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第二课时 导数与函数的单调性(二)
课标要求
素养要求
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
进一步理解函数的导数和其单调性的关系，提升数学运算素养与直观想象素养.
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0
∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
规律方法 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.
①当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
解析 (1)易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.
令h(x)＝2x2－2bx＋1，
答案 (1)B (2)A
规律方法 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
【训练2】 若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是( )
A.(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞)
B.(－3，－1)∪(1，3)
C.(－2，2)
D.不存在这样的实数k
解析 由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根.
又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，
故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，
∴k－1<2∴1答案 B
题型三 函数单调性的应用
【例3】 (1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则( )
A.e－2
021f(－2
021)021f(2
021)>f(0)
B.e－2
021f(－2
021)021f(2
021)C.e－2
021f(－2
021)>f(0)，e2
021f(2
021)>f(0)
D.e－2
021f(－2
021)>f(0)，e2
021f(2
021)(2)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是( )
A.(0，1)
B.(2，＋∞)
C.(1，2)
D.(1，＋∞)
解析 (1)构造函数h(x)＝exf(x)，
则h′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex(f(x)＋f′(x))>0，
所以函数h(x)在R上单调递增，
故h(－2
021)021f(－2
021)021f(－2
021)同理，h(2
021)>h(0)，即e2
021f(2
021)>f(0)，故选A.
(2)构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，
所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.
又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，
所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，
所以x＋1解得x>2或x<－1(舍).
所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).故选B.
答案 (1)A (2)B
【迁移1】 把例3(1)中的条件“f(x)＋f′(x)>0”换为“f′(x)>f(x)”，比较e2
021f(－2
021)和f(0)的大小.
【迁移2】 把例3(2)中的条件“f(x)<－xf′(x)”换为“f(x)(2x＋1)f(x2＋1).
∵f(x)0，故g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
由(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)得
即不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)的解集为(0，2).
答案 CD
一、素养落地
1.通过学习导数与函数的单调性，提升数学运算与逻辑推理素养.
2.对于含参数的导数的单调性，要清楚分类讨论的标准，做到不重不漏.
3.利用函数的单调性求参数的取值范围的关键是转化为不等式的恒成立问题或存在问题，再利用分离参数法或函数的性质求解.
二、素养训练
1.设函数f(x)＝2x＋sin
x，则( )
A.f(1)>f(2)
B.f(1)C.f(1)＝f(2)
D.以上都不正确
解析 f′(x)＝2＋cos
x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)答案 B
解析 f′(x)＝x2－2ax，令f′(x)<0，由于a>0，故解得0答案 A
∴x∈(0，e)，f′(x)>0，x∈(e，＋∞)，f′(x)<0，
故x＝e时，f(x)max＝f(e)，
则f(e)>f(3)>f(2).
答案 D
解析 ∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.
答案 (－∞，－1]第二课时 导数与函数的单调性(二)
课标要求
素养要求
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.
进一步理解函数的导数和其单调性的关系，提升数学运算素养与直观想象素养.
题型一 含参数函数的单调性
【例1】 讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln
x(a≥0)的单调性.
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax＋1－＝.
①当a＝0时，f′(x)＝，
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
②当a>0时，f′(x)＝，
∵a>0，∴>0.
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
规律方法 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.
【训练1】 求函数f(x)＝＋aln
x(a∈R)的单调递减区间.
解 易得函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.
①当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
②当a>0时，若0若x>，则f′(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.
综上可知，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，当a>0时，f(x)的单调递减区间为.
题型二 根据函数的单调性求参数
【例2】 (1)若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间上单调递增，则实数c的取值范围是( )
A.(－∞，2]
B.(－∞，4]
C.(－∞，8]
D.[－2，4]
(2)已知函数f(x)＝在上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是( )
A.
B.(－∞，3)
C.
D.(－∞，)
解析 (1)易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.
∵函数f(x)在区间上单调递增，等价于x2＋(2－c)x－c＋5≥0对任意x∈恒成立，∴c≤对任意x∈恒成立.
∵x∈，∴＝x＋1＋≥4，当且仅当x＝1时等号成立，∴c≤4.
(2)易得f′(x)＝＋x－b＝.
根据题意，得f′(x)>0在上有解.
