课时分层作业(十三) 生活中的变量关系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列变量间的关系是函数关系的是( )
A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．正方形的面积S与其边长a之间的关系
D．光照时间和苹果的亩产量
C [A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系．]
2．下图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13
℃
D．这天21时的温度是30
℃
C [这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14
℃，故C错．]
3．已知变量x，y满足y＝|x|，则下列说法错误的是( )
A．x，y之间有依赖关系
B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数
D．x是y的函数
D [当y取一个正值时，有两个x与它对应，故D错．]
4．谚语“瑞雪兆丰年”说明( )
A．下雪与来年的丰收具有依赖关系
B．下雪与来年的丰收具有函数关系
C．下雪是丰收的函数
D．丰收是下雪的函数
A [下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．]
5．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )
C [从亮亮的体温变化，可以看出图象应为：早晨37
℃以上37
℃(中午)37
℃以上37
℃(半夜)，结合图象知，只有C项符合．]
二、填空题
6．当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，________是自变量，________是因变量．
[答案] 圆柱底面半径 圆柱的体积．
7．自变量x与因变量y之间的关系如下表：
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
4
6
8
…
(1)写出x与y的关系式：________．
(2)当x＝2.5时，y＝________．
[答案] (1)y＝2x (2)5
8．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：
(1)甲、乙两人中先到达终点的是________．
(2)乙在这次赛跑中的速度为________
m/s.
(1)甲 (2)8 [设甲、乙的速度分别为v1，v2，
则v1＝＝(m/s)，v2＝＝8(m/s)，v1>v2.]
三、解答题
9．如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．
(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0
℃？
(3)大约在什么时刻内，气温在0
℃以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？
[解] (1)上午8时气温是0
℃，全天最高气温大约是9
℃，在14时达到，全天最低气温大约是－2
℃，在4时达到．
(2)大约在0时8时和22时，气温为0
℃.
(3)在8时到22时之间，气温在0
℃以上，变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图象是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以θ与t具有依赖关系，也具有函数关系．
10．如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
[解] (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11：00至12：00，他骑了13千米．
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；
10：00～10：30的平均速度是14千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐．
11．国内快递1
000
g以内的包裹的邮资标准如表：
运送距离x(km)
0
500000
1
000500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要邮寄800
g的包裹到距西安1
200
km的某地，那么他应付的邮资是( )
A．5.00元
B．6.00元
C．7.00元
D．无法确定
C [∵800
g<1
000
g，∴适用表格给出的邮资标准．
∵1
000<1
200<1
500，∴应付邮资7.00元．]
12．星期天，小明从家出发，出去散步，下图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是( )
A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18
min后才回家
B [水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．]
13．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图①所示，那么水瓶的形状是图②中的( )
B [通过图象反映的两个变量h与V的变化情况知，注水量随高度的变化是先快后慢，再结合选项中四个容器的形状来判断，只有B符合要求．]
14．现有含盐7%的食盐水200克，生产需要含盐在5%以上且6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水x克，则x的范围是________．
(100，400) [由题设得0.05＜＜0.06，解得100＜x＜400.]
15．向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆．
(1)在这个变化过程中，有哪些变量？
(2)若圆的面积用S表示，半径用R表示，则S和R的关系是什么？它们是常量还是变量？
(3)若圆的周长用C表示，半径用R表示，则C与R的关系式是什么？
[解] (1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量．
(2)圆的面积S与半径R存在依赖关系，
对于半径R的每一个取值，都有唯一的面积S与之对应，
所以圆的面积S是半径R的函数，其函数关系式是S＝πR2.圆的面积S、半径R都是变量．
(3)C＝2πR.
PAGE课时分层作业(十四) 函数概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是( )
A． B．－ C．2 D．－2
A [∵f(4x)＝＝x，∴4x2－4x＋1＝0，∴x＝.]
2．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[2，3)
B．(3，＋∞)
C．[2，3)∪(3，＋∞)
D．(2，3)∪(3，＋∞)
C [由解得x≥2，且x≠3.故函数f(x)的定义域为[2，3)∪(3，＋∞).]
3．下列各组函数中表示同一函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝，g(x)＝x＋1
C．f(x)＝|x|，g(x)＝
D．f(x)＝·，g(x)＝
C [对于A选项，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，∴不是同一函数．
对于B选项，f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，∴不是同一函数．
对于C选项，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数．
对于D选项，f(x)的定义域为[1，＋∞)，g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴不是同一函数．故选C.]
