5.5 数学归纳法
课标要求
素养要求
1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
通过利用数学归纳法证明与自然数n有关的数学命题，发展学生的逻辑推理和数学运算素养.
新知探究
五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授(1908～1996)给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”.
问题 “公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？
提示 不一定正确，“公鸡归纳法”是不完全归纳法，用其得到的结论是不一定正确的.
数学归纳法
一个与自然数有关的命题，如果①当n＝n0时，命题成立；②在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立.那么这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立.
拓展深化
[微判断]
1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(×)
提示 也可用其他方法证明.
2.在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设.(×)
提示 数学归纳法的两个步骤缺一不可.
3.用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项.(√)
[微训练]
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 边数最少的凸n边形是三角形，故选C.
答案 C
2.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N＋，等式都成立.上述证明，错误是________.
解析 本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.
答案 未用归纳假设
[微思考]
1.数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
提示 不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值n0＝3.
2.先假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，再证n＝k＋1时命题也成立，就可说明命题成立，请说明原因.
提示 假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，其本质是证明一个递推关系，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷.如果不证明n＝k＋1时命题也成立，即便前面验证了命题对许多正整数都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立.
题型一 用数学归纳法证明等式
【例1】 用数学归纳法证明：1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)，其中n∈N＋.
证明 ①当n＝1时，左边＝1×22＝4，
右边＝×(3×12＋11×1＋10)＝4，
所以左边＝右边，等式成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，
即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)，
那么当n＝k＋1时，
1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k2＋5k＋12k＋24)
＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10].
即当n＝k＋1时，等式也成立.
综上，对任何n∈N＋，等式都成立.
规律方法 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形.
【训练1】 用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N＋).
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)(2)知，等式对任何n∈N＋都成立.
题型二 用数学归纳法证明不等式
【例2】 数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn，并用数学归纳法证明＋＋…＋>.
(1)证明 ∵an＋1＝，
∴＝，化简得＝2＋，即－＝2，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
(2)解 由(1)，知Sn＝n2，证明如下：
当n＝1时，＝1，＝，不等式显然成立.
假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋>＋，
又＋－＝1－＋－1＋
＝－＝>0，
∴＋＋…＋＋>，
综上，原不等式成立.
规律方法 用数学归纳法证明不等式的四个关键：
【训练2】 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N＋).
证明 (1)当n＝1时，1＋＝，不等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立.
即1＋＋＋…＋≤＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即当n＝k＋1时，不等式成立.
由(1)和(2)可知，不等式对所有的n∈N＋都成立.
题型三 用数学归纳法证明整除等数学命题
【例3】 证明：当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
证明 (1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.
故f(k＋1)也能被64整除.
综合(1)(2)，知当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
规律方法 用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明.
【训练3】 求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N＋.
证明 (1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，
此时f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立.
(2)假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时，命题成立.
即k棱柱中过侧棱的对角面有f(k)＝k(k－3)个.
现在考虑n＝k＋1时的情形.
对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面.因此对角面的个数为f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立.
由(1)和(2)，可知原结论成立.
题型四 归纳——猜想——证明
【例4】 将正整数进行如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)……分别计算各组包含的正整数的和如下：
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
……
(1)求S7的值；
(2)由S1，S1＋S3，S1＋S3＋S5，S1＋S3＋S5＋S7的值，试猜测S1＋S3＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明.
解 (1)S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175.
(2)S1＝1；S1＋S3＝16；S1＋S3＋S5＝81；S1＋S3＋S5＋S7＝256；猜测S1＋S3＋…＋S2n－1＝n4.
证明如下：
记Mn＝S1＋S3＋…＋S2n－1.
①当n＝1时，猜想成立.
②假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，猜想成立，即Mk＝S1＋S3＋…＋S2k－1＝k4.
则当n＝k＋1时，
由题设，可知Sn是由1＋2＋3＋…＋(n－1)＋1＝＋1开始的n个连续自然数的和，
所以Sn＝＋＋…＋＝，
所以S2k＋1＝＝(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝4k3＋6k2＋4k＋1，
从而Mk＋1＝Mk＋S2k＋1＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，
所以当n＝k＋1时猜想也成立.
由①②，可知对任意n∈N＋，猜想都成立.
规律方法 “归纳—猜想—证明”的一般步骤
【训练4】 已知数列{an}满足a1＝，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.
解 (1)∵a1＝，前n项和Sn＝an，
∴令n＝2，得a1＋a2＝3a2，∴a2＝a1＝.
