(共11张PPT)
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
目标导引
思维导图
1.会画出二次函数y=ax2+k的图象,理解它与二次函数y=ax2的图象的关系.
2.掌握二次函数y=ax2+k的图象和性质,并能利用它解决相关问题.
知识清单
预习自测
一般地,抛物线y=ax2+k(a≠0)与y=ax2的形状 ,位置不同,把抛物线y=ax2向上或向下平移,可以得到抛物线y=ax2+k.抛物线y=ax2+k的顶点坐标是 ,对称轴是 ,当a>0时,抛物线开口向 ,顶点是它的最 点,在对称轴左侧y随x的增大而 ,在对称轴右侧y随x的增大而 ;当a<0时,抛物线开口向 ,顶点是它的最 点,在对称轴左侧y随x的增大而 ,在对称轴右侧y随x的增大而 .?
相同
(0,k)
y轴
上
低
减小
增大
下
高
增大
减小
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
1.将抛物线y=x2向上平移2个单位后,所得的抛物线的函数解析式为( )
A.y=x2+2
B.y=x2-2
C.y=(x+2)2
D.y=(x-2)2
答案
答案
关闭
A
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
2.已知二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法正确的是( )
A.抛物线开口向下
B.抛物线经过点(2,3)
C.抛物线的对称轴是直线x=1
D.抛物线与x轴有两个交点
答案
解析
解析
关闭
A.a=2,则抛物线y=2x2-3的开口向上,所以A选项错误;
B.当x=2时,y=2×4-3=5,则抛物线不经过点(2,3),所以B选项错误;
C.抛物线的对称轴为直线x=0,所以C选项错误;
D.画出y=2x2-3的图象,可知抛物线与x轴有两个交点,所以D选项正确.
答案
解析
关闭
D
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
3.函数y=2x2+1的最小值是 .?
答案
答案
关闭
1
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
4.将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位长度,则所得图象对应的函数解析式为 .?
答案
答案
关闭
y=2x2+1
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
5.函数
的图象开口向 ,顶点坐标为 ,对称轴为 ,与x轴的交点坐标为 .?
下
(0,3)
y轴
(-3,0)和(3,0)
二次函数y=ax2+k的图象特征与性质
【例】
若抛物线y=ax2+k与y=-5x2的形状、开口方向都相同,且顶点坐标是(0,3),则其解析式是什么?它是由抛物线y=-5x2怎样平移得到的?
分析:根据两抛物线的形状相同、开口方向相同,可确定a的值;再根据顶点坐标是(0,3),可确定k的值,从而可判断平移方向.
解:因为抛物线y=ax2+k与y=-5x2的形状相同、开口方向也相同,所以a=-5.
又因为抛物线的顶点坐标为(0,3),所以k=3.
所以其解析式为y=-5x2+3.它是由抛物线y=-5x2向上平移3个单位长度得到的.(共13张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
目标导引
思维导图
1.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义.
2.能列出简单问题中的二次函数解析式.
知识清单
预习自测
1.一般地,形如 (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.?
2.二次函数的三个特征:
(1)函数解析式等号两边必须是 ;?
(2)化简后自变量的最高次数必须是 ;?
(3)二次项系数必须不为 .?
y=ax2+bx+c
整式
2
0
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
1.下列函数中是二次函数的为( )
A.y=3x+1
B.y=3x2-1
C.y=(x+1)2-x2
D.y=x3+2x-3
答案
解析
解析
关闭
A.y=3x+1是一次函数,故A错误;B.y=3x2-1是二次函数,故B正确;
C.y=(x+1)2-x2不含二次项,故C错误;D.y=x3+2x-3是三次函数,故D错误.
答案
解析
关闭
B
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
2.在半径为4
cm的圆中,挖去一个半径为x
cm的圆面,若剩下的圆环的面积为y
cm2,则y与x的函数解析式为( )
A.y=πx2-4
B.y=π(2-x)2
C.y=-(x2+4)
D.y=-πx2+16π
答案
解析
解析
关闭
根据“圆环的面积=半径为4
cm的圆的面积-半径为x
cm的圆的面积”得y=π×42-πx2=-πx2+16π.
