第六章
导数及其应用
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
(一)早期导数概念——特殊的形式
大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法，1637年左右，他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》.在作切线时，他构造了差分f(A＋E)－f(A)，发现的因子E就是我们现在所说的导数f′(A).
(二)17世纪——广泛使用的“流数术”
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分.牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数.
(三)19世纪导数——逐渐成熟的理论
1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y＝f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量.19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式.
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.我们从物理学中已经知道，物体运动的位移x、速度v、加速度a(均指大小，下同)之间具有紧密的联系.速度描述了位移变化的快慢，加速度描绘了速度变化的快慢，即v＝，a＝，
其中t表示时间，Δt表示时间的改变量.
特别地，当物体做的是初速度为v0的匀加速直线运动时，a是一个常数，此时
x＝v0t＋at2，v＝v0＋at.
2.我们知道，物体在做曲线运动时，速度的方向是与运动轨迹相切的.例如，如图所示的砂轮打磨下来的微粒，是沿着飞轮的切线飞出去的.这也就意味着，求切线是研究曲线运动时经常要做的事情.
我们在平面解析几何中已经知道怎样求圆锥曲线的切线.不过，可能会让你感到意外的是，那种求切线的方法并不适用于一般的曲线.然而，借助于导数来讨论曲线的切线更具有一般性.
问题1：物体运动的速度和位移有什么关系？加速度和速度又是什么关系呢？
问题2：假设切点为(x0，y0)，如何求曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程呢？
链接：(1)如果从本章我们要学习的导数知识来看的话，上述速度就是位移关于时间的导数，而加速度就是速度关于时间的导数，即v＝x′＝v0＋at，a＝v′，
其中x′与v′分别表示x与v对时间t的导数.
(2)由导数的几何意义，切线的斜率为k＝f′(x0)，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
6.1 导 数
6.1.1 函数的平均变化率
课标要求
素养要求
1.通过实例分析，理解并会求函数在指定区间上的平均变化率.2.能利用平均变化率解决或说明一些实际问题.
通过实例理解函数的平均变化率及实际应用，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养.
新知探究
巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受.
问题 下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处，会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力，想想看，为什么？
提示 ∵山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝＝，
∵hAB因此，从A到B会感觉比较轻松，而从B到C会感觉比较吃力.
1.函数的平均变化率
若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则称Δx＝x2－x1为自变量的改变量；称Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))为相应的因变量的改变量，称
＝(或＝)为函数y＝f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率，其中“以x1，x2为端点的闭区间”，在x1x2时，指的是[x2，x1].
2.平均变化率的实际意义
(1)在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位.
(2)函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图像上两点连线的斜率.
3.平均速度与平均变化率
如果物体运动的位移x
m与时间t
s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1m/s，即物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率.
拓展深化
[微判断]
1.在平均变化率中，自变量的改变量与函数值的改变量都为正值.(×)
提示 自变量的改变量Δx＝x2－x1，与函数值的改变量Δy＝y2－y1
可正可负.
2.对函数y＝f(x)与y＝g(x)，若?x∈[1，2]，f(x)提示 在相同的区间上，比较平均变化率的大小，主要比较Δf＝f(x2)－f(x1)与Δg＝g(x2)－g(x1)的大小.
3.用函数f(x)在某区间[x1，x2]的平均变化率，可估计x0∈[x1，x2]时对应函数值f(x0).(√)
[微训练]
1.函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率中，Δx不可能是( )
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.大于0或小于0
答案 C
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析
＝＝＝－1.
答案 B
3.如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )
A.4
B.4.1
C.0.41
D.3
解析 ＝＝4.1.
答案 B
[微思考]
如何由函数f(x)在区间[x1，x2]内的平均变化率，估计x0∈[x1，x2]时对应的函数值？
提示 要求f(x0)的估计值的关键是以直代曲，即用直线段代替曲线段，将函数在[x1，x2]的图像看成直线段，且直线段的斜率为，即斜率等于平均变化率，且通过点(x1，f(x1))求出上述直线段所在的直线的方程，将x0代入，即可得f(x0)的估计值.
