(共32张PPT)
5.3 等比数列
5.3.1 等比数列
第一课时 等比数列的概念
课标要求
素养要求
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.体会等比数列与指数函数的关系.
从实例中理解等比数列的概念与通项公式，培养数学抽象素养与逻辑推理素养.
新识探究
我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
问题1 你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
提示 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.
问题2 根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
提示 上述数列中，从第2项起，每一项与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列.
2.等比数列的通项公式
(1)通项公式：an＝______________.
(2)通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N＋).
它的前一项之比
同一个常数q
a1qn－1
(1)当公比q＝1时，f(x)是常数函数，此时数列{an}是常______.
数列
拓展深化
[微判断]
1.常数列既是等差数列，又是等比数列.(
)
提示 如常数列0，0，0，…是等差数列，不是等比数列.
2.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.(
)
提示 等比数列中任一项都不为零，公比也不可能为零.
3.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列.(
)
提示 从第二项起每一项与前一项的比为同一个常数.
×
×
×
[微训练]
1.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A.16
B.16或－16
C.32
D.32或－32
解析 由a4＝a1
q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝a1q2＝8×4＝32.
答案 C
2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A.4
B.6
C.5
D.32
解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1，2n－1＝32，所以n＝6.
答案 B
答案 11
[微思考]
1.如何判定一个数列是否为一个等比数列？
2.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，当a1与q分别满足什么条件时，{an}是递增数列，{an}是递减数列？
在数列③中，a若为0，则不是等比数列.
答案 ④
解析 由等比数列的定义，知①②④是等比数列，③中当x＝0时，不是等比数列.
答案 C
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
当q＝3时，an＝2×3n－3.
规律方法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程(组)，求出a1和q.
题型三 等比数列的判定
【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式.
解 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
【训练3】 设数列{an}满足a1＝1，an＋2an－1＋3＝0(n≥2)，试判断数列{an＋1}是否是等比数列，并指出该数列的首项.
解 ∵an＋2an－1＋3＝0(n≥2)，
∴数列{an＋1}是以－2为公比的等比数列.其首项为a1＋1＝2.
题型四 构造等比数列求通项
【例4】 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式.
(1)证明 ∵an＋Sn＝n，①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
3.等比数列的通项公式
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列.
(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.
二、素养训练
1.在等比数列{an}中，a2
021＝8a2
018，则公比q的值为( )
A.2
B.3
C.4
D.8
解析 ∵a2
021＝a2
018q3＝8a2
018，
答案 A
2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )
A.1
B.2
C.4
D.8
答案 A
3.(多选题)下列说法正确的有( )
A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是R
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1
D.22，42，62，82，…成等比数列
答案 AC
4.在等比数列{an}中，
(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；
(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q.
解 (1)法一 由a4＝a1q3，
得27＝a1(－3)3，得a1＝－1，
所以a7＝a1q6＝(－1)×(－3)6＝－729.
法二 a7＝a4q3＝27×(－3)3＝－729.第二课时 等比数列的性质
课标要求
素养要求
1.由等比数列的通项公式推导等比数列的性质，并会应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.
在应用等比数列的性质中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
新知探究
问题 在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？
提示 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq.
1.等比中项
如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，且G2＝xy.
2.等比数列的性质
(1)如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则a＝ap·aq.
(2)若m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列，则am，an，ap成等比数列.
(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.
(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.
(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….
拓展深化
[微判断]
1.若a，b，c成等比数列，则a，c的等比中项一定是b.(×)
提示 a，c的等比中项应为±，即±b.
2.任何两个数都有等比中项.(×)
提示 两个同号的实数a，b，才有等比中项.
3.若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.(×)
提示 反例：{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则{an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.
4.若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.(×)
提示 反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列.
[微训练]
1.在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )
A.4
B.8
C.16
D.
32
解析 由于a＝a2·a6，所以a2·a6＝16.
答案 C
2.在等比数列{an}中，已知a3＝1，a5＝4，a12＝8，则a10＝________.
解析 由a3a12＝a5a10得1×8＝4a10，解得a10＝2.
答案 2
3.45和80的等比中项为________.
解析 设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，
∴G＝±60.
