有理数的乘除法
知识框架
基础知识点
知识点4.
1
有理数的乘法法则
规律：①几个非零数相乘，值为绝对值相乘，符号由负号个数确定（奇数个为负，偶数个为正）
②任何数乘0，积为0
例1．（2020·江苏海安初一月考）下列算式中，值最大的是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】按照有理数乘法法则，分别计算各项算式，即可判断最大值.
【解析】A.
;
B.
;
C.
;
D.
;四个结果中3最大，故选C.
【点睛】本题考查了有理数的乘法和判断有理数的大小，熟练掌握运算法则是解题的关键.
例2.（2019·安徽省肥东三中初一期中）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是 []
A．38
B．52
C．66
D．74
【答案】D
【分析】仔细观察图形，找出规律，根据规律求出m的值即可.
【解析】通过观察图形，该题四个数有以下规律：前三个数是连续偶数，最后一个数是第二个数与第三个数的乘积再与第一个数的差，故m＝8×10－6＝74.故选D.
【点睛】本题属于规律探索题，细心观察图形找出规律是解答此类题目的关键.
例3.（2020四川绵阳初一月考）计算：
（1）－；
（2）－|－2.5|×；
（3）；
（4）．
（5）(-8)×(-5)×(-2)×；
（6）(-5)×(-8)×(-10)×(-15)×0．
（7）；
（8）．
【答案】（1）-2；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）小括号内小数先化成分数并确定符号，再相乘即可；
（2）先按法则去掉绝对值符号和括号，确定符号，再相乘即可；
（3）先确定符号，再相乘即可；
（4）先把小数化成分数并确定符号，再相乘即可．
【解析】（1）－；
（2）－|－2.5|×；
（3）；
（4）．
(5)(-8)×(-5)×(-2)×=-25；(6)(-5)×(-8)×(-10)×(-15)×0=0．
（7）；
（8）．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，解题的关键是明确有理数乘法运算的法则．
例4．（2020·湖北省初一月考）如图，A、B、C三点在数轴上所表示的数分别为a、b、c，根据图中各点位置，下列各式正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据数轴得出c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，求出a﹣1＜0，b﹣1＞0，c﹣1＜0，a+1＞0，b+1＞0，c+1＜0，再根据有理数的运算法则判断即可．
【解析】解：∵从数轴可知：c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，
∴a﹣1＜0，b﹣1＞0，c﹣1＜0，a+1＞0，b+1＞0，c+1＜0，
∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，（c﹣1）（b﹣1）＜0，（a+1）（b+1）＞0，（c+1）（b+1）＜0，
∴只有选项D正确；选项A、B、C都错误，故选：D．
【点睛】本题考查了数轴和有理数的运算法则，能根据数轴得出c＜﹣1＜0＜a＜1＜b是解此题的关键．
例5．（2020·靖江外国语学校初一月考）下列说法中正确的有（
）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③互为相反数的两数相乘，积一定为负；
④两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】①错误，如，符号改变;
③错误，如0×0，积为0；②④正确.
【点睛】本题考查了有理数的乘法性质，逐一判断即可.
例6．（2020·北京初一期末）阅读下面材料：两位同学在用标有数字1，2，...，9的9张卡片做游戏.
甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片”和“卡片”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片上的数字乘以5，加上7，再乘以2，再加上卡片上的数字，把最后得到的数的值告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦！”
乙同学：“这么神奇？我不信.”
……
试验一下：
（1）如果乙同学抽出的卡片上的数字为2，卡片上的数字为5，他最后得到的数等于多少；
（2）若乙同学最后得到的数，则卡片上的数字为多少，卡片上的数字为多少.
解密：
请你说明：对任意告知的数，甲同学是如何猜到卡片的.
解：（1）等于多少.（2）若，则卡片上的数字为多少，卡片上的数字为多少.
解密：
【答案】（1）39；（2）4，3.解密：见解析.
【分析】（1）根据游戏规则计算M的值即可；（2）根据游戏规则表示M，为一个二元一次方程，取整数解即可；解密：设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，则M=2（5x+7）+y=（10x+y）+14，M-14=10x+y，可得结论．
【解析】（1）由题意得，；故M为39；
（2）4，3；解密：预设方法1：学生任意再举具体数说明，说得正确只得1分.
预设方法2：学生用字母表示数来说明一般情况，如：
设卡片上的数字为，卡片上的数字为，（其中为1，2，...，9这9个数字）
根据游戏规则可得：.
可得，其中十位数字为，个位数字为.
所以由给出的的值减去14，所得两位数十位上的数字为卡片上的数字，个位上的数字为卡片上的数字.；故卡片A上的数字是4，卡片B上的数字是3.
【点睛】本题是阅读型问题，考查学生有理数的加法和乘法，及规律计算问题，注意理解材料中M的由来．
知识点4.
2
有理数乘法的运算律
1）正数乘法运算定律可推广到有理数中：
①交换律：a×b=b×a
②结合律：a×b×c=a×（b×c）
③分配律：a×（b+c）=a×b+a×c
注：运用运算律时，因数作为一个整体，符号要与因数一同变换
2）运用运算律的一些技巧（先当作正数计算出有理数的数值，最后在判断符号）
①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：
②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×
③带分数应先化为假分数的形式。如：
④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；
⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）
例1．（2020·浙江初一期中）计算下列各式：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）；
（2）×（﹣2.4）×；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；
（4）9×15；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
【答案】（1）；（2）-1.2；（3）-84；（4）149；（5）；（6）-1
【分析】（1）把带分数化为假分数，小数化为分数，然后根据有理数的乘法法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（3）利用乘法交换结合律进行计算即可得解；
（4）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解；
（5）逆运用乘法分配律进行计算即可得解；
（6）先算小括号里面的，再根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
；
（6）．
【点睛】本题考查有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便，计算时要注意运算符号的处理．
例2．（2020·江苏灌云初一月考）用简便算法进行计算：
（1）（）×（﹣24）
（2）9×35
【答案】（1）5；（2）349.
