线段
射线
直线
知识框架
基础知识点：
知识点1-1直线相关概念
1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．
2.
表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．
3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点．
4.点与直线的位置关系：
（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．
（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．
1．（2020·偃师市实验中学初一月考）按下所语句画图:点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a，b，c两两相交，下图中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·河北邢台初三三模）在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，这样做的依据是(
)
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．三点确定一条直线
D．四点确定一条直线
3．（2019·吉林吉林初三一模）如图，是两根木条，用两根钉子钉在墙上，其中木条可以绕点转动，木条被固定不动．这一生活现象用你学过的数学知识解释为___________________．
4．（2020·湖北江汉初一期末）已知A，B，C，D，E五个点不在同一直线上，过其中任意两点作一条直线，可作出直线的条数最多为___________条．
5．（2020·靖江外国语学校初一月考）观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字,如图所示:两条直线相交,三条直线相交,四条直线相交,最多有一个交点,最多有三个交点;最多有6个交点,像这样,10条直线相交,最多交点的个数是(
)
A．40个
B．45个
C．50个
D．55个
6．（2019·浙江省初一期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了____个部分．
7．（2020·河北遵化初一期末）下列说法中错误的是（
）
A．过一点可以画无数条直线
B．过已知三点可以画一条直线
C．一条直线经过无数个点
D．两点确定一条直线
知识点1-2线段相关概念
1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．
2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．
3.
“作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．
注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．
（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．
5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．
若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
1．（2019·山东省聊城第四中学初一期中）下列语句中正确的是（
）
A．两点之间直线的长度叫做这两点间的距离
B．两点之间的线段叫做这两点之间的距离
C．两点之间线的长度叫做这两点间的距离
D．两点之间线段的长度叫做这两点间的距离
2．（2019·湖北通城?初三一模）如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（
）
A．C1＞C2
B．C1＜C2
C．C1=C2
D．不能确定
3．（2020·河北省初一期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．如图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路线AC”．请你用数学知识解释出现这一现象的原因是_____．
4．（2020·湖北房县初一期末）如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上，点P也在小正方形的顶点上．某人从点P出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC且要回到P），则这个人所走的路程最少是（
）
A．7
B．14
C．10
D．不确定
5．（2020·吉林省初一期末）往返于临江、靖宇两地的客车中途停靠3个站，最多有______种不同的票价．
6．（2020·河北省初一期末）已知点A，B，C在同一条直线上，若线段AB=3，BC=2，AC=1，则下列判断正确的是（
）
A．点A在线段BC上
B．点B
在线段AC上
C．点C在线段AB上
D．点A在线段CB的延长线上
7．（2020·北京初三二模）如图，小林利用圆规在线段上截取线段，使．若点D恰好为的中点，则下列结论中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·河北省初一期末）已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（ ）
A．AC＝BC
B．AB＝2AC
C．AC+BC＝AB
D．
9．（2019·辽宁省初一期中）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
(1)从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由；(2)从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由；
(3)从火车站到河流怎样走最近？画图并说明理由．
10．（2020·广州外国语学校附属学校初一期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（???
）
A．①②③
B．③④
C．①②④
D．①②③④
11．（2020·重庆初一期末）已知，点C在直线
AB
上，
ACa
，
BCb
，且
a≠b
，点
M是线段
AB
的中点，则线段
MC的长为（
）
A．
B．
C．或
D．或
12．（2020·江苏姜堰初一期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．（1）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC
BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；②若，且AC＝12cm，则AD的长为
cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了3:4:5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．
13．（2019·全国初一课时练习）如图所示的是某风景区的旅游路线示意图，其中B，C，D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为两相应点间的距离(单位：千米)．一位游客从A处出发，以2千米／时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为小时．(1)当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了4小时，求CE的长；(2)若此学生打算从A处出发，步行速度与景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，说明这样设计的理由．
知识点1-3射线相关概念
1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．
如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．
2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．
3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．
注：
(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线．
(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．
1．（2020·全国初一课时练习）手电筒射出去的光线,给我们的形象是(
)
A．直线
B．射线
C．线段
D．折线
2．（2020·武邑宏达实验学校初一月考）下列说法中正确的有（
）
①延长直线AB
②延长线段AB
③延长射线AB
④画直线AB=5cm
⑤在射线AB上截取线段AC，使AC=5cm
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．（2020·江苏省初一月考）图中直线PQ、射线AB、线段MN能相交的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·全国初一课时练习）下列说法错误的是(
)
A．直线l经过点A
B．直线a，b相交于点A
C．点C在线段AB上
D．射线CD与线段AB有公共点
5．（2020·江西省初一期末）如图，已知直线和直线外三点、和，请按下列要求画图：
（1）画射线；（2）连接线段；（3）反向延长线段至，使得；
（4）在直线上确定点，使得最小．
知识点1-4直线、射线、线段的区别与联系
1.直线、射线、线段之间的联系
（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．
（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．
2．三者的区别如下表
注：（1）
联系与区别可表示如下：
（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．
1．（2020·衡水市第九中学）下列说法中，正确的有（
）个
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③两点之间，线段最短;④若AB=AC，则点B是线段AC的中点；⑤射线AB和射线BA是同一条射线
；⑥直线有无数个端点．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2．（2020·江苏海州初一期末）下列结论：①两点确定一条直线；②直线AB与直线BA是同一条直线；
③线段AB与线段BA是同一条线段；④射线OA与射线AO是同一条射线．其中正确的结论共有（
）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．下列说法中正确的个数有
经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③A．B．C三点在同一直线上且，则B是线段AC的中点④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．（2020·山东宁津初一月考）下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；
③连接两点的线段叫做两点间的距离；④射线AB和射线BA是同一条射线；
⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点；其中错误的有_________(填序号)
5．下列说法中错误的是（
）
A．线段和射线都是直线的一部分
B．直线和直线是同一条直线
C．射线和射线是同一条射线
D．线段和线段是同一条线段
重难点题型
题型1
直线、射线、线段基本概念
解题技巧：熟练掌握直线、射线、线段基本性质和概念。
1．（2019·山东诸城?初一期中）下列说法正确的是（
）
A．画射线
B．三条直线相交有3个交点
C．若点C在线段AB外，则
D．反向延长射线OA（0为端点）
2．（2020·四川利州?初一期末）下列说法：
①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短；
②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线AB与射线AD是同一条射线；④
连结两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．其中说法正确的有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．下列说法正确的有（
）
①如果两条线段有无穷多个公共点，那么这两条线段相等；
②经过一点，可以画无数条直线；经过两点，可以画2条射线；
③若点A与点C重合，将线段与叠合，当点B在线段上时，则有；
④联结两点的线段，叫两点之间的距离；
⑤60°角放在两倍的放大镜下看，得到的角为120°．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4．下列说法：①经过两点有且只有一条直线；②直线比射线长；③两点之间的所有连线中直线最短；④连接两点的线段叫两点之间的距离；其中正确的有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
5．下列说法正确的是(
)．
A．直线上两点及这两点之间的部分是线段
B．线段上一点及这一点一旁的部分是射线
C．射线是直线的一半
D．两条线段相加是指把两条线段叠合在一起
6．下列说法中，正确的个数是（
）
①过两点有且只有一条直线；②若，则点是线段的中点．③连接两点的线段叫做两点间的距离；④两点之间的所有连线中，线段最短；⑤射线和射线是同一条直线；
⑥直线有无数个端点．
A．
B．
C．
D．
7．如图1，已知三点，根据下列语言描述作出图2，下列选项中语言描述错误的是（
）
A．作射线
B．作直线
C．连接
D．取线段的中点，连接
8．（2020·江苏海州?初一期末）下列说法正确的个数是( )
①射线MN与射线NM是同一条射线；②两点确定一条直线；③两点之间直线最短；
④若2AB=AC，则点B是AC的中点
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
题型2
直线射线线段的实际生活中的应用
解题技巧：主要考查“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”，弄明白两者的区别即可
1．（2019·山东安丘）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（
）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上;②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上。
A．个
B．个
C．个
D．个
2．（2019·河北省初一期末）下列三个日常现象：
①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB来架设；
其中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是______（填序号）
3．（2020·河南潢川?初一期末）如图，如果用剪刀沿直线将一个正方形图片剪掉一部分，发现剩下部分的周长比原正方形图片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．线段比曲线短
B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线
D．两点之间，线段最短
4．（2020·江西南昌初一期末）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因_____．
5．（2020·河北泊头?初一期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是_____．
6．（2020·赣州市南康区教学研究室初一月考）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。如图，两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（
）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
7．（2020·吉林初三三模）现实生活中，总有人乱穿马路（如图中AD），却不愿从天桥（如图中）通过，请用数学知识解释这一现象，其原因是（
）
A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
B．过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
8．上体育课时，老师检查学生站队是不是在一条直线上，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一条直线上，这一事例体现的基本事实是（
）
A．两点之间，直线最短
B．两点确定一条线段
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
题型3作图题
解题技巧：（1）尺规作图：做已知线段的和差倍数问题；（2）常规作图：与线段射线直线有关的基本作图。
1．（2019·内蒙古自治区初一期末）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a＋b
2．（2020·浙江省初一期末）已知线段、，作线段（要求：保留作图痕迹）．
3．（2020·陕西省初一期末）作图题：
如图，已知线段和，请用直尺和圆规作出线段和，(不必写作法，只需保留作图痕迹)
（1）使
（2）使
4．如图所示，已知线段a、b，画线段①；②；③．
5．（2020·河北省初一期末）已知：如图，线段AB.
