5.3.2 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和
课标要求
素养要求
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
在探索并掌握等比数列的前n项和公式中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
新知探究
国际象棋起源于印度，据说国王为了奖赏发明者，让发明者提一个要求.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请国王能给我足够的麦子来实现上述要求.”国王觉得这事不难办到，就欣然同意了.
问题 每个格子里的麦粒数依次组成一个等比数列1，2，22，23，…，263，你能计算这64项的和吗？
提示 由等比数列的前n项和公式得S64＝264－1.
1.等比数列的前n项和公式
设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则
Sn＝又an＝a1qn－1，所以q≠1时，等比数列前n项和的公式也可改写为Sn＝.
2.等比数列前n项和公式的函数特征
(1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是关于n的指数型函数.
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
拓展深化
[微判断]
1.等比数列{an}的前n项和可直接用公式Sn＝来求.(×)
提示 需先确定q≠1时，才可用公式.若q＝1，则Sn＝na1.
2.等比数列的前n项和不可以为0.(×)
提示 可以为0，比如1，－1，1，－1，1，－1的和.
3.首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(√)
4.若数列{an}的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1)，则此数列为等比数列.(√)
[微训练]
1.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝( )
A.2－
B.2－
C.2－
D.2－
解析 易知公比q＝，则S10＝＝2－.
答案 B
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝( )
A.1或－1
B.1
C.－1
D.
解析 由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6，即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝q6(a1＋a2＋a3)，则q6＝1，q＝±1.
答案 A
[微思考]
1.若等比数列{an}的公比q不为1，其前n项和为Sn＝Aqn＋B，则A与B有什么关系？
提示 A＝－B.
2.等比数列{an}的前n项和公式中涉及a1，an，n，Sn，q五个量，已知几个量方可以求其它量？
提示 三个.
题型一 等比数列前n项和公式的直接应用
【例1】 求下列等比数列前8项的和：
(1)，，，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
解 (1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q<0，可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
规律方法 求等比数列的前n项和，要确定首项，公比或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立.
【训练1】 (1)求数列{(－1)n＋2}的前100项的和；
(2)在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数.
解 (1)法一 a1＝(－1)3＝－1，q＝－1.
∴S100＝＝0.
法二 数列{(－1)n＋2}为－1，1，－1，1，…，
∴S100＝50×(－1＋1)＝0.
(2)设此数列的公比为q(易知q≠1)，
则解得故此数列共有5项.
题型二 等比数列前n项和公式的综合应用
【例2】 已知一个等比数列{an}，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.
解 设等比数列的公比为q，则
即
∵a1≠0，1＋q2≠0，②÷①得q3＝，
∴q＝，∴a1＝8，∴a4＝8×＝1，
∴S5＝＝.
【迁移1】 设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q.
解 当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件.
当q≠1时，＝3a1q2.
因为a1≠0，所以1＋q＋q2＝3q2，2q2－q－1＝0，
解得q＝－.
所以此数列的公比q＝1或－.
【迁移2】 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
解 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
所以
两式作比，得＝，
解得或
从而Sn＝＝(5n－1)
或Sn＝＝.
规律方法 等比数列前n项和公式的运算
(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.
(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式.当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便.
【训练2】 (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5＝( )
A.12
B.20
C.11
D.21
(2)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为( )
A.－2
B.2
C.－3
D.3
解析 (1)an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an.
因an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0.
因为q≠1，所以q＝－2，故S5＝＝11，
故选C.
(2)设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.
∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.
∵＝＝qm＝8＝，
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
答案 (1)C (2)B
题型三 等比数列前n项和公式的函数特征应用
【例3】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列.
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式.
∴an＝
法一 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3，不是等比数列，
即{an}不是等比数列.
法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列.
规律方法 已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列.
【训练3】 (1)若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
(2)设数列{an}的前n项和Sn＝4×3n－1－1，则通项an＝________.
(3)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为( )
A.
B.－
C.
D.－
解析 (1)显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝×3n＋t，∴t＝－.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝4－1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4×3n－1－1－4×3n－2＋1＝8×3n－2.
∴an＝
(3)法一 ∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，
由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝，故选C.