【分析】（1）利用乘法分配律运算即可；（2）将9化成（10﹣），再利用乘法分配律运算即可.
【解析】解：（1）（）×（﹣24）＝
＝（﹣9）+（﹣4）+18＝5；
（2）9×35＝（10﹣）×35＝10×35﹣×35＝350﹣1＝349．
【点睛】本题考查了有理数范围内乘法分配律的运用，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键.
例3．（2020·江苏丰县初一月考）利用分配律计算（–100）×99时，正确的方案可以是
A．–（100+）×99
B．–（100–）×99
C．（100–）×99
D．（–101–）×99
【答案】A
【分析】根据乘法分配律进行计算即可.
【解析】
故选A.[]
【点睛】考查有理数的乘法，主要是乘法的分配律,掌握分配律的计算是解题的关键.
例4．（2019·江苏宜兴初一月考）用简便方法计算下列各题
(1）
（2）
99×(
?17)
【答案】（1）-4；（2）-1699.
【分析】（1）用乘法分配律进行计算；（2）将99变成100－，再用乘法分配律进行计算即可．
【解析】（＋×－）×（﹣12）＝×（﹣12）＋×（﹣12）－×（﹣12）
＝﹣5＋（﹣8）＋9＝﹣4
（2）99×（﹣17）＝（100－）×（﹣17）＝﹣1700＋1＝﹣1699．
【点睛】本题主要考查了用更简便的方法进行有理数混合运算，做此类题目时要注意观察，擅用乘法分配律等为自己制造更简便的条件．
例5．（2019·江苏海安初一月考）
【答案】
【分析】运用乘法分配律进行计算即可.
【解析】=（4.61+5.39-11）=-1=-.
【点睛】本题考查了逆用乘法分配律进行计算.
例6．（2020·泰州市海陵学校初一期末）计算（）﹣2×（）﹣3×（）的结果是_____．
【答案】
【分析】将++看成一个整体，利用分配律进行计算即可．
【解析】原式=（++）－2×+2×（++）－3×（++）+3×=－1+=－．
故答案为－．
【点睛】本题考查有理数的简便算法（换元法），根据式子特点换元是解题的关键.
例7．（2020·全国初一课时练习）计算：．
【答案】
【分析】先去括号写成乘法的形式，再约分计算即可.
【解析】
．
【点睛】本题考查有理数的乘法，根据式子特点，去括号后约分是解题的关键.
知识点4.
3
倒数的概念
倒数：乘积是1的两个数互为倒数，0无倒数。即a×b=1（a，b0）
注：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0无倒数。
例1．（2020·全国初一课时练习）下列说法：①如果两个数的和为1，那么这两个数互为倒数；
②如果两个数积为0，那么至少有一个数为0；③绝对值是其本身的有理数只有0；
④倒数是其本身的数是，0，1；⑤一个数乘就是它的相反数；⑥任何一个有理数a的倒数是．
其中错误的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据倒数的概念、有理数乘法法则、绝对值的概念，相反数的概念进行判断即可.
【解析】解：如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数，①错误；如果两个数积为0，那么至少有一个数为0，②正确；绝对值等于其本身的有理数是0和正有理数，③错误；倒数等于其本身的有理数只有1和，④错误；因为一个数乘后就得到与其本身只有符号不同的另一个数，所以一个数乘就是它的相反数，⑤正确；0没有倒数，⑥错误．错误的有①③④⑥，共4个．故选D．
【点睛】本题主要考查了倒数的概念，有理数乘法法则和绝对值的概念,相反数的概念，熟记概念和法则是解决此题的关键.
例2．（2019·商水县希望中学初一月考）的相反数的倒数是__________．
【答案】
【分析】再根据相反数、倒数的定义，即可解答．
【解析】-7的相反数为7，7的倒数是，故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数、倒数，解决本题的关键是熟记相反数、倒数的定义．
例3．（2020·全国初一课时练习）的倒数是________，的倒数是_________．
【答案】
【分析】先化简，再根据倒数的定义计算即可.
【解析】∵，∴的倒数是．∵，∴的倒数是．
故答案为：①；②.
【点睛】本题考查倒数的定义，熟知倒数的定义是解题的关键.
例4．（2020·北京四中初三月考）如图，数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，则关于原点的说法正确的是（ ）
A．一定在点A的左侧
B．一定与线段AB的中点重合
C．可能在点B的右侧
D．一定与点A或点B重合
【答案】C
【分析】根据倒数的定义可知A，B两点所表示的数符号相同，依此求解即可．
【解析】∵数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，
∴A，B两点所表示的数符号相同，如果A，B两点所表示的数都是正数，那么原点在点A的左侧；
如果A，B两点所表示的数都是负数，那么原点在点B的右侧，∴原点可能在点A的左侧或点B的右侧．故选C．
【点睛】本题考查了数轴，倒数的定义，由题意得到A，B两点所表示的数符号相同是解题的关键．
例5．（2019·沭阳县修远中学初一月考）已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，则的值为________.