答案
解析
关闭
D
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
3.函数y=mx2+nx+p是y关于x的二次函数的条件是( )
A.m=0
B.m≠0
C.mnp≠0
D.m+n+p=0
答案
答案
关闭
B
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
4.二次函数y=3x2-5的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .?
答案
解析
解析
关闭
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)中a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.
答案
解析
关闭
3 0 -5
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
5.若函数
是二次函数,则n= .?
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
1
2
1.二次函数的概念
【例1】
已知函数
是关于x的二次函数,求满足条件的m的值.
分析:由二次函数的概念,可以得到m2+m-4=2,且m+2≠0,
解得m=-3或m=2.
解:根据题意可得m2+m-4=2,且m+2≠0,解得m=-3或m=2.
故满足条件的m的值为-3或2.
1
2
2.列二次函数的解析式
【例2】
为把一个长为100
m,宽为60
m的长方形游泳池扩建成一个周长为600
m的大型水上游乐场,现把游泳池的长增加x
m,写出扩建后水上游乐场的面积y(单位:m2)与x(单位:m)之间的解析式.
分析:扩建后,水上游乐场的长为(100+x)m,周长为600
m,则宽为(200-x)m.由长方形的面积公式很容易列出函数解析式.
解:由题意,得y=(100+x)(200-x),
即y=-x2+100x+20
000.
1
2(共13张PPT)
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
目标导引
思维导图
1.能够利用描点法画出二次函数y=ax2的图象,能根据图象认识和理解其性质.
2.能利用二次函数y=ax2的图象和性质解决相关问题.
知识清单
预习自测
1.一般地,二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做
y=ax2+bx+c.
2.一般地,抛物线y=ax2的对称轴是 ,顶点是 .当a>0时,抛物线的开口 ,顶点是抛物线的最 点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最 点.对于抛物线y=ax2,|a|越大,抛物线的开口越 .?
3.通过二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a>0,那么当x<0时,y随x的增大而 ,当x>0时,y随x的增大而 ;如果a<0,那么当x<0时,y随x的增大而 ,当x>0时,y随x的增大而 .?
抛物线
y轴
原点
向上
低
高
小
减小
增大
增大
减小
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
1.(2018·广东广州中考改编)抛物线y=x2不具有的性质是( )
A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.当x>0时,y随x的增大而减小
D.函数有最小值
答案
答案
关闭
C
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
2.若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点( )
A.(2,4)
B.(-2,-4)
C.(-4,2)
D.(4,-2)
答案
答案
关闭
A
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
4.抛物线
的对称轴是
,顶点是
,开口
,顶点是最 点.?
y轴
原点
向下
高
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
5.如图,①,②分别对应y=ax2与y=bx2的函数图象,则a,b的大小关系为 .?
答案
答案
关闭
a>b
1
2
1.画二次函数y=ax2的图象
【例1】
在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象.
(1)y=-
x2; (2)y=3x2.
分析:在这两个二次函数中,当x=0时,y的值都等于0,因此在列表取值时应从原点(0,0)的左右对称取值,先列表,再描点、连线.
1
2
解:列表如下:
描点、连线,画图如下:
1
2
1
2
2.二次函数y=ax2的性质
【例2】
已知函数y=ax2(a>0)的图象上有A(2,y1),B(3,y2),C(-1,y3)三个点,试比较y1,y2,y3的大小.
分析:要比较y1,y2,y3的大小,可以直接求出y1,y2,y3的值进行比较,也可以先把各点转化到对称轴的同一侧,再利用二次函数的性质进行比较.
解法一:由题意知,y1=4a,y2=9a,y3=a.
又a>0,故y2>y1>y3.
解法二:因为抛物线y=ax2(a>0)的对称轴是y轴,点C(-1,y3)在函数y=ax2(a>0)的图象上,所以点(1,y3)也在该抛物线上.因为a>0,所以当x>0时,y随x的增大而增大.又因为3>2>1,所以y2>y1>y3.
1
2(共16张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 实际问题与二次函数(1)
目标导引
思维导图
1.会利用二次函数知识解决几何图形中的最大面积及相关问题.
2.会利用二次函数的知识解决生活实际中的最大利润问题.
