人教版 八年级数学 下册 第18章 平行四边形 综合训练 (word版 含解析)

人教版 八年级数学 第18章 平行四边形 综合训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1. （2020·衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是 （ ）
A.?AB∥DC?，AD∥BC B.?AB=?DC，AD=?BC
C.?AB∥DC，AD?=BC D.OA=?OC，OB?=OD

2. （2020·通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断?ADCE是菱形的是（　　）
A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90° C．AB＝AC D．AB＝AE
3. （2020·南通） 下列条件中，能判定□ABCD是菱形的是
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
4. 如图，在矩形中，的交点在上，图中面积相等的四边形有（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
5. 如图，ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是

A．EH=HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍

6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为(　　)
A. 2 B. 3 C. D. 2
　　　　　　
7. 在平行四边形中，点、、、和、、、分别为和的五等分点，点、和、分别是和的三等分点，已知四边形的面积为，则平行四边形面积为（ ）
A．2 B． C． D．

8. （2020·广州）如图5，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）

图5
A． B． C． D．
9. 如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为

A． B． C． D．

10. （2020·东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①②③④⑤ D. ③④⑤

二、填空题（本大题共6道小题）
11. 如图，?ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是________．
　　
12. 菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为
13. 如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．

14. 如图，已知等边三角形的边长为，是内一点，，，点分别在上，则

15. 如图，一个平行四边形被分成面积为、、、四个小平行四边形，当沿自左向右在平行四边形内平行滑动时．
① 与的大小关系为 ．
② 已知点与点、不重合时，图中共有 个平行四边形，

16. 如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．
　　　　　　
三、解答题（本大题共5道小题）
17. 如图，在平行四边形中，于，，那么与的大小关系怎样？

18. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.


19. 如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.
(1)求证：四边形BCEF是菱形；
(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.

20. （2020·鄂州）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为、的中点，延长至点E，使，连接．
（1）求证：；
（2）若，且，，求四边形的面积．
21. 如图，?ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.
(1)求证：四边形BCED′是菱形；
(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．
人教版 八年级数学 第18章 平行四边形 综合训练-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】C
【解析】本题考查了平行四边形的判定．注意掌握举反例的解题方法是解本题的关键．∵AB∥DC?? AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项能判定这个四边形是平行四边形；∵AB=DC?? AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项能判定这个四边形是平行四边形；、∵AB∥DC?? AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，故C选项不能判定这个四边形是平行四边形．∵AO=CO?? BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项能判定这个四边形是平行四边形；故选C．
2. 【答案】A
【解析】若∠BAC＝90°，又因为AD是△ABC的中线，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AD=CD，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可证?ADCE是菱形．
3. 【答案】D
【解析】根据菱形的定义和判断定理判断．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判断定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．只有D能够判断出四边形ABCD是菱形．故选D．
4. 【答案】D
5. 【答案】B
【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在ABCD中，AB=2，AD=4，
∴EH=AD=2，HG=AB=1，∴EH≠HG，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EH=，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EF=，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，
故选B．

6. 【答案】D　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AC＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝AC＝1，∴BO＝＝，∴BD＝2OB＝2.
7. 【答案】C
8. 【答案】C
【解析】本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得AC=10，再由矩形的对角线相等且互相平分的性质可得，OA=OD=5. △ABD的面积为24，OA为△ABD 的中线，由中线等分面积可得，△AOD的面积为12.再由等面积法即可得OE+EF的值．过程如下：
∵
∴ 即，∴OE+EF=，因此本题选C．
9. 【答案】A
【解析】正方形ABCD中，∵BC=4，
∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°，
∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，
在△BCE和△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE，
cos∠CBE=cos∠ECG=，
∴，CG=，∴GF=CF﹣CG=5﹣=，
故选A．

