(共27张PPT)
第二课时 导数的几何意义
课标要求
素养要求
1.理解导数的几何意义.
2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
理解导数的几何意义，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
新识探究
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同.
问题 如果设曲线的方程为y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？
提示 k＝f′(x0).
1.切线与割线
一般地，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上______________，则称直线P0P为曲线S的割线，如果P______接近于P0时，割线PP0无限接近于__________的一条直线l，则称直线l为曲线S在点P0处的切线.
P0附近的点
无限
通过P0
2.导数的几何意义
f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的切线的______，从而在点(x0，f(x0))处的切线方程为_________________________.
斜率
y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)
拓展深化
[微判断]
1.若f′(x0)<0，则曲线在x0点处的切线与x轴正向的夹角为钝角.(
)
2.直线l是曲线的切线，则直线与曲线只有一个公共点.(
)
提示 曲线在点x0处的切线可以与曲线不止一个公共点.
3.若f′(x0)＝0，则曲线f(x)在点(x0，f(x0))处切线不存在.(
)
提示 若f′(x0)＝0，则切线斜率为0.其切线存在，与x轴平行或重合.
√
×
×
[微训练]
1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2，8)，则在点A处的切线斜率为( )
A.4
B.16
C.8
D.2
即k＝8.
答案 C
2.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1
D.a＝－1，b＝－1
解析 由题意知，k＝f′(0)
答案 A
3.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________.
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3，30).
答案 (3，30)
[微思考]
在曲线上Pn的坐标为(xn，f(xn))，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线，PPn为割线，则割线PPn与PT有什么关系？
题型一 曲线在某点处的切线方程
【例1】 求曲线f(x)＝x2－x＋3在点(1，3)处的切线方程.
∴这条曲线在点(1，3)处的切线斜率k＝1，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0.
化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即所求的切线方程为14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.
【训练2】 求过点(－1，0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.
则切线的斜率为
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
题型三 导数几何意义的应用
【例3】 在曲线y＝x2上过哪一点的切线，
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角.
解 设P(x0，y0)是满足条件的点，
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，
即P(2，4)是满足条件的点.
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，
规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系、平行、垂直等.
【训练3】 已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标.
解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
当a＝－5时，切点坐标为(2，3).
当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.
答案 B
2.已知y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是在点A，B处切线的斜率，由图像可知f′(xA)答案 B
3.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)＝0
C.f′(x0)<0
D.f′(x0)不存在
解析 由导数的几何意义，可得f′(x0)＝－2<0.
答案 C
4.曲线y＝x2＋1在点P(2，5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________.
解析 设y＝f(x)，
∴k＝f′(2)＝4.∴曲线y＝x2＋1在点(2，5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
答案 －36.1.2 导数及其几何意义
第一课时 瞬时变化率与导数
课标要求
素养要求
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.
通过导数概念的实际背景，体会导数的内涵与思想，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养和逻辑推理素养.
新知探究
我们在物理中已经学习了物体的瞬时速度的有关知识，现在从数学的角度来重新认识一下，如果物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为x＝h(t)，也叫做物体的运动方程式位移公式.
问题 物体在[t0，t0＋Δt]内的平均速度是多少？在t0时刻的瞬时速度呢？
提示 平均速度为，当Δt→0时，该平均速度，即为t0时刻的瞬时速度.
1.瞬时变化率
一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率.
2.函数f(x)在x＝x0处的导数
函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为k，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k.
即f′(x0)＝__.
拓展深化
[微判断]
1.瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量.(×)
提示 瞬时变化率是指在[x0，x0＋Δx]，且Δx→0时的平均变化率.
2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.(√)
3.函数y＝f(x)在点x0处的导数，即函数在点x0处的瞬时变化率.(√)
[微训练]
1.函数f(x)在x0处可导，则
( )
A.与x0、h都有关
B.仅与x0有关，而与h无关
C.仅与h有关，而与x0无关
D.与x0、h均无关
答案 B
2.已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
解析 f′(1)＝＝
＝
＝－.
