5.4 数列的应用
课标要求
素养要求
1.通过实例了解数列的应用.2.会应用数列的有关知识解决生活实际中的问题.
通过数列的有关知识解决实际问题，发展学生的数学建模素养、数学抽象素养和逻辑推理素养.
新知探究
随着中央推行积极的财政政策，购置房产按揭贷款(公积金贷款)制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望.按揭贷款(公积金贷款)中都实行按月等额本息还款.而学会计算这个等额还款数，就能清楚若干月后，还应归还银行多少本金，做到心中有数.
问题 能否用学过的数列知识解决这一问题？
提示 若贷款金额为a0元，贷款月利率为p，还款方式每月等额还本付息a元，则第n月还款后的本金为an，构成数列，且an＋1＝an(1＋p)－a.
1.分期还款与数列
等额本金还款法是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率，即每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率.
2.等额本息还款法是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还.若贷款时的资金为A0元，每一期所还钱数为x元，则x＝.其中r为年利率.
拓展深化
[微判断]
1.等额本金还款法中每期还款金额组成一个递减的等差数列.(√)
2.等额本息还款法中每期还款金额组成一个等差数列.(√)
提示 是公差为0的等差数列，即常数列.
[微训练]
1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
解析 设顶层灯数为a1，q＝2，S7＝＝381，解得a1＝3.
答案 B
2.用砖砌墙第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下砖块的一半多一块，…，依次类推，每一层都用去了剩下砖块的一半多一块，到第10层恰好用完全部砖块，则共用了________块砖.
解析 设砖块数为s，第n层的砖数为an(n＝1，2，3，…，10)，则a1＝＋1，a2＝＋1＝＋，…，a10＝＋，且a1＋a2＋…＋a10＝s，因此，s＝＋＋…＋＝＋＝s＋2，所以s＝＝2
046.
答案 2
046
[微思考]
等额本金还款法中，若贷款A元，分成m期偿还，每一期的利率为r，则偿还完后，共还款金额为多少？
提示 每期还款金额组成等差数列，且a1＝＋A·r.
第m期要还金额am＝＋·r，
∴总还款金额为Sm＝＝A＋A·r.
题型一 分期还款问题
【例1】 某人年初向银行贷款10万元用于购房：
(1)如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
(2)如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到1元，参考数据：1.0410≈1.480
2)
解 (1)设每年还款x元，依题意得
x＋x(1＋5%)＋x(1＋2×5%)＋…＋x(1＋9×5%)＝100
000×(1＋10×5%)，
∴x＝≈12
245元.
(2)设每年还款x元，依题意得
x＋x(1＋4%)＋x(1＋4%)2＋…＋x(1＋4%)9＝100
000(1＋4%)10，
即105×1.0410＝×x，x≈＝12
330.
答：(1)当年利率为5%，按单利计算，每年应归还12
245元；
(2)当年利率为4%，按复利计算时，每年还款12
330元.
规律方法 上述例题是与数列有关的分期付款问题，两问所用公式各异.
(1)中的利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金)，故所用的公式是等差数列通项公式和前n项和公式；
(2)中的利率是复利(即利滚利)，故所用公式是等比数列通项公式和前n项和公式，导致这种区分的原因是付款形式不同.
【训练1】 某职工年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金)，若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(1.110≈2.593
7)
解 设贷款数额为a0元，贷款年利率为α，每年等额归还x元，第n年还清，则
一年后的欠款数为：a1＝(1＋α)a0－x
二年后的欠款数为：a2＝(1＋α)a1－x＝(1＋α)2a0－x[(1＋α)＋1]
三年后的欠款数为：a3＝(1＋α)a2－x＝(1＋α)3a0－x[(1＋α)2＋(1＋α)＋1]
……
n年后的欠款数为：an＝(1＋α)an－1－x＝(1＋α)na0－x[(1＋α)n－1＋(1＋α)n－2＋…＋(1＋α)＋1]
由于an＝0，贷款还清，
∴(1＋α)na0＝x·，∴x＝.
将α＝0.1，a0＝20
000，n＝10代入，得
x＝≈≈3
255元.
题型二 数列递推公式的实际应用
【例2】 某企业投资1千万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(lg
2＝0.3)
解 设经过n年后，该项目的资金为an万元.