（1）根据下列语句顺次画图.
①
延长线段AB至C，使BC=3AB，
②
画出线段AC的中点D.
（2）请回答：①
图中有几条线段；
②
写出图中所有相等的线段.
6．作图题：
如图，在平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
（1）画线段AB；
（2）连接BD，并将其反向延长至点E，使得DE＝2BD；
（3）在平面内找到一点F，使点F到A，B，C，D四点距离最短．
题型4
利用线段解决计数问题
1．（2020·安徽金寨初一期末）如图，线段上有两点，则图中共有线段（
）条
A．
B．
C．
D．
2．（2020·广东高明?初一期末）如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
3．（2020·尚志市田家炳中学初一期末）往返于两地的客车，中途停靠五个站，要准备______种车票．
4．（2019·沈阳市第七中学初一期中）在线段AB上选取3种点，第1种是线段AB的中点，第2种是将线段AB三等分的点，第3种是将线段AB十等分的点．这些点连同线段AB的端点可组成线段的条数是_____．
5．（2018·北京市第十一中学初一开学考试）阅读下列材料并填空：
在体育比赛中，我们常常会遇到计算比赛场次的问题，这时我们可以借助数线段的方法来计算.比如在一个小组中有
4
个队，进行单循环比赛，我们要计算总的比赛场次，我们就
设这四个队分别为
A、B、C、D，并把它们标在同一条线段上，如下图：
因为单循环比赛就是每两个队之间都要比赛一场，这就相当于，在上述图形中四个点连接线段，按一定规律得到的线段有：
AB，AC，AD…………3
条
BC，BD………………2
条
CD……………………1
条
总的线段条数是
3＋2＋1＝6
所以可知
4
个队进行单循环比赛共比赛六场.
(1).类比上述想法，若一个小组有
6
个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是_____
(2).类比上述想法，若一个小组有
n
个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是_____
(3).我们知道
2006
年世界杯共有
32
支代表队参加比赛，共分成
8
个小组，每组
4
个
代表队.第一阶段每个小组进行单循环比赛.则第一阶段共
需
要
进
行_______
场比赛.
(4).若分成
m
个小组，每个小组有
n
个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛.则第
一阶段共需要进行_____________场比赛.
6．（2019·全国初一课时练习）（1）如图1所示，直线上有2个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段；
（2）如图2所示，直线上有3个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段；
（3）如图3所示，直线上有n个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段；
（4）应用（3）中的发现，若火车的行驶路线上有20个车站，火车在这条线路上往返行车，需要印制多少种火车票？
7．（2020·福建漳州初一课时练习）(1)如图(1)所示是四边形，小明作出它对角线为2条，算法为＝2.
(2)如图(2)是五边形，小明作出它的对角线有5条，算法为＝5.
(3)如图(3)是六边形，可以作出它的对角线有________条，算法为________．
(4)猜想边数为n的多边形对角线条数的算法及条数．
题型5
与线段有关的计算
1．（2020·上饶市广信区第七中学初一月考）如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，那么下列各式中不成立的是
A．AB=4AD
B．
C．BD=AC
D．BD=3AC
2．（2019·河北省初一期中）如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则线段DB的长等于（ ）
A．2cm
B．3cm
C．6cm
D．7cm
3．（2020·广东省初一期末）如图，点是线段上一点，为的中点，且，.若点在直线上，且，则的长为（
）
A．
B．
C．或
D．或
4．（2020·深圳市龙岗区百合外国语学校初一期末）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在(
)
A．A区
B．B区
C．C区
D．A．?B两区之间
5．（2020·重庆初一期末）如图1，线段表示一条拉直的细线，、两点在线段上，且，.若先固定点，将折向，使得重叠在上；如图2，再从图2的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·河北怀安初一期末）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）若AC＝8cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．
7．已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；③若AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
题型6线段中的动态问题
1．（2020·河北泊头初一期中）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有____________个．
2．（2020·全国颍上县教育局初一课时练习）如图，已知A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．
(1)写出数轴上点A，B表示的数．(2)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为ts(t＞0)．①写出数轴上点M，N表示的数(用含t的式子表示)．②t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点?
3．（2020·河南宛城初一期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点
这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）
（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）
（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
4．（2020·深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.
（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；
（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；
（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.
5．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)
(1)若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=
AB．
(3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=MN，求的值．
6．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：
（1）当AC＞BC时，点D在线段
上；
当AC＝BC时，点D与
重合；当AC＜BC时，点D在线段
上；
（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s,
设运动时间是t（s）,
求当t为何值，三角形PCD
的面积为10？
（3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．
7．如图，已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=30，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒.
(1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________(用含的代数式表示)；
(2)若M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度会发生变化吗?如果不变，请求出这个长度；如果会变化,请用含的代数式表示这个长度；
(3)动点Q从点B处出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度?
8．如图，已知点A,B是数轴上原点O两侧的两点，其中点A在负半轴上，点B在正半轴上，AO=2,
OB=10.动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，到达点B后立即返回，速度不变;动点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点Q到达点B时，动点P,Q停止运动.设P,Q两点同时出发，运动时间为t秒.(1)当点P从点A向点B运动时，点P在数轴上对应的数为
当点P从点B返回向点O运动时，点P在数轴上对应的数为
(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时，点P,Q第一次重合?(3)当t为何值时，点P,Q之间的距离为3个单位?
9．（探索新知）
如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC=AC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段.
(1)若AC=3，则AB=_____；
(2)若点D也是图1中线段AB的圆周率点(不同于C点)，则AC_____DB；(填“=”或“≠”)
（深入研究）
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置.
(3)若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度.线段
射线
直线
知识框架
基础知识点：
知识点1-1直线相关概念
1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．
2.
表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．
3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点．
4.点与直线的位置关系：
（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．
（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．
1．（2020·偃师市实验中学初一月考）按下所语句画图:点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a，b，c两两相交，下图中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，即点M是直线a与直线b的交点，是直线c外的一点，依此即可作出选择．
【解析】∵点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a、b、c两两相交，
∴点M是直线a与直线b的交点，是直线c外的一点，∴图形符合题意的是选项B．故选：B．
【点睛】此题主要考查根据几何语句画图，难度不大，注意读清题意要求．
2．（2019·河北邢台初三三模）在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，这样做的依据是(
)
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．三点确定一条直线
D．四点确定一条直线
【答案】B
【分析】根据直线的性质进行判断即可.
【解析】在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，这说明了两点确定一条直线，故选：B.
【点睛】本题主要考查了直线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
3．（2019·吉林吉林初三一模）如图，是两根木条，用两根钉子钉在墙上，其中木条可以绕点转动，木条被固定不动．这一生活现象用你学过的数学知识解释为___________________．
【答案】两点确定一条直线(过所点有且只有一条直线或过一点不能确定一条直线)
【分析】分别分析木条a、b，各得出一个数学知识.
【解析】用一根钉子钉木条时，木条会转动，是因为：过一点有无数条直线
用两根钉子钉木条时，木条被固定不动，是因为：过两点有且只有一条直线
故答案为：两点确定一条直线(过所点有且只有一条直线或过一点不能确定一条直线)
【点睛】本题主要考查直线的概念，注意要分析a、b两根木条，故答案要写2句话.
4．（2020·湖北江汉初一期末）已知A，B，C，D，E五个点不在同一直线上，过其中任意两点作一条直线，可作出直线的条数最多为___________条．
【答案】10
【分析】作图分析即可.
【解析】解：A，B，C，D，E五个点不在同一直线上，过其中任意两点作一条直线，作图如下图示：
所以可以作出的直线是10条.