【答案】0或-2
【分析】a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，可分别求得a+b=0，cd=1，m=±1，代入求值即可．
【解析】∵a、b互为相反数且a≠0，∴a+b=0，
又∵c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，∴cd=1，m=±1，
∴∴原式=0或-2.故填0或-2.
【点睛】本题考查代数式求值,
相反数,
绝对值,
倒数.能根据互为相反数的数和为0，互为倒数的两个数积为1，得出a+b=0，cd=1，能根据绝对值的定义求出m是解决本题的关键.
知识点4.
4
有理数的除法法则
有理数除法法则：①除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；②符号的判定看负号的数量，奇为负，偶为正。
有理数乘除法运算步骤：①根据负号个数的奇偶判断符号；②绝对值运算数值。
例1.（2020·浙江初一期中）
（1）（－1）÷5×．
（2）÷．
（3）－209÷19．
（4）÷．
（5）－÷×．
（6）60÷．
【答案】（1）；（2）；（3）－11；（4）5；（5）－；（6）
【分析】（1）先把除法运算转化成乘法运算，确定符号，按从左到右顺序计算即可；
（2）先绝对值化简，再把除法运算转化成乘法运算，计算即可；
（3）把除法运算转化成乘法运算，再运用乘法分配律计算即可；
（4）把除法运算转化成乘法运算，再运用乘法分配律计算即可；
（5）先把除法运算转化成乘法运算，确定符号，按从左到右顺序计算即可；
（6）括号内先通分化简，再把除法运算转化成乘法运算，计算即可．
【解析】（1）（－1）÷5×=－1××()=＋=；
（2）÷=÷=×=；
（3）－209÷19=－209×=－=－=－11；
（4）÷=×=×（－12）－×（－12）=－4＋9=5；
（5）－÷×=－××=－；
（6）60÷=60÷=60÷=．
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除运算法则和运算顺序是解题的关键．
例2．（2020·成都市初一期末）
【答案】1
【分析】原式利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算即可得到结果．
【解析】，
．
点睛：此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．
例3．（2020·四川省北师大锦江区一月考）阅读下列材料：计算5÷（）
解法一：原式＝5÷﹣5÷+5÷
＝5×3﹣5×4+5×12
＝55
解法二：原式＝5÷（）
＝5÷
＝5×6
＝30
解法三：原式的倒数＝（）÷5
＝
＝
＝
∴原式＝30
（1）上述的三种解法中有错误的解法，你认为解法
是错误的
（2）通过上述解题过程，请你根据解法三计算
【答案】（1）一；（2）
【分析】（1）根据运算律即可判断；（2）类比解法三计算可得．
【解析】（1）由于除法没有分配律，所以解法一是错误的，故答案为：一；
（2）原式的倒数＝（）÷（﹣）
＝（）×（﹣42）
＝×（﹣42）﹣×（﹣42）﹣×（﹣42）+×（﹣42）
＝﹣7+9+28﹣18
＝12，
∴原式＝．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
例4．（2020·南京市中华中学初一月考）阅读材料，回答问题：
计算：
解：方法一：原式
方法二：原式
请选用较简便的方法计算：．
【答案】
【分析】把除法转化为乘法，并把变为，然后根据乘法的分配率计算即可.
【解析】原式．
【点睛】本题考查有理数的运算，解答本题的关键是把原式变形，从而利用有理数的运算律简化运算.
例5．（2020·江苏省江阴市第一中学初一期中）下列说法中，正确的是（
）
A．绝对值等于本身的数是正数
B．0除以任何一个数，其商为0
C．倒数等于本身的数是1
D．0乘以任何一个数，其积为0
【答案】D
【分析】根据绝对值,倒数及有理数的乘法和除法逐一判断即可.
【解析】A.绝对值等于本身的数为0和正数,所以A错误;
B.
0除以任何一个不为0的数，其商为0，所以B错误;
C.倒数等于本身的数是±1,所以C错误;
D、0乘以任何不为0的数都得0,所以D正确.故选D.
【点睛】本题考查了有理数的乘除法，解题的关键是掌握有理数乘除法的法则.
例6．（2019·江苏宜兴初一月考）两个不为零的有理数相除，如果交换它们的位置，商不变，那么（ ）
A．两数相等
B．两数互为相反数
C．两数互为倒数
D．两数相等或互为相反数
【答案】D
【解析】交换它们的位置，商不变则两数相等或互为相反数，故选D．
【点睛】本题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数除法的法则.
知识点4.
5
有理数四则混合运算
正数四则混合运算法则可推广到有理数中，先算括号里的，再算乘除，最后加减，同级之间从左往右依次计算。
例1．（2020·全国初一课时练习）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）16
（2）
【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可；（2）将除法转化为乘法，再利用乘法分配律逆运算进行计算即可．
【解析】（1）原式．
（2）原式．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律进行计算．
例2．（2020·日照市新营中学初一月考）计算：
；．
【答案】；．
分析：（1）原式变形后，约分即可得到结果；
（2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．
【解析】原式；
原式．
点睛：此题考查了有理数的除法，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例3．（2020·全国初一课时练习）计算：
（1）；
（2）．
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）27；（4）11．
【分析】（1）先去括号，再算乘法即可．（2）先去括号，再算乘法，再算加法即可．
（3）先转换成假分数的形式，再算乘法即可．（4）根据乘法分配律求解即可．
【解析】（1）原式．
（2）原式．
（3）．
（4）
．
【点睛】本题考查了有理数混合运算问题，掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
例4．（2019·全国初一课时练习）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）8；（5）-1；（6）1
【分析】（1）把小数化为分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；
（2）（3）（5）把带分数化为假分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；
（4）把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；
（6）先算绝对值，再算乘除法.