由题，an
＝an－1(1＋25%)－200(n≥2)，整理可得an
－800＝(an－1－800)，即{an
－800}成一个等比数列，a1＝1
000(1＋25%)－200＝1
050,
a1－800＝250，∴an
－800＝250，an
＝250＋800，令an≥4
000，得≥16，解得n≥12，即至少要过12年才能达到或超过两番的目标.
规律方法 理解题意，建立数列中an与an＋1或an与an－1之间的关系，构造数列，确定数列的通项公式求解.
【训练2】 某城市2010年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解 设每年新增汽车为b万辆，该城市第n年末的汽车保有量为an，则容易得到an和an－1的递推关系：an＝(1－6%)an－1＋b＝0.94an－1＋b(n≥2)，
即an－b＝0.94(an－1－b).
∴{an－b}是以0.94为公比，以30－b为首项的等比数列.
∴an－b＝(30－b)·0.94n－1，
即an＝b＋(30－b)·0.94n－1.
(1)当30－b≥0，即b≤1.8时，an≤an－1≤……≤a1＝30.
(2)
当30－b<0，即b>1.8时，an趋近于b，
并且数列{an}为递增数列，可以任意接近b，因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，
即an≤60(n＝1，2，3，…)，则b≤60，即b≤3.6(万辆).
综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.
题型三 数列的综合应用
【例3】 假设某市2020年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2020年为累计的第一年)将首次不少于4
750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
解 (1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，
其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n，
令25n2＋225n≥4
750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.
∴到2029年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4
750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1，
由题意可知an>0.85bn，
有250＋50(n－1)>400×
1.08n－1
×
0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，
∴到2025年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
规律方法 从实际问题中建立函数模型，构造数列，运用数列性质及数列求和解决实际问题.
【训练3】 某企业2020年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1＋)万元(n为正整数).
(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；
(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
解 (1)依题设，不进行技术改造，每年的纯利润是以500为首项，－20为公差的等差数列，所以An＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n－10n2；
Bn＝500－600＝500n－－100.
(2)Bn－An＝(500n－－100)
－(490n－10n2)
＝10n2＋10n－－100＝10[n(n＋1)
－－10].
因为函数y＝x(x＋1)
－－10在(0，＋∞)上为增函数，
当1≤n≤3时，n(n＋1)
－－10≤12－－10<0；
当n≥4时，n(n＋1)
－－10≥20－－10>0.
∴仅当n≥4时，Bn>An.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
一、素养落地
1.
通过数列的有关知识解决实际问题，提升数学建模素养，数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.用数列解实际问题的基本思路：审题—建模—研究模型—返回实际.
3.审题要注意：(1)量(多个量)；(2)量间的关系(规律)，等差、等比规律；递推关系，其它规律由特殊到一般归纳总结；(3)与通项公式an有关或与前n项和Sn有关等.
二、素养训练
1.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为( )
A.钱
B.钱
C.钱
D.钱
解析 设所成等差数列的首项为a1，公差为d，则依题意，有
解得则甲所得为钱.
答案 B
2.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子，”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
解析 根据题意，设5人分得的橘子数目从小到大依次为a1，a2，a3，a4，a5，则这5个数组成以3为公差的等差数列，
则a5＝a1＋3(5－1)＝12＋a1，
又由5人共分得60个橘子，则有
S5＝＝5a1＋10×3＝60，
解可得a1＝6，
即得到橘子最少的人得到6个橘子.
答案 C
3.中国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于( )
A.里
B.里
C.里
D.里
解析 设马每天所走的路程是a1，a2，…，a7，是公比为的等比数列，这些项的和为700，S7＝＝700，解得a1＝
，a7＝a1q6＝，
故答案为A.
答案 A
4.甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%，20%的某种溶液500
mL，同时从甲、乙两个容器中取出100
mL溶液，分别倒入对方的容器搅匀，这称为是一次调和，记a1＝10%，b1＝20%，经(n－1)次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度为an，bn，
(1)试用an－1，bn－1表示an，bn；
(2)求证数列
{an－bn}是等比数列，并求出an，bn的通项.