【点睛】本题考查了点确定直线的知识，注意动手操作及总结规律能力的培养．
5．（2020·靖江外国语学校初一月考）观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字,如图所示:两条直线相交,三条直线相交,四条直线相交,最多有一个交点,最多有三个交点;最多有6个交点,像这样,10条直线相交,最多交点的个数是(
)
A．40个
B．45个
C．50个
D．55个
【答案】B
【解析】解:第四条直线最多和前三条直线都相交而增加3个交点,第五条直线最多和前四条直线都相交而增加4个交点……第十条直线最多和前9条直线都相交而增加9个交点,这样,10条直线相交、最多交点的个数为:1+2+3+……+9=45
点睛：本题考查了直线、射线、线段.
结合图形，找规律解答.
6．（2019·浙江省初一期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了____个部分．
【答案】8或9．
【分析】根据题意画出图形即可．
【解析】如图，
或
所以，平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了
8或9个部分．故答案为：8或9．
【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题．
7．（2020·河北遵化初一期末）下列说法中错误的是（
）
A．过一点可以画无数条直线
B．过已知三点可以画一条直线
C．一条直线经过无数个点
D．两点确定一条直线
【答案】B
【分析】根据直线的确定方法分别进行分析即可．
【解析】A.过一点可以画无数条直线，正确；B.过不在一条直线的三点不能画一条直线，错误；
C.一条直线通过无数个点，正确
；D.两点确定一条直线，正确．故答案为：B．
【点睛】本题考查了直线的性质以及相关概念，掌握直线的相关性质是解题的关键．
知识点1-2线段相关概念
1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．
2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．
3.
“作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．
注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．
（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．
5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．
若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
1．（2019·山东省聊城第四中学初一期中）下列语句中正确的是（
）
A．两点之间直线的长度叫做这两点间的距离
B．两点之间的线段叫做这两点之间的距离
C．两点之间线的长度叫做这两点间的距离
D．两点之间线段的长度叫做这两点间的距离
【答案】D
【分析】根据两点之间的距离定义直接判断得出即可．．
【解析】解：根据两点之间的距离定义可知：只有选项D正确．故选：D．
【点睛】本题考查的是两点间的距离定义，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（2019·湖北通城?初三一模）如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（
）
A．C1＞C2
B．C1＜C2
C．C1=C2
D．不能确定
【答案】B
【分析】首先设出圆的直径，然后表示出半圆的弧长和三个正三角形的周长和，比较后即可得到答案．
【解析】解：设半圆的直径为a，则半圆周长C1为：aπ，4个正三角形的周长和C2为：3a，
∵aπ＜3a，∴C1＜C2故选B．
【点睛】本题考查了圆的认识及等边三角形的性质，解题的关键是设出圆的直径并表示出C1和C2．
3．（2020·河北省初一期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．如图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路线AC”．请你用数学知识解释出现这一现象的原因是_____．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【解析】为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径AC”，用数学知识解释出现这一现象的原因是两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解题关键．
4．（2020·湖北房县初一期末）如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上，点P也在小正方形的顶点上．某人从点P出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC且要回到P），则这个人所走的路程最少是（
）
A．7
B．14
C．10
D．不确定
【答案】B
【分析】根据题意作图得到运动的轨迹，根据矩形的周长特点即可求解．
【解析】如图，这个人所走的路程是图中的矩形，周长为2（3+4）=14故选B．
【点睛】此题主要考查网格的作图，解题的关键是根据题意作出图形求解．
5．（2020·吉林省初一期末）往返于临江、靖宇两地的客车中途停靠3个站，最多有______种不同的票价．
【答案】10
【分析】将不同站点的票价问题转化为一条直线上5个点能组成线段的条数问题，先求出线段的条数，再计算票价和车票的种数．
【解析】解：设五个站点用ABCDE表示，根据线段的定义：可知图中共有线段有AC，AD，AE，AB，CD、CE、CB、DE、DB、EB共10条，
∴有10种不同的票价；故答案为：10．
【点睛】本题考查了线段，运用数学知识解决生活中的问题．解题的关键是需要掌握正确数线段的方法．
6．（2020·河北省初一期末）已知点A，B，C在同一条直线上，若线段AB=3，BC=2，AC=1，则下列判断正确的是（
）
A．点A在线段BC上
B．点B
在线段AC上
C．点C在线段AB上
D．点A在线段CB的延长线上
【答案】C
【分析】根据题意画出图形再对选项依次进行判断即可得到答案.
【解析】根据题意作图如下：
∴点C在线段AB上，故选：C.
【点睛】此题考查学生的作图能力，正确理解题意并会作出图形是解题的关键.
7．（2020·北京初三二模）如图，小林利用圆规在线段上截取线段，使．若点D恰好为的中点，则下列结论中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据线段中点的性质逐项判定即可．
【解析】解：由题意得：D是线段CE的中点，AB=CD
∴CD=DE，即选项A正确；AB=CE=CD=DE,即B、D正确，C错误．故答案为C．
【点睛】本题考查了尺规作图和线段中点的性质，其中正确理解线段中点的性质是解答本题的关键．
8．（2020·河北省初一期末）已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（ ）
A．AC＝BC
B．AB＝2AC
C．AC+BC＝AB
D．
【答案】C
【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、B、D都可以确定点C是线段AB中点
【解析】解：A、AC＝BC，则点C是线段AB中点；B、AB＝2AC，则点C是线段AB中点；
C、AC+BC＝AB，则C可以是线段AB上任意一点；D、BC＝AB，则点C是线段AB中点．故选：C．
【点睛】本题主要考查线段中点，解决此题时，能根据各选项举出一个反例即可．
9．（2019·辽宁省初一期中）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
(1)从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由；(2)从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由；
(3)从火车站到河流怎样走最近？画图并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)
见解析；(3)
见解析；
【分析】本题考查的是垂线段最短，线段的性质，两点之间线段最短
（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．
（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
【解析】解：如图所示：
（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿BD走，垂线段最短；（3）沿AC走，垂线段最短．
10．（2020·广州外国语学校附属学校初一期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（???
）
A．①②③
B．③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】D
【分析】根据M、N分别是线段AD、BC的中点，可得AM=MD，CN=BN.
由①知，当AD=BM，可得AM=BD，故而得到AM=MD=DB，即AB=3BD；
由②知，当AC=BD时，可得到MC=DN，又AM=MD，CN=BN，可解得AM=BN；
由③知，AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
由④知，AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN
逐一分析，继而得到最终选项.
【解析】解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，∴AM=MD，CN=NB.
①∵AD=BM，∴AM+MD=MD+BD，∴AM=BD.∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，∴AB=3BD.
②∵AC=BD，∴AM+MC=BN+DN.
∵AM=MD，CN=NB，∴MD+MC=CN+DN，∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，∴MC=DN，∴AM=BN.
③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.
综上可知，①②③④均正确故答案为：D
【点睛】本题主要考查线段长短比较与计算，以及线段中点的应用.
11．（2020·重庆初一期末）已知，点C在直线
AB
上，
ACa
，
BCb
，且
a≠b
，点
M是线段
AB
的中点，则线段
MC的长为（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
【解析】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AM﹣AC==．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC+AM==．
综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．故选D．
【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
12．（2020·江苏姜堰初一期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．（1）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC
BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；②若，且AC＝12cm，则AD的长为
cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了3:4:5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．
【答案】（1）①=
②15
（2）24
【分析】（1）①因为AB=CD，故AB+BC=BC+CD，即AC=BD；②由BC与AC之间的关系，BC、CD的长度可求，AD=AC+CD即可求出；（2）根据题意可设AB=3t，BC=4t，CD=5t，AD=12t，MN=
AD-AB-CD，即可求出t的值，则AD的长度可求．
【解析】解：（1）①∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，故AC=CD；
②BC=，且AC=12cm，∴BC=9cm，CD=AB=AC-BC=3cm，∴AD=AC+CD=12+3=15cm；
（2）线段AD被B、C点分成了3:4:5，设AB=3t，BC=4t，CD=5t，AD=12t，
AB中点M与CD中点N的距离为MN=AD-AM-ND=AD-AB-CD，
即，解得t=2，∴AD=12t=24cm．
【点睛】本题主要考察了线段之间的数量关系，本题属于基础题，只要将未知线段用已知线段表示即可．
13．（2019·全国初一课时练习）如图所示的是某风景区的旅游路线示意图，其中B，C，D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为两相应点间的距离(单位：千米)．一位游客从A处出发，以2千米／时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为小时．(1)当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了4小时，求CE的长；(2)若此学生打算从A处出发，步行速度与景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，说明这样设计的理由．
【答案】（1）CE=0.2千米；（2）步行路线应为A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A)，见解析.
