(共12张PPT)
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第1课时 分式的乘与除
目标导引
思维导图
1.类比分数乘除法的运算法则,探索并理解分式乘除法的运算法则.
2.会进行分式的乘除运算.
知识梳理
预习自测
1.分式的乘法法则
分式乘分式,用分子的积作为积的 ,分母的积作为积的 ,即
= .?
2.分式的除法法则
分式除以分式,把除式的分子、分母 后,与被除式 ,即
= = .?
分子
分母
颠倒位置
相乘
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答案
答案
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B
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答案
答案
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预习自测
3.下列各式正确的是( ).
答案
解析
解析
关闭
答案
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预习自测
答案
答案
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答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
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2
1.分式的乘除
分析:严格按照分式的乘除运算法则进行运算.
点拨:进行分式的除法运算时,应先把除法转化为乘法,再把分子和分母中的多项式分解因式后约分,最后把结果化为最简分式或整式.
1
2
2.分式乘除的运用
分析:先运用分式的乘法法则化简,再代入求值.
点拨:在化简时,应先把所给式子化为最简分式或整式,再代入求值.(共11张PPT)
15.2.2 分式的加减
目标导引
思维导图
1.类比同分母分数的加减,熟练地进行同分母的分式加减法的运算.
2.会把异分母的分式进行通分,转化成同分母的分式相加减.
3.明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算.
知识梳理
预习自测
1.分式的加减法法则
同分母分式相加减,分母 ,把分子相 ;异分母分式相加减,先 ,变为同分母的分式,再 .?
上述法则可用式子表示为
2.分式的四则混合运算顺序
分式与数有相同的混合运算顺序:先 ,再 ,然后 .如果有括号,先算括号里面的.有多级括号时,先算小括号的,再算中括号的,然后算大括号的.?
不变
加减
通分
加减
乘方
乘除
加减
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答案
答案
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1
2
1.分式的加减法
分析:(1)中的分母可通过变换符号转化为同分母分式进行运算;
(2)中先确定最简公分母,再通分化为同分母的分式,最后加减.
1
2
点拨:(1)确定最简公分母时,要注意观察,不要因形式的不同而模糊视线.将互为相反数的分母化成同分母时,不要忘记改变分式的符号.
(2)当分子相加减时,一定要将分子作为一个整体进行加减.化简求值时,应先把分式化简,再代入数值求值.
1
2
2.分式的四则混合运算
答案不唯一,如当x=2时,原式=3.
点拨:在计算分式混合运算的题目时,(1)注意分式混合运算的顺序:先乘方,再乘除,然后加减,有括号的要先算括号里面的;
(2)当分子、分母是多项式时,要先分解因式进行约分,这样计算简便;
(3)选择数值时,一定要注意分式的分母和除式均不为0.(共25张PPT)
本章整合
专题一
专题二
专题三
分式的运算
分析:(1)首先进行乘方运算,然后统一成乘法运算,最后进行约分;(2)根据分式的乘除法则进行计算,最后一个分式要先进行乘方后再参加运算.
点拨:在解答此类问题时,与有理数的运算顺序一致,要先算乘方,再算乘除,计算过程中要注意约分的灵活应用.
专题一
专题二
专题三
跟踪训练
1.计算:
答案
答案
关闭
专题一
专题二
专题三
分式方程的解法
分析:本题若整个分式方程通分去分母,势必出现一个高次方程,给方程的求解带来困难,而方程两边分组通分则显得方法独特,别出心裁,可使问题化繁为简,迎刃而解.
当分子为零,即5-x=0时,解得x=5;
当分子不为零,而分母相等时,得
专题一
专题二
专题三
点拨:当两个分式相等,分子相等且为含未知数的代数式时,要按:①分子为零;②分子不为零,分母相等来分别求解,否则会导致失根.
专题一
专题二
专题三
跟踪训练
2.解分式方程:
解:
(1)去分母,得1=x-4+x-3,解得x=4.
检验:当x=4时,x-4=0,
∴x=4不是分式方程的解.
∴原分式方程无解.
(2)去分母,得2-2x-3-3x=9,解得x=-2.
检验:当x=-2时,1-x2=1-(-2)2=-3≠0,
∴x=-2是分式方程的解.
∴原分式方程的解是x=-2.