解 (1)从甲(浓度：an－1)中取出100
mL溶液，100
mL溶液中含溶质100an－1，剩下的400
mL溶液中含溶质400an－1，从乙(浓度：bn－1)中取出100
mL溶液，100
mL溶液中含溶质100bn－1，剩下的400
mL溶液中含溶质400bn－1，调和后，甲中含溶质400an－1＋100bn－1，浓度an＝(400an－1＋100bn－1)＝an－1＋bn－1，乙中含溶质400bn－1＋100an－1，浓度bn＝(400bn－1＋100an－1)＝bn－1＋an－1.
(2)由(1)得，an－bn＝an－1－bn－1＝(an－1－bn－1)(n≥2)，∴{an－bn}是等比数列.
又a1－b1＝－10%，∴an－bn＝－10%.①
又∵an＋bn＝an－1＋bn－1＋bn－1＋an－1＝an－1＋bn－1＝…＝
a1＋b1＝30%，②
联立①②得an＝－·5%＋15%；
bn＝·5%＋15%.
基础达标
一、选择题
1.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )
A.f
B.f
C.f
D.f
解析 因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以an＝an－1(n≥2，n∈N＋)，
又a1＝f，则a8＝a1q7＝f()7＝f，故选D.
答案 D
2.夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为( )
A.1
600米
B.1
700米
C.1
800米
D.1
900米
解析 从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n，则14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，所以山的高度为h＝(18－1)×100＝1
700(米).
答案 B
3.一个卷筒纸，其内圆直径为4
cm，外圆直径为12
cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( )
A.14
m
B.15
m
C.16
m
D.17
m
解析 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·
＝480×3.14＝1
507.2(cm)≈15
m，故选B.
答案 B
4.某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A.万元
B.万元
C.万元
D.万元
解析 设每年偿还x万元，则：
x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，由等比数列的求和公式可得＝a(1＋γ)5，解得x＝.
答案 B
5.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则该数列第16项为( )
A.
98
B.
112
C.
144
D.
128
解析 设该数列为，则a2n－a2n－2＝4n－2(n≥2)，且a2＝2，所以
a4－a2＝6，a6－a4＝10，…，a16－a14＝30，累加得到：
a16＝2＋6＋10＋14＋18＋22＋26＋30＝×8＝128，故选D.
答案 D
二、填空题
6.某第三方支付平台的会员每天登录该平台都能得到积分，第一天得1积分，以后只要连续登录每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登录两周，则他两周共得__________积分.
解析 依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列，故他这两周共得＝105积分.
答案 105
7.公元五世纪张邱建所著《张邱建算经》卷中第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”.题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快(每天增加的数量相同)，已知第一天织布5尺，一个月(30天)共织布9匹3丈，则该女子每天织布的增加量为__________尺.(1匹＝4丈，1丈＝10尺)
解析 设该女子织布每天增加d尺，
由题意知，a1＝5尺，S30＝10(9×4＋3)＝390尺，
又由等差数列前n项和公式得S30＝30a1＋d＝390，解得d＝尺.
答案
8.某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在第________层.
解析 设停在第x层，则
S＝[1＋2＋…＋(20－x)]×2＋[1＋2＋…＋(x－2)]
＝＋421，
∴当x＝时取最小值，
而x∈{2，3，…，20}，∴当x＝14时取最小值.
答案 14
三、解答题
9.为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该超市第n年需要付出的超市维护和工人工资等费用为an万元，已知{an}为等差数列，相关信息如图所示.
(1)求an；
(2)该超市第几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)
(3)该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？(年平均获利＝)
解 (1)由题意知，每年需付出的费用是以12为首项，4为公差的等差数列，
求得an＝a1＋4(n－1)＝4n＋8.
(2)设超市第n年后开始盈利，盈利为y万元，
则y＝50n－[12n＋×4]－72＝－2n2＋40n－72，
由y>0，得n2－20n＋36<0，解得2故n＝3.即第3年开始盈利.
(3)年平均盈利为＝－2n－＋40，
＝－2＋40≤－2×2＋40＝16，
当且仅当n＝，即n＝6时，年平均盈利最大.
故经过6年经营后年平均盈利最大，最大值为96万元.
10.王某2020年12月31日向银行贷款100
000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清(2030年12月31日还清)，每年年底等额还款(每次还款金额相同)，设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元.