题型一 求函数的平均变化率
【例1】 已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.
解 (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
(2)因为f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2，
所以函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝6x0＋3Δx.
规律方法 求平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)得平均变化率＝.
【训练1】 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值.
解 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝eq
\f([3（x0＋Δx）2＋2]－（3x＋2）,Δx)
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
题型二 求运动物体的平均速度
【例2】 若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体在t∈[1，2]内的平均速度.
解 (1)∵物体在t∈[3，5]内的时间改变量为
Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3，5]内的位移改变量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为
＝＝24
(m/s).
(2)物体在t∈[1，2]内的时间改变量为Δt＝1.
物体在[1，2]内的位移改变量为Δs＝29＋3(2－3)2－29－3(1－3)2＝－9，
∴物体在t∈[1，2]内的平均速度为＝＝－9(m/s).
规律方法 物体在某段时间内的平均速度等于s＝h(t)在该段时间内平均变化率，对在t＝t0时s的估计值关键是以直代曲，求出直线方程，将t＝t0代入即可.
【训练2】 已知某物体运动的位移x
m是时间t
s的函数，而且t＝1时，x＝11.6；t＝2时，x＝19.8.
(1)求这个物体在时间段[1，2]内的平均速度；
(2)估计出t＝1.5时物体的位移.
解 (1)所求平均速度为＝＝8.2(m/s).
(2)将x∈[1，2]上的图像看成直线段，则直线段斜率为8.2，从而该直线段所在直线的斜率为8.2，且直线过点(1，11.6)，故x与t的关系可近似表示为x－11.6＝8.2(t－1)，令t＝1.5，可求得x＝15.7，即物体的位移估计值为15.7
m.
题型三 平均变化率的实际意义
【例3】 求函数y＝f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
解 在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1规律方法 平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上的变化趋势，比较平均变化率的基本做法是：求出两个不同点处的平均变化率，作差(或作商)，并合理变形，以比较大小.
【训练3】 (1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的大小关系是( )
A.v甲>v乙
B.v甲C.v甲＝v乙
D.不确定
(2)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是( )
A.甲
B.乙
C.相同
D.不确定
解析 (1)由题图知，s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)>0，
所以<，所以v甲(2)在t0处，有W1(t0)＝W2(t0)，
在t0－Δt处，0即||<||，
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小.
所以乙厂治污效果较好.
答案 (1)B (2)B
一、素养落地
1.通过实例理解函数的平均变化率及实际意义，提升数学抽象素养，直观想象素养.
2.函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢.
二、素养训练
1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A.2.1
B.1.1
C.2
D.0
解析 ＝＝＝2.1.
答案 A
2.已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A.4
B.4x
C.4＋2Δx
D.4＋2(Δx)2
解析 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2
＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝4＋2Δx.
答案 C
3.已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的改变量Δy＝________.
解析 Δy＝f(1.5)－f(2)＝－＝－1＝.
答案
4.做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体在[1，1.2]内的平均速度为________.
解析 平均速度为＝
＝0.8(m/s).
答案 0.8
m/s
基础达标
一、选择题
1.当自变量从x0变化到x1时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是函数( )
A.在[x0，x1]上的平均变化率
B.在
x0处的变化率
C.在x1处的变化率
D.以上都不对
答案 A
2.已知函数y＝f(x)＝x2＋1的图像上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则等于( )
A.2
B.2Δx
C.2＋Δx
D.2＋(Δx)2
解析 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(Δx)2＋2Δx，∴＝2＋Δx.
答案 C
3.若一质点M按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[1，3]中相应的平均速度是( )
A.4
B.2
C.0.4
D.－2
解析 平均速度为＝4.
