－2
B.－1
C.0
D.1
解析 等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
答案 B
5.在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )
A.－9
B.－11
C.－13
D.－15
解析 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.
答案 D
二、填空题
6.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________.
解析 由解得
∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5同时最大.∴n＝4或5.
答案 4或5
7.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________.
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.
答案 10
8.等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
解析 6S5－5S3＝5?6－5＝5?3a1＋9d＝1?a1＋3d＝?a4＝.
答案
三、解答题
9.已知等差数列{an}中：
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1
022，求d.
解 (1)∵Sn＝n×＋×＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×＝－4.
∴n＝12，an＝a12＝－4.
(2)由Sn＝＝＝－1
022，解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171.
10.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1
220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
解 法一 由题意知S10＝310，S20＝1
220，
将它们代入公式Sn＝na1＋d，
得到解方程组得
∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n.
法二 ∵S10＝＝310，∴a1＋a10＝62，①
∵S20＝＝1
220，∴a1＋a20＝122，②
由②－①，得a20－a10＝60，∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4.
∴Sn＝na1＋d＝3n2＋n.
能力提升
11.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于( )
A.38
B.20
C.10
D.9
解析 因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，
得2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，
即＝(2m－1)an＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.
答案 C
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由.
解 (1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，∵S12>0，S13<0，
∴即∴－(2)∵S12>0，S13<0，∴
∴∴a6>0，
又由(1)知d<0.∴数列前6项为正，从第7项起为负.
∴数列前6项和最大.
创新猜想
13.(多选题)设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8.则下列说法正确的是( )
A.d<0
B.a7＝0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
解析 由S50.
又S6＝S7，∴a7＝0，∴d<0.
由S7>S8，∴a8<0，因此S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
答案 ABD
14.(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图像的是( )
解析 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，
n∈N＋)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图像是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图像是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.
答案 ABC第二课时 等差数列前n项和的性质及应用
课标要求
素养要求
1.探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题.2.掌握可以转化为等差数列的数列求和问题.
探索等差数列前n项和公式的有关性质并应用其解决相关问题，发展学生的逻辑推理素养、数学运算素养和数学抽象素养.
新知探究
在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.
问题 文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？
提示 9＋2×9＋3×9＋…＋8×9＋9×9＝405(块).
等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋)是等差数列，其公差等于k2d.
(2)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，
则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，＝.
(3)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝.
拓展深化
[微判断]
1.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则为等差数列.(√)
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等.(×)
提示 当an＝0时，Sn＝an.
[微训练]
1.已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________.
解析 S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10，S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9，∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.
答案 3
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝6，则S12＝________.
解析 因为
S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，故2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，即2×4＝2＋S12－6，得S12＝12.
答案 12
[微思考]
如果数列{an}是等差数列，那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是等差数列吗？
提示 ∵(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3×3d＝9d.
类似可得a7＋a8＋a9－(a4＋a5＋a6)＝9d，
故a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9也成等差数列.
题型一 等差数列前n项和公式的灵活应用
【例1】 已知两个等差数列{an}、{bn}，它们的前n项和分别是Sn、S′n，若＝，求.
解 法一 ＝＝＝，
∴＝＝＝＝.
法二 由＝，可知公差d≠0，
设Sm＝km(2m＋3)，S′m＝km(3m－1)(k∈R，且k≠0)，
则＝＝(m≥2，且m∈N＋)，
∴＝＝.
规律方法 由Sn＝可知，S2n－1＝＝(2n－1)·an，等差数列{an}的前n项和Sn与等差数列{bn}的前n项和Tn的比，是关于n的一次分式函数，即＝，且＝.
【训练1】 (1)项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数.
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值.
解 (1)设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项.
(2)＝＝
＝＝＝.
题型二 等差数列前n项和性质及应用
【例2】 已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，求S3m.
解 法一 设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有：
②－①，得ma1＋d＝70，
所以S3m＝3ma1＋d
＝3[ma1＋d]＝3×70＝210.
法二 Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列，
所以30、70、S3m－100成等差数列，
所以2×70＝30＋S3m－100.
所以S3m＝210.
法三 在等差数列{an}中，
因为Sn＝a1n＋n(n－1)d，
所以＝a1＋(n－1).
即数列{}构成首项为a1，公差为的等差数列.
依题中条件知、、成等差数列，
所以2·＝＋.
所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
规律方法 在等差数列中，前n项和Sn的问题利用公式可列出关于a1和d的方程(组).要注意等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差数列且公差为m2d，，，，…也成等差数列，用此性质可简化运算.
【训练2】 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解 法一 设等差数列{an}的公差为d，由题意得
解得a1＝－2，d＝1，
∴＝＝－2＋(n－1)＝n－，
∴－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为.
∴Tn＝－2n＋·＝n2－n.