答案 －60或60
[微思考]
1.在等比数列{an}中，a5是a3与a7的等比中项，所以a5＝±吗？
提示 等比数列中，a5是a3与a7的等比中项，则a＝a3·a7，但a3，a5，a7都为等比数列的奇数项，故a5与a3，a7同号.
2.在等比数列{an}中，若am·an＝ak·al，是否有m＋n＝k＋l成立？
提示 不一定成立，如an＝2，a1a2＝a3a4，但1＋2≠3＋4.
3.若数列{an}是各项都是正数的等比数列，那么数列{lg
an}还是等比数列吗？
提示 是等差数列.
题型一 等比中项及应用
【例1】 已知a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值.
解 由题意知b2＝(－)×(－)＝()6，
∴b＝±.当b＝时，ab＝(－)2，解得a＝；
bc＝(－)2＝(－)10，解得c＝()7.
同理，当b＝－时，a＝－，c＝－()7.
综上所述，a，b，c的值分别为，，()7或－，－，－()7.
规律方法 (1)首项a1和公比q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.
(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.
【训练1】 (1)若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为( )
A.±
B.
C.1
D.±1
(2)在等比数列{an}中，a1＝1，公比为2，则a2与a8的等比中项为________.
解析 (1)∵1，a，3成等差数列，∴a＝＝2，
∵1，b，4成等比数列，∴b2＝1×4，b＝±2，
∴＝＝±1.
(2)∵数列{an}是等比数列，而且a1＝1，q＝2，
∴a2＝a1q＝2，a8＝a1q7＝27＝128，
设a2与a8的等比中项为M，
则M＝±＝±＝±16.
答案 (1)D (2)±16
题型二 等比数列性质的应用
【例2】 已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
【迁移1】 在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，求an.
解 由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由例2(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，
若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3；
若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25－n.
【迁移2】 把例2(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解 a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，
即a1a2a3…a10＝1，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0.
规律方法 巧用等比数列的性质解题
(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法.
①基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；
②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.
(2)利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
【训练2】 (1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值.
(2)已知数列{an}成等比数列.若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值.
解 (1)在等比数列{an}中，∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得a3·a7＝64且a3＋a7＝20.
联立得或
∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3.
∴取a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4.
∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.
(2)由a3a5＝a，得a3a4a5＝a＝8.解得a4＝2.
又∵a2a6＝a3a5＝a，∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.
题型三 等差数列与等比数列的综合问题
角度1 对称设项求数列的项
【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
解 法一 设四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
法二 设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)，
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝3，q＝时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
规律方法 合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
【训练3】 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.
解 设三个数依次为，a，aq，
∵·a·aq＝512，∴a＝8.
∵(－2)＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，
∴这三个数为4，8，16或16，8，4.
角度2 等差、等比数列的综合应用
【例4】 设{an}是公比大于1的等比数列，已知a1＋a2＋a3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝ln
a3n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由已知得
解得a2＝2.设数列{an}的公比为q.
由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.
又a1＋a2＋a3＝7，可知＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
由题意知q>1，所以q＝2，所以a1＝1.
故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)已知bn＝ln
a3n＋1，n＝1，2，….
由(1)得a3n＋1＝23n，所以bn＝ln
23n＝3nln
2.
又bn＋1－bn＝3ln
2，所以{bn}是等差数列.
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝＝ln
2.
故Tn＝ln
2.
规律方法 应用等差、等比数列的定义解题永远是最基本的方法，(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的应用往往是破题的关键.
【训练4】 设{an}是公差d≠0的等差数列，且ak1，ak2，…，akn恰好构成等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求数列{kn}的通项.
解 由题意，得a1，a5，a17成等比数列，所以(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d).
又d≠0，所以a1＝2d，所以ak1，ak2，ak3，…，akn的公比q＝＝＝＝3.
在等差数列中，akn＝a1＋(kn－1)d＝(kn＋1)d.在等比数列中，akn＝a1qn－1＝a1·3n－1＝2d·3n－1，所以(kn＋1)·d＝2d·3n－1，即kn＝2·3n－1－1.
一、素养落地
1.在应用等比数列的性质中，提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
2.等比中项的理解
(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项.
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.
(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三个数是否成等比数列.
3.应用等比数列的性质可减少计算量，应用基本量a1，q列出方程(组)求基本量是通性通法.