令h(x)＝2x2－2bx＋1，
因为h(0)＝1>0，所以只需h(2)>0或h>0，
解得b<，故选A.
答案 (1)B (2)A
规律方法 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
【训练2】 若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是( )
A.(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞)
B.(－3，－1)∪(1，3)
C.(－2，2)
D.不存在这样的实数k
解析 由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根.
又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，
故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，
∴k－1<2∴1答案 B
题型三 函数单调性的应用
【例3】 (1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则( )
A.e－2
021f(－2
021)021f(2
021)>f(0)
B.e－2
021f(－2
021)021f(2
021)C.e－2
021f(－2
021)>f(0)，e2
021f(2
021)>f(0)
D.e－2
021f(－2
021)>f(0)，e2
021f(2
021)(2)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是( )
A.(0，1)
B.(2，＋∞)
C.(1，2)
D.(1，＋∞)
解析 (1)构造函数h(x)＝exf(x)，
则h′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex(f(x)＋f′(x))>0，
所以函数h(x)在R上单调递增，
故h(－2
021)021f(－2
021)021f(－2
021)同理，h(2
021)>h(0)，即e2
021f(2
021)>f(0)，故选A.
(2)构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，
所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.
又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，
所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，
所以x＋1解得x>2或x<－1(舍).
所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).故选B.
答案 (1)A (2)B
【迁移1】 把例3(1)中的条件“f(x)＋f′(x)>0”换为“f′(x)>f(x)”，比较
e2
021f(－2
021)和f(0)的大小.
解 令g(x)＝，则g′(x)＝，因为对任意的x∈R，都有f′(x)>f(x)，所以g′(x)>0，即g(x)在R上单调递增，所以h(－2
021)021f(－2
021)【迁移2】 把例3(2)中的条件“f(x)<－xf′(x)”换为“f(x)(2x＋1)f(x2＋1).
解 设g(x)＝，则g′(x)＝，
∵f(x)0，故g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
由(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)得
>
即g(2x＋1)>g(x2＋1)，所以解得0即不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)的解集为(0，2).
规律方法 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有：
(1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x).
(2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x).
(3)对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝exf(x).
(4)对于f′(x)>f(x)，构造h(x)＝.
(5)对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝xf(x).
(6)对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝.
【训练3】 (多选题)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(0)＝0，f′(x)cos
x＋f(x)sin
x<0，则下列判断中正确的是( )
A.fB.f>0
C.f>f
D.f>f
解析 令g(x)＝，x∈，
则g′(x)＝，
因为f′(x)cos
x＋f(x)sin
x<0，所以g′(x)＝<0在上恒成立，因此函数g(x)＝在上单调递减，
又<，所以g>g，即>，
即f>f，故A错；
又f(0)＝0，所以g(0)＝＝0，所以g(x)＝≤0在上恒成立，
因为ln
∈，所以f<0，故B错；
又>，所以g>g，所以>，
即f>f，故C正确；
又<，所以g>g，所以>，
即f>f，故D正确；故选CD.
答案 CD
一、素养落地
1.通过学习导数与函数的单调性，提升数学运算与逻辑推理素养.
2.对于含参数的导数的单调性，要清楚分类讨论的标准，做到不重不漏.
3.利用函数的单调性求参数的取值范围的关键是转化为不等式的恒成立问题或存在问题，再利用分离参数法或函数的性质求解.
二、素养训练
1.设函数f(x)＝2x＋sin
x，则( )
A.f(1)>f(2)
B.f(1)C.f(1)＝f(2)
D.以上都不正确
解析 f′(x)＝2＋cos
x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)答案 B
2.若f(x)＝x3－ax2的单调减区间是(0，2)，则正数a的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 f′(x)＝x2－2ax，令f′(x)<0，由于a>0，故解得0答案 A
3.已知f(x)＝，则( )
A.f(2)>f(e)>f(3)
B.f(3)>f(e)>f(2)
C.f(3)>f(2)>f(e)
D.f(e)>f(3)>f(2)
解析 f(x)的定义域是(0，＋∞)，∵f′(x)＝，
∴x∈(0，e)，f′(x)>0，x∈(e，＋∞)，f′(x)<0，
故x＝e时，f(x)max＝f(e)，
又f(2)＝＝，f(3)＝＝，
则f(e)>f(3)>f(2).