4．下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
C [A中，x＝0时，绝对值还为0，集合B中没有0；B中，x＝1时|x－1|＝0，集合B中没有0；C正确；D不正确．]
5．设f(x)＝，则等于( )
A．1
B．－1
C．
D．－
B [∵f(2)＝＝，f＝＝－，
∴＝－1.]
二、填空题
6．函数y＝＋的定义域为________．
[2，＋∞) [要使函数式有意义，需所以x≥2.]
7．函数f(x)＝x2－2x，x∈{－1，0，1}的值域为________.
{3，0，－1} [因为f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＝3，f(0)＝02－2×0＝0，f(1)＝12－2×1＝－1，所以f(x)的值域为{3，0，－1}．]
8．已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________．
3 [f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.]
三、解答题
9．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2，3]，求f(2x2－2)的定义域．
[解] ∵f(x＋1)的定义域为[－2，3]，
∴－1≤x＋1≤4.令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为[－1，4]，
即f(x)的定义域为[－1，4]，
要使f(2x2－2)有意义，须使－1≤2x2－2≤4，
∴－≤x≤－或≤x≤.
故函数f(2x2－2)的定义域为.
10．求下列函数的值域：
(1)y＝1－；(2)y＝；(3)f(x)＝3－2x，x∈[0，2].
[解] (1)∵函数的定义域为{x|x≥0}，∴≥0.
∴1－≤1.∴函数y＝1－的值域为(－∞，1].
(2)∵y＝＝2－，且其定义域为{x|x≠－1}，∴≠0，即y≠2.
∴函数y＝的值域为{y|y∈R，且y≠2}．
(3)∵0≤x≤2，∴0≤2x≤4.
∴－1≤3－2x≤3，即－1≤f(x)≤3，
故函数f(x)的值域是[－1，3].
11．下列各式子中，y不是x的函数的是( )
A．x＝y2＋1
B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6
D．x＝
A [B中，y＝2x2＋1是二次函数；C中，y＝x－3；D中，y＝x2，x≥0；A中，y＝±，y不是x的函数．]
12．已知函数y＝f对任意的x，y∈R都有f＝f＋f，且f＝4，则f＝( )
A．－2 B．1
C．0.5 D．2
D [在f＝f＋f中，令x＝y＝1，
则f＝f＋f＝4，∴f＝2.]
13．若一系列函数的关系式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数关系式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有( )
A．10个
B．9个
C．8个
D．4个
B [由2x2－1＝1，得x＝±1；由2x2－1＝7，得x＝±2.
因此当y＝2x2－1的定义域为{－2，－1}，{－1，2}，{－2，1}，{1，2}，{－2，2，1}，{－2，2，－1}，{2，－1，1}，{－2，－1，1}，{－1，1，2，－2}时，函数值域均为{1，7}．]
14．函数f(x)＝＋的定义域为________，值域为________.
{2
019} {0} [由解得x＝2
019.
所以函数的定义域为{2
019}．
显然f(2
019)＝0＋0＝0.所以函数的值域为{0}．]
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(9)＋f＋f(10)＋f的值．
[解] (1)因为f(x)＝，所以f(2)＋f＝＋＝1.
(2)f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1，是定值．
(3)由(2)知，f(x)＋f＝1，
所以f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…
f(10)＋f＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(9)＋f＋f(10)＋f＝10.
PAGE课时分层作业(十五) 函数的表示法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A.3 B．2 C．1 D．0
B [由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f
(g(2))＝f(1)＝2.]
2．如果f＝，则当x≠0，1时，f
(x)等于( )
A.
B．
C．
D．－1
B [令＝t，则x＝，代入f＝，则有f(t)＝＝，即f(x)＝，∴f(x)＝，故选B.]
3．若f
(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝( )
A.3x＋2
B．3x－2
C.2x＋3
D．2x－3
B [设f(x)＝ax＋b，由题设有
解得所以选B.]
4．设f
(x)＝2x＋3，g(x)＝f
(x－2)，则g(x)＝( )
A.2x＋1
B．2x－1
C.2x－3
D．2x＋7
B [∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.]