答案 －
3.一物体的运动方程为s(t)＝t2－3t＋2，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析 设物体在t＝t0时的瞬时速度为1，
因为＝
＝eq
\f(（t0＋Δt）2－3（t0＋Δt）＋2－（t－3t0＋2）,Δt)＝2t0－3＋Δt，
所以
(2t0－3＋Δt)＝2t0－3＝1，解得t0＝2.
答案 2
[微思考]
函数f(x)在点x0处的导数如何求？是变量还是常数？
提示 计算＝，取极限得导数f′(x0)＝
，所求函数f(x)在点x0处的导数为f′(x0)是一个常数值，与x0的取值有关的常数值，不是变量.
题型一 瞬时变化率
【例1】 若函数f(x)＝x2＋x＋1，则求
(1)函数f(x)在[1，1＋Δx]的平均变化率；
(2)函数在x＝1处的瞬时变化率.
解 (1)∵＝＝
＝3＋Δx.
即f(x)在[1，1＋Δx]的平均变化率为3＋Δx.
(2)由＝＝3＋Δx.
∴
＝
(3＋Δx)＝3，
∴
函数在x＝1处的瞬时变化率为3.
规律方法 函数的瞬时变化率即求当Δx→0时，函数平均变化率＝无限接近的常数.故瞬时变化率为
.
【训练1】 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，求常数a的值.
解 质点M在t＝2
s时的瞬时速度即为函数在t＝2
s处的瞬时变化率.
∵质点M在t＝2
s附近的平均变化率为
＝＝＝4a＋aΔt，
又∵
＝4a＝8，∴a＝2.
题型二 函数在某点处的导数
【例2】 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数.
解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，
∵＝＝3Δx＋4，
∴f′(1)＝
＝
(3Δx＋4)＝4.
规律方法 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝
.
【训练2】 已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，求a的值.
解 Δy＝a(－1＋Δx)3＋3(－1＋Δx)2＋2－[a(－1)3＋3(－1)2＋2]
＝a(Δx)3＋(3－3a)(Δx)2＋(3a－6)Δx，
＝a(Δx)2＋(3－3a)Δx＋3a－6，
＝
[a(Δx)2＋(3－3a)Δx＋3a－6]＝3a－6，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.
题型三 瞬时变化率的实际意义
【例3】 已知某产品的总成本函数为C＝2Q2＋Q＋3，总成本函数在Q0处导数f′(Q0)称为在Q处的边际成本，用MC(Q0)表示.求边际成本MC(200)并说明它的实际意义.
解 设Q＝200时，产量的改变量为ΔQ，则＝
＝2ΔQ＋801.
则MC(200)＝
(2ΔQ＋801)＝801，
即产量为200的边际成本为801，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加801.
规律方法 由Δx很小时，f(x0＋Δx)－f(x0)≈f′(x0)·Δx，瞬时变化率f′(x0)的实际意义为：当自变量在x＝x0处的改变量很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)·Δx.
【训练3】 半径为R的气球，求半径为1时体积的瞬时变化率，并说明这一瞬时变化率的实际意义.
解 半径为R的气球体积为f(R)＝πR3，
设R＝1时，半径的改变量为ΔR，则
＝＝π(3＋3ΔR＋(ΔR)2)
∴f′(1)＝
π·(3＋3ΔR＋(ΔR)2)＝4π，
∴球的体积在半径R＝1时的瞬时变化率为4π，
实际意义是，当半径改变量ΔR很小时，其体积的改变量近似值为4π·ΔR.
一、素养落地
1.通过导数概念的实际背景，体会导数的内涵与思想，培养数学抽象素养，直观想象素养和逻辑推理素养.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是导函数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.
二、素养训练
1.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A.f′(x)＝a
B.f′(x)＝b
C.f′(x0)＝a
D.f′(x0)＝b
解析 f′(x0)＝
＝
(a＋b·Δx)＝a.
答案 C
2.物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝
＝18
m/s，则下列说法中正确的是( )
A.18
m/s是物体从开始到3
s这段时间内的平均速度
B.18
m/s是物体从3
s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C.18
m/s是物体在3
s这一时刻的瞬时速度
D.18
m/s是物体从3
s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
答案 C
3.函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为________.