法二 当n＝1时，a1＝S1＝x－；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，
∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
即2x·3－1＝x－，解得x＝.
答案 (1)－ (2) (3)C
一、素养落地
1.通过学习等比数列的前n项和公式及其应用，提升数学抽象素养、数学运算和逻辑推理素养.
2.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.
3.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
二、素养训练
1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为( )
A.
B.
C.
D.
解析 S10＝＝(510－1).
答案 B
2.设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A.2
B.4
C.
D.
解析 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，得＝＋1＋q＋q2＝.
答案 C
3.已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝________.
解析 Sn＝＝126，即2n＋1＝128，故n＋1＝7，n＝6.
答案 6
4.在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
解 由题意得若q＝1，
则S3＝3a1＝6，符合题意.
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，解得q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
基础达标
一、选择题
1.设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于( )
A.
B.
C.
D.
解析 Sn＝＝.
答案 D
2.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( )
A.33
B.72
C.84
D.189
解析 由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，
得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2.
∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22×21＝84.
答案 C
3.在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝( )
A.2n－1
B.
C.
D.
解析 由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝.
答案 B
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，那么数列{bn}的前10项和为( )
A.log371
B.
C.50
D.55
解析 由a4－a1＝78得a1(q3－1)＝78，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝39，解得a1＝q＝3，故an＝3n，bn＝n，所以数列{bn}的前10项和为55.
答案 D
5.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于( )
A.或5
B.或5
C.
D.
解析 设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝.
答案 C
二、填空题
6.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
解析 由题意设数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠1)，
则解得
所以a8＝a1q7＝×27＝32.
答案 32
7.已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析 ∵a－6a＝an＋1an，
∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0.
∵an>0，∴an＋1＝3an.
又a1＝2，
∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴Sn＝＝3n－1.
答案 3n－1
8.若等比数列{an}的前n项和为Sn＝m·4n－1＋t(其中m，t是常数)，则＝________.
解析 法一 a1＝S1＝m＋t，
a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m，
则a＝a1a3，所以9m2＝12m(m＋t)，
即m＝－4t，故＝－4.
法二 Sn＝m·4n－1＋t＝m·4n＋t，
因为{an}是等比数列，故m＝－t，则＝－4.
答案 －4
三、解答题
9.已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是否为等比数列.
证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式，
∴an＝(a－1)·an－1，n∈N＋，∴＝a，
∴数列{an}是首项为a－1，公比为a的等比数列.
10.在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和.
解 设数列{an}的公比为q(q≠0).
由已知可得
所以
解②得q＝3或q＝1.
由于a1(q－1)＝2，
因此q＝1不合题意，应舍去.
故公比q＝3，首项a1＝1.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＝＝(n∈N＋).
能力提升
11.数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
解析 an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即
各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1(n∈N＋).
答案 2n－1
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解 (1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
所以an＋1＝3Sn＋1，
当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.
于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)?an＋1－an＝3an?an＋1＝4an.
又当n＝1时，a2＝3S1＋1?a2＝3a1＋1＝3t＋1，
所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列.
(2)由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n，
所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，
那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)
＝＋.
创新猜想
13.(多选题)已知等比数列{an}的前n项和是Sn，则下列说法一定成立的是( )
A.若a3>0，则a2
021>0
B.若a4>0，则a2
020>0
C.若a3>0，则S2
021>0
D.若a3>0，则S2
021<0
解析 设数列{an}的公比为q，
当a3>0时，a2
021＝a3q2
018>0，A正确；
当a4>0时，a2
020＝a4·q2
016>0，B正确.
又当q≠1时，S2
021＝，
当q<0时，1－q>0，1－q2
021>0，∴S2
021>0，
当00，1－q2
021>0，∴S2
021>0，
当q>1时，1－q<0，1－q2
021<0，∴S2
021>0.
当q＝1时，S2
021＝2
021a1>0，故C正确，D不正确.
答案 ABC
14.(多空题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且公比q>1，若a2＝2，S3＝7.则数列{an}的通项公式an＝________，a＋a＋…＋a＝________.