5．若f
(1－2x)＝(x≠0)，那么f等于( )
A.1
B．3
C．15
D．30
C [令1－2x＝t，则x＝(t≠1)，
∴f
(t)＝－1(t≠1)，即f
(x)＝－1(x≠1)，
∴f＝16－1＝15.]
二、填空题
6．已知函数f
(x)由下表给出，则f
(
f
(3))＝________．
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
1 [由题设给出的表知f
(3)＝4，则f
(
f
(3))＝f(4)＝1.]
7．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为_____．
5 [将点(5，4)代入f(x)＝x－，得m＝5.]
8．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝_____．
2x－ [设f
(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f
(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，
依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴∴
则f(x)＝2x－.]
三、解答题
9．已知f
(x)是一次函数，且满足3f
(x＋1)－2f
(x－1)＝2x＋17，求f
(x)的解析式．
[解] 设f
(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3
f
(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
∴解得
∴f
(x)＝2x＋7.
10．某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为：y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．
(1)写出函数y关于x的解析式；
(2)用列表法表示此函数，并画出图象．
[解] (1)将与代入y＝ax＋中，
得??
所以所求函数解析式为y＝x＋(x∈N
，0(2)当x∈{1，2，3，4，5，…，20}时，列表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
197
100
68.3
53
44.2
38.7
35
32.5
30.8
29.6
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
28.8
28.3
28.1
28
28.1
28.25
28.5
28.9
29.3
29.8
依据上表，画出函数y的图象如图所示，是由20个点构成的点列．
11．若一次函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )
A．
B．
C．(－1，3)
D．(－2，1)
A [设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
由该函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，得解得
所以此函数的解析式为y＝2x＋4，
只有A选项的坐标符合此函数的解析式．
故选A.]
12．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝x－
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝－x
C [f(x)＝kx与f(x)＝k均满足f(2x)＝2f(x)得，A，B，D满足条件．]
13．已知函数f＝x2＋，则f(3)＝( )
A．8 B．9
C．11 D．10
C [∵f＝＋2，∴f(3)＝9＋2＝11.]
14．已知函数f(x)满足f(x)＝2f＋3x，则f(x)的解析式为______．
f(x)＝－x－(x≠0) [由题意知函数f(x)满足f(x)＝2f＋3x，
①
用代换上式中的x，可得f＝2f(x)＋，
②
由①②可解得f(x)＝－x－(x≠0).]
15．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值．
[解] 因为f(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.
代入①得a＝.
所以f(x)＝＝.
所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝.
PAGE课时分层作业(十六) 函数的单调性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( )
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
A [因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.]
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有( )
A．a≥
B．a≤
C．a>
D．a<
D [函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选D.]
3．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
B [函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞).]
4．已知f(x)为R上的减函数，则满足fA．(－1，1)
B．(0，1)
C．(－1，0)∪(0，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C [由已知条件得：>1，不等式等价于
，解得－15．函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．a＝－3
B．a<3
C．a≤－3
D．a≥－3
C [y＝＝1＋，
由题意知
，解得a≤－3.]
二、填空题
6．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________．
[－1.5，3]和[5，6] [由图象知单调递增区间为[－1.5，3]和[5，6].]
7．已知函数f(x)为定义在区间(－1，1)上的减函数，则满足f(x)≥f(0)的实数x的取值范围为________．
(－1，0] [由题设得，解得－1＜x≤0.]
8．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
(－∞，2] [∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，
∴≤，即a≤2.]
三、解答题
9．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
[解] f(x)＝的图象如图所示．
由图可知，函数f(x)＝的单调减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调增区间为[2，＋∞).
10．设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．
[解] 在定义域内任取x1，x2，且使x1则f(x2)－f(x1)＝－＝
＝.
∵a>b>0，x10.
只有当x1当x1∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．
∴y＝f(x)的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)，无单调增区间．
11．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
①y＝|x|＋1；②y＝；③y＝－；④y＝x＋.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
C [①y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；②y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；④y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．]
12．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，3)
B．(0，3]
C．(0，2)
D．(0，2]
D [依题意得实数a满足解得013．若定义在R上的函数f对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有( )
A．f在R上是增函数
B．f在R上是减函数
C．函数f是先增后减
D．函数f是先减后增
A [由>0知f－f与a－b同号，
即当ab时，f(a)>f(b)，
所以f在R上是增函数．]
14．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．
[由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，
∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3).
∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，
解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.]
15．讨论函数f＝在区间上的单调性．
[解] f(x)＝＝a＋，
设任意的x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1∵－20，(x2＋2)(x1＋2)>0.
当a<时，1－2a>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在区间(－2，＋∞)上为减函数．
当a>时，1－2a<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)故f(x)在区间(－2，＋∞)上为增函数．
综上，当a<时，f(x)在区间(－2，＋∞)上为减函数；当a>时，f(x)在区间(－2，＋∞)上为增函数．
PAGE课时分层作业(十七) 函数的最大(小)值
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝在[2，3]上的最小值为( )
A．2
B．
C．
D．－
B [∵函数y＝在[2，3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝＝.]
2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为( )
A．[－6，－2]
B．[－11，－2]
C．[－11，－6]
D．[－11，－1]
B [函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0，5]，
所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；
当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，
所以函数f(x)的值域是[－11，－2].故选B.]
3．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10，6
B．10，8
C．8，6
D．以上都不对
A [当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，∴f(x)最小值＝f(－1)＝6，f(x)最大值＝f(2)＝10.故选A.]
4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1]
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)
D．(0，＋∞)
C [令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0，2]，
∴f(x)最小值＝f(0)＝f(2)＝0，
∴a<0.]
5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元
B．60万元
C．120万元
D．120.25万元
C [设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．]
二、填空题
6．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________．
4 [因为f(x)＝在[1，b]上是减函数，
所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，
所以b＝4.]
7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
1 [函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0，1]，且函数有最小值－2.
故当x＝0时，函数有最小值，
当x＝1时，函数有最大值．
∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，
∴f(x)最大值＝f(1)＝－1＋4－2＝1.]
8．函数f(x)＝－3x在区间[2，4]上的最大值为________．
－4 [∵y＝在区间上是减函数，y＝－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝－3x在区间上是减函数，∴f(x)最大值＝f(2)＝－3×2＝－4.]
三、解答题
9．画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．
[解] 函数的图象如图所示．
由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．
由函数图象可知，
函数的最小值为f(0)＝－1.
10．已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.
(1)求f(x)在区间[2a－1，2]上的最小值g(a)；
(2)求g(a)的最大值．
[解] (1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤时，f(x)最小值＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；
当0＜2a－1＜2，即所以g(a)＝
(2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增，
∴g(a)≤g＝－3；
又当∴g(a)的最大值为－3.
11．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )
A．
B．－
C．－2
D．2
A [∵f(x)＝－x＋在上单调递减，
∴f(x)最大值＝f(－2)＝2－＝.]
12．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
B．[0，2]
C．(－∞，2]
D．[1，2]
D [f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)最小值＝2，f(x)最大值＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，
∴1≤m≤2，故选D.]
13．(一题两空)已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值为________，最小值为________．
2 － [作出f(x)的图象如图．由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；
当x＝时，f(x)取最小值为－.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－.]
14．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
6 [在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．
根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6).
所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.]
15．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x
45
50
y
27
12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域).
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
[解] (1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组
解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54].
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
＝－3x2＋252x－4
860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54].
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
PAGE课时分层作业(十八) 函数的奇偶性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f＝x的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
[答案] C
2．已知f是奇函数，且当x>0时，f＝x－1，则当x<0时，f等于( )
A．x＋1
B．x－1
C．－x－1
D．－x＋1
[答案] A
3．设偶函数f在(0，＋∞)上为减函数，且f＝0，则不等式>0的解集为( )
A．(－2，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
B [>0?
或
.又f＝f＝0，f在(0，＋∞)上为减函数，
故x∈(0，2)∪(－∞，－2).]
4.
已知f＝ax2＋bx是定义在区间上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A.
－ B．
C． D．－
B [依题意b＝0，且2a＝－，
∴b＝0，且a＝，∴a＋b＝.]
5．已知y＝f是偶函数，则函数y＝f的图象的对称轴是( )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝
D．x＝－
B [y＝f的图象是由y＝f的图象向左平移一个单位得到的，而y＝f的图象的对称轴为x＝0，故选B.]
二、填空题
6．已知函数y＝f为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f＝0的所有实根之和是________．
0 [由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.]
7．已知函数f为奇函数，f＝f＋1，则f等于________．
[令x＝－1，得f＝f＋1＝－f＋1，
∴f＝.
