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北师大版数学八年级上册7.5.2三角形的外角导学案
课题
7.5.2
三角形的外角
单元
第七单元
学科
数学
年级
八
学习目标
1.掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.2.体会几何中不等关系的简单证明过程,从内和外、相等和不相等的不同角度对三角形做更全面的思考.3.通过积极参与课堂练习,积极思考及与他人交流合作的学习习惯,培养大胆猜想、勇于探索数学问题的兴趣和信心.
重点
掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.
难点
灵活应用三角形内角和定理的推论解决简单的问题.
教学过程
课前预学
1.如图，在△ABC中，有几个内角?
内角和是多少？2.在上图△ABC中，∠A=58°,
∠B=62°,则∠C=
__________
.【画一画】画一个△ABC，延长BC到D。
新知讲解
外角的定义△ABC
内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC
的外角.如图，∠ACD是△ABC的∠ACB的外角.你能在图中画出△ABC的其他外角吗？【议一议】在下图中，∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗?以上内容你们能得出什么结论?【总结归纳】定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.应用格式：_________________________________________【小组讨论】比一比下图中∠1与∠4，∠2，∠3的大小关系.由此你能得到什么结论?【总结归纳】在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.【例2】已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD//BC.【例3】如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证:∠BPC＞∠A.【拓展延伸】∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度？
课堂练习
1.下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( )2.关于三角形的外角，下列说法错误的是( )A．一个三角形只有三个外角B．三角形的每个顶点处都有两个外角C．三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角D．一个三角形共有六个外角3.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为( )A．10°
B．15°C．18°
D．30°4.如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．5.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED.当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；6.【中考·大庆】如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是( )A．15°
B．30°C．45°
D．60°7.【中考·赤峰】如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ ）A．65°
B．70°
C．75°
D．85°答案：1.D
2.A
3.B
4.解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°，∴∠FGH＝55°.∵GE平分∠FGD，AB∥CD，∴∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°.∵∠FHG是△EFH的外角，∴∠EFB＝∠FHG－∠E＝55°－35°＝20°.5.解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝105°.∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠C＋∠CDE.∵∠C＝45°，∠ADE＝∠AED，∴∠ADC－∠CDE＝105°－∠CDE＝45°＋∠CDE，解得∠CDE＝30°.6.B
7.B
课堂小结
本节课你学到了什么?1.三角形的外角实质上就是三角形一个内角的邻补角．三角形外角的顶点是三角形的顶点，一条边是三角形内角的一边，另一条边是该内角另一条边的反向延长线．2.三角形内角和定理的推论：①两个定理说明了三角形的外角与内角之间的关系，其中一个是外角与内角之间的相等关系，另一个是外角与内角之间的不等关系．②在应用上述两个定理时，一定要注意“不相邻”这个关键词语．
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北师版
初中数学
7.5
三角形内角和定理
第2课时
三角形的外角
新知导入
1.如图，在△ABC中，有几个内角?
内角和是多少？
2.在上图△ABC中，∠A=58°,
∠B=62°,则∠C=
.
60°
三角形有三个内角。
三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C=180°.
新知导入
【画一画】在空白纸上画一个△ABC，延长BC到D.
A
B
C
D
如图，∠ACD是三角形的内角吗？
新知讲解
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.
外角的定义
A
B
C
D
如图，∠ACD是△ABC的∠ACB的外角.
你能在图中画出△ABC的其他外角吗？
新知讲解
A
B
C
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有
2个，且这2个角为对顶角.
画出△ABC的其他外角.
新知讲解
【议一议】在下图中，∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗?
∠1+∠4=180°，依据是平角的定义.
∠1与∠2，∠3的关系是什么？
∠1=∠2+∠3.
为什么？
新知讲解
【议一议】在下图中，∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗?
证明：
∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理),
又∵∠1+∠4=180°(平角的定义),
∴∠1=∠2+∠3.
通过以上内容你们能得出什么结论?
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
新知讲解
【总结归纳】
定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵
∠ACD是△ABC的一个外角，
∴
∠ACD=∠A+∠B.
A
B
C
D
(
(
(
新知讲解
【小组讨论】比一比下图中∠1与∠4，∠2，∠3的大小关系.
当∠4是锐角时,∠1>∠4;
当∠4是直角时,∠1=∠4;
当∠4是钝角时,∠1<∠4.
所以∠1与∠4的大小关系不能确定.
新知讲解
【小组讨论】比一比下图中∠1与∠4，∠2，∠3的大小关系.
∵∠1=∠2+∠3，
∴∠1>∠2，∠1>∠3.
由此你能得到什么结论?
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
新知讲解
【总结归纳】
在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.
像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.
推论可以当做定理使用.
新知讲解
【例2】已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD//BC.
证明：
∵∠EAC=∠B+∠C
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），
∴∠C=
∵AD平分∠EAC（已知），
∴∠DAC=
新知讲解
【例2】已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD//BC.
∴∠DAC=∠C
（等量代换）.
∴AD//BC
（内错角相等，两直线平行）.
新知讲解
【例3】如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证:∠BPC＞∠A.
A
B
C
P
D
证明:如图，延长BP，交AC于点D.
∵
∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),
∴
∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∵
∠PDC是△ABD的一个外角
(外角定义),
∴
∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∴
∠BPC>∠A
.
新知讲解
【拓展延伸】
∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度？
证明：
∵∠1+∠BAC=180°，
∠2+∠BCA=180°，
∠3+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC）=540°
∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形内角和定理），
∴∠1+∠2+∠3=360°.
新知讲解
【拓展延伸】
∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度？
所以三角形的外角和等于360°.
课堂练习
1.下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( )
D
课堂练习
2.关于三角形的外角，下列说法错误的是( )
A．一个三角形只有三个外角
B．三角形的每个顶点处都有两个外角
C．三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角
D．一个三角形共有六个外角
A
课堂练习
3.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为( )
A．10°
B．15°
C．18°
D．30°
B
课堂练习
4.如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．
解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°，
∴∠FGH＝55°.
∵GE平分∠FGD，AB∥CD，
∴∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°.
∵∠FHG是△EFH的外角，
∴∠EFB＝∠FHG－∠E＝55°－35°＝20°.
拓展提高
5.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED.当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝105°.
∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠C＋∠CDE.
∵∠C＝45°，∠ADE＝∠AED，
∴∠ADC－∠CDE＝105°－∠CDE＝45°＋∠CDE，
解得∠CDE＝30°.
中考链接
6.【中考·大庆】如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是
( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
B
中考链接
7.【中考·赤峰】如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．85°
B
课堂总结
1.三角形的外角实质上就是三角形一个内角的邻补角．三角形外角的顶点是三角形的顶点，一条边是三角形内角的一边，另一条边是该内角另一条边的反向延长线．
2.三角形内角和定理的推论：①两个定理说明了三角形的外角与内角之间的关系，其中一个是外角与内角之间的相等关系，另一个是外角与内角之间的不等关系．②在应用上述两个定理时，一定要注意“不相邻”这个关键词语．
这节课你学到了什么？
板书设计
课题：7.5.2
三角形的外角
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教师板演区
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学生展示区
一、外角的定义
二、三角形外角的性质
三、例题解析,应用新知
作业布置
课本
P183
习题7.7
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