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=；
（5）原式=；
（6）原式=.
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握混合运算的顺序及运算法则是解答本题的关键.
例5．（2020·四川省初一期末）在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩算“24点”游戏．游戏规则：从一副扑克牌(去掉大，小王)中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号)，使得运算结果为24或﹣24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅花6(都是黑色扑克牌)．小明凑成的等式为6÷(1﹣3÷4)=24，小亮抽到的四张牌分别是黑桃7、黑桃3、梅花7、梅花3(都是黑色扑克牌)：请写出小亮凑成的“24点”等式____．
【答案】7×(3+3÷7)=24
【分析】利用“24点”游戏规则列出等式即可．
【解析】根据题意得：7×(3+3÷7)=24．故答案为：7×(3+3÷7)=24．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．
重难点题型
题型1
有理数乘除法与绝对值的综合应用
性质：
解题技巧：
首先判断绝对值内算式的正负，利用绝对值的性质去绝对值。若绝对值内为正，则直接去绝对值；若绝对值内为负，则去绝对值，并对整体添“﹣”号。当绝对值内为正时，则除以它本身结果为1；若绝对值内为负时，则除以它本身结果为﹣1.
例1．（2019·江苏省苏州工业园区初一一模）如果a，b，c是非零实数，且a＋b＋c＝0，那么的所有可能的值为(
)
A．0
B．1或－1
C．2或－2
D．0或－2
【答案】A
【分析】根据a、b、c是非零实数，且a+b+c=0可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可．
【解析】由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．
①当a，b，c为两正一负时：＝1，＝?1，所以的＝0；
②当a，b，c为两负一正时：：＝-1，＝1，所以的＝0；
由①②知：所有可能的值都为0．故选A.
【点睛】本题考查了分式的化简求值、绝对值及非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值，不要漏解．
例2．（2019·四川省初一期中）若|abc|＝－abc，且abc≠0，则＝（ ）
A．1或－3
B．－1或－3
C．±1或±3
D．无法判断
【答案】A
【分析】利用绝对值的代数意义判断得到a，b，c中负数有一个或三个，即可得到原式的值．
【解析】∵|abc|=-abc，且abc≠0，∴abc中负数有一个或三个，
则原式=1或-3，故选A．
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的乘法以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例3．（2020·四川省初一期末）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB=OC，则下列结论中：①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c=b；④
．其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】根据图示，可得c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，据此逐项判定即可．
【解析】∵c＜a＜0，b＞0，∴abc＞0，∴选项①不符合题意．
∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，∴b+c＜0，∴a（b+c）＞0，∴选项②符合题意．
∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，∴-a+b=-c，∴a-c=b，∴选项③符合题意．
?∵=-1+1-1=-1，∴选项④不符合题意，∴正确的个数有2个：②、③．故选B．
【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，有理数的运算法则以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
例4．（2019·深圳市龙岗区布初一月考）已知，则式子：（
）
A．3
B．或1
C．或3
D．1
【答案】C
【分析】不妨设a
＜b＜c，分类讨论：①a
＜b＜0＜c，②a＞0，b＞0，c＞0，根据绝对值的定义即可得到结论．
【解析】不妨设a
＜b＜c．∵abc＞0，∴分两种情况：
①a
＜b＜0＜c，则=－1+（－1）+1=－1；
②a＞0，b＞0，c＞0，则1+1+1=3．故选C．
【点睛】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，解题的关键是讨论字母的取值情况．
题型2
定义新运算
解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
例1．（2019·湖北省初一期中）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（
）
A．1，2
B．1，3
C．4，2
D．4，3
【答案】A
分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可．
【解析】一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，
伸出的和为3×10=30，30+4×3=42，故选A．
点评：此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．
例2．（2020·常州市第二十四中学初三月考）定义一种新的运算：a?b=，如2?1==2，则（2?3）?1=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决．
【解析】解：∵，∴（2?3）?1?1=4?1，故选B．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
例3．（2019·沈阳市第一二六中学初一月考）定义新运算：对有理数、，有，如，那么的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据新定义列出算式，再利用乘法分配律计算即可．
【解析】（﹣2）?5=﹣2×（）=1．故选D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
例4．（2019·广东省华南师大附中初一期中）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号），，，，…，那么计算的值是（
）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
【答案】C
【分析】原式利用题中的新定义化简，约分即可得到结果．
【解析】根据题中的新定义得：原式==2020，故选：C．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
例5．（2019·吉林省东北师大附中初一月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．
【答案】（1）-6；（2）；（3）不满足，举例见解析
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；（2）根据新定义分两步列式计算即可；
（3）根据新运算可知运用交换律出的结果和原来的结果不同，所以不满足，举例说明即可．
【解析】（1）(-2)×4-(-2)=-8+2=-6
（2）
（3）∵新运算
∴运用加法加法交换律可得：
假设，则=3×4-3=9；=4×3-4=8
∴不能用交换律．
【点睛】本题主要考查有理数的运算，解题关键是掌握新定义规定的运算法则、有理数乘方法则等知识．
例6．（2020·北京十二中初一期中）对于有理数，定义一种新运算“”，规定.