解析 ∵a2＝2，S3＝7，由S3＝＋2＋2q＝7，
解得q＝2或q＝，
又∵q>1，∴q＝2，故a1＝1，所以an＝2n－1
∴a＝4n－1，∴a＋a＋…＋a＝＝.
答案 2n－1 (共32张PPT)
第二课时 等比数列前n项和的性质及应用
课标要求
素养要求
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
新识探究
一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说，她
住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的
住房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天
刚把买房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在改变——花明
天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物，分期付款已深入我们的生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？让我们一起进入今天的学习吧！
1.错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法；
(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，也可以用这种方法.
2.等比数列前n项和的性质
拓展深化
[微判断]
1.等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.(
)
2.若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.(
)
3.若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.(
)
4.等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，则{Sn}也是递增数列.(
)
5.对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数.(
)
√
√
√
×
√
[微训练]
1.等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是________.
解析 易知Sm＝4，S2m－Sm＝8，
∴S3m－S2m＝16，∴S3m＝12＋16＝28.
答案 28
2.已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
答案 2
[微思考]
当等比数列{an}的公比q＝－1时，若k是偶数，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k是等比数列吗？
提示 不是.如数列1，－1，1，－1，…是公比为－1的等比数列，S2＝S4－S2＝S6－S4＝…＝0，不是等比数列.
题型一 等比数列前n项和的性质及应用
角度1 等比数列的连续n项之和的性质
【例1】 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解 法一 ∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
法二 ∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
规律方法 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
【训练1】 设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝( )
A.32
B.64
C.72
D.216
解析 由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.
答案 B
角度2 等比数列的不连续n项和的性质
【例2】 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式.
解 设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.
规律方法 (1)在等比数列{an}中若项数为偶数，则有S偶＝qS奇，且Sn＝S偶＋S奇.
(2)解题时要注意观察序号之间的联系，发现解题契机，注意应用整体的思想.
【训练2】 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.
解 法一 设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋).
由已知a1＝1，q≠1，有
∴n＝4.故公比为2，项数为8.
法二 ∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q
∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.
解 被求和式的第k项为
规律方法 当数列各项较复杂时，要先化简通项公式，再进一步考虑能否通过拆项等方法转化成等差、等比数列再求和，这是数列求和中的一种重要思路.
题型三 利用错位相减法求数列的前n项和
【例4】 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
规律方法 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.
题型四 等比数列前n项和的实际应用
【例5】 小华准备购买一部售价为5
000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.(参考数据：1.00812≈1.10)
解 法一 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：
A2＝5
000×(1＋0.008)2－x＝5
000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5
000×1.0084－1.0082x－x，
…，
A12＝5
000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
故小华每期付款金额约为883.5元.
法二 设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则：
A2＝x；
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；
…
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).
∵年底付清欠款，∴A12＝5
000×1.00812，
即5
000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，
故小华每期付款金额约为883.5元.
规律方法 (1)实际生活中的增长率问题，分期付款问题等都是等比数列问题；
(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型，利用数列知识求解.
【训练5】 一个热气球在第一分钟上升了25
m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125
m吗？
解 用an表示热气球在第n分钟内上升的高度，
热气球在前n分钟内上升的总高度
即这个热气球上升的高度不可能超过125
m.
一、素养落地
1.通过学习等比数列前n项和性质的应用，提升数学运算素养，通过利用等比数列前n项和公式解决实际问题，提升数学建模素养.
2.应用等比数列前n项和的性质要注意使用整体的思想，即常把qn、Sn等看作一个整体.
3.解决实际应用问题的关键是构建数学模型.
二、素养训练
1.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于( )
A.31
B.33
C.35
D.37
解析 设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.
答案 B
答案 B
3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……”，则该人最后一天走的路程为( )
A.24里
B.12里
C.6里
D.3里·
答案 C
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝1，S8＝7，求S12.
解 因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.
所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，
即(7－1)2＝1·(S12－7)，解得S12＝43.第二课时 等比数列前n项和的性质及应用
课标要求
素养要求
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
新知探究
一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在改变——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物，分期付款已深入我们的生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？让我们一起进入今天的学习吧！
1.错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法；
(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，也可以用这种方法.