【分析】（1）关系式为：总路程=速度×时间，注意时间应去掉逗留时间．
（2）最短时间内看完三个景点返回到A处应选择不重复走景点所在的路线，比如可以不走CE．
【解析】（1）设CE长为x千米，则2.2＋1.4＋x＋1.2=2×(4－2×0.75)，解得：x=0.2（千米）．
（2）若步行路线为A→D→C→B→E→A（或A→E→B→C→D→A），则所用时间为：
（2.2＋1.4＋2＋0.6＋1.2）÷2＋3×0.75=5.95（小时）．
若步行路线为A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A），则所用时间为：
（2.2＋1.4＋0.2＋0.6×2＋1.2）÷2＋3×0.75=5.35（小时）．
因为5.95＞5.35，所以步行路线应为A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A）．
【点睛】本题考查了线段和差在实际生活中的应用，细心计算是解题关键．
知识点1-3射线相关概念
1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．
如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．
2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．
3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．
注：
(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线．
(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．
1．（2020·全国初一课时练习）手电筒射出去的光线,给我们的形象是(
)
A．直线
B．射线
C．线段
D．折线
【答案】B
【解析】根据光线的特点，可知手电筒发出的光线可看做是射线.故选B.
【点睛】本题主要考查的是射线的定义，掌握射线的定义以及表示是解题的关键．
2．（2020·武邑宏达实验学校初一月考）下列说法中正确的有（
）
①延长直线AB
②延长线段AB
③延长射线AB
④画直线AB=5cm
⑤在射线AB上截取线段AC，使AC=5cm
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】根据线段，射线，直线的定义依次分析即可判断.
直线没有端点，可以向两方无限延伸，故①④错误；
射线有一个端点，可以向一方无限延伸，可以反向延长射线AB，故③错误；
②延长线段AB，⑤在射线AB上截取线段AC，使AC=5cm，均正确；故选B.
点评：解答本题的关键是熟记线段有两个端点，射线有一个端点，可以向一方无限延伸，直线没有端点，可以向两方无限延伸.
3．（2020·江苏省初一月考）图中直线PQ、射线AB、线段MN能相交的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据直线和射线可以无限延伸求解．
【解析】射线AB要注意方向是从A指向B的方向，
观察题中各选项的图，可知A、B、C选项均不能相交，只有D选项能够相交．故选D．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段的性质,熟悉图像的性质是解题关键.
4．（2020·全国初一课时练习）下列说法错误的是(
)
A．直线l经过点A
B．直线a，b相交于点A
C．点C在线段AB上
D．射线CD与线段AB有公共点
【答案】C
【解析】A、由图可得，点A在直线l上，故直线l经过点A；
B、由图可得，点A为直线a，b的公共点，故直线a，b相交于点A；
C、由图可得，点C在线段AB的上方，故点A不在线段AB上，即C选项错误；
D、由图可得，射线CD与线段AB有交点，故射线CD与线段AB有公共点．故选C．
5．（2020·江西省初一期末）如图，已知直线和直线外三点、和，请按下列要求画图：
（1）画射线；（2）连接线段；（3）反向延长线段至，使得；
（4）在直线上确定点，使得最小．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；（4）详见解析
【分析】（1）根据射线的定义作图即可；（2）根据线段的定义作图即可；（3）反向延长线段（即延长线段CB），作即可；（4）根据两点之间线段最短可得，连接AC与直线l相交于E．
【解析】解：（1）作射线AB如下；（2）作线段BC如下；（3）如下图BD=BC，且D点在BC的反向延长线上；（4）E点的位置如下．
【点睛】本题考查根据语句描述画直线、射线、线段，两点之间线段最短和作一条线段等于已知线段．（1）中需注意射线的延伸方向；（2）中需注意线段有两个端点，且两端不延伸；（3）中会利用尺规作一条线段等于已知线段是解题关键；（4）中理解两点之间线段最短是解题关键．
知识点1-4直线、射线、线段的区别与联系
1.直线、射线、线段之间的联系
（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．
（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．
2．三者的区别如下表
注：（1）
联系与区别可表示如下：
（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．
1．（2020·衡水市第九中学）下列说法中，正确的有（
）个
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③两点之间，线段最短;④若AB=AC，则点B是线段AC的中点；⑤射线AB和射线BA是同一条射线
；⑥直线有无数个端点．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】A
【分析】根据直线的性质，两点间的距离的定义，线段的性质进行分析．
【解析】解：①过两点有且只有一条直线，故正确；②连接两点的线段的长叫做两点间的距离，故错误；
③两点之间，线段最短，故正确；④A、B、C在同一条直线上，若AB＝AC，则点B是线段AC的中点，故错误；⑤射线AB和射线BA的端点不同，故不是同一条射线，故错误；⑥直线没有端点，故错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段，关键是熟悉它们的定义．属于基础题．
2．（2020·江苏海州初一期末）下列结论：①两点确定一条直线；②直线AB与直线BA是同一条直线；
③线段AB与线段BA是同一条线段；④射线OA与射线AO是同一条射线．其中正确的结论共有（
）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据直线、线段和射线以及直线的公理进行判断即可．
【解析】解：①两点确定一条直线，正确；②直线AB与直线BA是同一条直线，正确；
③线段AB与线段BA是同一条线段，正确；④射线OA与射线AO不是同一条射线，错误；故选C．
【点睛】本题考查基本概念，直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线．
3．下列说法中正确的个数有
经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③A．B．C三点在同一直线上且，则B是线段AC的中点④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】根据垂线段、垂直、平行和直线相交进行判断即可．
【解析】①在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；
②连接直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；
③A.B.C三点在同一直线上且，则B是线段AC的中点，正确；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交，正确.正确的共有3个，故选C.
【点睛】此题主要考查了垂线以及垂线段和点到直线的距离等定义，正确把握相关定义是解题关键．
4．（2020·山东宁津初一月考）下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；
③连接两点的线段叫做两点间的距离；④射线AB和射线BA是同一条射线；
⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点；其中错误的有_________(填序号)
【答案】②③④⑤
【分析】据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线、线段的中点的定义对各小题分析判断即可得解．
【解析】①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；?②在数轴上与表示-1的点距离是3的点表示的数是-4和2，故本小题错误；③应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本小题错误；④射线AB和射线BA不是同一条射线，故本小题错误；⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点，错误，因为点A、B、C不一定共线.故答案为：②③④⑤
【点睛】本题考查了射线、线段的性质，数轴，两点间的距离的定义，熟记各性质与概念是解题的关键．
5．下列说法中错误的是（
）
A．线段和射线都是直线的一部分
B．直线和直线是同一条直线
C．射线和射线是同一条射线
D．线段和线段是同一条线段
【答案】C
【分析】根据线段、射线、直线的定义、表示方法与性质逐一判断即可．
【解析】解：A、线段和射线都是直线的一部分，正确；B、直线和直线是同一条直线，正确；C、射线和射线不是同一条射线，故C错误；D、线段和线段是同一条线段，正确，
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的定义、表示方法与性质，熟练掌握概念和性质是解题的关键．
重难点题型
题型1
直线、射线、线段基本概念
解题技巧：熟练掌握直线、射线、线段基本性质和概念。
1．（2019·山东诸城?初一期中）下列说法正确的是（
）
A．画射线
B．三条直线相交有3个交点
C．若点C在线段AB外，则
D．反向延长射线OA（0为端点）
【答案】D
【分析】根据直线、射线及线段的定义及三条直线相交可分三种情况可判断出各选项．
【详解】解：A、射线没有长度，故本选项错误；
B、三条直线相交可能有1个或2个或3个交点，故本选项错误；
C.
若点C在线段AB外，则AC与AB的长度大小有三种可能，故本选项错误；
D.
反向延长射线OA（0为端点），说法正确.故选D.
【点睛】本题考查直线、射线及线段的知识，属于基础题，注意掌握基本定义是解决本题的关键．
2．（2020·四川利州?初一期末）下列说法：
①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短；
②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线AB与射线AD是同一条射线；④
连结两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．其中说法正确的有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】根据线段的定义及两点之间的距离的定义逐个进行判断即可.
【解析】解：①：符合两点之间线段最短的性质，故①正确；
②：当A、B、C三点不共线时，点C不是线段AB的中点，故②错误；
③：射线AB与射线AD只是有公共的起点，但是延伸的方向可能不一样，故③错误；
④：连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，题目中缺少“长度”二字，故④错误；
⑤：符合两点确定一条直线的原理，故⑤正确.故答案为：B.