答案 A
4.在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是( )
A.④
B.③
C.②
D.①
解析 根据平均变化率的定义计算可知，y＝x3的平均变化率最大.
答案 B
5.函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是( )
A.k1B.k1>k2
C.k1＝k2
D.不确定
解析 ∵k1＝eq
\f(（x0＋Δx）2－x,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq
\f(x－（x0－Δx）2,Δx)＝2x0－Δx，∴k1－k2＝2Δx，而Δx符号不确定，故k1与k2的大小不确定.
答案 D
二、填空题
6.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________.
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别是，，，结合图像可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
答案 [x3，x4]
7.函数y＝f(x)＝ln
x＋1从e到e2的平均变化率为________.
解析 ＝＝.
答案
8.函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
解析 函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率＝＝＝2，
即t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去).
所以，当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.
答案 5
三、解答题
9.若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围.
解 ∵函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝
＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞).
10.某质点按规律做运动，且在t＝2
s时，位移x＝12
m，当t＝3
s时，位移x＝24
m，t＝4
s时，位移x＝38
m.
(1)求这个质点在时间段[2，3]，[3，4]的平均速度；
(2)估计出t＝3.2
s时质点的位移.
解 (1)质点在[2，3]内的平均速度为＝12(m/s)，
质点在[3，4]内的平均速度为＝14(m/s).
(2)将x在[3，4]上的图像看成直线段，则可知该直线段所在直线的斜率为14，且直线过点(3，24)，故x与t的关系可近似的表示为x－24＝14(t－3)，将t＝3.2代入得：x＝26.8，即位移的估计值为26.8
m/s.
能力提升
11.如图是函数y＝f(x)的图像，则：函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；在区间[0，2]上的平均变化率为________.
解析 函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.
由函数f(x)的图像知，f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为
＝＝.
答案
12.求函数y＝sin
x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小.
解 在0到之间的平均变化率为＝；
在到之间的平均变化率为＝.
∵2－<1，∴>.
∴函数y＝sin
x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，且在0到之间的平均变化率较大.
创新猜想
13.(多选题)甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，则下列说法正确的是( )
A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
解析 在[0，t0]内，甲、乙的平均速度均为，
故A错误，B正确；在[t0，t1]内，
甲＝，乙＝.
∵s2－s0>s1－s0，且t1－t0>0，
∴甲>乙，故C正确，D错误.
答案 BC
14.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为( )
A.1>2>3
B.3>2>1
C.2>1>3
D.2>3>1
解析 设直线O′A，AB，BC的斜率分别为kO′A，kAB，kBC，则1＝＝kO′A，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由题中图像知kBC>kAB>kO′A，即3>2>1.故选B.
答案 B(共34张PPT)
第六章
导数及其应用
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
(一)早期导数概念——特殊的形式
大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法，1637年左右，他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》.在作切线时，他构造了差分f(A＋E)－f(A)，发现的因子E就是我们现在所说的导数f′(A).
(二)17世纪——广泛使用的“流数术”
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分.牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数.
(三)19世纪导数——逐渐成熟的理论
1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y＝f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量.19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式.
2.我们知道，物体在做曲线运动时，速度的方向是与运动轨迹相切的.例如，如图所示的砂轮打磨下来的微粒，是沿着飞轮的切线飞出去的.这也就意味着，求切线是研究曲线运动时经常要做的事情.
我们在平面解析几何中已经知道怎样求圆锥曲线的切线.不过，可能会让你感到意外的是，那种求切线的方法并不适用于一般的曲线.然而，借助于导数来讨论曲线的切线更具有一般性.
问题1：物体运动的速度和位移有什么关系？加速度和速度又是什么关系呢？
问题2：假设切点为(x0，y0)，如何求曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程呢？
链接：(1)如果从本章我们要学习的导数知识来看的话，上述速度就是位移关于时间的导数，而加速度就是速度关于时间的导数，即v＝x′＝v0＋at，a＝v′，
其中x′与v′分别表示x与v对时间t的导数.