专题一
专题二
专题三
分式方程的应用
【例3】
甲、乙两座城市的中心火车站A,B两站相距360
km.一列动车与一列特快列车分别从A,B两站同时出发相向而行,动车的平均速度比特快列车快54
km/h,当动车到达B站时,特快列车恰好到达距离A站135
km处的C站.求动车和特快列车的平均速度各是多少?
解:设特快列车的平均速度为x
km/h,
则动车的平均速度为(x+54)
km/h.
经检验,x=90是原分式方程的解.
则x+54=144.
故特快列车的平均速度为90
km/h,动车的平均速度为144
km/h.
专题一
专题二
专题三
跟踪训练
3.甲、乙两地相距240
km,一辆小轿车的速度是货车速度的2倍,走完全程,小轿车比货车少用2
h,求货车的速度.
答案
答案
关闭
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答案
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A
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A.x=1
B.x=-1
C.x=3
D.x=-3
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答案
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A
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15
2.(2018·四川甘孜州·阿坝州中考)若x=4是分式方程
的解,则a的值是( ).
A.6
B.-6
C.4
D.-4
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-1
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答案
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k<6,且k≠3
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8.(2018·四川遂宁中考)A,B两市相距200
km,甲车从A市到B市,乙车从B市到A市,两车同时出发,已知甲车速度比乙车速度快15
km/h,且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是x
km/h,则根据题意,可列方程 .?
答案
答案
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=x(x+1)-x
=x2+x-x
=x2.
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解
去分母化为整式方程得x-1+2(x-2)=-3,
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=3(x+1)-(x-1)=2x+4.
由不等式①得x≤1,
由不等式②得x>-3,
∴不等式组的解集为-3≤x≤1.
∵x≠0,±1,
∴整数x只能取-2,
∴原式=2×(-2)+4=0.
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14.(2018·四川宜宾中考)宜宾市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单,为了尽快交货,增开了一条生产线,每月实际生产能力比原计划提高了50%,结果比原计划提前5个月完成交货.求每月实际生产智能手机多少万部.
解
设原计划每月生产智能手机x万部,
则每月实际生产智能手机x(1+50%)万部,
解得x=20.
经检验x=20是原方程的解,且符合题意.
∴x(1+50%)=30.
故每月实际生产智能手机30万部.
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15.(2018·四川泸州中考)某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍,用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本.
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?
(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本,且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1
060元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书?
解
(1)设乙图书每本价格为x元,则甲图书每本价格为2.5x元,
解得x=20,
经检验x=20是原方程的根,且符合题意,
则2.5x=50,
故甲图书每本价格为50元,乙图书每本价格为20元.
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(2)设购进甲图书a本,则购进乙图书(2a+8)本,
根据题意得20(2a+8)+50a≤1
060,
解得a≤10,
∴a的最大值为10,
∴2a+8=28,
故该图书馆最多可以购买28本乙图书.(共10张PPT)
第2课时 分式的乘除混合运算及乘方
目标导引
思维导图
1.类比分数乘方的运算法则,探索并理解分式乘方的运算法则.
2.会进行分式的乘、除、乘方混合运算.
知识梳理
预习自测
1.分式的乘除混合运算可以统一为 运算.?
2.分式的乘方法则
分式乘方要把分子、分母分别 ,即= ,其中n为正整数.?
乘法
乘方
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知识梳理
预习自测
答案
答案
关闭
A
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知识梳理
预习自测
2.下列分式运算,正确的是( ).
答案
答案
关闭
D
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知识梳理
预习自测
A.-m2-2m-1
B.-m2+2m-1
C.m2-2m-1
D.m2-1
答案
答案
关闭
B
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知识梳理
预习自测
答案
答案
关闭
a2nbn
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知识梳理
预习自测
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
1
2
1.分式的乘方
分析:分式的乘方,应先将分子、分母分别乘方,再应用积的乘方性质进行计算.
点拨:分式乘方应对分式的分子、分母中每个因式分别乘方,包括系数.特别地,当系数为负数时,计算时应先确定结果的符号.
1
2
2.分式的乘除与乘方的混合运算
点拨:分式的乘除混合运算,先把除法统一成乘法,使整个式子只含乘法运算,然后把分子和分母中的多项式分解因式后约分,最后把结果整理为一个最简分式或整式.(共11张PPT)
15.1.2 分式的基本性质
目标导引
思维导图
1.通过分数类比学习,掌握分式的基本性质,会运用分式的基本性质进行相关的分式变形.