3.进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并感受数学模型思想和数学的应用价值.
知识清单
预习自测
1.因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,所以当x=
时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值 .?
2.利用二次函数求最大利润时,若列出的二次函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围内,则二次函数的最
就是所要求的最大利润;当求得的二次函数图象的对称轴不在题目限定的自变量的范围内,我们先要搞清自变量的取值在对称轴 侧还是 侧,然后结合二次函数的增减性求出最大利润;当在不同的自变量取值范围内,函数表达式不同时,我们需要分段讨论,求出每种情况下的 ,然后综合考虑.?
大值
左
右
最大值
知识清单
预习自测
1
2
3
4
1.某商店经营一种玩具,已知所获利润y(单位:元)与销售的单价x(单位:元)之间的关系为y=-x2+24x+2
956,则获利最多为( )
A.3
144元
B.3
100元
C.144元
D.2
956元
答案
解析
解析
关闭
y=-x2+24x+2
956=-(x-12)2+3
100,
∵-1<0,∴y最大值=3
100(元).
答案
解析
关闭
B
知识清单
预习自测
1
2
3
4
2.用长度一定的绳子围成一个矩形,如果矩形的一边长x(单位:m)与面积y(单位:m2)满足函数关系y=-(x-12)2+144(0答案
解析
解析
关闭
当x=12时,y最大值=144.
∵0答案
解析
关闭
144
知识清单
预习自测
1
2
3
4
3.某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售单价是 元时,才能在半月内获得最大利润.?
答案
解析
解析
关闭
设销售单价为x元,销售利润为y元.
根据题意,得y=(x-20)[400-20(x-30)]=(x-20)(1
000-20x)
=-20x2+1
400x-20
000=-20(x-35)2+4
500,
由-20<0,知当x=35时,y有最大值.
答案
解析
关闭
35
知识清单
预习自测
1
2
3
4
4.(2018·四川达州中考)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.
(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?
(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,则该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,则每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?
知识清单
预习自测
1
2
3
4
解:(1)设进价为x元,则标价是1.5x元,
由题意,得1.5x×0.9×8-8x=(1.5x-100)×7-7x,
解得x=1
000,1.5×1
000=1
500.
故进价为1
000元,标价为1
500元.
(2)设该型号自行车降价a元,利润为w元,
由题意,
故该型号自行车降价80元出售每月获利最大,
最大利润是26
460元.
1
2
1.利用二次函数解决几何问题
【例1】
如图,已知AB=2,C是AB上一点,四边形ACDE和四边形CBFG都是正方形,设BC=x.
(1)试用x表示AC.
(2)设正方形ACDE和正方形CBFG的总面积为S,请写出用x表示S的函数解析式,并画出其图象.
(3)总面积S有最大值还是最小值?这个最大值或最小值是多少?
(4)总面积S取最大值或最小值时,点C在AB的什么位置?
分析:根据线段和差关系用x表示出正方形ACDE的边长AC,然后利用正方形面积公式表示它们的面积,构建二次函数解决最值问题即可.
1
2
解:(1)当BC=x时,AC=2-x(0(2)S正方形ACDE=(2-x)2,S正方形CBFG=x2,
故S=(2-x)2+x2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2,
画出函数S=2(x-1)2+2(0(3)由图象可知,当x=1时,S最小值=2;没有最大值.
(4)当x=1时,总面积S取得最小值,此时点C恰好在AB的中点处.
1
2
1
2
2.利用二次函数解决经济问题
【例2】
某进口专营店销售一种“特产”,其成本价是20元/千克,根据以往的销售情况描出销售量y(单位:千克/天)与售价x(单位:元/千克)的关系,如图所示.
?
(1)试求出y与x之间的一个函数解析式.
(2)利用(1)的结论:
①求每千克售价为多少元时,每天可以获得最大的销售利润.
②进口产品检验、运输等过程需耗时5天,该“特产”最长的保存期为一个月(30天),若售价不低于30元/千克,则一次进货最多只能为多少千克?
1
2
分析:(1)函数图象过点(37,38),(39,34),(40,32),三点似乎共线,根据两点确定一条直线,可以利用待定系数法求出过点(37,38),(39,34)的一次函数,然后验证点(40,32)在所求直线上,从而确定y与x之间的一次函数解析式.