（1）计算的值.（2）当在数轴上的位置如图所示时，化简.
（3）当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明.
（4）已知，求的值.
【答案】（1）6；（2）-2b；（3）不一定，理由见解析；（4）或-．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）根据数轴上点的位置判断出a+b与a-b的正负，利用绝对值的代数意义计算即可得到结果；
（3）当a⊙b=a⊙c时，不一定有b=c或者b=-c，举例即可；
（4）分类讨论a的正负，利用新定义将已知等式化简，即可求出a的值．
【解析】（1）根据题中的新定义得：2⊙（-3）=|2+（-3）|+|2-（-3）|=1+5=6；
（2）从a，b在数轴上的位置可得a+b＜0，a-b＞0，∴a⊙b=|a+b|+|a-b|=-（a+b）+（a-b）=-2b；
（3）由a⊙b=a⊙c得：|a+b|+|a-b|=|a+c|+|a-c|，不一定有b=c或者b=-c，
例如：取a=5，b=4，c=3，则|a+b|+|a-b|=|a+c|+|a-c|=10，此时等式成立，但b≠c且b≠-c；
（4）当a≥0时，（a⊙a）⊙a=2a⊙a=4a=8+a，解得：a=；
当a＜0时，（a⊙a）⊙a=（-2a）⊙a=-4a=8+a，解得：a=-．故a的值为：或-．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例7．（2020·江苏武进初一期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是=－2，－2的“哈利数”是，已知a1＝5，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于(
)
A．
B．
C．
D．5
【答案】A
【分析】根据定义，计算出，，，，…，找出规律得到.
【解析】由定义得，，，，
依次类推可得，，，…可看出四个数据一循环，这四个数是5，，，，
∵2019÷4=504…3，故第2019个数是，选A.
【点睛】本题考查有理数的计算，寻找数据的规律是解题的关键.
题型3.
±1赋值问题
解题技巧：对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。
用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。
例1.（2020.江苏省初一期中改编）桌上放5个杯子，杯口朝上的有2个，朝下的有3个，每次翻动4个杯子。问能否翻动若干次后，将杯口全部朝上？
【答案】不能实现
【解析】设杯口朝上为1，朝下为－1
原来为：1×1×（－1）×（－1）×（－1）=－1
每翻动一个杯子，相当于乘－1
则每次翻动4个杯子，相当于
所以，无论翻动多少次，5个杯子的乘积一定为－1
而杯口全部朝上，则5个杯子的乘积为1，不能实现
【点睛】本次考查探索与表达规律，多个有理数相乘.解决本题的关键是能找到题中-1个数的变化规律，并根据多个有理数相乘，当负数的个数为偶数时结果为正，当负数的个数为奇数时结果为负，再把绝对值相乘进行计算.
例2．（2020·北京中关村中学初三月考）容器中有A，B，C
3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：
①最后一颗粒子可能是A粒子；②最后一颗粒子一定是C粒子
③最后一颗粒子一定不是B粒子；④以上都不正确
其中正确结论的序号是(
)．(写出所有正确结论的序号)
A．①
B．②③
C．③
D．①③
【答案】D
【分析】将问题抽象为有理数的符号法则即可解决.[]
【解析】③∵相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；
不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子，
∴设B粒子为1，A、C粒子为-1，碰撞为乘法运算，∴=-1，
故最后一颗粒子一定不是B粒子，∴③是正确的；
①10颗A粒子，8颗C粒子，8颗B粒子，同种粒子两两碰撞，得到13颗B粒子，
再所有B粒子一一碰撞，得到一颗B粒子，和剩下的1颗C粒子碰撞，得到A粒子，
∴最后一颗粒子可能是A粒子；∴①是正确的，②是错的.
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的符号法则，读懂题意是解题的关键.
例3．（2019·云南省初一期末）如图，桌上有9张卡片，每张卡片的一面写数字1,另一面写数字-1.每次翻动任意2张(包括已翻过的牌)。改变其向上的面，然后计算能看到的所有牌面数字的积请问，
当翻了2019次时牌面数字的积为(
)
A．1
B．-1
C．2019
D．-2019
【答案】A
【分析】依照题述翻牌，发现翻牌时-1的个数总保持偶数，故2019次翻牌乘积仍为1.
【解析】第一次翻牌时有两张变成-1，其它都为1，故乘积为1:；
第二次翻牌时，有三种可能：①翻到的两张都为未翻到的牌，则有四张-1，其它都为1，乘积为1；②翻到的两张都为翻到的牌，则有0张-1，其它都为1，乘积为1；③翻到的两张一张为翻过的牌，一张为未翻过的牌，则-1有两张，其它都为1，乘积为1.
依次类推，从第二次开始每次翻牌都有三种可能，-1的个数比原来增加2，-1的个数保持不变，-1的个数减少2，总之-1的个数为偶数，其余全是1，故乘积为1.
所以当翻了2019次时牌面数字的积为：1.故选:A.
【点睛】本次考查探索与表达规律，多个有理数相乘.解决本题的关键是能找到题中-1个数的变化规律，并根据多个有理数相乘，当负数的个数为偶数时结果为正，当负数的个数为奇数时结果为负，再把绝对值相乘进行计算.
课后作业：
1．（2019·江苏泰州初一月考）下列计算：①；②；③；④.其中正确的个数是(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】分别根据有理数的加法、减法、乘法、除法法则计算各式，然后判断.