2.了解分式约分的意义,能熟练地进行分式约分,理解最简分式的定义.
3.理解通分的意义,能找到几个分式的最简公分母;能够总结出分式的通分法则,并能熟练掌握通分运算.
知识梳理
预习自测
1.分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个 的整式,分式的值 .?
2.分式的约分
根据分式的 ,把一个分式的分子与分母的 约去,叫做分式的约分.?
3.最简分式
分子与分母没有 的分式,叫做最简分式.?
4.分式的约分,一般要约去分子和分母所有的公因式,使所得结果成为最简分式或者整式.
5.分式的通分
根据分式的 ,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的 .?
不等于0
不变
基本性质
公因式
公因式
基本性质
通分
知识梳理
预习自测
6.最简公分母
为通分,要先确定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫做 .?
最简公分母
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知识梳理
预习自测
A.a≠0,且b≠0
B.a≠1,且b≠1
C.a≠-1,且b≠-1
D.a,b为任意实数
答案
答案
关闭
C
1
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知识梳理
预习自测
确的是( ).
A.①②
B.②④
C.③④
D.①②③④
答案
解析
解析
关闭
①和③中的a,c可能为0;②和④中的b,-1-m2均不为0.
答案
解析
关闭
B
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知识梳理
预习自测
答案
答案
关闭
B
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知识梳理
预习自测
A.x-y
B.x+y
C.x2-y2
D.(x+y)(x-y)(x2-y2)
答案
答案
关闭
C
1
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知识梳理
预习自测
答案
答案
关闭
1
2
1.分式的约分
分析:(1)如果分式的分子、分母都是单项式,就直接约去分子、分母的公因式,即分子、分母系数的最大公约数及相同字母的最低次幂;
(2)如果分子、分母都是多项式,就先分解因式,找出公因式,再进行约分.
1
2
2.分式的通分
分析:应先把第二个分式的分母因式分解,再找最简公分母,最后通分.
解:最简公分母是6xy2(3+x)(3-x).(共12张PPT)
15.3 分式方程
第1课时 分式方程
目标导引
思维导图
1.理解分式方程的意义,掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法.
2.了解分式方程需要验根的原因,掌握分式方程验根的方法.
3.理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.
知识梳理
预习自测
1.分式方程的含义
分母中含 的方程叫做分式方程.?
2.解分式方程的基本思想
解分式方程的基本思想是将分式方程化为 ,具体做法是“ ”,即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.?
3.分式方程的验根方法
解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值 ,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解 原分式方程的解.?
未知数
整式方程
去分母
不为0
不是
1
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知识梳理
预习自测
6
1.下列式子是分式方程的是( ).
答案
解析
解析
关闭
A,D是整式方程,B不是方程,只有C是分式方程.
答案
解析
关闭
C
1
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知识梳理
预习自测
6
A.2x-4
B.2x(2x-4)
C.2x(x-2)
D.2x
答案
答案
关闭
C
1
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5
知识梳理
预习自测
6
A.方程两边分式的最简公分母为x2-1
B.方程两边同乘x2-1后的整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程得x=1
D.原方程的解为x=1
答案
答案
关闭
D
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5
知识梳理
预习自测
6
A.x=3
B.x=4
C.x=5
D.x=-5
答案
答案
关闭
C
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5
知识梳理
预习自测
6
答案
答案
关闭
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知识梳理
预习自测
6
答案
答案
关闭
分式方程的解法
【例题】
解下列分式方程:
解:(1)方程两边同乘(2x-3)(2x+3),得
2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3),
化简,得4x=-12.解得x=-3.
检验:当x=-3时,(2x-3)(2x+3)≠0,
所以x=-3是原分式方程的解.
(2)方程两边同乘x(x+1)(x-1),得
2(x-1)+3(x+1)=4x.
化简,得5x+1=4x,
解得x=-1.
检验:当x=-1时,x(x+1)(x-1)=0,则x=-1不是原分式方程的解,故原分式方程无解.
点拨:解分式方程的一般步骤:(1)去分母;(2)解整式方程;(3)检验.注意检验是解分式方程的必要步骤,当整式方程的解不使最简公分母为0时,它是原分式方程的解;否则就不是原分式方程的解.(共12张PPT)
15.2.3 整数指数幂
目标导引
思维导图
1.理解负整数指数幂的意义,知道负整数指数幂的规定及前提条件.