解析 f′(3)＝
＝
＝16.
答案 16
4.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝f(t)＝3t－t2，则物体的初速度是________.
解析 v初＝f′(0)＝
＝
(3－Δt)＝3.
答案 3
基础达标
一、选择题
1.若y＝f(x)＝，则f′(1)等于( )
A.1
B.－1
C.
D.－
解析 ∵＝＝，
∴f′(1)＝
＝
＝－1.
答案 B
2.已知y＝f(x)＝－x2＋10，则y＝f(x)在x＝处的瞬时变化率是( )
A.3
B.－3
C.2
D.－2
解析 ∵＝＝－Δx－3，
∴
＝
(－Δx－3)＝－3.
答案 B
3.设函数f(x)可导，则
等于( )
A.f′(1)
B.3f′(1)
C.f′(1)
D.f′(3)
解析
＝f′(1).
答案 A
4.物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( )
A.t＝1
B.t＝2
C.t＝3
D.t＝4
解析 设在t时刻的速度为0，
∴＝
＝－8t＋16－4Δt，
＝
(－8t＋16－4Δt)＝－8t＋16＝0，
解得t＝2.
答案 B
5.已知函数f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于( )
A.±2
B.2
C.－2
D.－4
解析 f′(x)＝
＝－，
于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
答案 A
二、填空题
6.若点(0，1)在曲线f(x)＝x2＋ax＋b上，且f′(0)＝1，则a＋b＝________.
解析 ∵f′(0)＝
＝
(a＋Δx)＝a＝1，
又∵f(0)＝1，即b＝1，∴a＋b＝2.
答案 2
7.在曲线y＝x2＋2的图像上取一点(1，3)及附近一点(1＋Δx，3＋Δy)，则
＝________.
解析 ∵＝＝2＋Δx，
∴
(2＋Δx)＝2.
答案 2
8.设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，
且
＝a，则f′(x0)＝________.
解析 ∵
＝
＝－3f′(x0)＝a，
∴f′(x0)＝－a.
答案 －a
三、解答题
9.求函数f(x)＝x＋在x＝1处的导数.
解 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)＋－3
＝，
∴＝，∴f′(1)＝
＝
＝－1.
10.若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值.
解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c
＝a(Δx)2＋2aΔx.
∴f′(1)＝＝
＝lim
(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.
能力提升
11.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________.
解析 由导数的定义，
得f′(0)＝
＝
＝[a·(Δx)＋b]＝b＞0.
又
∴ac≥，∴c>0.
∴＝≥≥＝2，
当且仅当2a＝2c＝b时，等号成立.
答案 2
12.枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动，其路程(单位：m)与时间(单位：s)的关系式为s(t)＝at2，如果枪弹的加速度a＝5×105
m/s2，且当t＝1.6×
10－3
s时，枪弹从枪口射出，求枪弹射出枪口时的瞬时速度.
解 ∵s(t)＝at2，∴＝
＝at＋aΔt.
∴
＝at，
由题意知，a＝5×105
m/s2，t＝1.6×10－3
s，
∴at＝8×102＝800(m/s)，
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800
m/s.
创新猜想
13.(多空题)已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1，1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________.
解析 在[1，1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4.
答案 4＋Δt 4
14.(多选题)下列各式正确的是( )
A.f′(x0)＝
B.f′(x0)＝
C.f′(x0)＝
D.f′(x0)＝
解析
＝
＝f′(x0)；
＝
＝f′(x0).
答案 CD第二课时 导数的几何意义
课标要求
素养要求
1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
理解导数的几何意义，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
新知探究
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同.
问题 如果设曲线的方程为y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？
提示 k＝f′(x0).
1.切线与割线
一般地，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点，则称直线P0P为曲线S的割线，如果P无限接近于P0时，割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称直线l为曲线S在点P0处的切线.
2.导数的几何意义
f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的切线的斜率，从而在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).