【解析】①（-3）+（-9）=-12，故原结果正确；②0-（-5）=5，故原结果错误；
③，故原结果正确；④（-36）÷（-9）=4，故原结果错误
所以其中正确的个数是2个.故选B.
【点睛】本题考查了有理数的加、减、乘、除运算法则．注意确定运算的符号.
2．（2019·江苏东海初一期中）下列等式成立的是（
）
A．100÷×（—7）=100÷
B．100÷×（—7）=100×7×（—7）
C．100÷×（—7）=100××7
D．100÷×（—7）=100×7×7
【答案】B
【分析】根据有理数的运算法则即可判断.
【解析】100÷×（-7）=100×7×（-7）；故选B.
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知有理数的乘除法则.
3．（2019·江苏海安初一月考）把转化为乘法是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分式的除法，在计算分数的除法时，第一步即是除法转换为乘法的形式，即将被除数的分子分母交换位置即可；需要注意的是被除数仅是将分子分母换位置，符号不发生变化.
【解析】原式=
故选：A
【点睛】此题考查有理数的乘除法，解题关键在于掌握运算法则
4．（2019·江苏省苏州工业园区金鸡湖学校初一一模）下列运算正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据有理数的运算法则逐项计算即可.
【解析】A.
，故不正确；B.
-7-2×5=-7-10=-17，故不正确；
C.
，故不正确；D.
，故正确；
故选D.
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键.混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序.
5．（2019·江苏泰州初一月考）如果mn>0，且m
+n<0，则下列选项正确的是(
)
A．m<0，n<0
B．m>0，n＞0
C．m，n异号，且负数的绝对值大
D．m，n异号，且正数的绝对值大
【答案】A
【分析】根据有理数的性质，因为mn>0，且m+n<0，可得m，n同号且两者都为负数可排除求解
【解析】若有理数m，n满足mn>0，则m，n同号，排除C，D选项；
且m+n<0，则m<0，n<0，故A正确.故选A.
【点睛】本题考查了有理数的性质，利用排除法依次排除选项.
6．（2019·全国初一课时练习）如果五个有理数的积为负数，那么其中的负因数有( )
A．1个
B．3个[]
C．5个
D．1个或3个或5个
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法法则解答即可．
【解析】∵五个有理数的积为负数，∴其中负因数的个数一定为奇数．
∴负因数的个数只可能是1、3、5个．故选D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
7．（2019·山西省初一月考）已知，为有理数，且，，则下列说法正确的是（
）
A．，中一正一负
B．，都为正数
C．的绝对值更大
D．，都为负数
【答案】D
【分析】根据有理数的加减乘除运算法则判断出a和b的正负即可得出答案
【解析】∵，
∴a和b同为负
故答案选择D.
【点睛】本题考查的是有理数的运算，比较简单，需要熟练掌握有理数的运算法则.
8．（2019·深圳市龙岗区布吉街道可园学校初一月考）已知，则式子：（
）
A．3
B．或1
C．或3
D．1
【答案】C
【分析】不妨设a
＜b＜c，分类讨论：①a
＜b＜0＜c，②a＞0，b＞0，c＞0，根据绝对值的定义即可得到结论．
【解析】不妨设a
＜b＜c．∵abc＞0，∴分两种情况：
①a
＜b＜0＜c，则=－1+（－1）+1=－1；
②a＞0，b＞0，c＞0，则1+1+1=3．故选C．
【点睛】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，解题的关键是讨论字母的取值情况．
9．（2019·四川省资阳市雁江区中和中学初一期中）已知a，b，c为有理数，且a+b-c=0，abc＜0，则=_____________.
【答案】1
【分析】根据有理数的乘法法则判断出a、b、c三个数中有奇数个负数，再表示出b-c，a-c，a+b，然后分情况去绝对值符号，求解即可．
【解析】∵abc＜0，∴a、b、c三个数中有奇数个负数，
∵a+b-c=0，∴b-c=-a，a-c=-b，a+b=c，
∴
，
若c是正数，则a、b有一个是负数，不妨设a是负数，
原式=
=1-1+1=1，
若c是负数，则a、b都是负数，
原式=
=1+1-1=1，
综上所述，代数式的值为1．故答案为：1．
【点睛】此题考查化简绝对值，解题关键在于掌握有理数的乘法法则，绝对值的性质，难点在于从c的正负情况讨论．
10．（2020·重庆实验外国语学校初一期中）如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是3，则m2﹣2019a+5cd﹣2019b的值是____．
【答案】14．
【分析】直接利用互为相反数以及互为倒数、绝对值的性质分别得出各式的值，进而将原式变形代入即可．
【解析】∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是3，∴a+b=0，cd=1，m=±3，
则m2﹣2019a+5cd﹣2019b=9﹣2019(a+b)+5cd=9﹣0+5=14．故答案为：14．
【点睛】此题主要考查了相反数、倒数、绝对值的应用，正确把握相关定义是解题关键．
11．（2020·湖北襄城初一期中）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于－1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于本身的有理数是0；⑤几个有理数相乘，负因数的个数为奇数，则乘积为负数．
其中正确的有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】A
【分析】①根据有理数的分类即可判断；②根据相反数的性质即可判断；③根据数轴上的点与有理数的关系即可判断；④根据绝对值的性质即可得出答案；⑤根据有理数乘法法则即可得出答案．
【解析】①有理数包括所有正有理数、负有理数和0，故原命题错误；
②若两个非零数互为相反数，则它们相除的商等于－1，故原命题错误；
③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数，故原命题错误；
④绝对值等于本身的有理数是0和正数，故原命题错误；
⑤几个非零有理数相乘，负因数的个数为奇数，则乘积为负数，故原命题错误；
所以正确的有0个，故选：A．
【点睛】本题主要考查有理数，相反数，绝对值，数轴上的点与有理数的关系，掌握有理数的分类，相反数，绝对值的性质，数轴上的点与有理数的关系是解题的关键．
12．（2020·山东省青岛第四中学初一月考）计算：
______
．
【答案】
【分析】根据题意，把分母利用乘法分配律逆运算计算得，=
，然后分子、分母约分即可．
【解析】原式=，故答案为：．
【点睛】本题考查了乘法分配律的逆运算，分数的约分，掌握乘法分配律的逆运算法则是解题的关键．
13．（2020·湖北省初一月考）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么______.