法二 数列{an}是等差数列，设Sn＝an2＋bn，
则＝an＋b，
又＝1，＝5，∴
解得a＝，b＝－.∴＝n－.
∴Tn＝＋＋＋…＋
＝×(1＋2＋3＋…＋n)－n＝n2－n.
题型三 等差数列的绝对值|an|的前n项和
【例3】 数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N＋).
(1){an}是什么数列？
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和.
解 (1)an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n(n≥2).
∵a1＝S1＝100×1－12＝99＝101－2×1，
∴数列{an}的通项公式为an＝101－2n(n∈N＋).
又an＋1－an＝－2为常数，
∴数列{an}是首项为a1＝99，
公差d＝－2的等差数列.
(2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，
∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋).
①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，
∴{bn}的前n项和Sn′＝100n－n2.
②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，
由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)
＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，
得数列{bn}的前n项和为Sn′＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn
＝2×2
500－(100n－n2)＝5
000－100n＋n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
Sn′＝
规律方法 求等差数列{an}前n项绝对值的和，首先要搞清哪些项是正数哪些项是负数，正的直接去掉绝对值，负的变为原来的相反数，再转化为等差数列{an}的前n项和的形式求解.
【训练3】 在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和.
解 由a1＝－60，a17＝－12，知
等差数列{an}的公差d＝＝＝3.
所以an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.
由an≤0，知3n－63≤0，即n≤21.
所以，{an}中前20项是负数，从第21项起是非负数.
设Sn和Tn分别表示{an}和{|an|}的前n项和.
当n≤20时，
Tn＝－Sn＝－＝－n2＋n.
当n>20时，
Tn＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
＝－60n＋－2
＝n2－n＋1
260，
综上，Tn＝
题型四 等差数列前n项和的实际应用
【例4】 某地在抗洪抢险中接到预报，24
h后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24
h内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算，如果有20辆大型翻斗车同时工作25
h，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入工作外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20
min就可有一辆车到达并投入工作.问：指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24
h内完成第二道防线？请说明理由.
解 设从现有一辆车投入工作算起，各车的工作时间，依次组成数列{an}，则an－an－1＝－.
∴数列{an}构成首项为24，公差为－的等差数列.设还需组织(n－1)辆车，则a1＋a2＋…＋an＝24n＋·≥20×25.
∴n2－145n＋3
000≤0，即(n－25)(n－120)≤0.
∴25≤n≤120，∴nmin＝25，∴n－1＝24.
故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24
h内完成第二道防线.
规律方法 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
【训练4】 假设某市2019年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2019年为累计的第一年)将首次不少于4
750万平方米？
解 设从2019年起每年新建中低价房的面积形成的数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则an＝250＋(n－1)·50＝50n＋200，Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n，
令25n2＋225n≥4
750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.
∴到2028年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4
750万平方米.
一、素养落地
1.探索等差数列前n项和公式的有关性质并应用其解决相关问题，提升逻辑推理素养、数学运算素养和数学抽象素养.
2.理解并记忆相关性质能优化解题步骤.
3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到{an}的正负项的分界点.
4.解决与等差数列有关的实际应用题时，要抓住其反映等差数列的特征，仔细审题，用心联想.要明确该问题是求an还是求Sn？要特别注意弄清项数是多少.
二、素养训练
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )
A.63
B.45
C.36
D.27
解析 数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
答案 B
2.一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )
A.3
B.－3
C.－2
D.－1
解析 (a2＋a4＋…＋a2n)
－(a1＋a3＋…＋a2n－1)
＝nd＝72－90＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.
答案 B
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则＝________.
解析 ＝＝＝×5＝9.
答案 9
4.在等差数列{an}中，Sn为前n项和，且S2＝16，S4＝24，求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|的值.
解 由S2＝16，S4＝24，
得即解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N＋).
(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝
基础达标
一、选择题
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.
答案 C
2.含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A.
B.
C.
D.
解析 S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
答案 B
3.在公差不为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2
011＝S2
016，Sk＝S2
008，则正整数k为( )
A.2
017
B.2
018
C.2
019
D.2
020
解析 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性质及S2
011＝S2
016，Sk＝S2
008，可得＝，解得k＝2
019.
答案 C
4.已知{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9的值是( )
A.24
B.27
C.30
D.33
解析 根据等差数列的性质可知a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，
故a3＋a6＋a9＝2×39－45＝33.故选D.
答案 D
5.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 ＝＝＝＝7＋.
∴n＝1，2，3，5，11.
答案 D
二、填空题
6.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.
解析 法一 由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d且d≠0，所以＝＝＝.
法二 由＝，得S6＝3S3.
S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3，则S9＝6S3，S12－S9＝S3＋3S3＝4S3，则S12＝10S3，所以＝.
答案
7.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝________.
解析 ＝＝＝＝＝＝.