令n＝3，得a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝.
令n＝4，得a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝.
(2)猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明.
①当n＝1时，a1＝＝，结论成立；
②假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，结论成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，Sk＝·ak＝，Sk＋1＝·ak＋1，即Sk＋ak＋1＝·ak＋1，
∴＋ak＋1＝·ak＋1，
∴·ak＋1＝，
∴ak＋1＝，
∴当n＝k＋1时结论成立.
由①②可知，对一切n∈N＋都有an＝成立.
一、素养落地
1.通过利用数学归纳法证明数学命题，提升逻辑推理和数学运算素养.
2.在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
二、素养训练
1.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”.在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
A.1＋a
B.1＋a＋a2
C.1＋a＋a2＋a3
D.1＋a＋a2＋a3＋a4
解析 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
答案 C
2.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式( )
A.1＋<2
B.1＋＋<2
C.1＋＋<3
D.1＋＋＋<3
解析 由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋<2，故选B.
答案 B
3.用数学归纳法证明“1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)”，由n＝k(n∈N＋)的假设证明n＝k＋1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为( )
A.＋…＋＋
B.＋…＋＋＋
C.＋…＋＋
D.＋…＋＋
解析 由所证明的等式可知，当n＝k＋1时，右边＝＋…＋＋＝＋…＋＋，故选D.
答案 D
4.某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( )
A.当n＝4时命题不成立
B.当n＝6时命题不成立
C.当n＝4时命题成立
D.当n＝6时命题成立
解析 因为当n＝k(k∈N＋)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立.
答案 A
基础达标
一、选择题
1.用数学归纳法证明：对任意正偶数n，均有1－＋－＋…＋－＝2，在验证n＝2正确后，归纳假设应写成( )
A.假设n＝k(k∈N＋)时命题成立
B.假设n≥k(k∈N＋)时命题成立
C.假设n＝2k(k∈N＋)时命题成立
D.假设n＝2(k＋1)(k∈N＋)时命题成立
解析 因为题目要求是对n为正偶数，等式成立.
答案 C
2.利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋A.1项
B.k项
C.2k－1项
D.2k项
解析 增加项为：＋＋＋…＋共2k项.
答案 D
3.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)等于( )
A.f(n)＋n＋1
B.f(n)＋n
C.f(n)＋n－1
D.f(n)＋n－2
解析 增加一个顶点，就增加(n＋1－3)条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，对f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故选C.
答案 C
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A.
B.
C.
D.
解析 a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.
答案 B
5.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是( )
A.
B.
C.
D.
解析 当n＝k时，假设成立的等式为1＋＋＋…＋＝，
当n＝k＋1时，要证明的等式为
1＋＋＋…＋＋＝，
故左边需要添加的项为＝＝.故选D.
答案 D
二、填空题
6.在用数学归纳法证明“f(n)＝＋＋＋…＋<1(n∈N＋，n≥3)”的过程中，假设当n＝k(k∈N＋，k≥3)时，不等式f(k)<1成立，则需证当n＝k＋1时，f(k＋1)<1也成立.若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，则g(k)＝________.
解析 ∵f(k)＝＋＋＋…＋，f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋，∴f(k＋1)－f(k)＝＋－.
∵f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，∴g(k)＝＋－.
答案 ＋－
7.用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N＋)时，初始值n0应等于________.
解析 由题意，当n＝1时，21<(1＋1)2；当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；当n＝6时，26>(6＋1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N＋)时，初始值n0应等于6.
答案 6
8.用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，
不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________.
解析 观察不等式中各项的分母变化，知n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋>－.
答案 ＋＋…＋＋＋>－
三、解答题
9.用数学归纳法证明…＝(n≥2，n∈N＋).
证明 (1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，所以左边＝右边，所以n＝2时等式成立.
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即
…＝，
则n＝k＋1时，…＝＝·＝＝，
即n＝k＋1时等式成立.
综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式恒成立.
10.用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N＋).
证明 (1)当n＝2时，左边＝＝，
右边＝1－＝.
因为<，所以不等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋<1－＋
＝1－＝1－<1－
＝1－，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立.
能力提升
11.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A.(k＋3)3
B.(k＋2)3
C.(k＋1)3
D.(k＋1)3＋(k＋2)3
解析 假设当n＝k时，原式能被9整除，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可.
答案 A
12.已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N
).
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.
解 (1)计算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝.
(2)猜想an＝.下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，猜想显然成立.