【点睛】本题考查的是线段的性质，掌握“两点之间线段最短”、“线段中点的定义”等是解决这类题的关键.
3．下列说法正确的有（
）
①如果两条线段有无穷多个公共点，那么这两条线段相等；
②经过一点，可以画无数条直线；经过两点，可以画2条射线；
③若点A与点C重合，将线段与叠合，当点B在线段上时，则有；
④联结两点的线段，叫两点之间的距离；
⑤60°角放在两倍的放大镜下看，得到的角为120°．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】A
【分析】利用直线与线段的性质，两点间的距离及角的定义判定即可．
【解析】解：∵如果两条线段有无穷多个公共点，那么这两条线段不一定相等；，∴选项①不正确；
∵在同一平面内经过一点，可以画无数条直线；经过两点，可以画2条射线，∴②不正确；
∵若点A与点C重合，将线段与叠合，当点B在线段上时，则有，∴③不正确；
∵联结两点的线段的长度，叫两点之间的距离；，∴④不正确；
∵60°角放在两倍的放大镜下看，得到的角为60°∴⑤不正确；故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理、定义，正确把握相关性质是解题关键．
4．下列说法：①经过两点有且只有一条直线；②直线比射线长；③两点之间的所有连线中直线最短；④连接两点的线段叫两点之间的距离；其中正确的有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】B
【分析】根据直线和线段的性质，分别判断①②③④是否正确即可解答.
【解析】解：过两点有且只有一条直线，故①正确；根据射线与直线都无限长，故②错误；
两点之间线段最短，故③错误；连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故④错误；故选：B．
【点睛】本题考查了直线和线段的性质，熟练掌握是解题的关键．
5．下列说法正确的是(
)．
A．直线上两点及这两点之间的部分是线段
B．线段上一点及这一点一旁的部分是射线
C．射线是直线的一半
D．两条线段相加是指把两条线段叠合在一起
【答案】A
【分析】根据线段、射线、直线的概念逐项判断即可．
【解析】A、直线上两点及这两点之间的部分是线段，此项说法正确；
B、射线有端点，且向一方无限延伸，此项说法错误；
C、直线、射线都是无限长的，不存在一半的说法，此项说法错误；
D、两条线段相加是指把两条线段的长度相加，此项说法错误；故选：A．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的概念，掌握理解线段、射线、直线的概念之间的联系与区别是解题关键．
6．下列说法中，正确的个数是（
）
①过两点有且只有一条直线；②若，则点是线段的中点．③连接两点的线段叫做两点间的距离；④两点之间的所有连线中，线段最短；⑤射线和射线是同一条直线；
⑥直线有无数个端点．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用直线，射线及线段的定义求解即可．
【解析】①过两点有且只有一条直线，正确，
②若AB＝BC，则点B是线段AC的中点，不正确，只有点B在AC上时才成立，
③连接两点的线段叫做两点间的距离，不正确，应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，
④两点之间的所有连线中，线段最短，正确，⑤射线AB和射线BA是同一条射线，不正确，端点不同，
⑥直线有无数个端点．不正确，直线无端点．共2个正确，故选：A．
【点睛】本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是熟记直线，射线及线段的联系与区别．
7．如图1，已知三点，根据下列语言描述作出图2，下列选项中语言描述错误的是（
）
A．作射线
B．作直线
C．连接
D．取线段的中点，连接
【答案】A
【分析】根据图形结合直线、线段和射线定义分别判断各选项即可解答.
【解析】解：作射线,故A错误；作直线，故B正确；连接，故C正确；
取线段的中点，连接，故D正确；故选：A.
【点睛】本题考查了直线、线段和射线定义的应用，熟练掌握是解题的关键.
8．（2020·江苏海州?初一期末）下列说法正确的个数是( )
①射线MN与射线NM是同一条射线；②两点确定一条直线；③两点之间直线最短；
④若2AB=AC，则点B是AC的中点
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【分析】根据射线、直线、线段的定义以及性质对各项进行判断即可．
【解析】①射线MN的端点是M，射线NM的端点是N，故不是同一条射线，故选项错误；
②两点确定一条直线；正确；③两点之间线段最短，而不是两点之间直线最短，故选项错误；
④若2AB=AC，则点B是AC的中点，错误，因为点A，B，C不一定在同一条直线上，故选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了射线、直线、线段的问题，掌握射线、直线、线段的定义以及性质是解题的关键．
题型2
直线射线线段的实际生活中的应用
解题技巧：主要考查“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”，弄明白两者的区别即可
1．（2019·山东安丘）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（
）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上;②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上。
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【分析】直接利用直线的性质以及两点确定一条直线的性质分析得出答案．
【解析】（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；
（2）把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，是根据点动成线；
（3）把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短．
（4）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一条直线；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了线段以及直线的性质，正确把握相关性质是解题关键．
2．（2019·河北省初一期末）下列三个日常现象：
①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB来架设；
其中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是______（填序号）
【答案】②③
【分析】直接利用线段的性质分析得出答案．
【解析】①可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是：②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB来架设．故答案为②③．
【点睛】此题主要考查了线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．
3．（2020·河南潢川?初一期末）如图，如果用剪刀沿直线将一个正方形图片剪掉一部分，发现剩下部分的周长比原正方形图片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．线段比曲线短
B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线
D．两点之间，线段最短
【答案】D
【分析】如下图，只需要分析AB+BC＜AC即可
【解析】
∵线段AC是点A和点C之间的连线，AB+BC是点A和点C经过弯折后的路径
又∵两点之间线段最短∴AC＜AB+BC故选：D
【点睛】本题考查两点之间线段最短，在应用的过程中，要弄清楚线段长度表示的是哪两个点之间的距离
4．（2020·江西南昌初一期末）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因_____．
【答案】两点之间线段最短
【分析】根据线段的性质解答即可．
【解析】解：为抄近路践踏草坪原因是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本题考查线段的性质：两点之间线段最短．
5．（2020·河北泊头?初一期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是_____．
【答案】两点确定一条直线
【解析】应用的数学知识是：过两点有且仅有一条直线.
故答案为过两点有且只有一条直线.
【点睛】本题考查线段的性质：两点之间线段最短．
6．（2020·赣州市南康区教学研究室初一月考）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。如图，两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（
）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】由题意，可以使路程变长，就用到两点间线段最短定理．
【解析】解：
公园湖面上架设曲桥，可以增加游客在桥上行走的路程，从而使游客观赏湖面景色的时间变长，
其中数学原理是：两点之间，线段最短.故选A.
【点睛】本题考查线段的性质，两点之间线段最短，属基础题.
7．（2020·吉林初三三模）现实生活中，总有人乱穿马路（如图中AD），却不愿从天桥（如图中）通过，请用数学知识解释这一现象，其原因是（
）
A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
B．过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
【答案】D
【分析】根据，也就是两点之间，线段最短，即可选出答案．
【解析】根据走天桥的距离，是因为处在马路两边的两点之间，线段最短．
故选D．
【点睛】本题考查两点之间，线段最短在生活中的应用，较容易，也是考试的常考知识点．
8．上体育课时，老师检查学生站队是不是在一条直线上，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一条直线上，这一事例体现的基本事实是（
）
A．两点之间，直线最短
B．两点确定一条线段
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
【答案】D
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
【解析】解：只要确定老师和第一位学生，就可以确定一条直线，
故根据的基本事实是“两点确定一条直线”，故答案为：D．
【点睛】本题考查“两点确定一条直线”在实际生活中的运用，此题有利于培养学生生活联系实际的能力．
题型3作图题
解题技巧：（1）尺规作图：做已知线段的和差倍数问题；（2）常规作图：与线段射线直线有关的基本作图。
1．（2019·内蒙古自治区初一期末）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a＋b
【答案】见解析
【分析】先画一条射线OP，再以点O为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线OP于点A，然后以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AP于点B，最后以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线BP于点C，线段OC即为所求．
【解析】分以下四步：（1）画一条射线OP（2）以点O为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线OP于点A；
（3）以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AP于点B；（4）以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线BP于点C；则线段OC即为所求，如图所示：
【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段的尺规作图，掌握线段的和差与画法是解题关键．
2．（2020·浙江省初一期末）已知线段、，作线段（要求：保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】可先作一条线段等于已知线段a，进而在所作的线段的延长线上再作一条线段等于b即可．
【解析】解：作图：
①作线段；②在线段的延长线上作．线段就是所求的线段．
【点睛】本题考查两条线段的和的画法，注意第二条线段应在第一条线段的延长线上．
3．（2020·陕西省初一期末）作图题：
如图，已知线段和，请用直尺和圆规作出线段和，(不必写作法，只需保留作图痕迹)
（1）使
（2）使
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）作2条线段和一条线段，相加即可．（2）作2条线段和一条线段，相减即可．
【解析】（1）如图，线段为所求做图形
（2）如图，线段为所求做图形．
【点睛】本题考查了尺规作图的问题，掌握线段的性质是解题的关键．
4．如图所示，已知线段a、b，画线段①；②；③．
【答案】作图见解析．
【分析】①作射线AG，在射线AG上依次截取AH=a，HB=b即可；
②作射线CK，在射线CK上依次截取CM=a，MN=a，在线段NM上截取ND=b即可；
③取线段a的中点O，作射线EP，在射线EP上依次截取EQ=，QF=b即可．
【解析】解：①作射线AG，在射线AG上依次截取AH=a，HB=b，如下图所示，AB即为所求；
②作射线CK，在射线CK上依次截取CM=a，MN=a，在线段NM上截取ND=b，如图所示，CD即为所求；
③取线段a的中点O，作射线EP，在射线EP上依次截取EQ=，QF=b，如图所示，EF即为所求．
【点睛】此题考查的是作线段的和、差、倍，掌握作一条线段等于已知线段是解决此题的关键．
5．（2020·河北省初一期末）已知：如图，线段AB.