(1)设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；
(2)求每年的还款额(精确到1元，参考数据1.0510≈1.628
9).
解 (1)a2＝100
000(1＋5%)2－m(1＋5%)－m＝110
250－2.05
m.
(2)a10＝100
000×1.0510－m1.059－m1.058－…－m＝0，
100
000×1.0510－＝0，
m＝≈12
950.
能力提升
11.我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：________日相逢？
解析 由题意可知：良马与驽马第n天跑的路程都是等差数列，设路程为{an}，{bn}，
由题意有：an＝103＋(n－1)×13＝13n＋90，bn＝97＋(n－1)×＝－n＋97，
故：cn＝an＋bn＝187＋12n，
满足题意时，数列{cn}的前n项和为Sn＝1
125×2＝2
250，
由等差数列前n项和公式可得：
×n＝2
250，
解得n＝9.即二马相逢，需9日相逢.
答案 9
12.数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界.目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由H公司及G公司提供技术支持据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品分别占比a0＝55%及b0＝45%，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用G公司技术的产品中有20%转而采用H公司技术，采用H公司技术的仅有5%转而采用G公司技术.设第n次技术更新后，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品占比分别为an及bn，不考虑其它因素的影响.
(1)用an表示an＋1，并求实数λ使是等比数列；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？(参考数据：lg
2≈0.301，lg
3≈0.477)
解 (1)由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品的占比分别为
a0＝55%＝，b0＝45%＝.
易知经过n次技术更新后an＋bn＝1，
则an＋1＝(1－5%)an＋20%bn＝an＋＝an＋，即an＋1＝an＋(n∈N＋).①
由①式，可设an＋1－λ＝?an＋1＝an＋，对比①式可知＝?λ＝.
又a1＝a0＋＝×＋＝，a1－＝－＝－.从而当λ＝时，是以－为首项，为公比的等比数列.
(2)由(1)可知an－＝－·n－1＝－·n，所以经过n次技术更新后，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比an＝－·n.
由题意，令an>75%，得
－·n>?n?n>＝＝≈＝＝0.699×8＝5.592>5.
故n≥6，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上.
创新猜想
13.古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A，B，C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A柱上现有3个金盘(如图)，将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动次数为( )
A.5
B.7
C.9
D.11
解析 设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为{an}.
要把最下面的第n个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的n－1个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动an－1次.
把第n个金盘移到另一个柱子上后，再把n－1个金盘移到该柱子上，故又至少移动an－1次，所以an＝2an－1＋1，a1＝1，故a2＝3，a3＝7，故选B.
答案 B
14.(多选题)已知斐波那契数列的前七项为1，1，2，3，5，8，13，大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层数相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花不可能是( )层
A.5
B.6
C.7
D.8
解析 斐波那契数列的前n项和依次为1，2，4，7，12，20，33，…，一朵“雅苏娜”玫瑰花的花瓣总数为33，则该种玫瑰花有7层.
答案 ABD(共31张PPT)
5.4 数列的应用
课标要求
素养要求
1.通过实例了解数列的应用.
2.会应用数列的有关知识解决生活实际中的问题.
通过数列的有关知识解决实际问题，发展学生的数学建模素养、数学抽象素养和逻辑推理素养.
新识探究
随着中央推行积极的财政政策，购置房产按揭贷款(公积金贷款)制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望.按揭贷款(公积金贷款)中都实行按月等额本息还款.而学会计算这个等额还款数，就能清楚若干月后，还应归还银行多少本金，做到心中有数.
问题 能否用学过的数列知识解决这一问题？
提示 若贷款金额为a0元，贷款月利率为p，还款方式每月等额还本付息a元，则第n月还款后的本金为an，构成数列，且an＋1＝an(1＋p)－a.
1.分期还款与数列
拓展深化
[微判断]
1.等额本金还款法中每期还款金额组成一个递减的等差数列.(
)
2.等额本息还款法中每期还款金额组成一个等差数列.(
)
提示 是公差为0的等差数列，即常数列.
√
√
[微训练]
1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
答案 B
2.用砖砌墙第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下砖块的一半多一块，…，依次类推，每一层都用去了剩下砖块的一半多一块，到第10层恰好用完全部砖块，则共用了________块砖.