答案 D
4.若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________.
解析 ∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.
∵f′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在
(－1，＋∞)上恒成立.
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.
答案 (－∞，－1]
基础达标
一、选择题
1.已知函数f(x)＝，当1A.f()B.f(x)C.f2(x)D.f2(x)解析 由题意得f′(x)＝，当10，所以f(x)在(1，3)上单调递增.又1<f(1)＝e，所以f2(x)>f(x).综上f()答案 A
2.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有( )
A.f′(x)>0，g′(x)>0
B.f′(x)>0，g′(x)<0
C.f′(x)<0，g′(x)>0
D.f′(x)<0，g′(x)<0
解析 由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数.∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(－∞，0)上单调递减，∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
答案 B
3.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln
x在(1，2)上为增函数，则a＝( )
A.1
B.2
C.0
D.
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，∴≥1，得a≥2.g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在(1，2)上恒成立，即2x2≥a在x∈(1，2)时恒成立，有a≤2，∴a＝2.
答案 B
4.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－]∪[，＋∞)
B.[－，]
C.(－∞，－)∪(，＋∞)
D.(－，)
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax－1，由题意，可知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，∴(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－≤a≤.
答案 B
5.若函数f(x)＝2x2－ln
x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－.令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去).当0时，f′(x)>0，函数f(x)在区间上单调递增.因为函数f(x)在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1<答案 C
二、填空题
6.若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为________.
解析 f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex.因为f(x)的单调减区间是，所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1，即解得m＝－.
答案 －
7.函数f(x)＝x3－(2a＋1)x2＋(a2＋a)x＋4的单调减区间是________.
解析 f′(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝[x－(a＋1)](x－a)，令f′(x)<0，得a答案 (a，a＋1)
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，若当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，则不等式xf(x)>0的解集是________.
解析 由题意设g(x)＝xf(x)，
则g′(x)＝xf′(x)＋f(x).
∵当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(x)是定义在R上的偶函数.
又f(2)＝0，则g(2)＝2f(2)＝0，
∴不等式xf(x)>0等价于g(x)>0＝g(2)，
∴|x|>2，解得x<－2或x>2，
∴不等式xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞).
答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间.
解 (1)∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，
∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴f′(1)＝4.又f(1)＝3，
∴切点坐标为(1，3)，∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.
(2)f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，
由f′(x)＝0得x＝－a或x＝.
又a>0，由f′(x)<0，得－a由f′(x)>0，得x<－a或x>，
故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和.
10.试讨论函数f(x)＝kx－ln
x的单调区间.
解 函数f(x)＝kx－ln
x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
当k>0时，由f′(x)<0，即<0，
解得0由f′(x)>0，即>0，解得x>.
∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
当k>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
能力提升
11.已知函数f(x)＝xln
x＋x(x－a)2(a∈R).若存在x∈，使得f(x)>xf′(x)成立，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.(，＋∞)
D.(3，＋∞)
解析 由f(x)>xf′(x)成立，可得′＝<0.
设g(x)＝＝ln
x＋(x－a)2，则存在x∈，使得g′(x)＝＋2(x－a)<0成立，即a>.又x＋≥2＝，当且仅当x＝，即x＝时取等号，所以a>.故选C.
答案 C
12.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在区间内是减函数，求a的取值范围.
解 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋1，Δ＝4(a2－3).
当Δ＞0，即a＞或a＜－时，
令f′(x)＞0，即3x2＋2ax＋1＞0，
解得x＞或x＜；
令f′(x)＜0，即3x2＋2ax＋1＜0，
解得＜x＜.
故函数f(x)的单调递增区间是
，；
单调递减区间是.
当Δ＜0，即－＜a＜时，对所有的x∈R都有f′(x)＞0，故f(x)在R上单调递增.
当Δ＝0，即a＝±时，f′＝0，且对所有的x≠－都有f′(x)＞0，故f(x)在R上单调递增.
(2)由(1)，知只有当a＞或a＜－时，
f(x)在内是减函数，
所以解得a≥2.
故a的取值范围是[2，＋∞).