(2)①先根据“每天销售利润=每天销售量×(销售价-进货价)”列出每天销售利润z与x的函数关系式,再利用配方法确定二次函数的最值.②根据进口产品检验、运输等过程需耗时5天,该“特产”最长的保存期为一个月(30天)可知,特产销售的时间最多是25天,若售价为30元/千克,销售量可以根据(1)求出,因此一次最多进货量除以售价为30元/千克的销售量≤25天,由此列不等式,可以求出最多进货量.
1
2
解:(1)设y关于x的函数解析式是y=kx+b,
把点(40,32)代入y=-2x+112中,仍然成立,
所以y与x之间的函数解析式是y=-2x+112.
(2)①设利润为z,则z=(x-20)(-2x+112),
即z=-2x2+152x-2
240=-2(x-38)2+648,
当x=38时,利润z最大,且最大利润为648元.
②由题意可知,售价越低,销量越大,所以尽可能多进货,设一次进货m千克,则
,解得m≤1
300.故一次最多进货1
300千克.
1
2(共11张PPT)
第2课时 实际问题与二次函数(2)
目标导引
思维导图
1.会用二次函数知识解决水位变化与拱桥等抛物线型问题.
2.能通过建立合适的平面直角坐标系解决实际问题.
知识清单
预习自测
二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.通常以抛物线的顶点为 ,以抛物线的对称轴为 建立平面直角坐标系.?
原点
y轴
知识清单
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1
2
3
1.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2
+4x的一部分,则水喷出的最大高度是( )
A.4
m
B.3
m
C.2
m
D.1
m
答案
答案
关闭
A
知识清单
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1
2
3
2.(2018·四川绵阳中考)如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2
m时,水面宽4
m,水面下降2
m,水面宽度增加
m.?
答案
答案
关闭
知识清单
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1
2
3
3.有一大门是抛物线形水泥建筑物,如图,大门地面宽AB=4
m,顶部C离地面高度为4.4
m.现在一辆装满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8
m,装货宽度为2.4
m.请你通过计算,判断这辆汽车能否顺利通过大门.
答案
答案
关闭
解:不妨以AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),
C(0,4.4).设抛物线的解析式为y=ax2+4.4,把B(2,0)代入,得4a+4.4=0,a=-1.1.所以y=-1.1x2+4.4.由二次函数的对称性,当x=2.4÷2=1.2时,y=2.816>2.8.所以这辆汽车能顺利通过大门.
构建函数模型解决实际问题
【例】
如图,已知排球场OD的长度为18
m,位于球场中线处球网的高度为2.43
m,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方1.8
m的点C向正前方飞出,当排球运行至离点O的水平距离OE为7
m时,到达最高点G,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)当球上升的最大高度为3.2
m时,求排球飞行的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)的函数解析式.(不要求写自变量x的取值范围)
(2)在(1)的条件下,对方距球网0.5
m的点F处有一队员,她起跳后的最大高度为3.1
m,问这次她是否可以拦网成功?请通过计算说明.
(3)若队员发球既要过球网,又不出界,则排球飞行的最大高度h的取值范围是多少?(排球压线属于没有出界)
分析:(1)使用待定系数法求二次函数解析式.(2)计算x=9.5时的函数值,并与3.1比较大小后确定答案.(3)通过计算两种情况对应的函数解析式确定顶点的纵坐标,进而得到排球飞行的最大高度h的取值范围.
解:(1)∵排球运行至离点O的水平距离OE为7
m时,到达最大高度3.2
m,
∴抛物线的顶点坐标为(7,3.2),
设抛物线的解析式为y=a(x-7)2+3.2,
∵抛物线过点C(0,1.8),(共10张PPT)
22.2 二次函数与一元二次方程
目标导引
思维导图
1.探索并掌握二次函数与一元二次方程的关系.
2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
知识清单
预习自测
1.一般地,已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程 .反之,解一元二次方程ax2+bx+c=m又可以看作求使二次函数y=ax2+bx+c的值为m的自变量x的值.特别地,如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x= 时,函数值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.?