拓展深化
[微判断]
1.若f′(x0)<0，则曲线在x0点处的切线与x轴正向的夹角为钝角.(√)
2.直线l是曲线的切线，则直线与曲线只有一个公共点.(×)
提示 曲线在点x0处的切线可以与曲线不止一个公共点.
3.若f′(x0)＝0，则曲线f(x)在点(x0，f(x0))处切线不存在.(×)
提示 若f′(x0)＝0，则切线斜率为0.其切线存在，与x轴平行或重合.
[微训练]
1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2，8)，则在点A处的切线斜率为( )
A.4
B.16
C.8
D.2
解析 f′(2)＝
＝＝
(8＋2Δx)＝8，即k＝8.
答案 C
2.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1
D.a＝－1，b＝－1
解析 由题意知，k＝f′(0)
＝
＝
(Δx＋a)＝a＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
答案 A
3.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________.
解析 设点P(x0，2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝
＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3，30).
答案 (3，30)
[微思考]
在曲线上Pn的坐标为(xn，f(xn))，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线，PPn为割线，则割线PPn与PT有什么关系？
提示 割线PPn的斜率kn＝＝，当Pn点无限接近于P点时，割线PP0趋近于在点P处的切线PT，kn无限趋近于切线PT的斜率.
题型一 曲线在某点处的切线方程
【例1】 求曲线f(x)＝x2－x＋3在点(1，3)处的切线方程.
解 ∵
＝
＝1，
∴这条曲线在点(1，3)处的切线斜率k＝1，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0.
规律方法 一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图像，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知曲线C在点P处的切线的斜率k＝
＝
，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.
【训练1】 求曲线y＝在点处的切线方程.
解 因为
＝
＝
＝－，所以这条曲线在点处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.
题型二 曲线过某点的切线方程
【例2】 求抛物线y＝x2过点的切线方程.
解 设过点的切线与抛物线相切于点eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,4)x))，
∵f′(x0)＝
eq
\f(\f(1,4)（x0＋Δx）2－\f(1,4)x,Δx)
＝
＝x0，
∴eq
\f(\f(1,4)x－\f(7,4),x0－4)＝x0，
即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，
即切点坐标为，，
故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，
化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即所求的切线方程为14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.
规律方法 过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求解步骤
(1)设切点(x0，f(x0)).
(2)建立方程f′(x0)＝.
(3)解方程得k＝f′(x0)，由x0，f(x0)及k，从而写出切线方程.
【训练2】 求过点(－1，0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.
解 设切点为(x0，x＋x0＋1)，
则切线的斜率为
k＝
eq
\f(（x0＋Δx）2＋（x0＋Δx）＋1－（x＋x0＋1）,Δx)
＝2x0＋1.
又k＝eq
\f(（x＋x0＋1）－0,x0－（－1）)＝eq
\f(x＋x0＋1,x0＋1)，
∴2x0＋1＝eq
\f(x＋x0＋1,x0＋1)，
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
题型三 导数几何意义的应用
【例3】 在曲线y＝x2上过哪一点的切线，
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角.
解 设P(x0，y0)是满足条件的点，
则f′(x0)＝
＝
eq
\f(（x0＋Δx）2－x,Δx)＝2x0，
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，
即P(2，4)是满足条件的点.
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点.
(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，
所以其斜率为－1，即2x0＝－1，
得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点.
规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系、平行、垂直等.
【训练3】 已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标.
解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵f′(x0)＝
＝
eq
\f(（x0＋Δx）3－2（x0＋Δx）2＋3－（x－2x＋3）,Δx)
＝3x－4x0.
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点的坐标为或(2，3).
当切点为时，有＝4×＋a，
解得a＝.
当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.
∴当a＝时，切点坐标为；
当a＝－5时，切点坐标为(2，3).
一、素养落地
1.理解导数的几何意义，提升数学抽象素养、逻辑推理素养与直观想象素养.
2.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
二、素养训练
1.已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为( )
A.30°
B.45°
C.135°
D.165°
解析 设y＝f(x)，则f′(1)＝
＝＝
＝1.