【答案】-6
【分析】原式根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【解析】解：∵表示不超过的最大整数，∴==；
故答案为：.
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，新定义的运算，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2020·青岛超银中学初一月考）在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或-24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，分别代表11、12、13.现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3、-4、-6、10，请你帮助他写一个算式，使其运算结果等于24或-24__________．
【答案】
【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可解答.
【解析】=-24
故答案为：=-24（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.
15．（2020·启东市百杏中学初一月考）阅读后回答问题：计算（–）÷（–15）×（–）．
解：原式=–÷[（–15）×（–）]①
=–÷1②
=–③.
（1）上述的解法是否正确？答：__________；若有错误，在哪一步？
答：__________（填代号）
错误的原因是：__________；
（2）这个计算题的正确答案应该是：__________．
【答案】不正确
①
运算顺序不对，或者是同级运算中，没有按照从左到右的顺序进行
【解析】解：（1）答：不正确；若有错误，在哪一步？答：
①
（填代号）．
错误的原因是：运算顺序不对，或者是同级运算中，没有按照从左到右的顺序进行．
（2）原式＝－×
(-)
×
(－)=
×(－)=
．
这个计算题的正确答案应该是：．
16．（2019·江苏泰州中学附属初中初一月考）计算
（1）；
（2）；
（3）
（4）
【答案】（1）2；（2）；（3）-1；（4）0.[]
【分析】（1）把带分数化成假分数，再约分计算即可；（2）把除法转化为乘法，再进行计算即可；
（3）把除法转化为乘法，再进行计算即可；（4）把除法转化为乘法，再运用分配律把括号展开，最后进行计算即可.
【解析】（1）=
==2；
（2）===；
（3）
=
==-1；
（4）==
==0.
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，在解答此类题目时要注意各种运算律的灵活应用．
17．（2020·东台市三仓镇一仓中学初一月考）计算：（1）（-32）÷4×（-8）；（2）．
【答案】（1）64；（2）.
分析：(1)(2)直接计算.
【解析】（1）（-32）÷4×（-8）=-8×（-8）=64.
（2）=.
点睛：（1）熟练掌握常用分数和小数的互化：，，，，,
,,.（2）利用带分数的性质，把复杂的数写成两个数的和，再用乘法分配律计算.(3)多个数相乘，负数是奇数个，最后符号为负；负数是偶数个，最后符号为正.(4)
带分数，统一成假分数的乘积形式，约分计算.
18．（2020·全国初一课时练习）阅读下列材料：计算
解法一：原式=．
解法二：原式=．
解法三：原式的倒数为
故原式=300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法
是错误的．
请你选择合适的解法解答下列问题：计算：
【答案】一，．
【分析】上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的；利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值．
【解析】上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的；
原式的倒数=
=，则原式=．
【点睛】本题考查有理数的除法；阅读型，正确理解题意是解题关键．有理数的乘除法
知识框架
基础知识点
知识点4.
1
有理数的乘法法则
规律：①几个非零数相乘，值为绝对值相乘，符号由负号个数确定（奇数个为负，偶数个为正）
②任何数乘0，积为0
例1．（2020·江苏海安初一月考）下列算式中，值最大的是
（
）
A．
B．
C．
D．
例2.（2019·安徽省肥东三中初一期中）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是
A．38
B．52
C．66
D．74
例3.（2020四川绵阳初一月考）计算：
（1）－；
（2）－|－2.5|×；
（3）；
（4）．
（5）(-8)×(-5)×(-2)×；
（6）(-5)×(-8)×(-10)×(-15)×0．
（7）；
（8）．
例4．（2020·湖北省初一月考）如图，A、B、C三点在数轴上所表示的数分别为a、b、c，根据图中各点位置，下列各式正确的是
A．
B．
C．
D．
例5．（2020·靖江外国语学校初一月考）下列说法中正确的有（
）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③互为相反数的两数相乘，积一定为负；
④两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
例6．（2020·北京初一期末）阅读下面材料：两位同学在用标有数字1，2，...，9的9张卡片做游戏.
甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片”和“卡片”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片上的数字乘以5，加上7，再乘以2，再加上卡片上的数字，把最后得到的数的值告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦！”[]
乙同学：“这么神奇？我不信.”……
试验一下：[]
（1）如果乙同学抽出的卡片上的数字为2，卡片上的数字为5，他最后得到的数等于多少；
（2）若乙同学最后得到的数，则卡片上的数字为多少，卡片上的数字为多少.