2.明确幂的运算性质可以推广到整数指数幂.
3.熟练应用整数指数幂的运算性质进行计算.
4.会用科学记数法表示小于1的正数.
知识梳理
预习自测
1.负整数指数幂:当n是正整数时,a-n= (a≠0).也就是说,
a-n(a≠0)是an的 .?
2.整数指数幂的运算性质(m,n为整数,ab≠0)
(1)am·an=
;(2)(am)n= ;(3)(ab)n= ;(4)am÷an= ;(5)
= .?
3.用科学记数法表示绝对值小于1的数
小于1的正数可以用科学记数法表示为 的形式,其中1≤a<10, 是正整数.?
倒数
am+n
amn
anbn
am-n
a×10-n
n
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知识梳理
预习自测
6
1.计算4-2的结果是( ).
答案
答案
关闭
D
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知识梳理
预习自测
6
2.若(x-3)0-2(3x-6)-2有意义,则x的取值范围是( ).
A.x>3
B.x≠3,且x≠2
C.x≠3或x≠2
D.x<2
答案
答案
关闭
B
1
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5
知识梳理
预习自测
6
3.已知空气的密度为0.001
29
g/cm3,0.001
29这个数用科学记数法可表示为( ).
A.0.129×10-2
B.1.29×10-2
C.1.29×10-3
D.12.9×10-1
答案
答案
关闭
C
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5
知识梳理
预习自测
6
4.填空:(-9)-2= ,9-2= .?
答案
答案
关闭
1
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5
知识梳理
预习自测
6
5.生物学家发现一种病毒的长度约为0.000
043
mm,用科学记数法表示0.000
043的结果为 .?
答案
答案
关闭
4.3×10-5
1
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知识梳理
预习自测
6
6.计算:
(2)10-2+10-1×100.
答案
答案
关闭
1
2
1.整数指数幂的有关运算
【例1】
计算下列各式,要求结果中不含有负指数幂.
分析:运用负整数指数幂的意义将负整数指数幂转化成正整数指数幂.
1
2
点拨:进行负整数指数幂的运算,可以直接应用幂的运算性质,也可以先将负整数指数幂转化成正整数指数幂再进行运算.
1
2
2.用科学记数法表示小于1的正数
【例2】
(1)一种细菌的半径约为0.000
145
m,用科学记数法表示该数为
m;?
(2)随着微电子制造技术的不断进步,半导体的尺寸大幅度缩小,现在已经能够在350
mm2大的芯片上集成5亿个元件,那么一个元件大约占 mm2.?
解析:(1)直接应用科学记数法表示小于1的正数的规律,确定a=1.45,10的指数为-4.(2)先用科学记数法表示5亿为5×108,再计算
=70×10-8=7×10-7(mm2).
答案:(1)1.45×10-4
(2)7×10-7
点拨:用科学记数法表示小于1的正数为a×10-n的形式时,注意1≤a<10,n是正整数,且n等于该数从左到右第一个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的一个零).(共12张PPT)
第十五章
分式
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
目标导引
思维导图
1.理解分式的意义,会辨别分式与整式的区别.
2.理解并掌握分式有意义、无意义和分式的值为零的条件.
3.能应用分式满足的条件求未知字母的取值范围或值.
知识梳理
预习自测
1.分式的概念
一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子
叫做 .?
2.分式有意义(或无意义)满足的条件
3.分式的值为0时满足的条件
当 ,且 时,分式
的值为0.?
分式
B≠0
B=0
A=0
B≠0
1
2
3
4
5
知识梳理
预习自测
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
答案
关闭
B
1
2
3
4
5
知识梳理
预习自测
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
2.若分式
有意义,则实数x的取值范围是
( ).
A.x=0
B.x=4
C.x≠0
D.x≠4
1
2
3
4
5
知识梳理
预习自测
A.0
B.1
C.-1
D.-2
答案
答案
关闭
B
1
2
3
4
5
知识梳理
预习自测
4.使分式
有意义的x取值范围是 .?
答案
答案
关闭
x≠1
1
2
3
4
5
知识梳理
预习自测
5.当x取什么值时,下列分式有意义?
答案
答案
关闭
1
2
1.分式的概念
【例1】
下列式子中,哪些是分式,哪些是整式?