(2)由导数的几何意义，切线的斜率为k＝f′(x0)，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
6.1 导 数
6.1.1 函数的平均变化率
课标要求
素养要求
1.通过实例分析，理解并会求函数在指定区间上的平均变化率.
2.能利用平均变化率解决或说明一些实际问题.
通过实例理解函数的平均变化率及实际应用，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养.
新识探究
巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受.
问题 下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处，会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力，想想看，为什么？
∵hAB因此，从A到B会感觉比较轻松，而从B到C会感觉比较吃力.
1.函数的平均变化率
若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则称Δx＝____________为自变量的改变量；称Δy＝____________(或Δf＝f(x2)－f(x1))为相应的因变量的改变量，称
x2－x1
y2－y1
[x2，x1]
2.平均变化率的实际意义
(2)函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图像上________________.
两点连线的斜率
3.平均速度与平均变化率
拓展深化
[微判断]
1.在平均变化率中，自变量的改变量与函数值的改变量都为正值.(
)
提示 自变量的改变量Δx＝x2－x1，与函数值的改变量Δy＝y2－y1
可正可负.
提示 在相同的区间上，比较平均变化率的大小，主要比较Δf＝f(x2)－f(x1)与Δg＝g(x2)－g(x1)的大小.
3.用函数f(x)在某区间[x1，x2]的平均变化率，可估计x0∈[x1，x2]时对应函数值f(x0).(
)
×
×
√
答案 C
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
答案 B
3.如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )
A.4
B.4.1
C.0.41
D.3
答案 B
[微思考]
如何由函数f(x)在区间[x1，x2]内的平均变化率，估计x0∈[x1，x2]时对应的函数值？
题型一 求函数的平均变化率
【例1】 已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.
解 (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝6x0Δx＋3(Δx)2，
所以函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
【训练1】 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值.
解 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
解 (1)∵物体在t∈[3，5]内的时间改变量为
Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3，5]内的位移改变量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为
(2)物体在t∈[1，2]内的时间改变量为Δt＝1.
物体在[1，2]内的位移改变量为Δs＝29＋3(2－3)2－29－3(1－3)2＝－9，
规律方法 物体在某段时间内的平均速度等于s＝h(t)在该段时间内平均变化率，对在t＝t0时s的估计值关键是以直代曲，求出直线方程，将t＝t0代入即可.
【训练2】 已知某物体运动的位移x
m是时间t
s的函数，而且t＝1时，x＝11.6；t＝2时，x＝19.8.
(1)求这个物体在时间段[1，2]内的平均速度；
(2)估计出t＝1.5时物体的位移.
(2)将x∈[1，2]上的图像看成直线段，则直线段斜率为8.2，从而该直线段所在直线的斜率为8.2，且直线过点(1，11.6)，故x与t的关系可近似表示为x－11.6＝8.2(t－1)，令t＝1.5，可求得x＝15.7，即物体的位移估计值为15.7
m.
解 在x＝1附近的平均变化率为
在x＝2附近的平均变化率为
在x＝3附近的平均变化率为
由于k1规律方法 平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上的变化趋势，比较平均变化率的基本做法是：求出两个不同点处的平均变化率，作差(或作商)，并合理变形，以比较大小.
【训练3】 (1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的大小关系是( )
A.v甲>v乙
B.v甲C.v甲＝v乙
D.不确定
(2)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是( )
A.甲
B.乙
C.相同
D.不确定
解析 (1)由题图知，s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)>0，
(2)在t0处，有W1(t0)＝W2(t0)，
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.
答案 (1)B (2)B
一、素养落地
1.通过实例理解函数的平均变化率及实际意义，提升数学抽象素养，直观想象素养.
2.函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢.
二、素养训练
1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A.2.1
B.1.1
C.2
D.0
答案 A
答案 C
4.做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体在[1，1.2]内的平均速度为________.
答案 0.8
m/s