创新猜想
13.(多选题)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)A.f(ln
2)<2f(0)
B.f(2)C.f(ln
2)>2f(0)
D.f(2)>e2f(0)
解析 令g(x)＝，则g′(x)＝<0，
故g(x)在R上单调递减，而ln
2>0，2>0，
故g(ln
2)即<，<，
所以f(ln
2)<2f(0)，f(2)答案 AB
14.(多空题)已知函数f(x)＝ln
x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)由题知h(x)＝ln
x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，可得当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，即a>－有解.设G(x)＝－(x>0)，所以只要a>G(x)min即可.而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1.因为a≠0，所以－10.
(2)由h(x)在[1，4]上单调递减，得当x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立.
设H(x)＝－，x∈[1，4]，所以a≥H(x)max，
而H(x)＝－1，
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以H(x)max＝－(此时x＝4).
因为a≠0，所以－≤a<0或a>0.
答案 (1)(－1，0)∪(0，＋∞)
(2)∪(0，＋∞)(共24张PPT)
6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
第一课时 导数与函数的单调性(一)
课标要求
素养要求
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
通过利用导数研究函数的单调性，结合函数的图像对其加以理解，发展学生数学运算和直观想象素养.
新识探究
竖直上抛一个小沙袋，沙袋的高度h是时间t的函数，设h＝h(t)，其图像如图所示.横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h，设沙袋的最高点为A，其横坐标为t＝t0.
小沙袋从a到t0这段时间内运动速度越来越小，从t0到b这段时间内，运动速度越来越大.
问题 怎样才能更深刻地研究速度变化的各区间呢？
提示 学习本课后，我们可以利用导数来判断函数的单调性，从而可研究速度变化的各个区间.
函数的单调性与导数的关系
(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递____
f′(x)<0
单调递____
f′(x)＝0
常函数
增
减
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导数
单调递____
f′(x)≥0
单调递____
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
增
减
拓展深化
[微判断]
1.函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减.(
)
2.函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(
)
提示 反例：f(x)＝x3，x∈(－1，1)，当x＝0时，f′(0)＝0.
3.函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞).(
)
×
×
√
[微训练]
1.函数f(x)＝2x＋cos
x在(－∞，＋∞)上( )
A.是增函数
B.是减函数
C.单调性不确定
D.是奇函数
解析 ∵f′(x)＝2－sin
x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.
答案 A
2.函数f(x)＝x3－3x的单调增区间是________.
解析 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0得x2>1，即x>1或x<－1.
故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞).
答案 (－∞，－1)，(1，＋∞)
3.函数f(x)＝ln
x－x的单调增区间是________.
答案 (0，1)
[微思考]
1.在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？
提示 必要不充分条件.
2.若函数f(x)的增区间是A，且f(x)在区间B上单调递增，那么A与B是什么关系？
提示 B?A
题型一 函数图像与导函数图像的关系
【例1】 (1)已知f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，那么f(x)的图像最有可能是图中的( )
解析 (1)由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x∈(0，2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图像如图D.
答案 (1)D (2)D
规律方法 函数图像的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图像上升；符号为负，图像下降.看导函数图像时，主要是看图像在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图像还是其导函数图像.
【训练1】 在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图像，下列一定不正确的序号是( )
A.①②
B.①③
C.③④
D.①④
解析 当f′(x)>0时，y＝f(x)是增加的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是减少的.故可得，①②中函数图像的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误.
答案 C
解 (1)f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，
规律方法 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y′＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数.
【训练2】 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sin
x－x(0解 (1)f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)<0解得
－3故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
减区间是(－3，2).
(2)f′(x)＝cos
x－1.
因为0x－1<0恒成立，
故函数f(x)的单调递减区间为(0，π).
一、素养落地
1.通过学习函数的图像与其导函数图像之间的关系，培养直观想象素养，通过学习利用导数求函数的单调区间，提升数学运算素养.
2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
答案 A
2.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图像如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为( )
A.(－2，0)∪(2，＋∞)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－2，－1)∪(1，2)
解析 因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数，所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.
答案 C
解析 f′(x)＝ln
x＋1(x>0)，令f′(x)>0，
答案 C
4.函数f(x)＝x＋2cos
x，x∈(0，π)的单调递减区间是________.6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
第一课时 导数与函数的单调性(一)
课标要求
素养要求
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
通过利用导数研究函数的单调性，结合函数的图像对其加以理解，发展学生数学运算和直观想象素养.