二、素养训练
1.在等比数列{
an
}中，an>0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9等于( )
A.9
B.6
C.3
D.
2
解析 因为a2a9＝a1a10＝27，log3a2＋log3a9＝log327＝3.
答案 C
2.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________.
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
答案 8
3.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________.
解析 设衰分比例为q(0答案
4.{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn＝________.
解析 {an}是公差不为零的等差数列，设首项为a1，公差为d.
∵a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，
∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)·(a1＋14d)，
整理可得d＝－a1.
设数列{bn}的公比为q，
则q＝＝＝.∴bn＝b1qn－1＝3×()n－1.
答案 3×()n－1
基础达标
一、选择题
1.已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A.b＝3，ac＝9
B.b＝－3，ac＝9
C.b＝3，ac＝－9
D.b＝－3，ac＝－9
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号.∴ac＝b2＝9.
答案 B
2.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A.3
B.2
C.1
D.－2
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
答案 B
3.已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A.100
B.－100
C.10
000
D.－10
000
解析 ∵lg(a3a8a13)＝lga＝6，∴a＝106?a8＝102＝100.又a1a15＝a＝10
000.
答案 C
4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为( )
A.2
B.
C.3
D.
解析 法一 依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·＝.故选D.
法二 依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)＝a＝27.所以a5＝.故选D.
答案 D
5.两个公比均不为1的等比数列{an}，{bn}，其前n项的乘积分别为An，Bn.若＝2，则＝( )
A.512
B.32
C.8
D.2
解析 因为A9＝a1a2a3…a9＝a，B9＝b1b2b3…b9＝b，所以＝＝512.
答案 A
二、填空题
6.设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
解析 由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3，∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(＋)×32＝18.
答案 18
7.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.
答案 －6
8.在等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
解析 由等比数列的性质得a3a11＝a，∴a＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4.
∴b7＝a7＝4.再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
答案 8
三、解答题
9.在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
解 因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.
联立可解得或
当时，q3＝－，
故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；
当时，
q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.
所以a1＋a10＝－7.
10.已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值.
解 (1)设数列{an}的公差为d，由题意知
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(1＋n).
因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2，从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，
即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.
能力提升
11.在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于( )
A.1＋
B.1－
C.3＋2
D.3－2
解析 设等比数列{an}的公比为q，∵a1，a3，2a2成等差数列，∴a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
答案 C
12.在等比数列{an}(n∈N＋)中，a1>1，公比q>0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.
(1)证明 因为bn＝log2an，
所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q(q>0)为常数，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)解 因为b1＋b3＋b5＝6，
所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1>1，
所以b1＝log2a1>0，
又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
即即解得
因此Sn＝4n＋(－1)＝.
又因为d＝log2q＝－1，
所以q＝，b1＝log2a1＝4，
即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N＋).
创新猜想
13.(多选题)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A.a1，a3，a9成等比数列
B.a1a3，a5a7，a9a11成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列
D.a3，a6，a9成等比数列
解析 设等比数列{an}的公比为q，则下标成等差数列对应的项成等比数列，故A，C错误，D正确.而a1a3＝a，a5a7＝a，a9a11＝a，且eq
\f(a,a)＝eq
\f(a,a)＝q8，故B正确.
答案 BD
14.(多空题)设等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则an＝________；a1a2…an的最大值为________.
解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，可得解得
∴an＝8×＝.
∴a1a2…an＝＝.
令f(n)＝n(n－7)＝(n2－7n)＝－，
∴当n＝3或n＝4时，f(n)有最小值，即f(n)min＝－6，
∴a1a2…an的最大值为＝64.
答案 64(共31张PPT)
第二课时 等比数列的性质
课标要求
素养要求
1.由等比数列的通项公式推导等比数列的性质，并会应用.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
在应用等比数列的性质中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
新识探究
问题 在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？
提示 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq.
1.等比中项
如果x，G，y是等比数列，则称____________的等比中项，且____________.
G为x与y
G2＝xy
拓展深化
[微判断]
1.若a，b，c成等比数列，则a，c的等比中项一定是b.(
)
2.任何两个数都有等比中项.(
)
提示 两个同号的实数a，b，才有等比中项.
3.若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.(
)
提示 反例：{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则{an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.