10. 【答案】B
【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，灵活的运用所学知识是解答本题的关键．综合应用垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论．
①∵正方形ABCD，∴∠APE=∠AME=45°，∵PM⊥AE，∴∠AEP=∠AEM=90°，∵AE=AE，∴△APE≌△AME（ASA）；
②过点N作NQ⊥AC于点Q，则四边形PNQE是矩形，∴PN=EQ，∵正方形ABCD，∴∠PAE=∠MAE=45°，∵PM⊥AE，∴∠PEA=45°，∴∠PAE=∠APE，PE=NQ，∴△APE等腰直角三角形，∴AE=PE，同理得：△NQC等腰直角三角形，∴NQ=CQ，∵△APE≌△AME，∴PE=ME，∴PE=ME= NQ=CQ，∴PM=AE+CQ，∴PM+PN=AE+CQ+EQ=AC，即PM+PN=AC成立；
③∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠EOF是直角，∵过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，∴∠PEO和∠PFO是直角，∴四边形PFOE是矩形，∴PF=OE，在Rt△PEO中，有PE2+OE2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，即PE2+PF2=PO2成立；
④△BNF是等腰直角三角形，点P不在AB的中点时，△POF不是等腰直角三角形，所以△POF与△BNF不一定相似，即△POF∽△BNF不一定成立；
⑤∵△AMP是等腰直角三角形，△PMN∽△AMP，∴△PMN是等腰直角三角形，∵∠MPN=90°，∴PM=PN，∵AP=PM，BP=PN，∴AP=BP，∴点P是AB的中点，又∵O为正方形的对称中点，∴点O在M、N两点的连线上．综上，①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B．
二、填空题（本大题共6道小题）
11. 【答案】1＜a＜7　【解析】如解图，对角线AC，BD相交于点O，则OA＝AC＝4，OD＝BD＝3，在△OAD中，OA－OD＜AD＜OA＋OD，即1＜a＜7.

12. 【答案】
13. 【答案】
14. 【答案】
15. 【答案】①；②
16. 【答案】　【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°，∵AM⊥BE，∠AFO＝∠BFM，∴∠FAO＝∠EBO，在△AFO和△BEO中，，∴△AFO≌△BEO(ASA)，∴FO＝EO，∵正方形ABCD的边长为2，E是OC的中点，∴FO＝EO＝1＝BF，BO＝2，∴在Rt△BOE中，BE＝＝，由∠FBM＝∠EBO，∠FMB＝∠EOB，可得△BFM∽△BEO，∴＝，即＝，∴FM＝.
三、解答题（本大题共5道小题）
17. 【答案】
延长交的延长线于，连结，
∵，，，
∴，∴是的中点．
∵，，∴．
在中，∵，
∴，又∵，
∴，又∴，
而，∴．
18. 【答案】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=CF．

19. 【答案】
证明：(1)∵AD∥EF，∴∠FEB＝∠2.
∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.∴BF＝EF.∵BF＝BC，
∴BC＝EF.∴四边形BCEF是平行四边形．
∵BF＝BC.∴四边形BCEF是菱形．
(2)∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE.
∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，
∴AF＝BE，FC＝ED.
又∵AC＝2BC＝BD.∴△ACF≌△BDE.
20. 【答案】
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，ABCD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠DCA，
又点M，N分别为、的中点，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)BD＝2BO，又已知BD＝2AB，
∴BO＝AB，∴△ABO为等腰三角形；
又M为AO的中点，
∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM⊥AO，
∴∠BMO＝∠EMO＝90°，
同理可证△DOC也为等腰三角形，
又N是OC的中点，
∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：DN⊥CO，
∠DNO＝90°，
∵∠EMO＋∠DNO＝90°＋90°＝180°，
∴EMDN，
又已知EM＝BM，由(1)中知BM＝DN，
∴EM＝DN，
∴四边形EMND平行四边形，
又∠EMO＝90°，∴四边形EMND为矩形，
在Rt△ABM中，由勾股定理有：，
∴AM＝CN＝3，
∴MN＝MO＋ON＝AM＋CN＝3＋3＝6，
∴．
21. 【答案】
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，
由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，
∴∠AD′E＝∠B＝60°，
∴ED′∥BC，
又∵EC∥D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形，(4分)
∴ED′＝BC＝AD＝1，
∴DE＝ED′＝1，
又DC＝AB＝2，
∴EC＝1，
∴EC＝ED′，
∴四边形BCED′是菱形．(6分)
(2)
解图
解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD，BD之长即为所求，(8分)
作DG⊥BA的延长线于点G，
∵∠DAB＝120°，
∴∠DAG＝60°，
∵∠G＝90°，
∴∠ADG＝30°，
在Rt△ADG中，AD＝1，
∴AG＝，DG＝，(9分)
∵AB＝2，
∴BG＝，
在Rt△BDG中，由勾股定理得：BD2＝BG2＋DG2＝7，
∴BD＝，
即PD′＋PB的最小值为.(10分)