答案
8.在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.
解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3－an－2)＝93，
即a1＋an＝31.由Sn＝n＝n＝155，得n＝10.
答案 10
三、解答题
9.在数列{an}中，a1＝－7，a2＝3，an＋2＝an＋2，求S100.
解 由a1＝－7，an＋2＝an＋2，可得an＋2－an＝2，
∴a1，a3，a5，a7，…，a99是以－7为首项，公差为2的等差数列，共50项.
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝50×(－7)＋×2＝2
100.
同理，a2，a4，a6，…，a100是以3为首项，公差为2的等差数列，共50项.
∴a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50×3＋×2＝2
600.
∴S100＝2
100＋2
600＝4
700.
10.一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项和.
解 法一 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋d.
由已知得
①×10－②，整理得d＝－，代入①，得a1＝.
∴S110＝110a1＋d＝110×＋×＝110×＝－110.
故此数列的前110项之和为－110.
法二 数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，
则10S10＋×d′＝S100＝10，又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.
法三 设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，∴
∴∴Sn＝－n2＋n，
∴S110＝－×1102＋×110＝－110.
能力提升
11.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn.若S15>0，S16<0，则在，，，…，中最大的是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由S15>0，得15a8>0，a8>0.
由S16<0，得a8＋a9<0，
∴a9<0，∴等差数列的公差d＝a9－a8<0，
∴a1，a2，…，a8都为正数，a8为最小正数项.
以后各项均为负数，∴S1，S2，S3，…，S8各项为正值，S8最大，∴最大.
答案 B
12.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0
(n∈N＋).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.
∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，
故an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.
(2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.
∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2·(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
∴Sn＝
创新猜想
13.(多选题)已知等差数列{an}中，a1
010＝4，S2
020＝2
020，则下列结论正确的是( )
A.a1
010＋a1
011＝2
B.a1
011＝－2
C.S2
021＝－4
042
D.a1＋a2
020＝2
解析 由{an}是等差数列，则S2
020＝＝1
010·(a1
010＋a1
011)＝2
020，∴a1
010＋a1
011＝2，又a1
010＝4，∴a1
011＝－2.
则a1＋a2
020＝a1
010＋a1
011＝2.S2
021＝＝2
021·a1
011＝－4
042.
答案 ABCD
14.(多空题)一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是，则它的首项与公差分别是a1＝________，d＝________.
解析 S偶－S奇＝5d＝15－＝，∴d＝.
由10a1＋×＝15＋＝，得a1＝.
答案 (共34张PPT)
第二课时 等差数列前n项和的性质及应用
课标要求
素养要求
1.探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题.
2.掌握可以转化为等差数列的数列求和问题.
探索等差数列前n项和公式的有关性质并应用其解决相关问题，发展学生的逻辑推理素养、数学运算素养和数学抽象素养.
新识探究
在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.
问题 文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？
提示 9＋2×9＋3×9＋…＋8×9＋9×9＝405(块).
等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋)是等差数列，其公差等于________.
k2d
n(an＋an＋1)
nd
(2n－1)an
提示 当an＝0时，Sn＝an.
√
×
[微训练]
1.已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________.
解析 S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10，S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9，∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.
答案 3
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝6，则S12＝________.
解析 因为
S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，故2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，即2×4＝2＋S12－6，得S12＝12.
答案 12
[微思考]
如果数列{an}是等差数列，那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是等差数列吗？
提示 ∵(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3×3d＝9d.
类似可得a7＋a8＋a9－(a4＋a5＋a6)＝9d，
故a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9也成等差数列.
设Sm＝km(2m＋3)，S′m＝km(3m－1)(k∈R，且k≠0)，
解 (1)设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项.
题型二 等差数列前n项和性质及应用
【例2】 已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，求S3m.
解 法一 设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有：
法二 Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列，
所以30、70、S3m－100成等差数列，
所以2×70＝30＋S3m－100.
所以S3m＝210.
法三 在等差数列{an}中，
所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
解 法一 设等差数列{an}的公差为d，由题意得
解得a1＝－2，d＝1，
法二 数列{an}是等差数列，设Sn＝an2＋bn，
题型三 等差数列的绝对值|an|的前n项和
【例3】 数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N＋).
(1){an}是什么数列？
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和.
解 (1)an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n(n≥2).
∵a1＝S1＝100×1－12＝99＝101－2×1，
∴数列{an}的通项公式为an＝101－2n(n∈N＋).
又an＋1－an＝－2为常数，
∴数列{an}是首项为a1＝99，
公差d＝－2的等差数列.
(2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，
∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋).
①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，
∴{bn}的前n项和Sn′＝100n－n2.