令x＝1，得f＝f＋1＝＋1＝.]
8．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝______．
－1 [因为y＝f(x)＋x2为奇函数，所以f(－x)＋x2＝－f(x)－x2，所以f(－x)＝－f(x)－2x2，g(1)＝f(1)＋2＝3，
所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)－2＋2＝－f(1)＝－1.]
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)y＝＋；
(2)f＝
[解] (1)∵函数的定义域为，不关于原点对称，
∴该函数不具有奇偶性．
(2)f的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，－x＜0，
f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x).
故该函数为奇函数．
10．已知函数f(x)定义在R上，对任意x，y∈R，有f(y＋x)＋f(y－x)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.
(1)求证：f(0)＝1；
(2)求证：y＝f(x)是偶函数．
[解] (1)令x＝y＝0，得2f(0)＝2f2(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.
(2)令y＝0，得f(x)＋f(－x)＝2f(x)f(0)，
由(1)知，f(0)＝1，所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是偶函数．
11．定义在R上的函数f满足：对于任意α，β∈R，总有f－＝2010，则下列说法正确的是( )
A．f－1是奇函数
B．f＋1是奇函数
C．f－2010是奇函数
D．f＋2010是奇函数
D [依题意，取α＝β＝0，得f(0)＝－2010；取α＝x，β＝－x，得f(0)－f(x)－f(－x)＝2010，f(－x)＋2010＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋2010]，因此函数f＋2010是奇函数，选D.]
12．已知y＝f是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f；②y＝f；③y＝xf；④y＝f＋x.
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
D [由奇函数的定义验证可知②④正确．]
13．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
A [f的定义域为R，
对于任意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，
∴f为奇函数．又f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(－1)≠f(1)，
∴f不是偶函数．]
14．已知函数f＝
为奇函数，则a＋b＝_____．
0 [由函数f(x)为奇函数，得f＋f＝0，
又f＝0，f＝a＋b，
所以a＋b＝0.]
15．函数f的定义域是D＝，若对于任意x1，x2∈D，有f＝f＋f，试判断f的奇偶性并证明你的结论．
[解] f是偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝1，得f＝f＋f，∴f＝0.
令x1＝x2＝－1，得f＝f＋f，
∴f＝0.
令x1＝－1，x2＝x，得f＝f＋f，
∴f＝f.
所以，f是偶函数．
PAGE课时分层作业(十九) 简单幂函数的图象和性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝x的图象大致是( )
B [函数y＝x＝的定义域为R，且此函数在定义域上是增函数，排除A，C.另外，因为>1，在第一象限图象下凸．故选B.]
2．已知幂函数f的图象经过点，则f的值等于( )
A．16 B． C．2 D．
[答案] D
3．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
B [y＝x－1的定义域为[0，＋∞)且为增函数，所以函数图象是上升的，所以y＝x－1关于x轴对称的图象是下降的，故选B.]
4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数中图象全在直线y＝x下方的增函数是( )
A．y＝x
B．y＝x2
C．y＝x3
D．y＝x－1
A [对任意x∈(1，＋∞)，都有x－x＝x(x－1)＞0，x－x－1＝x－1(x2－1)＞0，x－x2＝x(1－x)＜0，x－x3＝x(1＋x)(1－x)＜0，故当x∈(1，＋∞)时，函数的图象全在直线y＝x下方的函数有y＝x和y＝x－1，而函数y＝x是单调递增函数，函数y＝x－1是单调递减函数，所以选A.]
5．已知幂函数f＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3
B．1
C．2
D．1或－3
B [由于f为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)是增加的，不合题意，故选B.]
二、填空题
6．判断大小：5.25－1________5.26－1.(填“>”或“<”)
> [∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，又5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1.]
7．函数f＝(x＋3)－2的单调增区间是________．
(－∞，－3) [y＝x－2＝的增区间为(－∞，0)，y＝(x＋3)－2是由y＝x－2向左平移3个单位长度得到的．
∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3).]
8．已知幂函数f＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f的解析式是________．
f＝x－1 [∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1又m∈Z，
∴m＝0，∴f＝x－1.]
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)(－2)－3，(－2.5)－3；
(2)8，；
[解] (1)∵幂函数y＝x－3在(－∞，0)上为减函数，且－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3.