×
×
×
4.若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.(
)
提示 反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列.
×
[微训练]
1.在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )
A.4
B.8
C.16
D.
32
答案 C
2.在等比数列{an}中，已知a3＝1，a5＝4，a12＝8，则a10＝________.
解析 由a3a12＝a5a10得1×8＝4a10，解得a10＝2.
答案 2
3.45和80的等比中项为________.
解析 设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，
∴G＝±60.
答案 －60或60
2.在等比数列{an}中，若am·an＝ak·al，是否有m＋n＝k＋l成立？
提示 不一定成立，如an＝2，a1a2＝a3a4，但1＋2≠3＋4.
3.若数列{an}是各项都是正数的等比数列，那么数列{lg
an}还是等比数列吗？
提示 是等差数列.
规律方法 (1)首项a1和公比q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.
(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.
答案 (1)D (2)±16
(2)∵数列{an}是等比数列，而且a1＝1，q＝2，∴a2＝a1q＝2，a8＝a1q7＝27＝128，
设a2与a8的等比中项为M，
题型二 等比数列性质的应用
【例2】 已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
【迁移1】 在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，求an.
解 由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由例2(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，
若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3；
【迁移2】 把例2(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解 a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，
即a1a2a3…a10＝1，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0.
规律方法 巧用等比数列的性质解题
(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法.
①基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；
②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.
(2)利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
【训练2】 (1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值.
(2)已知数列{an}成等比数列.若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值.
解 (1)在等比数列{an}中，∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得a3·a7＝64且a3＋a7＝20.
∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3.
∴取a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4.
∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.
题型三 等差数列与等比数列的综合问题
角度1 对称设项求数列的项
【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16；
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
【训练3】 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.
∴这三个数为4，8，16或16，8，4.
角度2 等差、等比数列的综合应用
【例4】 设{an}是公比大于1的等比数列，已知a1＋a2＋a3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝ln
a3n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解得a2＝2.设数列{an}的公比为q.
由题意知q>1，所以q＝2，所以a1＝1.
故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)已知bn＝ln
a3n＋1，n＝1，2，….
由(1)得a3n＋1＝23n，所以bn＝ln
23n＝3nln
2.
又bn＋1－bn＝3ln
2，所以{bn}是等差数列.
规律方法 应用等差、等比数列的定义解题永远是最基本的方法，(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的应用往往是破题的关键.
【训练4】 设{an}是公差d≠0的等差数列，且ak1，ak2，…，akn恰好构成等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求数列{kn}的通项.
解 由题意，得a1，a5，a17成等比数列，所以(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d).
在等差数列中，akn＝a1＋(kn－1)d＝(kn＋1)d.在等比数列中，akn＝a1qn－1＝a1·3n－1＝2d·3n－1，所以(kn＋1)·d＝2d·3n－1，即kn＝2·3n－1－1.
一、素养落地
1.在应用等比数列的性质中，提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
2.等比中项的理解
(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项.
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.
(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三个数是否成等比数列.
3.应用等比数列的性质可减少计算量，应用基本量a1，q列出方程(组)求基本量是通性通法.
二、素养训练
1.在等比数列{
an
}中，an>0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9等于( )
A.9
B.6
C.3
D.
2
解析 因为a2a9＝a1a10＝27，log3a2＋log3a9＝log327＝3.
答案 C
2.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________.
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
答案 8
3.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________.
4.{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn＝________.
解析 {an}是公差不为零的等差数列，设首项为a1，公差为d.
∵a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，
∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)·(a1＋14d)，
设数列{bn}的公比为q，5.3 等比数列
5.3.1 等比数列
第一课时 等比数列的概念
课标要求
素养要求
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.体会等比数列与指数函数的关系.
从实例中理解等比数列的概念与通项公式，培养数学抽象素养与逻辑推理素养.
新知探究
我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
问题1 你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
提示 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.
问题2 根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
提示 上述数列中，从第2项起，每一项与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列.
1.等比数列的概念
如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.
2.等比数列的通项公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N＋).
3.等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项an＝·qn，如果记f(x)＝·qx，则an＝f(n)，而且
(1)当公比q＝1时，f(x)是常数函数，此时数列{an}是常数列.