（1）根据下列语句顺次画图.
①
延长线段AB至C，使BC=3AB，
②
画出线段AC的中点D.
（2）请回答：①
图中有几条线段；
②
写出图中所有相等的线段.
【答案】（1）画出图形，如图所示见解析；（2）①
6；②
.
【分析】(1)根据题意画出图形即可；(2)根据线段和中点的定义直接写出答案即可.
【解析】解：(1)画出图形，如图所示.
(2)①图中的线段有：AB、BD、DC、AD、BC、AC，共6条；
②相等的线段有：AB=BD，AD=CD.故答案为：(1)画图见解析；(2)①6；②AB=BD，AD=CD.
【点睛】本题考查了基本的作图和线段及中点的定义.
6．作图题：
如图，在平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
（1）画线段AB；
（2）连接BD，并将其反向延长至点E，使得DE＝2BD；
（3）在平面内找到一点F，使点F到A，B，C，D四点距离最短．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）连AB即可．（2）根据要求画出点E即可．（3）连接AD，BC交于点F，根据两点之间线段最短，F到B，C的最短距离为BC的长度，F到A，
D的最短距离为AD的长度，点F即为所求．
【解析】解：（1）如图，线段AB即为所求．（2）如图点E即为所求．（3）如图，点F即为所求．
【点睛】本题考查根据题意作图，做一条线段等于已知线段，两点之间线段最短.能根据题意正确作图是解决此题的关键.
题型4
利用线段解决计数问题
1．（2020·安徽金寨初一期末）如图，线段上有两点，则图中共有线段（
）条
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数．
【解析】解：由图得，图中的线段有AC，AD，AB，CD，CB，DB，共6条．故选：D．
【点睛】本题考查线段的定义，找出线段时要注意按顺序做到不重不漏．
2．（2020·广东高明?初一期末）如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【答案】C
【解析】解：图中线段有：线段AB、线段AC、线段BC，共三条．故选C．
【点睛】本题考查线段的定义，找出线段时要注意按顺序做到不重不漏．
3．（2020·尚志市田家炳中学初一期末）往返于两地的客车，中途停靠五个站，要准备______种车票．
【答案】42
【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种类.
【解析】∵两地的客车，中途停靠五个站，
∴同一条线段上共有7个点，共有线段条，
∵每两个站点之间有两种车票，即每条线段有两种车票，∴共有车票种，故答案为：42.
【点睛】此题考查线段的条数计算公式：n个点之间的线段共有条.
4．（2019·沈阳市第七中学初一期中）在线段AB上选取3种点，第1种是线段AB的中点，第2种是将线段AB三等分的点，第3种是将线段AB十等分的点．这些点连同线段AB的端点可组成线段的条数是_____．
【答案】78．
【分析】可先根据题意画出图形，去除重复的点，再求出所有的点的个数，利用组合即可求出线段的条数．
【解析】解：
可知中点和十等分点有一个点重合，所以这些点连同线段AB的端点共有9+2+1-1+2=13，
∴可组成线段的条数是：条．故答案为：78．
【点睛】本题考查直线、线段、射线数量问题．解决此题的关键是理解在一条直线上n个点所形成的线段的个数等于．
5．（2018·北京市第十一中学初一开学考试）阅读下列材料并填空：
在体育比赛中，我们常常会遇到计算比赛场次的问题，这时我们可以借助数线段的方法来计算.比如在一个小组中有
4
个队，进行单循环比赛，我们要计算总的比赛场次，我们就
设这四个队分别为
A、B、C、D，并把它们标在同一条线段上，如下图：
因为单循环比赛就是每两个队之间都要比赛一场，这就相当于，在上述图形中四个点连接线段，按一定规律得到的线段有：
AB，AC，AD…………3
条
BC，BD………………2
条
CD……………………1
条
总的线段条数是
3＋2＋1＝6
所以可知
4
个队进行单循环比赛共比赛六场.
(1).类比上述想法，若一个小组有
6
个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是_____
(2).类比上述想法，若一个小组有
n
个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是_____
(3).我们知道
2006
年世界杯共有
32
支代表队参加比赛，共分成
8
个小组，每组
4
个
代表队.第一阶段每个小组进行单循环比赛.则第一阶段共
需
要
进
行_______
场比赛.
(4).若分成
m
个小组，每个小组有
n
个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛.则第
一阶段共需要进行_____________场比赛.
【答案】15
48
×
m
【分析】依题意可得：若一个小组有
n
个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是1
+
2
+
3
+?+(n
-
1)=；若分成
m
个小组，每个小组有
n
个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛.则第
一阶段共需要进行×
m.场比赛.
【解析】(1)
1+2+3+4+5=15；
(2)1
+
2
+
3
+?+(n
-
1)=；（3）×
8=48；
(4)×
m.
故答案为15,,×
m.
【点睛】本题考核知识点：类比归纳.解题关键点：分析总结出通用公式.
6．（2019·全国初一课时练习）（1）如图1所示，直线上有2个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段；
（2）如图2所示，直线上有3个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段；
（3）如图3所示，直线上有n个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段；
（4）应用（3）中的发现，若火车的行驶路线上有20个车站，火车在这条线路上往返行车，需要印制多少种火车票？
【答案】（1）2，1；（2）4，3；（3）（2n-2），
；（4）380
【分析】（1）根据射线和线段的定义,对字母进行排列即可解题
（2）写出射线和线段后再计算个数，注意射线的方向性，如射线A1A2和射线A2A1是两条.
（3）根据规律，射线是每个点用两次，但第一个和最后一个只用一次；线段是从所有点中，任取两个，据此用n表示射线和线段的数量；
（4）若火车的行驶路线上有20个车站，等价于直线上有20个点，结合（3）中规律，容易解答，一共有几条线段，由于火车是往返双向的需要乘以2.
【解析】解：（1）根据射线的定义，可得射线有：A1A2、A2A1，故共2条，可得线段有：A1A2，故共1条；故答案：2；1
（2）根据射线的定义，可得射线有：A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，故共4条，可得线段有：A1A2、A1A3、A2A3，故共3条；故答案：4，3
（3）根据规律，射线是每个点用两次，但第一个和最后一个只用一次，故射线的条数是2n-2，线段是从所有点中，任取两个，故线段的条数是，故答案：（2n-2），
（4）∵火车票是双向的
∴需要的火车票的种类数有：
∴需要印制380种火车票
【点睛】本题考查了射线和线段的定义及其应用，掌握射线、线段定义以及归纳规律是解题的关键.
7．（2020·福建漳州初一课时练习）(1)如图(1)所示是四边形，小明作出它对角线为2条，算法为＝2.
(2)如图(2)是五边形，小明作出它的对角线有5条，算法为＝5.
(3)如图(3)是六边形，可以作出它的对角线有________条，算法为________．
(4)猜想边数为n的多边形对角线条数的算法及条数．
【答案】(3)9，＝9；(4).
【解析】
(3)
从六边形的每一个顶点出发都可以引出（6-3）条对角线，6个顶点共6×（6-3）条对角线，但是由于从点A引出的对角线AB，和从点B引出的对角线BA，是重复的，所以对角线条数＝9；
（4）由（1）（2）（3）的规律猜想：从n边形的每一个顶点出发都可以引出（n-3）条对角线，n个顶点共n（n-3）条对角线，但是由于从点A引出的对角线AB，和从点B引出的对角线BA，是重复的，所以对角线条数故答案为：(3)9，＝9；(4).