解:整式有②④⑦;分式有①③⑤⑥.
点拨:(1)识别整式、分式,应根据定义去判断.
(2)识别分式主要是从形式上看,而不是其计算结果.
1
2
2.分式值为0时满足的条件
【例2】
当x取何值时,分式
的值为0?
分析:分式的值等于0的条件是分式的分子等于0,而分母不等于0.
解:由分子x2-1=0,得x=1或x=-1.
当x=1时,分母x-1=1-1=0;
当x=-1时,分母x-1=-1-1=-2.
故当x=-1时,原分式的值为0.
点拨:必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值等于或不等于0的条件.(共12张PPT)
第2课时 分式方程的应用
目标导引
思维导图
1.会列分式方程解决比较简单的实际问题并能检验方程解的合理性.
2.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,提高运用方程思想解决问题的能力.
知识梳理
预习自测
1.工程问题基本关系式
×时间=工作量.?
2.行程问题基本关系式
速度×时间= .?
3.列分式方程解应用题的基本步骤
(1) ——仔细审题,找出等量关系;?
(2) ——合理设未知数;?
(3) ——根据等量关系列出方程;?
(4) ——解出方程;?
(5) ——检验;?
(6) ——写出答案.?
工作效率
路程
审
设
列
解
验
答
1
2
3
4
5
知识梳理
预习自测
1.暑假期间,某中学“启明文学社”的全体同学包租一辆面包车去某景点游览,面包车的租价为180元.出发时又增加了两名其他社团的同学,结果每名同学比原来少摊了3元车费.若设“启明文学社”有x人,则所列方程为( ).
答案
答案
关闭
B
1
2
3
4
5
知识梳理
预习自测
2.某施工队挖掘一条长96
m的隧道,开工后每天比原计划多挖2
m,结果提前4天完成任务,原计划每天挖多少米?若设原计划每天挖x
m,则依题意列出正确的方程为( ).
答案
答案
关闭
C
1
2
3
4
5
知识梳理
预习自测
3.某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾,调用甲车3
h只清理了一半垃圾,为了加快进度,再调用乙车,两车合作1.2
h清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x
h,根据题意可列出方程为( ).
答案
答案
关闭
B
1
2
3
4
5
知识梳理
预习自测
4.轮船顺水航行40
km所需的时间和逆水航行30
km所需的时间相同.已知水流速度为3
km/h,设轮船在静水中的速度为x
km/h,可列方程为 .?
答案
答案
关闭
1
2
3
4
5
知识梳理
预习自测
5.甲、乙分别从相距36
km的A,B两地同时相向而行.甲从A出发1
km后发现有东西遗忘在A地,立即返回,取过东西后又立即从A向B行进,这样二人恰好在AB的中点处相遇.若甲比乙每小时多走0.5
km,求二人的速度.
答案
答案
关闭
1
2
1.列分式方程解工程问题
【例1】
今年年底某乡镇决定对一段公路进行改造,已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成,如果由乙工程队先单独做10天,那么剩下的工程还需要两队合作20天才能完成.
(1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数;
(2)求两队合作完成这项工程所需的天数.
解:(1)设乙工程队单独完成这项工程需要x天,根据题意,
解得x=60,经检验,x=60是原方程的解.
故乙工程队单独完成这项工程需要60天.
(2)设两队合作完成这项工程所需的天数为y,根据题意,
故两队合作完成这项工程需要24天.
1
2
点拨:列方程解应用题的关键在审题,审题时,先要知道问题中涉及哪些量,这些量中哪些是已知量,哪些是未知量,并找出相关量间的相等关系,再设未知数,利用相等关系列出方程或方程组.
1
2
2.列分式方程解行程问题
【例2】
一艘小船由A港到B港顺流需行6
h,由B港到A港逆流需行8
h.一天,小船早晨6时由A港出发顺流行至B港时,发现一救生圈在途中掉落在水中,立即返回,1
h后找到救生圈.问:
(1)若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时?
(2)救生圈是何时掉入水中的?
1
2
经检验,x=48是原方程的根.
故小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小时.
解得y=11.
故救生圈在中午11时落水.
点拨:此题属于行程问题中的顺流、逆流问题.顺流速度、逆流速度与船在静水中速度和水流速度的关系为:静水速度=顺流速度-水流速度=逆流速度+水流速度.