(2)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，
又8＝，>，∴>，
∴8＞.
10．已知函数f＝(m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小．
[解] f＝＝＝m－＝m－(x－1)－2.
f的图象可由y＝x－2的图象首先作关于x轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m≥0)(或向下(m<0))平移|m|个单位长度得到(如图所示).
显然，图象关于x＝1对称且在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(－π)＝f(2＋π)，而2＋π>5，
∴f(－π)＝f(2＋π)>f(5).
11．如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1B．n<－1，0C．－11
D．n<－1，m>1
B [由题图知，y＝xm在[0，＋∞)上是增函数，y＝xn在(0，＋∞)上为减函数，所以m>0，n<0.又当x>1时，y＝xm的图象在y＝x的下方，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，所以m<1，n<－1，从而012．对于幂函数f＝x，若0A．f>
B．f<
C．f＝
D．无法确定
A [幂函数f＝x在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．
设A，C，其中0(|AB|＋|CD|)，
∴f>，故选A.]
13．已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)A．0<α<1
B．α<1
C．α>0
D．α<0
B [∵x>1，∴xα∴α－1<0，得α<1.]
14．给定一组函数解析式：①y＝x；②y＝x；③y＝x；④y＝x；⑤y＝x；⑥y＝x；⑦y＝x及如图所示的一组函数图象．请把图象对应的解析式号码填在图象下面的括号内．
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
⑥④③②⑦①⑤ [由第一、二、三个图象在第一象限的单调性知，α<0，而第一个图象关于原点对称，为奇函数，第二个图象关于y轴对称，为偶函数；第三个在y轴左侧无图象，故这三个图象分别填⑥④③.
由第四、五、六个图象在第一象限的特征知，0<α<1，再由其奇偶性及定义域知这三个图象应依次填②⑦①.
第七个图象对应的幂指数大于1，故填⑤.]
15．已知幂函数f＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数．
(1)求f的解析式；
(2)求当x∈[－1，1]时，函数g(x)＝f－mx是单调函数，求m的取值范围．
[解] (1)∵幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，
∴(2k－1)(3－k)>0，解得∵k∈Z，∴k＝1或k＝2.
当k＝1时，(2k－1)(3－k)＝2，
满足函数f(x)为偶函数，
当k＝2时，(2k－1)(3－k)＝3，
不满足函数f(x)为偶函数，
∴k＝1，且f(x)＝x2.
(2)∵f(x)＝x2，
∴g(x)＝f(x)－mx＝x2－mx，
函数g(x)的对称轴为直线x＝.
要使函数g(x)，当x∈[－1，1]时是单调函数，
则≤－1或≥1，解得m≤－2或m≥2，
故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
PAGE章末综合测评(二) 函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f＝的定义域为( )
A．[－1，2)∪(2，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．[－1，2)
D．[－1，＋∞)
A [由解得x≥－1，且x≠2.]
2．函数f(x)＝的图象是( )
A B C D
C [因为f(x)＝＝所以其图象为C.]
3．设函数f(x)＝
，则f(f(3))＝( )
A．
B．3
C．
D．
D [因为f(3)＝，所以f(f(3))＝f()＝()2＋1＝＋1＝，故选D.]
4．函数f(x)＝＋，则函数f(x)图象( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
D [函数f(－x)＝|(－x)3＋1|＋|(－x)3－1|＝|1－x3|＋|－x3－1|＝|x3＋1|＋|x3－1|＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，由函数性质知选项D正确．]
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A．
B．
C．
D．
A [由题意得|2x－1|6．函数f(x)＝的最大值是
( )
A．
B．
C．
D．
D [∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝＋≥，∴≤.]
7．已知函数f(x)＝ax2－x，若对任意x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，不等式>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
D [不妨设x2>x1≥2，则＝
eq
\f(（ax－x1）－（ax－x2）,x1－x2)＝
eq
\f(a（x－x）－（x1－x2）,x1－x2)＝＝a(x1＋x2)－1.
∵对任意x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，>0恒成立，
∴x2>x1≥2时，a(x1＋x2)－1>0，即a>恒成立．∵x2>x1≥2，∴＜.
∴a≥，即a的取值范围为.故选D.]
