(共21张PPT)
6.1.3 基本初等函数的导数
新识探究
若y＝c表示路程关于时间的函数，则其瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.物体不会始终处于静止状态，对路程关于时间的函数我们可以利用导数的定义求出函数在某一点处的导数，对基本初等函数及简单函数的导数又会如何呢？
问题 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何求函数y＝f(x)的导数？
每一点x
导数f′(x)
f′(x)
0
α·xα－1
ax·ln
a
cos
x
－sin
x
2.若f′(x)＝sin
x，则f(x)＝cos
x.(
)
提示 (cos
x)′＝－sin
x.
×
×
×
规律方法 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导.
(2)y′＝(x－3)′＝－3x－4；
解 ∵y＝sin
x，∴y′＝cos
x，
规律方法 要求函数在某点处的导数值，可先求出函数的导函数，再将值代入即可.
解 由抛物线方程，得y′＝x，∴kPA＝4，kQA＝－2.
∵P(4，8)，Q(－2，2)，
∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.
QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.
题型三 利用导数公式求过某点的切线方程
【例3】 已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.
解 ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则所求切线的斜率为2x0，
规律方法 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用以下三个条件联立方程解决
(1)切点处的导数值是切线的斜率.
(2)切点在切线上.
(3)切点又在曲线上.
【训练3】 已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最小距离.
解 ∵y＝x2，∴y′＝(x2)′＝2x.根据题意可知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线所对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最小，设切点坐标为(x0，x)，则2x0＝1，
二、素养训练
1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于( )
A.0
B.2x
C.6
D.9
解析 ∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
答案 C
解析 ①中(3x)′＝3xln
3，②③④均正确.
答案 C
答案 x＋9y－30＝0
4.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.6.1.3 基本初等函数的导数
课标要求
素养要求
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.2.能使用给出的基本初等函数的导数公式表求函数的导数.
理解并会应用基本初等函数的导数公式表，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养.
新知探究
若y＝c表示路程关于时间的函数，则其瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.物体不会始终处于静止状态，对路程关于时间的函数我们可以利用导数的定义求出函数在某一点处的导数，对基本初等函数及简单函数的导数又会如何呢？
问题 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何求函数y＝f(x)的导数？
提示 计算并化简，当Δx→0时，趋近于的定值即为函数y＝f(x)的导数.
1.导函数
一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导，此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝
，导函数也简称为导数.
2.基本初等函数的求导公式
C′＝0，(xα)′＝α·xα－1，(ax)′＝ax·ln__a，(logax)′＝，(sin
x)′＝cos__x，(cos
x)′＝－sin__x.
拓展深化
[微判断]
1.y＝sin
，则y′＝cos
.(×)
提示 sin
＝是常数，则′＝0.
2.若f′(x)＝sin
x，则f(x)＝cos
x.(×)
提示 (cos
x)′＝－sin
x.
3.(2x)′＝.(×)
提示 (2x)′＝2x·ln
2.
[微训练]
1.求下列函数的导数：
(1)′＝________；(2)(ln
2)′＝________
(3)(cos
x)′＝________；(4)′＝________；
(5)(ex)′＝________；(6)(5x)′＝________.
答案 (1)－ (2)0 (3)－sin
x (4)x－ (5)ex
(6)5xln
5
2.函数f(x)＝sin
x，则f′＝________.
解析 f′(x)＝cos
x，∴f′＝cos
＝.
答案
[微思考]
1.由(ax)′＝ax·ln
a，及(logax)′＝，当a＝e时会出现什么情况？
提示 当a＝e时，可得：(ex)′＝ex，(ln
x)′＝.
2.如何求f(x)＝2sin
cos
的导数？
提示把f(x)＝2sincos化为f(x)＝sin
x，则f′(x)＝cos
x.
题型一 基本初等函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝cos
；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg
x；(5)y＝5x；(6)y＝cos
.
解 (1)∵y＝cos
＝，∴y′＝′＝0.
(2)∵y＝＝x－5，∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－.
(3)∵y＝＝x，∴y′＝(x)′＝x＝.
(4)y′＝.(5)y′＝5xln
5.
(6)∵y＝cos
＝sin
x，∴y′＝(sin
x)′＝cos
x.
规律方法 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导.
【训练1】 求下列函数的导数：
(1)y＝sin
；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝log3x.
解 (1)∵y＝sin
＝，y′＝0；
(2)y′＝(x－3)′＝－3x－4；
(3)y′＝′＝′＝x－＝；
(4)y′＝(log3x)′＝.
题型二 利用导数公式求在某点处的切线方程
【例2】 求过曲线y＝sin
x上点P且与在这点的切线垂直的直线方程.
解 ∵y＝sin
x，∴y′＝cos
x，
曲线在点P处的切线斜率是：
cos＝.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，
故所求的直线方程为y－＝－，
即2x＋y－－＝0.
规律方法 要求函数在某点处的导数值，可先求出函数的导函数，再将值代入即可.