新知探究
竖直上抛一个小沙袋，沙袋的高度h是时间t的函数，设h＝h(t)，其图像如图所示.横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h，设沙袋的最高点为A，其横坐标为t＝t0.
小沙袋从a到t0这段时间内运动速度越来越小，从t0到b这段时间内，运动速度越来越大.
问题 怎样才能更深刻地研究速度变化的各区间呢？
提示 学习本课后，我们可以利用导数来判断函数的单调性，从而可研究速度变化的各个区间.
函数的单调性与导数的关系
(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常函数
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导数
单调递增
f′(x)≥0
单调递减
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
拓展深化
[微判断]
1.函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减.(×)
提示 反例：f(x)＝.
2.函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(×)
提示 反例：f(x)＝x3，x∈(－1，1)，当x＝0时，f′(0)＝0.
3.函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞).(√)
[微训练]
1.函数f(x)＝2x＋cos
x在(－∞，＋∞)上( )
A.是增函数
B.是减函数
C.单调性不确定
D.是奇函数
解析 ∵f′(x)＝2－sin
x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.
答案 A
2.函数f(x)＝x3－3x的单调增区间是________.
解析 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0得x2>1，即x>1或x<－1.
故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞).
答案 (－∞，－1)，(1，＋∞)
3.函数f(x)＝ln
x－x的单调增区间是________.
解析 f′(x)＝－1，令f′(x)>0，又x>0，∴0则f(x)的单调增区间是(0，1).
答案 (0，1)
[微思考]
1.在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？
提示 必要不充分条件.
2.若函数f(x)的增区间是A，且f(x)在区间B上单调递增，那么A与B是什么关系？
提示 B?A
题型一 函数图像与导函数图像的关系
【例1】 (1)已知f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，那么f(x)的图像最有可能是图中的( )
(2)已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图像如图所示，则满足f′(x)A.(0，4)
B.(－∞，0)∪(1，4)
C.
D.(0，1)∪(4，＋∞)
解析 (1)由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x∈(0，2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图像如图D.
(2)观察图像，可得导函数f′(x)的图像过点(0，0)，，原函数f(x)的图像过点(0，0)，(2，0)，观察图像可得满足f′(x)答案 (1)D (2)D
规律方法 函数图像的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图像上升；符号为负，图像下降.看导函数图像时，主要是看图像在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图像还是其导函数图像.
【训练1】 在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图像，下列一定不正确的序号是( )
A.①②
B.①③
C.③④
D.①④
解析 当f′(x)>0时，y＝f(x)是增加的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是减少的.故可得，①②中函数图像的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误.
答案 C
题型二 求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间
(1)f(x)＝；(2)y＝x2－ln
x.
解 (1)f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，
f′(x)＝＝
＝.
令f′(x)>0，解得x>1＋或x<1－；
令f′(x)<0，解得1－所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1－)和(1＋，＋∞)；单调递减区间是(1－，1)和(1，1＋).
(2)函数y＝x2－ln
x的定义域为(0，＋∞)，
又y′＝.
若y′>0，即解得x>1；
若y′<0，即解得0故函数y＝x2－ln
x的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1).
规律方法 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y′＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数.
【训练2】 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sin
x－x(0解 (1)f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)<0解得
－3故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
减区间是(－3，2).
(2)f′(x)＝cos
x－1.
因为0x－1<0恒成立，
故函数f(x)的单调递减区间为(0，π).
一、素养落地
1.通过学习函数的图像与其导函数图像之间的关系，培养直观想象素养，通过学习利用导数求函数的单调区间，提升数学运算素养.
2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
二、素养训练
1.函数f(x)＝x＋ln
x在(0，6)上是( )
A.增函数
B.减函数
C.在上是减函数，在上是增函数
D.在上是增函数，在上是减函数
解析 ∵f′(x)＝1＋>0，∴函数在(0，6)上单调递增.
答案 A
2.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图像如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为( )
A.(－2，0)∪(2，＋∞)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－2，－1)∪(1，2)
解析 因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数，所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.
答案 C
3.函数f(x)＝3＋x·ln
x的单调递增区间是( )
A.
B.(e，＋∞)
C.
D.