8．已知f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
A [由题意可得解得≤a<，故选A.]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．下列函数中与函数y＝x不相同的是( )
A．y＝x2
B．y＝
C．y＝
D．y＝
ACD [y＝＝t，t∈R，故只有B选项相同，故选ACD.]
10．下列函数中，是奇函数(
)
A．y＝x＋1
B．y＝－x2
C．y＝
D．y＝x|x|
CD [根据奇函数的定义知：C、D中函数是奇函数．]
11．设函数D(x)＝
，则下列结论正确的是( )
A．D的定义域为R
B．D的值域为{0，1}
C．D是偶函数
D．D是单调函数
ABC [A，B，C正确，由D＝D知，D不是单调函数．]
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．b＝－2a
B．a＋b＋c＜0
C．a－b＋c＞0
D．abc＜0
AD [由图象知a＜0，对称轴x＝－＝1，则b＝－2a，则b＞0.
由x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＜0，
由x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0，
由x＝1时，y＞0，则a＋b＋c＞0，
故选AD.]
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减少的，则m＝________.
1 [由题意知m2－2m－3为负的偶数，
由m2－2m－3＝(m－1)2－4<0?|m－1|<2.
∴－1又m∈N＋，∴m＝1或m＝2.
代入m2－2m－3使其为偶数，只有m＝1.]
14．函数f＝－的值域为________．
[由f＝，知f是减函数．又f的定义域是，
所以，f的最大值是f＝，又f>0，
所以，f的值域为
.]
15．若函数f＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
[函数f的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，
因此有Δ＝＋4a≤0，解得－1≤a≤0.]
16．设函数f(x)＝，a∈R的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
2 [f(x)＝＝1＋，
令g(x)＝，则y＝g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.
所以M＋m＝[1＋g(x)max＋[1＋g(x)min]＝2.]
四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋1，求f(x)在x∈R上的表达式．
[解] 因为f(x)是定义域在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
当x<0时，－x>0，
由已知得，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋1＝x2＋2x＋1＝－f(x)，
所以f(x)＝－x2－2x－1，
所以f(x)＝
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x＋的图象过点A.
(1)求实数a的值；
(2)证明函数f(x)在(0，1)上是减函数．
[解] (1)因为函数f(x)＝x＋的图象过点A，所以＝2＋?a＝1.
于是，f(x)＝x＋.
(2)证明：设x1，x2是(0，1)上的任意两个实数，且x1由x1，x2∈(0，1)，得0于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(0，1)上是减函数．
19．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0，4)，对任意x满足f(3－x)＝f(x)，且有最小值是.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数h(x)＝f(x)－(2t－3)x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；
(3)在区间[－1，3]上，y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．
[解] (1)由题知二次函数图象的对称轴为x＝，又最小值是，则可设f(x)＝a＋(a≠0).
又图象过点(0，4)，
则a＋＝4，解得a＝1，
∴f(x)＝＋＝x2－3x＋4.
(2)h(x)＝f(x)－(2t－3)x＝x2－2tx＋4＝(x－t)2＋4－t2，其对称轴x＝t.
①t≤0时，函数h(x)在[0，1]上单调递增，最小值为h(0)＝4；
②当0③当t≥1时，函数h(x)在[0，1]上单调递减，最小值为h(1)＝5－2t，
所以h(x)min＝
(3)由已知，f(x)>2x＋m对x∈[－1，3]恒成立，
∴m∴m<(x2－5x＋4)min(x∈[－1，3]).
∵g(x)＝x2－5x＋4在x∈[－1，3]上的最小值为－，
∴m<－.
20．(本小题满分12分)如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，且上底CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域．
[解] AB＝2R，C、D在⊙O的半圆周上，设腰长AD＝BC＝x，作DE⊥AB，
垂足为E，连接BD，则∠ADB是直角，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD.
AD2＝AE×AB，即AE＝，
∴
CD＝AB－2AE＝2R－，
所以y＝2R＋2x＋，
即y＝－＋2x＋4R.
再由
，解得0＜x＜R.
所以y＝－＋2x＋4R，定义域为(0，R).
21．(本小题满分12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f－f，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.
[解]
(1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)由f＝f－f得f＝f－f，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，
由f(|x|)9，∴x>9或x<－9.
因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
(1)当a＝2时，求f(x)的定义域、值域；
(2)若存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，求a的取值范围．
[解] (1)f(x)的定义域为(－∞，a]∪(a，＋∞)＝R.