2.等比数列前n项和的性质
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列.
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋).
(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1).
拓展深化
[微判断]
1.等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.(√)
2.若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.(√)
3.若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.(√)
4.等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，则{Sn}也是递增数列.(×)
提示 反例：等比数列{an}为－4，－2，－1，－，…，则S1＝－4，S2＝－6，S3＝－7，…，逐渐减小，则{Sn}不是递增数列.
5.对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数.(√)
[微训练]
1.等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是________.
解析 易知Sm＝4，S2m－Sm＝8，
∴S3m－S2m＝16，∴S3m＝12＋16＝28.
答案 28
2.已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
解析 由题意得∴S奇＝－80，
S偶＝－160，所以q＝＝＝2.
答案 2
[微思考]
当等比数列{an}的公比q＝－1时，若k是偶数，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k是等比数列吗？
提示 不是.如数列1，－1，1，－1，…是公比为－1的等比数列，S2＝S4－S2＝S6－S4＝…＝0，不是等比数列.
题型一 等比数列前n项和的性质及应用
角度1 等比数列的连续n项之和的性质
【例1】 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解 法一 ∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③
③代入①得＝64，
∴S3n＝＝64＝63.
法二 ∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
规律方法 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
【训练1】 设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝( )
A.32
B.64
C.72
D.216
解析 由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.
答案 B
角度2 等比数列的不连续n项和的性质
【例2】 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式.
解 设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.
∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝64，∴a·q3＝64，即a1＝12.
故所求通项公式为an＝12×，n∈N＋.
规律方法 (1)在等比数列{an}中若项数为偶数，则有S偶＝qS奇，且Sn＝S偶＋S奇.
(2)解题时要注意观察序号之间的联系，发现解题契机，注意应用整体的思想.
【训练2】 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.
解 法一 设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋).
由已知a1＝1，q≠1，有
由②÷①，得q＝2，∴＝85，4n＝256，∴n＝4.
故公比为2，项数为8.
法二 ∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝
S奇·q，∴q＝＝＝2.
又Sn＝85＋170＝255，据Sn＝，得＝255，
∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.
题型二 与等比数列相关的数列求和
【例3】 求和：Sn＝1＋＋＋＋…＋.
解 被求和式的第k项为
ak＝1＋＋＋…＋＝＝2.
∴Sn＝2
＝2
＝2＝2＝2n＋－2.
规律方法 当数列各项较复杂时，要先化简通项公式，再进一步考虑能否通过拆项等方法转化成等差、等比数列再求和，这是数列求和中的一种重要思路.
【训练3】 求数列2，，，，…的前n项和Sn.
解 Sn＝(1＋1)＋＋＋＋…＋＝(1＋2＋3＋4＋…＋n)＋＝＋＝＋－.
题型三 利用错位相减法求数列的前n项和
【例4】 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).
解 当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝－nxn＋1，
∴Sn＝－.
综上可得，Sn＝
规律方法 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.
【训练4】 求数列的前n项和.
解 设Sn＝＋＋＋…＋，
则有Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－，
即Sn＝－＝1－－.
∴Sn＝2－－＝2－(n∈N＋).
题型四 等比数列前n项和的实际应用
【例5】 小华准备购买一部售价为5
000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.(参考数据：1.00812≈1.10)
解 法一 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：
A2＝5
000×(1＋0.008)2－x＝5
000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5
000×1.0084－1.0082x－x，
…，
A12＝5
000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝
＝≈883.5.
故小华每期付款金额约为883.5元.
法二 设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则：
A2＝x；
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；
…
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).
∵年底付清欠款，∴A12＝5
000×1.00812，
即5
000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，
∴x＝≈883.5.
故小华每期付款金额约为883.5元.
规律方法 (1)实际生活中的增长率问题，分期付款问题等都是等比数列问题；
(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型，利用数列知识求解.
【训练5】 一个热气球在第一分钟上升了25
m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125
m吗？
解 用an表示热气球在第n分钟内上升的高度，
由题意，得an＋1＝an；
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列.
热气球在前n分钟内上升的总高度
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝
＝125×<125，
即这个热气球上升的高度不可能超过125
m.