∴点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
答案 B
2.已知y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是在点A，B处切线的斜率，由图像可知f′(xA)答案 B
3.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)＝0
C.f′(x0)<0
D.f′(x0)不存在
解析 由导数的几何意义，可得f′(x0)＝－2<0.
答案 C
4.曲线y＝x2＋1在点P(2，5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________.
解析 设y＝f(x)，
则f′(2)＝
＝
＝
(4＋Δx)＝4，
∴k＝f′(2)＝4.∴曲线y＝x2＋1在点(2，5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
答案 －3
基础达标
一、选择题
1.曲线f(x)＝－在点(1，－1)处的切线方程为( )
A.x－y－2＝0
B.x＋y＝0
C.x＋2y＋1＝0
D.2x＋y－1＝0
解析 因为f′(1)＝
＝
＝1，
则f(x)＝－在点(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
答案 A
2.已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵点P在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，∴在点P处的切线斜率为k＝f′(1)
＝
＝－1，
又∵倾斜角的取值范围是[0，π)，
∴在点P处的切线的倾斜角为.
答案 C
3.如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A.－4
B.3
C.－2
D.1
解析 由图像可得函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选D.
答案 D
4.曲线y＝x2在点P的切线倾斜角为，则点P的坐标为( )
A.(0，0)
B.(2，4)
C.(，)
D.(，)
解析 设P点坐标为(x0，y0)，则
eq
\f(（x0＋Δx）2－x,Δx)＝
(2x0＋Δx)＝2x0，
∴令2x0＝tan
＝1，得x0＝.∴y＝＝，所求点的坐标为.
答案 D
5.设f(x)为可导函数，且满足
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A.2
B.－1
C.1
D.－2
解析 ∵
·
＝
＝f′(1)＝－1，
∴f′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－2.
答案 D
二、填空题
6.已知函数f(x)＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________.
解析 由题意知a＋b＝3，
又f′(1)＝
＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2，故＝2.
答案 2
7.函数f(x)＝x－的图像与x轴交点处的切线的方程为________.
解析 由f(x)＝x－＝0得x＝±1，即函数f(x)的图像与x轴的交点坐标为(1，0)或(－1，0).
∵f′(x)＝
＝
＝1＋，
∴切线的斜率k＝1＋＝2.
∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1).
答案 y＝2x－2或y＝2x＋2
8.若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p＝________.
解析 设切点坐标为(x0，1)，则f′(x0)＝
eq
\f(2（x0＋Δx）2－4（x0＋Δx）＋p－（2x－4x0＋p）,Δx)＝4x0－4＝0，
∴x0＝1，即切点坐标为(1，1).∴2－4＋p＝1，即p＝3.
答案 3
三、解答题
9.求过点P(－1，2)且与曲线f(x)＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线.
解 曲线f(x)＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线斜率
k＝f′(1)＝
＝
(3Δx＋2)＝2.
∴过点P(－1，2)的直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
10.已知抛物线f(x)＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程.
解 (1)
由得或
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)或(3，13).
(2)∵f(x)＝x2＋4，
∴f′(x)＝
＝
＝
(Δx＋2x)＝2x.
∴f′(－2)＝－4，f′(3)＝6，
即在点(－2，8)处的切线斜率为－4，在点(3，13)处的切线斜率为6.
∴在点(－2，8)处的切线方程为4x＋y＝0；
在点(3，13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
能力提升
11.曲线f(x)＝x3在点(1，1)处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为________.
解析 ∵f′(1)＝
＝3，
∴曲线f(x)＝x3在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，联立方程则y＝4，令y＝3x－2＝0，则x＝，故切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为××4＝.
答案
12.已知曲线y＝2x2－7，求：
(1)曲线在哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)曲线过点P(3，9)的切线方程.
解
＝
＝
(4x＋2Δx)＝4x.
(1)设切点为(x0，y0)，
则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5).
(2)由于点P(3，9)不在曲线上.
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).
将P(3，9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0).
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25).