【训练2】 已知P，Q为抛物线y＝x2上两点，点P
，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，求两切线的交点A的坐标.
解 由抛物线方程，得y′＝x，∴kPA＝4，kQA＝－2.
∵P(4，8)，Q(－2，2)，
∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.
QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.
联立方程组解得
∴A(1，－4).
题型三 利用导数公式求过某点的切线方程
【例3】 已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.
解 ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则所求切线的斜率为2x0，
又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，
∴k＝2x0＝1，即x0＝，所以切点为M.
∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
规律方法 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用以下三个条件联立方程解决
(1)切点处的导数值是切线的斜率.
(2)切点在切线上.
(3)切点又在曲线上.
【训练3】 已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最小距离.
解 ∵y＝x2，∴y′＝(x2)′＝2x.根据题意可知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线所对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最小，设切点坐标为(x0，x)，则2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最小距离为.
一、素养落地
1.使用基本初等函数的导数公式表，培养数学抽象素养，逻辑推理素养.
2.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.
3.有些函数可先化简再应用公式求导.
如求y＝1－2sin2的导数.因为y＝1－2sin2＝cos
x，
所以y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
4.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.
二、素养训练
1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于( )
A.0
B.2x
C.6
D.9
解析 ∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
答案 C
2.下列函数求导运算正确的个数为( )
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③＝x；④若y＝，则当x＝3时，y′＝－.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①中(3x)′＝3xln
3，②③④均正确.
答案 C
3.曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是________.
解析 ∵y′＝－，∴切线斜率为－＝－，
∴过点(3，3)的斜率为－的切线方程为：
y－3＝－(x－3)，即x＋9y－30＝0.
答案 x＋9y－30＝0
4.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S△＝×1×＝e2.
答案 e2
基础达标
一、选择题
1.下列各式中正确的个数是( )
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③′＝－x－；
④()′＝x－；⑤(cos
x)′＝－sin
x；⑥(cos
2)′＝－sin
2.
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 ∵②(x－1)′＝－x－2；⑥(cos
2)′＝0.
∴②⑥不正确，故选B.
答案 B
2.已知函数f(x)＝，则f′(3)等于( )
A.
B.0
C.
D.
解析 ∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.
答案 A
3.曲线y＝在点P处的切线斜率为－4，则点P的坐标为( )
A.
B.或
C.
D.
解析 y′＝′＝－＝－4，x＝±，故选B.
答案 B
4.设正弦曲线y＝sin
x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪
B.[0，π)
C.
D.∪
解析 ∵(sin
x)′＝cos
x，∴直线l的斜率kl＝cos
x，
∴－1≤kl≤1，
∴直线l的倾斜角αl∈∪.
答案 A
5.已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b等于( )
A.4
B.－4
C.28
D.－28
解析 ∵点(2，8)在切线上，∴2k＋b＝8，①
又y＝x3，∴y′＝(x3)′＝3x2，
∴切线斜率k＝3×22＝12，②
由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.
答案 C
二、填空题
6.已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________.
解析 f′(x)＝－，g′(x)＝m.
∵g′(2)＝，∴m＝－4.
答案 －4
7.设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为________.
解析 y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率为k1＝e0＝1.
设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，
曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率为k2＝－(m>0).
因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，
所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).
答案 (1，1)
8.若曲线y＝x－在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
解析 ∵y＝x－，∴y′＝－x－，
∴曲线在点处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a).
令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64.
答案 64
三、解答题
9.求下列函数的导数：
(1)
y＝；(2)y＝；
(3)y＝－2sin
；
(4)y＝log2x2－log2x.
解 (1)y′＝′＝′＝x－1＝x－＝.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)∵y＝－2sin
＝2sin
＝2sin
cos
＝sin
x，
∴y′＝(sin
x)′＝cos
x.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝(x>0).
10.已知f(x)＝cos
x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值.
解 ∵f(x)＝cos
x，g(x)＝x，
∴f′(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，g′(x)＝x′＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin
x＋1≤0，
即sin
x≥1，但sin
x∈[－1，1]，
∴sin
x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.
能力提升
11.设直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x>0)的一条切线，则实数b的值为________.
解析 因为y′＝(ln
x)′＝，设直线y＝x＋b与曲线y＝ln
x相切于点(x0，y0)，
由题意，得＝，所以x0＝2，y0＝ln
2，
代入直线方程y＝x＋b，得b＝ln
2－1.
答案 ln
2－1
12.点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最小.
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
创新猜想
13.(多选题)下列曲线的所有切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是( )
A.f(x)＝ex
B.f(x)＝x3
C.f(x)＝ln
x
D.f(x)＝sin
x
解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.
因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln
x)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，而D项中(sin
x)′＝cos
x存在互相垂直的切线.
答案 ABC
14.(多空题)过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________.
解析 ∵y＝ex，∴y′＝(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，y0)，
切线的斜率为ex0，则ex0＝，①
又y0＝ex0，②
由①②可得x0＝1，∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
答案 (1，e) e