(2)当公比q≠1时，f(x)是与y＝qx的乘积，此时f(x)的增减性既与a1有关，也与q有关.
拓展深化
[微判断]
1.常数列既是等差数列，又是等比数列.(×)
提示 如常数列0，0，0，…是等差数列，不是等比数列.
2.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.(×)
提示 等比数列中任一项都不为零，公比也不可能为零.
3.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列.(×)
提示 从第二项起每一项与前一项的比为同一个常数.
[微训练]
1.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A.16
B.16或－16
C.32
D.32或－32
解析 由a4＝a1
q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝a1q2＝8×4＝32.
答案 C
2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A.4
B.6
C.5
D.32
解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1，2n－1＝32，所以n＝6.
答案 B
3.是等比数列4，4，2，…的第________项.
解析 an＝4·，由＝4·，
即2－3＋＝23－，得n＝11.
答案 11
[微思考]
1.如何判定一个数列是否为一个等比数列？
提示 数列{an}是等比数列的充要条件是an＝k·qn，其中k，q都是不为0的常数.用定义法，只需对任意n∈N＋，＝q成立即可.
2.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，当a1与q分别满足什么条件时，{an}是递增数列，{an}是递减数列？
提示 (1)或?{an}为递增数列，
(2)或?{an}为递减数列.
题型一 判断一个数列是否为等比数列
【例1】 (1)以下数列中是等比数列的有________.(填序号)
①数列1，2，6，18，…；
②数列{an}中，已知＝2，＝2；
③常数列a，a，a，…，a，…；
④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋.
解析 在数列①中，≠，∴①不是等比数列；
在数列②中，不一定满足＝2；
在数列③中，a若为0，则不是等比数列.
答案 ④
规律方法 判断一个数列是否为等比数列可以利用定义＝q(q≠0)，n∈N＋，而不能根据给出的前几项来判断，若给出的一个数列为常数列，则要考虑常数是否为零.
【训练1】 下列各组数成等比数列的是( )
①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；
④a－1，a－2，a－3，a－4.
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
解析 由等比数列的定义，知①②④是等比数列，③中当x＝0时，不是等比数列.
答案 C
题型二 等比数列的通项公式及其应用
【例2】 在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；
(3)a3＝2，a2＋a4＝，求an.
解 (1)∵∴
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，∴an＝a1qn－1＝2.
(2)法一 ∵
由得q＝，从而a1＝32，又an＝1.
∴32×()n－1＝1，即26－n＝20，∴n＝6.
法二 ∵a3＋a6＝q(a2＋a5)，∴q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
(3)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝，解得q＝或q＝3.
当q＝时，a1＝18，∴an＝18×()n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；
当q＝3时，an＝2×3n－3.
规律方法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程(组)，求出a1和q.
【训练2】 (1)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.
(2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.
解 (1)由an＝a1·qn－1，得＝()n－1，
即()n－1＝()3，得n＝4.
(2)因为
由得q＝或q＝2.
当q＝时，a1＝－16；当q＝2时，a1＝1.
∴an＝－16·()n－1或an＝2n－1.
题型三 等比数列的判定
【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式.
解 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴＝2，∴{an}是等比数列.∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：
(1)定义法：＝q(q为常数且不为零)?{an}为等比数列.
(2)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)?{an}为等比数列.
【训练3】 设数列{an}满足a1＝1，an＋2an－1＋3＝0(n≥2)，试判断数列{an＋1}是否是等比数列，并指出该数列的首项.
解 ∵an＋2an－1＋3＝0(n≥2)，
∴an＋1＝－2(an－1＋1)，即＝－2.
∴数列{an＋1}是以－2为公比的等比数列.
其首项为a1＋1＝2.
题型四 构造等比数列求通项
【例4】 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式.
(1)证明 ∵an＋Sn＝n，①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.
∴a1＝，∴c1＝－，又cn＝an－1，∴q＝.
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列.
(2)解 由(1)可知cn＝(－)·()n－1＝－()n，
∴an＝cn＋1＝1－()n.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－()n－[1－()n－1]＝()n－1－()n＝()n.
又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝()n.
规律方法 (1)已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解.
(2)由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}.
【训练4】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式.
解 an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4(bn＋).
又a1＝1，故b1＝＝－1，
所以{bn＋}是首项为－，公比为4的等比数列，
所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.