点睛：本题是一道探索规律的题目,目的是考查学生观察、分析、探索、类比、归纳、总结、创新实践的能力.规律探索型问题是根据已知条件或题目中所提供的若干个特例，通过观察、分析、归纳出题目所给信息中所蕴含的本质规律或特征.
题型5
与线段有关的计算
解题技巧：
1．（2020·上饶市广信区第七中学初一月考）如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，那么下列各式中不成立的是
A．AB=4AD
B．
C．BD=AC
D．BD=3AC
【答案】C
【分析】设AD＝x，则根据中点的性质可得DC＝x，AB＝AC＝2x，从而判断各选项即可．
【解析】解：设AD＝x，∵D是线段AC的中点，∴AD＝CD＝x，
又∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC＝2x，从而可得：A、AB＝4AD，正确；
B、AC＝AB，正确；C、BD＝AC，错误；D、BD＝3AD，正确．故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是根据中点的性质得出各线段的长度，属于基础题．
2．（2019·河北省初一期中）如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则线段DB的长等于（ ）
A．2cm
B．3cm
C．6cm
D．7cm
【答案】D
【分析】先求AC,再根据点D是线段AC的中点，求出CD，再求BD.
【解析】因为，AB=10cm，BC=4cm，所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm）
因为，点D是线段AC的中点，所以，CD=3cm,所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm）故选D
【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.
3．（2020·广东省初一期末）如图，点是线段上一点，为的中点，且，.若点在直线上，且，则的长为（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【分析】分类讨论，①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别画出图形，计算即可得出答案．
【解析】∵为的中点，BD=5cm，∴BC=10cm，CD=5cm，
∵AB=12cm，∴AD=7cm，AC=2cm，
①如图：当点E在线段AB上时，∵AE=3，∴DE=7-3=4cm，
②如图：当点E在线段BA的延长线上时，∵AE=3cm，∴DE=7+3=10cm.
故选D.
【点睛】此题考查了两点间的距离求解，解答本题的关键是分类讨论点E的位置，有一定难度，注意不要遗漏．
4．（2020·深圳市龙岗区百合外国语学校初一期末）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在(
)
A．A区
B．B区
C．C区
D．A．?B两区之间
【答案】A
【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、C各点和A区、B区之间时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．
【解析】解：∵当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×100+10×300=4500m，
当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×100+10×200=5000m，
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+15×200=12000m，
当停靠点在A、B区之间时，设在A区、B区之间时，设距离A区x米，
则所有员工步行路程之和=30x+15（100-x）+10（100+200-x），=30x+1500-15x+3000-10x，=5x+4500，
∴当x=0时，即在A区时，路程之和最小，为4500米；
综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在A区．故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键，要能把线段的概念在现实中进行应用，比较简单．
5．（2020·重庆初一期末）如图1，线段表示一条拉直的细线，、两点在线段上，且，.若先固定点，将折向，使得重叠在上；如图2，再从图2的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.
【解析】设OB=3x，则BP=7x，∴OP=OB+BP=10x，
∵，∴OA=4x，AP=6x，∴AB=OA-OB=x，
将折向，使得重叠在上，再从点重叠处一起剪开，
得到的三段分别为：2x、3x、5x，故选：D.
【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意折叠后AB段的长度应是原AB段的2倍，由此计算即可.
6．（2020·河北怀安初一期末）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）若AC＝8cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．
【答案】（1）7cm；（2）a，理由见详解；（3）b，理由见详解．
【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可，（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN=，
（3）点在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度．
【解析】解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM=AC=4cm，CN=BC=3cm，
∴MN=CM+CN=4+3=7cm，∴线段MN的长为7cm；
（2）MN的长度等于a，根据图形和题意可得：
MN=MC+CN=AC+BC=（AC+BC）=a；
（3）MN的长度等于b，
根据图形和题意可得：
MN=MC-NC=AC-BC=（AC-BC）=b．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，关键是掌握线段的中点把线段分成两条相等的线段，注意根据题意画出图形也是关键．
7．已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；③若AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】根据线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算正确结论即可.
【解析】解：（1）如图1所示：
∵点C为线段AB的中点，∴AC＝BC＝，
又∵AB＝4cm，∴AC＝2cm，∴结论①正确；
（2）如图2所示：
∵AC1＝1，AB＝4，∴，∴点C1为线段AB的四等分点，又∵AC2＝1，∴
又∵点C2在AB的反向延长线上，∴点C2不是线段AB的四等分点，∴结论②错误；
（3）如图3所示：
点C为线段AB上的一动点，∴AB＝AC+BC，
又∵AB＝4cm，∴AC+BC＝4cm，∴结论③正确；
（4）如图4所示：
若点C在AB的延长线上时，AC1+BC1＞AB，
∵AB＝4，∴AC1+BC1＝AB+2BC1＞4cm，
若点在AB的反向延长线上时，AC2+BC2＞AB，
∵AB＝4，∴AC2+BC2＝AB+2AC2＞4cm，∴结论④正确；
（5）如图5所示：
若点C在线段AB的延长线时，且AC1＝6cm，有AC1+BC1＝8cm，
若点C在线段AB的反向延长线时，且AC2＝2cm，有AC2+BC2＝8cm，∴结论⑤错误．
综合所述；正确结论是①、③、④，故选：C．
【点睛】本题考查线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算，熟练掌握各定义和运算法则是关键.
题型6线段中的动态问题
1．（2020·河北泊头初一期中）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有____________个．
【答案】6
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段六条，所以出现报警次数最多6次．
【解析】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，
∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA∴发出警报的点P最多有6个．故答案为：6．
【点睛】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．
2．（2020·全国颍上县教育局初一课时练习）如图，已知A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．
(1)写出数轴上点A，B表示的数．(2)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为ts(t＞0)．①写出数轴上点M，N表示的数(用含t的式子表示)．②t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点?
【答案】（1）A点表示-10；B点表示2；（2）①点M表示的数是-10+3t；点N表示的数是6-t；②t=.
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可求出A、B表示的数；（2）①根据距离=速度×时间可得AP=6t，CQ=3t，根据中点性质可得AM=3t，根据CN＝CQ可得CN=t，根据线段的和差关系即可得答案；②根据中点定义可得OP=OQ，再根据数轴的性质解答即可.
【解析】（1）∵C表示的数为6，BC=4，∴OB=6-4=2，∴B点表示2，
∵AB=12，∴AO=12-2=10，∴A点表示-10；
（2）①由题意得：AP=6t，CQ=3t，
∵M为AP中点，∴AM=AP=3t，∴在数轴上点M表示的数是-10+3t，
∵点N在CQ上，CN＝CQ，∴CN=t.∴在数轴上点N表示的数是6-t.
②∵原点O恰为线段PQ的中点，∴OP=OQ，
∵OP=-10+6t，OQ=6-3t，∴-10+6t与6-3t互为相反数，∴-10+6t=-(6-3t)，
解得：t=，∴t=时，原点O恰为线段PQ的中点.
【点睛】本题主要考查中点的定义、线段之间的和差关系及数轴的性质，熟练掌握线段中点知识的运用是解题关键.
3．（2020·河南宛城初一期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点
这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）
（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）
（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3)
；t=6；；t=12；；．
【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．
【解析】解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC时，有60=2（x+20），解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，解得，，
②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，解得，t=6；
③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），解得，；
综上，运动时间的所有可能值有；t=6；；
（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有
①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），解得，t=12；
②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），解得，；
③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），解得，．
综上，运动时间的所有可能值有：t=12；；．
故，运动时间的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．
【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
4．（2020·深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.
（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；
（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；
（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.
【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm
分析：(1)
观察图形可以看出，图中的线段PC和线段BD的长分别代表动点C和D的运动路程.
利用“路程等于速度与时间之积”的关系可以得到线段PC和线段BD的长，进而发现BD=2PC.
结合条件PD=2AC，可以得到PB=2AP.
根据上述关系以及线段AB的长，可以求得线段AP的长.
(2)
利用“路程等于速度与时间之积”的关系结合题目中给出的运动时间，可以求得线段PC和线段BD的长，进而发现BD=2PC.
根据BD=2PC和PD=2AC的关系，依照第(1)小题的思路，可以求得线段AP的长.
(3)
利用“路程等于速度与时间之积”的关系可知，只要运动时间一致，点C与点D运动路程的关系与它们运动速度的关系一致.