②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，
由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)
＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，
得数列{bn}的前n项和为Sn′＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn
＝2×2
500－(100n－n2)＝5
000－100n＋n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
规律方法 求等差数列{an}前n项绝对值的和，首先要搞清哪些项是正数哪些项是负数，正的直接去掉绝对值，负的变为原来的相反数，再转化为等差数列{an}的前n项和的形式求解.
解 由a1＝－60，a17＝－12，知
【训练3】 在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和.
所以an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.
由an≤0，知3n－63≤0，即n≤21.
所以，{an}中前20项是负数，从第21项起是非负数.
设Sn和Tn分别表示{an}和{|an|}的前n项和.
当n≤20时，
当n>20时，
题型四 等差数列前n项和的实际应用
【例4】 某地在抗洪抢险中接到预报，24
h后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24
h内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算，如果有20辆大型翻斗车同时工作25
h，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入工作外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20
min就可有一辆车到达并投入工作.问：指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24
h内完成第二道防线？请说明理由.
∴n2－145n＋3
000≤0，即(n－25)(n－120)≤0.
∴25≤n≤120，∴nmin＝25，∴n－1＝24.
故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24
h内完成第二道防线.
规律方法 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
【训练4】 假设某市2019年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2019年为累计的第一年)将首次不少于4
750万平方米？
解 设从2019年起每年新建中低价房的面积形成的数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
令25n2＋225n≥4
750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.
∴到2028年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4
750万平方米.
一、素养落地
1.探索等差数列前n项和公式的有关性质并应用其解决相关问题，提升逻辑推理素养、数学运算素养和数学抽象素养.
2.理解并记忆相关性质能优化解题步骤.
3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到{an}的正负项的分界点.
4.解决与等差数列有关的实际应用题时，要抓住其反映等差数列的特征，仔细审题，用心联想.要明确该问题是求an还是求Sn？要特别注意弄清项数是多少.
二、素养训练
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )
A.63
B.45
C.36
D.27
解析 数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
答案 B
2.一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )
A.3
B.－3
C.－2
D.－1
解析 (a2＋a4＋…＋a2n)
－(a1＋a3＋…＋a2n－1)
＝nd＝72－90＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.
答案 B
答案 9
4.在等差数列{an}中，Sn为前n项和，且S2＝16，S4＝24，求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|的值.
解 由S2＝16，S4＝24，
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N＋).
(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，(共30张PPT)
5.2.2 等差数列的前n项和
第一课时 等差数列的前n项和
课标要求
素养要求
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式.
2.理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系.
在探索并应用等差数列前n项和公式中培养逻辑推理素养，数学抽象素养和数学运算素养.
新识探究
据说，高斯小时候曾用很短的时间完成了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和.他所使用的方法是构造出50对和为101的数对，即1＋100，2＋99，3＋98，…，于是很快得到正确的结果.这一年，高斯才9岁.但据数学史更为精细的记载，高斯所解的并不止1加到100那么简单，而是81
297＋81
495＋…＋100
899(公差198，项数100)的一个等差数列的100项之和.高斯的这种求等差数列前n项和的方法叫做“高斯求和法”.
问题 等差数列的前n项和怎样计算？
2.等差数列的前n(n为奇数)项和，等于其首项与第n项的等差中项的n倍.(
)
√
[微训练]
1.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( )
A.12
B.24
C.36
D.48
答案 B
2.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于( )
A.2
300
B.2
400
C.2
600
D.2
500
解析 由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，
答案 D
3.等差数列{an}中，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，则n＝________.
答案 51
[微思考]
1.在等差数列{an}中，若已知a5＝8，能求出前9项和S9吗？
2.等差数列{an}的通项an＝dn＋(a1－d)，即为n的一次函数，前n项和公式Sn能否化为n的函数？
题型一 等差数列中基本量的计算
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(3)已知a16＝3，求S31.
解方程组得a1＝－8，d＝4.
解方程组得a1＝－5，d＝3，
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
规律方法 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N＋)，
当n>1时，
规律方法 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.等差数列前n项和Sn＝An2＋Bn是常数项为0的二次函数.
即数列{an}从第2项起为等差数列，但数列{an}不是等差数列.
题型三 等差数列前n项和的最值
【例3】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法二 先求出d＝－2，∵a1＝25>0，
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.∵d＝－2<0，a1>0，∴a13>0，a14<0，
故n＝13时，Sn有最大值169.
【训练3】 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
法二 由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.
∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
一、素养落地
1.在探索和应用等差数列前n项和公式中，提升逻辑推理素养、数学抽象素养和数学运算素养.
2.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.
二、素养训练
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
①×3－②得：(21－15)d＝24，6d＝24，∴d＝4.故选C.
答案 C
2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A.2
B.3
C.6
D.7
法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
答案 B
3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
答案 190
4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值.
解析 ∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.
∵a1＞0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，a7＜0.
故当n＝5或6时，Sn最大.
答案 5或6