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
创新猜想
13.(多选题)曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为( )
A.y＝9x
B.y＝9x－26
C.y＝9x＋26
D.y＝9x＋6
解析 设P(x0，x－3x＋1)，
f′(x0)＝
＝
eq
\f(（x0＋Δx）3－3（x0＋Δx）2＋1－（x－3x＋1）,Δx)
＝3x－6x0＝9，
即x－2x0－3＝0，解得x0＝－1或3.
∴点P的坐标为(－1，－3)或(3，1).
∴切线方程为y＋3＝9(x＋1)或y－1＝9(x－3)，
即y＝9x＋6或y＝9x－26.
答案 BD
14.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线
B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析 k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程是x＝x0，故AC正确.
答案 AC(共24张PPT)
6.1.2 导数及其几何意义
第一课时 瞬时变化率与导数
课标要求
素养要求
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.
通过导数概念的实际背景，体会导数的内涵与思想，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养和逻辑推理素养.
新识探究
我们在物理中已经学习了物体的瞬时速度的有关知识，现在从数学的角度来重新认识一下，如果物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为x＝h(t)，也叫做物体的运动方程式位移公式.
问题 物体在[t0，t0＋Δt]内的平均速度是多少？在t0时刻的瞬时速度呢？
1.瞬时变化率
一般地，设函数y＝f(x)在__________有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx____________0时，若平均变化率
______________________，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率.
x0附近
无限接近于
无限接近于一个常数k
可导
拓展深化
[微判断]
1.瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量.(
)
提示 瞬时变化率是指在[x0，x0＋Δx]，且Δx→0时的平均变化率.
2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.(
)
3.函数y＝f(x)在点x0处的导数，即函数在点x0处的瞬时变化率.(
)
×
√
√
答案 B
3.一物体的运动方程为s(t)＝t2－3t＋2，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析 设物体在t＝t0时的瞬时速度为1，
答案 2
[微思考]
函数f(x)在点x0处的导数如何求？是变量还是常数？
题型一 瞬时变化率
【例1】 若函数f(x)＝x2＋x＋1，则求
(1)函数f(x)在[1，1＋Δx]的平均变化率；
(2)函数在x＝1处的瞬时变化率.
即f(x)在[1，1＋Δx]的平均变化率为3＋Δx.
∴
函数在x＝1处的瞬时变化率为3.
【训练1】 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，求常数a的值.
解 质点M在t＝2
s时的瞬时速度即为函数在t＝2
s处的瞬时变化率.
题型二 函数在某点处的导数
【例2】 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数.
解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，
【训练2】 已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，求a的值.
解 Δy＝a(－1＋Δx)3＋3(－1＋Δx)2＋2－[a(－1)3＋3(－1)2＋2]
＝a(Δx)3＋(3－3a)(Δx)2＋(3a－6)Δx，
＝3a－6，
题型三 瞬时变化率的实际意义
【例3】 已知某产品的总成本函数为C＝2Q2＋Q＋3，总成本函数在Q0处导数f′(Q0)称为在Q处的边际成本，用MC(Q0)表示.求边际成本MC(200)并说明它的实际意义.
＝2ΔQ＋801.
即产量为200的边际成本为801，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加801.
规律方法 由Δx很小时，f(x0＋Δx)－f(x0)≈f′(x0)·Δx，瞬时变化率f′(x0)的实际意义为：当自变量在x＝x0处的改变量很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)·Δx.
【训练3】 半径为R的气球，求半径为1时体积的瞬时变化率，并说明这一瞬时变化率的实际意义.
∴球的体积在半径R＝1时的瞬时变化率为4π，
实际意义是，当半径改变量ΔR很小时，其体积的改变量近似值为4π·ΔR.
一、素养落地
1.通过导数概念的实际背景，体会导数的内涵与思想，培养数学抽象素养，直观想象素养和逻辑推理素养.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是导函数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.
二、素养训练
1.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A.f′(x)＝a
B.f′(x)＝b
C.f′(x0)＝a
D.f′(x0)＝b
答案 C
答案 C
3.函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为________.
答案 16
4.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝f(t)＝3t－t2，则物体的初速度是________.
答案 3