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系(一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac):
(1)当Δ=b2-4ac>0时?抛物线y=ax2+bx+c与x轴有 个公共点;?
(2)当Δ=b2-4ac=0时?抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有 个公共点;?
(3)当Δ=b2-4ac<0时?抛物线y=ax2+bx+c与x轴 公共点.
ax2+bx+c=m
x0
两
一
没有
知识清单
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1
2
3
4
1.二次函数y=ax2+bx+c中,若a>0,b2-4ac=0,则它的图象可以是( )
答案
答案
关闭
A
知识清单
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1
2
3
4
2.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是( )
A.3
B.2
C.1
D.0
答案
解析
解析
关闭
这里的“坐标轴”包括x轴和y轴.(1)抛物线与x轴交点个数情况:
∵Δ=(-1)2-4×(-3)×4=49>0,
∴抛物线与x轴有2个交点;(2)抛物线与y轴交点个数情况:交点坐标为(0,4).因此抛物线与坐标轴的交点个数是3.故选A.
答案
解析
关闭
A
知识清单
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1
2
3
4
3.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是A(-1,0),B(2,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 .?
答案
答案
关闭
x1=-1,x2=2
知识清单
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1
2
3
4
4.已知二次函数y=kx2+3x+4的图象的最低点在x轴上,则k= .
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
二次函数与一元二次方程的关系
【例】
已知关于x的二次函数y=x2-mx+
与y=x2-mx-
,这两个二次函数的图象中有一条与x轴交于A,B两个不同的点.
(1)试判断哪个二次函数的图象与x轴交于A,B两个不同的点.
(2)若点A的坐标为(-1,0),试求出点B的坐标.
(3)在(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,函数值y随x的增大而减小?
分析:利用一元二次方程根的判别式即可轻松判断抛物线与x轴的交点情况.同时利用函数图象与x轴的交点坐标可得方程的解,再通过解一元二次方程求其他点的坐标.
整理,得m2-2m=0,解得m=0或m=2.
当m=0时,y=x2-1.
令y=0,得x2-1=0,解得x1=-1,x2=1.
此时点B的坐标是B(1,0).
当m=2时,y=x2-2x-3.令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.
此时点B的坐标是B(3,0).
(3)当m=0时,二次函数的解析式为y=x2-1,此时函数图象开口向上,对称轴为x=0,所以当x<0时,函数值y随x的增大而减小;
当m=2时,二次函数的解析式为y=x2-2x-3,即y=(x-1)2-4,此时函数图象开口向上,对称轴为x=1,所以当x<1时,函数值y随x的增大而减小.(共13张PPT)
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
目标导引
思维导图
1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质.
3.能用待定系数法确定二次函数的解析式.
知识清单
预习自测
1.对于二次函数y=ax2+bx+c,
(1)它的图象是一条
.?
(2)对称轴是直线 ,顶点坐标是( , ).?
(3)①当a>0时,抛物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧,y随x的增大而
,在对称轴的右侧,y随x的增大而 ;②当a<0时,抛物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧,y随x的增大而 ;在对称轴的右侧,y随x的增大而 .?
2.求二次函数的解析式y=ax2+bx+c,需求出 的值.由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于
的方程组,并求出 的值,就可以写出二次函数的解析式.?
抛物线
上
低
减小
增大
下
高
增大
减小
a,b,c
a,b,c
a,b,c
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
1.抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
解析
解析
关闭
∵y=x2-2x+m2+2=(x-1)2+(m2+1),
∴抛物线的顶点坐标为(1,m2+1).
∵1>0,m2+1>0,∴顶点在第一象限,故选A.
答案
解析
关闭
A
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
2.某一抛物线如图所示,根据图象可知,该抛物线的解析式可能是( )
答案
答案
关闭
D
知识清单
预习自测
1
2
3
4
5
3.把二次函数y=-
x2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式为
.?
答案
答案
关闭
知识清单
预习自测
1
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3
4
5
4.已知抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=2,则b= .?
答案
答案
关闭
-4
知识清单
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1
2
3
4
5
5.二次函数y=x2+4x-3的最小值为 .?
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
1
2
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【例1】
二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如右图所示,已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和点B(0,1).