当a＝2时，y＝x3在(－∞，2]上是增加的，
∴x3∈(－∞，8].
y＝x2在(2，＋∞)上是增加的，∴x2∈(4，＋∞).
∴f(x)的值域为(－∞，8]∪(4，＋∞)＝R.
(2)当a<0时，f(x)在(a，＋∞)上不单调，
∴存在x1≠x2使f(x1)＝f(x2).
当a＝0时，f(x)在R上是增函数，
∴不存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2).
当a>0时，f(x)在(－∞，a]，(a，＋∞)上都是增加的，
要使x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，
需a3>a2，即a>1.
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞).
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(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(－∞，4]
B．(－∞，3)∪(3，4]
C．[－2，2]
D．(－1，2]
B [f(x)中的x需满足
解得x≤4且x≠3，
故f(x)的定义域为(－∞，3)∪(3，4].]
2．函数f(x)＝则f的值为( )
A． B．－ C． D．18
C [∵3>1，∴f(3)＝32－3－3＝3，
∵<1，∴f＝f＝1－＝.]
3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
C [f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.]
4．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)
C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C [函数f(x)＝的图象如图．
由图象知：f(x)在R上为增函数．
∵f(2－a2)＞f(a)，∴2－a2＞a.
解得－2＜a＜1.]
5．若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么z＝2x＋3y2的最小值为( )
A．2
B．
C．
D．0
B [由题意得：∵x＝1－2y≥0，∴0≤y≤，
∴z＝2x＋3y2＝3y2＋2＝3y2－4y＋2＝3＋，
∴当y＝时，
z有最小值.]
二、填空题
6．已知幂函数y＝(a2－2a－2)xa在实数集R上单调，那么实数a＝________．
3 [由题意，a2－2a－2＝1，∴a＝－1或3，
又当a＝－1时，y＝x－1定义域不是R，舍去，
当a＝3时，y＝x3在R上是增函数，符合题意．]
7．把函数f(x)＝(x－2)2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是________．
y＝＋1 [把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，得y＝f，再向上平移1个单位，得y＝f＋1，
∴y＝＋1＝＋1.]
8．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝________．
2x＋3 [设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3.
∵g(x)为奇函数，
∴f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3.]
三、解答题
9．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有两相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0，t]上的最大值．
[解] (1)∵方程f(x)＝2x有两相等实根，即ax2＋(b－2)x＝0有两相等实根，
∴Δ＝(b－2)2＝0，解得b＝2.
由f(x－1)＝f(3－x)，得＝1，
∴x＝1是函数图象的对称轴，
而此函数图象的对称轴是直线x＝－，
∴－＝1，∴a＝－1，故f(x)＝－x2＋2x.
(2)∵函数f(x)＝－x2＋2x的图象的对称轴为x＝1，x∈[0，t]，
∴当0∴f(x)max＝f(t)＝－t2＋2t.
当t>1时，f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，∴f(x)max＝f(1)＝1.
综上，f(x)max＝
10．已知f(2x＋1)＝x2－2x－5，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝4x2－6
B．f(x)＝x2－x－
C．f(x)＝x2＋x－
D．f(x)＝x2－2x－5
B [设t＝2x＋1，则x＝，
∴f(t)＝－2·－5＝t2－t－，
∴f(x)＝x2－x－.]
11．已知函数f(x)＝则f(1)－f(3)等于( )
A．－7 B．－2 C．7 D．27
C [由题意得f(1)＝f(4)＝42＋1＝17，f(3)＝32＋1＝10，
故f(1)－f(3)＝17－10＝7.]
12．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )
A B C D
A [函数y＝f(x)g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除C、D.因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，所以y＝f(x)·g(x)是奇函数，故选A.]
13．设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是________．
[作出函数f(x)＝的图象，如图，不妨设x1故x2＋x3＝6，且x1满足－14．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0，2]上有最小值3，求a的值．
[解] f(x)＝4－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0，2]上是增函数．
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.
∵a≤0，∴a＝1－.
②当0<<2，即0f(x)min＝f＝－2a＋2.
由－2a＋2＝3，得a＝－(0，4)，舍去．
③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0，2]上是减函数，
f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.
∵a≥4，∴a＝5＋.
综上所述，a＝1－或a＝5＋.
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