一、素养落地
1.通过学习等比数列前n项和性质的应用，提升数学运算素养，通过利用等比数列前n项和公式解决实际问题，提升数学建模素养.
2.应用等比数列前n项和的性质要注意使用整体的思想，即常把qn、Sn等看作一个整体.
3.解决实际应用问题的关键是构建数学模型.
二、素养训练
1.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于( )
A.31
B.33
C.35
D.37
解析 设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.
答案 B
2.数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋…＋a＝( )
A.(3n－1)2
B.(27n－1)
C.(3n－1)
D.27n－1
解析 设Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则当n≥2时，Sn－1＝3n－1－1，故an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1，又a1＝2，所以an＝2×3n－1，所以a＋a＋…＋a＝＝.
答案 B
3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……”，则该人最后一天走的路程为( )
A.24里
B.12里
C.6里
D.3里
解析 由题知，设该人每天行走的里数构成一个等比数列{an}(n∈N＋)，公比q＝，S6＝＝378，∴a1＝192，∴a6＝192×＝6.故该人最后一天走的路程为6里.
答案 C
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝1，S8＝7，求S12.
解 因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.
所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，
即(7－1)2＝1·(S12－7)，解得S12＝43.
基础达标
一、选择题
1.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )
A.11
B.5
C.－8
D.－11
解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
∴q＝－2，则＝＝－11.
答案 D
2.等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项的和是( )
A.
B.Sqn－1
C.Sq1－n
D.
解析 易知数列也是等比数列，首项为1，公比为，则数列的前n项和为＝＝·＝＝S·q1－n.
答案 C
3.我国数学巨著《九章算术》中，有如下问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？其大意为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是( )
A.2
B.3
C.4
D.1
解析 依题意，每天的织布数构成一个公比q＝2的等比数列{an}，其前n项和为Sn，则S5＝5，Sm＝，∵S5＝＝5，解得a1＝.∴Sm＝＝，解得m＝3.故选B.
答案 B
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A.
B.－
C.
D.
解析 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，
－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝.
答案 A
5.设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为( )
A.
B.2
C.
D.17
解析 ＝q3＝，∴q＝.
∴＝＝1＋＝1＋q4＝.
答案 C
二、填空题
6.正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于________.
解析 由S30＝13S10，知q≠1，由
得由等比数列的前n项和的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍去).
答案 40
7.一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是________米.
解析 设小球每次着地后跳回的高度构成数列{an}，则数列{an}为等比数列，
a1＝128，q＝，S5＝＝248，
共经过的路程为256＋2S5＝752(米).
答案 752
8.设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝________.
解析 由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，
得210(S30－S20)＝S20－S10.
又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
∴＝q10＝.
又{an}为正项等比数列，∴q＝.
答案
三、解答题
9.已知数列1，1＋2，1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1.
(1)求这个数列的通项公式an；
(2)求这个数列的前n项和Sn.
解 (1)an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.
(2)Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝2n＋1－2－n.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a2＝3，a3＝5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)数列是公差为1的等差数列，
∴＝a1＋n－1，
可得Sn＝n(a1＋n－1)，∴a1＋a2＝2(a1＋1)，a1＋a2＋a3＝3(a1＋2)，且a2＝3，a3＝5.解得a1＝1.∴Sn＝n2.
∴n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n＝1时也成立).
∴an＝2n－1.
(2)bn＝an·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{bn}的前n项和
Tn＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，
∴3Tn＝32＋3×33＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1，
∴－2Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1＝3＋2×－(2n－1)×3n＋1＝－6＋(2－2n)×3n＋1，可得Tn＝3＋(n－1)×3n＋1.
能力提升
11.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y).若a1＝，an＝f(n)(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析 令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，
又an＝f(n)，∴＝＝f(1)＝a1＝，
∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
∴Sn＝＝1－.
答案 1－
12.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式.
解 第1年投入800万元，第2年投入800×万元，…，第n年投入800×万元，
所以总投入an＝800＋800×＋…＋800×
＝4
000×(万元).
同理，第1年收入400万元，第2年收入400×万元，…，第n年收入400×万元.
所以总收入bn＝400＋400×＋…＋400×
＝1
600×.