(1)求实数a的取值范围;
(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C,当△AMC的面积为△ABC面积的
倍时,求a的值.
1
2
解:(1)由图象可知,抛物线过点B(0,1),A(1,0),
将(0,1),(1,0)代入y=ax2+bx+c,
得c=1,a+b+c=0,所以b=-(a+1).
1
2
2.用待定系数法求二次函数的解析式
【例2】
分别求符合下列条件的二次函数的解析式.
(1)过点A(1,2),B(0,3),C(-1,6);
(2)顶点坐标为(1,2),且过点(0,4).
分析:(1)由函数图象过点B(0,3),可设函数解析式为y=ax2+bx+3;
(2)由于已知抛物线的顶点坐标,故可设顶点式y=a(x-h)2+k求解.
1
2
解:(1)由题意知,抛物线过点B(0,3),
故设抛物线的解析式为y=ax2+bx+3,把A(1,2),C(-1,6)代入,
故所求的函数解析式为y=x2-2x+3.
(2)设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k,
因为该函数图象的顶点坐标为(1,2),
所以h=1,k=2.所以y=a(x-1)2+2.
又因为函数图象过点(0,4),
所以a(0-1)2+2=4,解得a=2.
故所求的二次函数解析式为y=2(x-1)2+2,
即y=2x2-4x+4.
1
2(共11张PPT)
第2课时 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象和性质
目标导引
思维导图
1.能画出二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图象,理解它们与二次函数y=ax2的图象的关系.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图象和性质,并能用它们解决简单问题.
知识清单
预习自测
1.(1)抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的形状大小、开口方向都完全 ,但 和 不同.?
(2)抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为 ,对称轴是 .?
(3)抛物线y=ax2向左平移h个单位长度,即为抛物线 ,抛物线y=ax2向右平移h个单位长度,即为抛物线 .?
2.一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)、向左(右) ,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据 的值来决定.?
相同
顶点
对称轴
(h,0)
x=h
y=a(x+h)2
y=a(x-h)2
平移
h,k
知识清单
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1
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3
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5
1.(2018·湖南岳阳中考)抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是( )
A.(-2,5)
B.(-2,-5)
C.(2,5)
D.(2,-5)
答案
答案
关闭
C
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1
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4
5
2.将抛物线y=6x2向左平移1个单位长度,则平移以后的抛物线的解析式为( )
A.y=6x2-1
B.y=6x2+1
C.y=6(x-1)2
D.y=6(x+1)2
答案
答案
关闭
D
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1
2
3
4
5
3.抛物线y=-4x2与y=-
(x-1)2共有的性质是( )
A.开口向上
B.对称轴都是y轴
C.都有最高点
D.顶点坐标为原点
答案
答案
关闭
C
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1
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4
5
4.二次函数y=2(x-3)2-4的最小值为 .?
答案
答案
关闭
-4
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5.抛物线y=(x+2)2-4的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 ,它可以看作是由抛物线y=x2先向 平移2个单位长度,再向 平移4个单位长度得到.?
上
直线x=-2
(-2,-4)
左
下
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
【例】
画出二次函数y=(x-1)2-4的图象.
(1)指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
(2)当x取哪些值时,y随x的增大而减小?当x取哪些值时,y随x的增大而增大?
(3)写出该函数图象上的最高点或最低点的坐标及函数的最大值或最小值.
(4)将抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,求所得抛物线的解析式.
分析:首先根据函数的解析式确定函数图象的对称轴,然后在对称轴左右两侧适当地选取x值(一般是在对称轴左右对称取值),从而列表、描点、连线,画出函数图象.通过观察函数的图象,我们可以得出它的性质,进而解决相关问题.
解:列表、描点、连线,画出的函数图象如图.
(1)函数y=(x-1)2-4的图象开口向上,顶点坐标为(1,-4),对称轴是直线x=1.
(2)当x<1时,y随x的增大而减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
(3)函数y=(x-1)2-4图象上的最低点(即顶点)坐标是(1,-4),此时函数有最小值,当x=1时,y最小值=-4.
(4)抛物线y=(x-1)2-4向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线的解析式为y=(x+1)2-5,即y=x2+2x-4.