②假设n＝k(k∈N
)时，猜想成立，
即ak＝.
那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.
又Sk＝1－kak＝，
所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
从而ak＋1＝＝.
即n＝k＋1时，猜想也成立.故由①和②可知，猜想成立.
创新猜想
13.(多选题)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N＋)，若当n＝1，2，…，1
000时，p(k)成立，且当n＝1
001时也成立，则下列判断中正确的是( )
A.p(k)对k＝528成立
B.p(k)对每一个自然数k都成立
C.p(k)对每一个正偶数k都成立
D.p(k)对某些偶数可能不成立
解析 由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2
002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
答案 AD
14.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立.则下列命题总成立的是( )
A.若f(6)<7成立，则f(5)<6成立
B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立
C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
解析 若f(5)<6不成立，则f(5)≥6，由题意知f(6)≥7，与f(6)<7成立矛盾，所以f(5)<6成立，A正确.若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故D正确.所以选AD.
答案 AD(共34张PPT)
5.5 数学归纳法
课标要求
素养要求
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
通过利用数学归纳法证明与自然数n有关的数学命题，发展学生的逻辑推理和数学运算素养.
新识探究
五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授(1908～1996)给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九
天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”.
问题 “公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？
提示 不一定正确，“公鸡归纳法”是不完全归纳法，用其得到的结论是不一定正确的.
数学归纳法
一个与________有关的命题，如果①当n＝n0时，命题成立；②在假设n＝k(其中k≥n0)时__________的前提下，能够________________时命题也成立.那么这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立.
自然数
命题成立
推出n＝k＋1
拓展深化
[微判断]
1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(
)
提示 也可用其他方法证明.
2.在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设.(
)
提示 数学归纳法的两个步骤缺一不可.
3.用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项.(
)
×
×
√
解析 边数最少的凸n边形是三角形，故选C.
答案 C
解析 本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.
答案 未用归纳假设
[微思考]
1.数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
提示 不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值n0＝3.
2.先假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，再证n＝k＋1时命题也成立，就可说明命题成立，请说明原因.
提示 假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，其本质是证明一个递推关系，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷.如果不证明n＝k＋1时命题也成立，即便前面验证了命题对许多正整数都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立.
所以左边＝右边，等式成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，
那么当n＝k＋1时，
1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
即当n＝k＋1时，等式也成立.
综上，对任何n∈N＋，等式都成立.
规律方法 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形.
【训练1】 用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N＋).
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)(2)知，等式对任何n∈N＋都成立.
(2)解 由(1)，知Sn＝n2，证明如下：
综上，原不等式成立.
规律方法 用数学归纳法证明不等式的四个关键：
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立.
则当n＝k＋1时，
即当n＝k＋1时，不等式成立.
由(1)和(2)可知，不等式对所有的n∈N＋都成立.
题型三 用数学归纳法证明整除等数学命题
【例3】 证明：当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
证明 (1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.
故f(k＋1)也能被64整除.
综合(1)(2)，知当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
规律方法 用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明.
证明 (1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，
(2)假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时，命题成立.
现在考虑n＝k＋1时的情形.
由(1)和(2)，可知原结论成立.
题型四 归纳——猜想——证明
【例4】 将正整数进行如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)……分别计算各组包含的正整数的和如下：
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
……
(1)求S7的值；
(2)由S1，S1＋S3，S1＋S3＋S5，S1＋S3＋S5＋S7的值，试猜测S1＋S3＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明.
解 (1)S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175.
(2)S1＝1；S1＋S3＝16；S1＋S3＋S5＝81；S1＋S3＋S5＋S7＝256；猜测S1＋S3＋…＋S2n－1＝n4.
证明如下：
记Mn＝S1＋S3＋…＋S2n－1.
①当n＝1时，猜想成立.
②假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，猜想成立，即Mk＝S1＋S3＋…＋S2k－1＝k4.
则当n＝k＋1时，
所以当n＝k＋1时猜想也成立.
由①②，可知对任意n∈N＋，猜想都成立.
规律方法 “归纳—猜想—证明”的一般步骤
∴当n＝k＋1时结论成立.
一、素养落地
1.通过利用数学归纳法证明数学命题，提升逻辑推理和数学运算素养.
2.在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
解析 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
答案 C
答案 B
答案 D
4.某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( )
A.当n＝4时命题不成立
B.当n＝6时命题不成立
C.当n＝4时命题成立
D.当n＝6时命题成立
解析 因为当n＝k(k∈N＋)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立.
答案 A