综上，an＝4
000×，
bn＝1
600×.
创新猜想
13.(多选题)如果有穷数列a1，a2，a3，…，am(m为正整数)满足a1＝am，a2＝
am－1，…，即ai＝am－i＋1(i＝1，2，…，m)，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.设{bn}是项数为2m(m>1，m∈N＋)的“对称数列”，且1，2，22，23，…，2m－1依次为该数列中连续的前m项，则数列{bn}的前100项和S100可能的取值为( )
A.2100－1
B.251－2
C.226－4
D.2m＋1－22m－100－1
解析 由题意知数列{bn}为1，2，22，23，…，2m－1，2m－1，…，23，22，2，1.
若m＝50，则S100＝2×＝251－2，B正确；
若51≤m<100，则S100＝2×－
＝2m＋1－22m－100－1，故D正确.
若m≥100，则S100＝＝2100－1，故A正确.
答案 ABD
14.(多空题)已知集合P＝{x|x＝2n，n∈N＋}，Q＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则a29＝________，使得Sn<1
000成立的n的最大值为________.
解析 数列{an}的前n项依次为1，2，3，22，5，7，23，….
利用列举法可得，当n＝35时，P∪Q的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，
所以数列{an}的前35项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…，57，59，2，4，8，16，32，故a29＝47.
S35＝30＋×2＋＝302＋26－2＝962<1
000.
因为26＝64>61，所以S36＝S35＋61＝1
023>1
000，
所以n的最大值为35.
答案 47 35(共30张PPT)
5.3.2 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和
课标要求
素养要求
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.
2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
在探索并掌握等比数列的前n项和公式中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
新识探究
国际象棋起源于印度，据说国王为了奖赏发明者，让发明者提一个
要求.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个
格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里
放上8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请国王能给我足够的麦子来实现上述要求.”国王觉得这事不难办到，就欣然同意了.
问题 每个格子里的麦粒数依次组成一个等比数列1，2，22，23，…，263，你能计算这64项的和吗？
提示 由等比数列的前n项和公式得S64＝264－1.
1.等比数列的前n项和公式
设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则
2.等比数列前n项和公式的函数特征
提示 需先确定q≠1时，才可用公式.若q＝1，则Sn＝na1.
2.等比数列的前n项和不可以为0.(
)
提示 可以为0，比如1，－1，1，－1，1，－1的和.
3.首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(
)
4.若数列{an}的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1)，则此数列为等比数列.(
)
×
×
√
√
答案 B
解析 由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6，即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝q6(a1＋a2＋a3)，则q6＝1，q＝±1.
答案 A
[微思考]
1.若等比数列{an}的公比q不为1，其前n项和为Sn＝Aqn＋B，则A与B有什么关系？
提示 A＝－B.
2.等比数列{an}的前n项和公式中涉及a1，an，n，Sn，q五个量，已知几个量方可以求其它量？
提示 三个.
规律方法 求等比数列的前n项和，要确定首项，公比或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立.
解 (1)法一 a1＝(－1)3＝－1，q＝－1.
法二 数列{(－1)n＋2}为－1，1，－1，1，…，∴S100＝50×(－1＋1)＝0.
(2)设此数列的公比为q(易知q≠1)，
【迁移1】 设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q.
解 当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件.
因为a1≠0，所以1＋q＋q2＝3q2，2q2－q－1＝0，
【迁移2】 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
解 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
解析 (1)an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an.
因an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0.
故选C.
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
答案 (1)C (2)B
题型三 等比数列前n项和公式的函数特征应用
【例3】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列.
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式.
法一 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3，不是等比数列，
即{an}不是等比数列.
法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列.
解析 (1)显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
(2)当n＝1时，a1＝S1＝4－1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4×3n－1－1－4×3n－2＋1＝8×3n－2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，
∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
一、素养落地
1.通过学习等比数列的前n项和公式及其应用，提升数学抽象素养、数学运算和逻辑推理素养.
2.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.
3.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
答案 B
答案 C
3.已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝________.
答案 6
4.在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
解 由题意得若q＝1，
则S3＝3a1＝6，符合题意.
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