一、素养落地
1.从实例中理解等比数列的概念和通项公式，培养数学抽象素养与逻辑推理素养.
2.等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零.
(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒.
(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列.
3.等比数列的通项公式
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列.
(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.
二、素养训练
1.在等比数列{an}中，a2
021＝8a2
018，则公比q的值为( )
A.2
B.3
C.4
D.8
解析 ∵a2
021＝a2
018q3＝8a2
018，
∴q3＝＝8，∴q＝2.
答案 A
2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )
A.1
B.2
C.4
D.8
解析 由a3a11＝16，得a·22＋10＝16，故a1＝2－4，从而a5＝a1·24＝1.
答案 A
3.(多选题)下列说法正确的有( )
A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是R
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1
D.22，42，62，82，…成等比数列
解析 A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然正确；由于≠，故不是等比数列，D错.
答案 AC
4.在等比数列{an}中，
(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；
(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q.
解 (1)法一 由a4＝a1q3，
得27＝a1(－3)3，得a1＝－1，
所以a7＝a1q6＝(－1)×(－3)6＝－729.
法二 a7＝a4q3＝27×(－3)3＝－729.
(2)由已知，得
解得或
基础达标
一、选择题
1.已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是( )
A.a≠1
B.a≠0或a≠1
C.a≠0
D.a≠0且a≠1
解析 等比数列的项与公比均不能为零.
答案 D
2.在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A.16
B.27
C.36
D.81
解析 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
答案 B
3.已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( )
A.21
B.42
C.63
D.84
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.
答案 B
4.在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A.9
B.10
C.11
D.12
解析 在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.
∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.
答案 C
5.若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )
A.2
B.4
C.8
D.16
解析 由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，
∴＝q2＝16，∴q＝±4，
又∵a1a2＝aq＝16>0，∴q>0，∴q＝4.
答案 B
二、填空题
6.设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.
解析 由{an}为等比数列，设公比为q.
即
显然q≠1，a1≠0，
得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，
所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
答案 －8
7.首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.
解析 设公比为q，则??q2＝4，
得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.
答案 5
8.在正项等比数列{an}中，若3a1，a3，2a2成等差数列，则＝________.
解析 设正项等比数列{an}的公比q＞0，
∵3a1，a3，2a2成等差数列，
∴2×a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，
∴q2－2q－3＝0，q＞0，解得q＝3.
则原式＝＝＝.
答案
三、解答题
9.在等比数列{an}中.
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
解 (1)由等比数列的通项公式，得
a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
那么解得
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1(n∈N＋).
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N＋).
(1)求a1，a2；
(2)证明：数列{an}是等比数列.
(1)解 ∵a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝－.
又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，∴a2＝.
(2)证明 ∵Sn＝(an－1)，
∴Sn＋1＝(an＋1－1)，
两式相减得an＋1＝an＋1－an，
即an＋1＝－an，又a1＝－≠0，
∴an≠0，∴＝－，n∈N＋，
∴数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列.
能力提升
11.等比数列{an}中，公比为q，则下列结论正确的是( )
A.当q>1时，{an}为递增数列
B.当0C.当n∈N＋时，anan＋2>0成立
D.当n∈N＋时，anan＋2an＋4>0成立
解析 等比数列的单调性由a1，q共同决定，易知A，B不正确；不论q>0或q<0，an，an＋2，an＋4应该同号，故anan＋2>0成立，C正确，D不一定成立.
答案 C
12.数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…).
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.
解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
＝＝＝3(n＝1，2，3，…).
又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列.
(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1.
创新猜想
13.(多选题)如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则下列式子正确的是( )
，
，，
…
A.a53＝
B.a51＝
C.a44＝
D.a41＝1
解析 第一列构成首项为，公差为的等差数列，
所以a51＝＋(5－1)×＝，a41＝1.
又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
a44＝1×＝，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以
a53＝×＝.
答案 ABD
14.(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q可能的一个值是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意可设三角形的三边分别为，a，aq(aq≠0).因为三角形的两边之和大于第三边，所以①当q>1时，＋a>aq，即q2－q－1<0，解得1，即q2＋q－1>0，解得综上，q的取值范围是∪，则可能的值是与.
答案 BC