根据题目中给出的运动速度的关系，可以得到BD=2PC.
这样，本小题的思路就与前两个小题的思路一致了.
于是，依照第(1)小题的思路，可以求得线段AP的长.
(4)
由于题目中没有指明点Q与线段AB的位置关系，所以应该按照点Q在线段AB上以及点Q在线段AB的延长线上两种情况分别进行求解.
首先，根据题意和相关的条件画出相应的示意图.
根据图中各线段之间的关系并结合条件AQ-BQ=PQ，得到AP和BQ之间的关系，借助前面几个小题的结论，即可求得线段PQ的长.
【解析】(1)
因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm).故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以(cm).
(2)
因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm).故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以(cm).
(3)
因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm).故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以(cm).
(4)
本题需要对以下两种情况分别进行讨论.
(i)
点Q在线段AB上(如图①).因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.
因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.因为，所以.
故.因为AB=12cm，所以(cm).
(ii)
点Q不在线段AB上，则点Q在线段AB的延长线上(如图②).
因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.
因为，所以.故.
因为AB=12cm，所以(cm).
综上所述，PQ的长为4cm或12cm.
点睛：本题是一道几何动点问题.
分析图形和题意，找到代表动点运动路程的线段是解决动点问题的重要环节.
利用速度、时间和路程的关系，常常可以将几何问题与代数运算结合起来，通过运算获得更多的线段之间的关系，从而为解决问题提供有利条件.
另外，分情况讨论的思想也是非常重要的，在思考问题时要注意体会和运用.
5．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)
(1)若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=
AB．
(3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=MN，求的值．
【答案】(1)
2cm；(2)；(3)或1
【分析】（1）先求出CM、BD的长，再根据线段的和差即可得；
（2）先求出BD与CM的关系，再根据线段的和差即可得；
（3）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．
【解析】（1）当点C、D运动了2s时，
∵∴；
（2）由运动速度可知，
故；
（3）如图，当点N在线段AB上时
∵，
即
如图，当点N在线段AB的延长线上时
∵，
∴即综上，的值为或1．
【点睛】本题考查了线段的和差，较难的是题（3），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
6．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：
（1）当AC＞BC时，点D在线段
上；
当AC＝BC时，点D与
重合；当AC＜BC时，点D在线段
上；
（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s,
设运动时间是t（s）,
求当t为何值，三角形PCD
的面积为10？
（3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．
【答案】（1）AC，C，BC；
(2)
s；（3）CB的长度是4?cm?或28cm.
分析：（1）根据图形及阅读材料所给的信息直接填空即可；(2)如图4，先表示PC=2t，由折中点的定义得AD=14，根据三角形的面积公式列式可求t的值；（3）分当点D在线段AC上与BC上两种情况求解即可.
【解析】(1)当AC>BC时，如图1，点D在线段AC上；
当AC=BC时，如图2，点D与C重合；
当AC因此，本题正确答案是：AC，C，BC.
（2）如图4，根据题意得：PC=2t，
∵AC=18，BC=10
cm，∴AC+BC=18+10=28
cm，
∵D点是折中点，∴AD=14cm，∴CD=18-14=4cm，
∵∠ACB=90°，∴，即，解得，
则当t为秒时，三角形PCD的面积为10cm2；
(3)分两种情况：
①点D在线段AC上时，如图5，
∵E为线段AC中点,EC=8
cm,
∴AC=2CE=16cm，
∵CD=6cm，∴AD=AC-CD=16-6=10cm，
∵D为折中点，∴AD=CD+BC，∴BC=AD-CD=10-6=4cm；
②点D在线段BC上,如图6,
∵E为线段AC中点，EC=8cm，∴AC=2CE=16cm，
∴AD=AC+CD=16+6=22cm，
∴BD=AC+CD=22cm，
∴BC=BD+CD=22+6=28cm.
综上所述，CB的长度是4
cm
或28
cm.
7．如图，已知数轴上点A表示的数为10，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=30，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒.
(1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________(用含的代数式表示)；
(2)若M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度会发生变化吗?如果不变，请求出这个长度；如果会变化,请用含的代数式表示这个长度；
(3)动点Q从点B处出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度?
【答案】（1）-20，10-5t；（2）线段MN的长度不发生变化，都等于15．（3）13秒或17秒
【分析】(1)根据已知可得B点表示的数为10-30；点P表示的数为10-5t；
(2)分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN．
(3)
分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可；
【解析】解：（1））∵点A表示的数为10，B在A点左边，AB=30，
∴数轴上点B表示的数为10-30=-20；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
∴点P表示的数为10-5t；故答案为-20，10-5t；
（2）线段MN的长度不发生变化，都等于15．理由如下：
①当点P在点A、B两点之间运动时，
∵M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，
∴MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=15；
②当点P运动到点B的左侧时：
∵M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，
∴MN=MP-NP=AP-BP=（AP-BP）=AB=15，
∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为15．
（3）若点P、Q同时出发，设点P运动t秒时与点Q距离为4个单位长度．
①点P、Q相遇之前，由题意得4+5t=30+3t，解得t=13；
②点P、Q相遇之后，由题意得5t-4=30+3t，解得t=17．
答：若点P、Q同时出发，13或17秒时P、Q之间的距离恰好等于4；
【点睛】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
8．如图，已知点A,B是数轴上原点O两侧的两点，其中点A在负半轴上，点B在正半轴上，AO=2,
OB=10.动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，到达点B后立即返回，速度不变;动点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点Q到达点B时，动点P,Q停止运动.设P,Q两点同时出发，运动时间为t秒.(1)当点P从点A向点B运动时，点P在数轴上对应的数为
当点P从点B返回向点O运动时，点P在数轴上对应的数为
(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时，点P,Q第一次重合?(3)当t为何值时，点P,Q之间的距离为3个单位?
【答案】（1）2t-2,22-2t;（2）t=2;（3）t=5或或.
【解析】
【分析】
（1）先确定点P和点Q的运动情况，根据题意，列出代数式即可；
（2）根据题意，点P与点Q第一次重合，则运动的距离相等，即可得到答案；
（3）根据题意，可分为三种情况进行分析，分别画出图形，求出三种情况的时间即可.
【详解】
解：（1），
∴点P从点A向点B运动时，有，即，
∴此时点P在数轴上对应的数为：（）；
当点P从点B返回向点O运动时，总路程为：，
∵点Q运动到点B所需要的时间为：秒，
∴点P从点B返回向点O运动时，点P在数轴上对应的数为：（）；
故答案为：，.
（2）根据题意，第一次重合为点P追上点Q，则
，
解得：；
（3）由点P，Q之间的距离为3个单位，可分为三种情况：
①点P追上点Q，且超过点Q的距离为3个单位，如图：
∴，
解得：；
②点P从B点返回，与点Q第二次重合前，如图：
∴，
解得：；
③点P与点Q第二次重合后，相距3个单位，如图：
∴,
解得：.
∴当或或时，点P，Q之间的距离为3个单位.
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离，注意利用数形结合和分类讨论的思想进行解题.
9．（探索新知）
如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC=AC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段.
(1)若AC=3，则AB=_____；
(2)若点D也是图1中线段AB的圆周率点(不同于C点)，则AC_____DB；(填“=”或“≠”)
（深入研究）
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置.
(3)若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度.
【答案】（1）；（2）=；（3）
分析：
（1）由题意可知，当AC=3时，可由BC=AC先求得BC，再由AB=AC+BC可求得AB；
（2）由题意易得：AB=AC+BC=AC+AC=AC；AB=AD+BD=BD+BD=BD；由此可得AC=BD；
（3）由题意可知，OC=，设点M是线段OC靠近点O的圆周率点，点N是线段OC靠近点C的圆周率点，则由题意可得：OM=，CN=，由此解得：OM=1，CN=1，所以可得MN=OC-OM-CN=.
【解析】（1）由题意可知，当AC=3时，BC=，∴AB=AC+BC=;
（2）由题意可知，AB=AC+BC=AC+AC=AC；
∵点D是AB上不同于点C的另一个圆周率点，
∴AB=AD+BD=BD+BD=BD；∴AC=BD，∴AC=BD；
（3）如图2，由题意可知：OC=.
设点M是线段OC靠近点O的圆周率点，点N是线段OC靠近点C的圆周率点，则由题意可得：
OM=，CN=，由此解得：OM=1，CN=1，∴MN=OC-OM-CN=.
点睛：（1）线段的圆周率点的含义：“线段的圆周率点把线段分成两条不相等的线段，其中较长的线段是较短线段的倍”；（2）一条线段有两个圆周率点，分别靠近线段的两个端点.
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