答案 2
046
[微思考]
等额本金还款法中，若贷款A元，分成m期偿还，每一期的利率为r，则偿还完后，共还款金额为多少？
题型一 分期还款问题
【例1】 某人年初向银行贷款10万元用于购房：
(1)如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
(2)如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到1元，参考数据：1.0410≈1.480
2)
解 (1)设每年还款x元，依题意得
x＋x(1＋5%)＋x(1＋2×5%)＋…＋x(1＋9×5%)＝100
000×(1＋10×5%)，
(2)设每年还款x元，依题意得
x＋x(1＋4%)＋x(1＋4%)2＋…＋x(1＋4%)9＝100
000(1＋4%)10，
答：(1)当年利率为5%，按单利计算，每年应归还12
245元；
(2)当年利率为4%，按复利计算时，每年还款12
330元.
规律方法 上述例题是与数列有关的分期付款问题，两问所用公式各异.
(1)中的利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金)，故所用的公式是等差数列通项公式和前n项和公式；
(2)中的利率是复利(即利滚利)，故所用公式是等比数列通项公式和前n项和公式，导致这种区分的原因是付款形式不同.
【训练1】 某职工年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金)，若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(1.110≈2.593
7)
解 设贷款数额为a0元，贷款年利率为α，每年等额归还x元，第n年还清，则
一年后的欠款数为：a1＝(1＋α)a0－x
二年后的欠款数为：a2＝(1＋α)a1－x＝(1＋α)2a0－x[(1＋α)＋1]
三年后的欠款数为：a3＝(1＋α)a2－x＝(1＋α)3a0－x[(1＋α)2＋(1＋α)＋1]
……
n年后的欠款数为：an＝(1＋α)an－1－x＝(1＋α)na0－x[(1＋α)n－1＋(1＋α)n－2＋…＋(1＋α)＋1]
由于an＝0，贷款还清，
题型二 数列递推公式的实际应用
【例2】 某企业投资1千万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(lg
2＝0.3)
解 设经过n年后，该项目的资金为an万元.由题，an
＝an－1(1＋25%)－200(n≥2)，
规律方法 理解题意，建立数列中an与an＋1或an与an－1之间的关系，构造数列，确定数列的通项公式求解.
【训练2】 某城市2010年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解 设每年新增汽车为b万辆，该城市第n年末的汽车保有量为an，则容易得到an和an－1的递推关系：an＝(1－6%)an－1＋b＝0.94an－1＋b(n≥2)，
即b≤3.6(万辆).
综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.
题型三 数列的综合应用
【例3】 假设某市2020年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2020年为累计的第一年)将首次不少于4
750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
解 (1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，
令25n2＋225n≥4
750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.
∴到2029年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4
750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1，
由题意可知an>0.85bn，
有250＋50(n－1)>400×
1.08n－1
×
0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，
∴到2025年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
规律方法 从实际问题中建立函数模型，构造数列，运用数列性质及数列求和解决实际问题.
∴仅当n≥4时，Bn>An.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
一、素养落地
1.
通过数列的有关知识解决实际问题，提升数学建模素养，数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.用数列解实际问题的基本思路：审题—建模—研究模型—返回实际.
3.审题要注意：(1)量(多个量)；(2)量间的关系(规律)，等差、等比规律；递推关系，其它规律由特殊到一般归纳总结；(3)与通项公式an有关或与前n项和Sn有关等.
答案 B
2.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子，”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
解析 根据题意，设5人分得的橘子数目从小到大依次为a1，a2，a3，a4，a5，则这5个数组成以3为公差的等差数列，则a5＝a1＋3(5－1)＝12＋a1，
又由5人共分得60个橘子，则有
解可得a1＝6，即得到橘子最少的人得到6个橘子.
答案 C
答案 A
4.甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%，20%的某种溶液500
mL，同时从甲、乙两个容器中取出100
mL溶液，分别倒入对方的容器搅匀，这称为是一次调和，记a1＝10%，b1＝20%，经(n－1)次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度为an，bn，
(1)试用an－1，bn－1表示an，bn；
(2)求证数列
{an－bn}是等比数列，并求出an，bn的通项.
＝an－1＋bn－1＝…＝
a1＋b1＝30%，②