解析 f′(x)＝ln
x＋1(x>0)，令f′(x)>0，
即ln
x＋1>0，得x>.
故函数f(x)的单调递增区间为.
答案 C
4.函数f(x)＝x＋2cos
x，x∈(0，π)的单调递减区间是________.
解析 由f′(x)＝1－2sin
x<0，得sin
x>，
又x∈(0，π)，∴x∈，故答案为.
答案
基础达标
一、选择题
1.函数f(x)＝cos
x－x在(0，π)上的单调性是( )
A.先增后减
B.先减后增
C.单调递增
D.单调递减
解析 易知f′(x)＝－sin
x－1，x∈(0，π)，
∴f′(x)<0，则f(x)＝cos
x－x在(0，π)上单调递减.
答案 D
2.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图像可能是( )
解析 由函数y＝f(x)的图像，知当x<0时，f(x)单调递减；当x>0时，f(x)先递增，再递减，最后再递增，分析知y＝f′(x)的图像可能为D.
答案 D
3.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像可能是( )
解析 由y＝f′(x)的图像知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢，故选B.
答案 B
4.函数f(x)＝ln
x－4x＋1的单调递增区间为( )
A.
B.(0，4)
C.
D.
解析 f(x)＝ln
x－4x＋1的定义域是{x|x>0}，f′(x)＝－4＝，当f′(x)>0时，解得0答案 A
5.已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像可能是( )
解析 由函数y＝xf′(x)的图像可知：
当x<－1时，xf′(x)<0，则f′(x)>0，此时f(x)单调递增；
当－10，则f′(x)<0，此时f(x)单调递减；
当0当x>1时，xf′(x)>0，则f′(x)>0，此时f(x)单调递增.
故选C.
答案 C
二、填空题
6.函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________.
解析 y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；令y′<0，得x<2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).
答案 (2，＋∞) (－∞，2)
7.函数f(x)＝(a>0)的单调递增区间是________.
解析 f′(x)＝(a>0)，令f′(x)>0，解得－1答案 (－1，1)
8.函数f(x)＝x2－5x＋2ln(2x)的单调递增区间是________.
解析 f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝，
由f′(x)>0得x>2或0故f(x)的单调递增区间是，(2，＋∞).
答案 ，(2，＋∞)
三、解答题
9.判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性.
解 函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减.
10.已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
解 (1)由f(x)＝，可得f′(x)＝.
∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
∴f′(1)＝0，即＝0，解得k＝1.
(2)由(1)已知，f′(x)＝(x>0)，
设h(x)＝－ln
x－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0.
可知h(x)在(0，＋∞)上为减函数，
由h(1)＝0知，当0h(1)＝0，从而f′(x)>0.
当x>1时，h(x)综上可知f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞).
能力提升
11.已知函数y＝f(x)在定义域内可导，其图像如图所示.记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式xf′(x)≤0的解集为( )
A.∪[0，1]∪[2，3)
B.∪[1，2]∪
C.∪[2，3)
D.∪∪
解析 对于不等式xf′(x)≤0，当－答案 A
12.已知函数f(x)＝的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间.
解 (1)因为f(x)的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，即＝－2，①
又f′(x)＝，
所以＝－.②
由①②得a＝2，b＝3.
(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)
所以所求函数的解析式是f(x)＝.
(2)由(1)知，f′(x)＝.
令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2，
则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0；当3－20.
∴f(x)＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)；单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞).
创新猜想
13.(多选题)若函数y＝exf(x)(e＝2.718
28……是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是( )
A.f(x)＝2－x
B.f(x)＝x2＋2
C.f(x)＝3－x
D.f(x)＝cos
x
解析 设g(x)＝ex·f(x)，
对于A，g(x)＝ex·2－x＝在定义域R上是增函数，故A正确；
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex
＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；
对于C，g(x)＝ex·3－x＝在定义域R上是减函数，C不正确；对于D，g(x)＝ex·cos
x，则g′(x)＝excos，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，D不正确.
答案 AB
14.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是( )
A.f(b)>f(a)
B.f(d)>f(e)
C.f(a)>f(d)
D.f(c)>f(e)
解析 由题图可得，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(c，e)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上是增函数，在(c，e)上是减函数，
所以f(b)>f(a)，f(d)>f(e)，f(c)>f(e).
答案 ABD