解密：
请你说明：对任意告知的数，甲同学是如何猜到卡片的.
解：（1）等于多少.（2）若，则卡片上的数字为多少，卡片上的数字为多少.
解密：
知识点4.
2
有理数乘法的运算律
1）正数乘法运算定律可推广到有理数中：
①交换律：a×b=b×a
②结合律：a×b×c=a×（b×c）
③分配律：a×（b+c）=a×b+a×c
注：运用运算律时，因数作为一个整体，符号要与因数一同变换
2）运用运算律的一些技巧（先当作正数计算出有理数的数值，最后在判断符号）
①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：
②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×
③带分数应先化为假分数的形式。如：
④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；
⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）
例1．（2020·浙江初一期中）计算下列各式：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）；
（2）×（﹣2.4）×；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；
（4）9×15；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
例2．（2020·江苏灌云初一月考）用简便算法进行计算：
（1）（）×（﹣24）
（2）9×35
例3．（2020·江苏丰县初一月考）利用分配律计算（–100）×99时，正确的方案可以是
A．–（100+）×99
B．–（100–）×99
C．（100–）×99
D．（–101–）×99
例4．（2019·江苏宜兴初一月考）用简便方法计算下列各题
(1）
（2）
99×(
?17)
例5．（2019·江苏海安初一月考）
例6．（2020·泰州市海陵学校初一期末）计算（）﹣2×（）﹣3×（）的结果是_____．
例7．（2020·全国初一课时练习）计算：．
知识点4.
3
倒数的概念
倒数：乘积是1的两个数互为倒数，0无倒数。即a×b=1（a，b0）
注：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0无倒数。
例1．（2020·全国初一课时练习）下列说法：①如果两个数的和为1，那么这两个数互为倒数；
②如果两个数积为0，那么至少有一个数为0；③绝对值是其本身的有理数只有0；
④倒数是其本身的数是，0，1；⑤一个数乘就是它的相反数；⑥任何一个有理数a的倒数是．
其中错误的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
例2．（2019·商水县希望中学初一月考）的相反数的倒数是__________．
例3．（2020·全国初一课时练习）的倒数是________，的倒数是_________．
例4．（2020·北京四中初三月考）如图，数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，则关于原点的说法正确的是（ ）
A．一定在点A的左侧
B．一定与线段AB的中点重合
C．可能在点B的右侧
D．一定与点A或点B重合
例5．（2019·沭阳县修远中学初一月考）已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，则的值为________.
知识点4.
4
有理数的除法法则
有理数除法法则：①除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；②符号的判定看负号的数量，奇为负，偶为正。
有理数乘除法运算步骤：①根据负号个数的奇偶判断符号；②绝对值运算数值。
例1.（2020·浙江初一期中）
（1）（－1）÷5×．
（2）÷．
（3）－209÷19．
（4）÷．
（5）－÷×．
（6）60÷．
例2．（2020·成都市初一期末）
例3．（2020·四川省北师大锦江区一月考）阅读下列材料：计算5÷（）
解法一：原式＝5÷﹣5÷+5÷＝5×3﹣5×4+5×12＝55
解法二：原式＝5÷（）＝5÷＝5×6＝30
解法三：原式的倒数＝（）÷5＝＝＝
∴原式＝30
（1）上述的三种解法中有错误的解法，你认为解法
是错误的
（2）通过上述解题过程，请你根据解法三计算
例4．（2020·南京市中华中学初一月考）阅读材料，回答问题：
计算：
解：方法一：原式
方法二：原式
请选用较简便的方法计算：．
例5．（2020·江苏省江阴市第一中学初一期中）下列说法中，正确的是（
）
A．绝对值等于本身的数是正数
B．0除以任何一个数，其商为0
C．倒数等于本身的数是1
D．0乘以任何一个数，其积为0
例6．（2019·江苏宜兴初一月考）两个不为零的有理数相除，如果交换它们的位置，商不变，那么（ ）
A．两数相等
B．两数互为相反数
C．两数互为倒数
D．两数相等或互为相反数
知识点4.
5
有理数四则混合运算
正数四则混合运算法则可推广到有理数中，先算括号里的，再算乘除，最后加减，同级之间从左往右依次计算。
例1．（2020·全国初一课时练习）计算：
（1）；
（2）．
例2．（2020·日照市新营中学初一月考）计算：
；
．
例3．（2020·全国初一课时练习）计算：
（1）；
（2）．
（3）；
（4）．
例4．（2019·全国初一课时练习）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；[]
（5）；
（6）.
例5．（2020·四川省初一期末）在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩算“24点”游戏．游戏规则：从一副扑克牌(去掉大，小王)中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号)，使得运算结果为24或﹣24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅花6(都是黑色扑克牌)．小明凑成的等式为6÷(1﹣3÷4)=24，小亮抽到的四张牌分别是黑桃7、黑桃3、梅花7、梅花3(都是黑色扑克牌)：请写出小亮凑成的“24点”等式____．
重难点题型
题型1
有理数乘除法与绝对值的综合应用
性质：
解题技巧：
首先判断绝对值内算式的正负，利用绝对值的性质去绝对值。若绝对值内为正，则直接去绝对值；若绝对值内为负，则去绝对值，并对整体添“﹣”号。当绝对值内为正时，则除以它本身结果为1；若绝对值内为负时，则除以它本身结果为﹣1.
例1．（2019·江苏省苏州工业园区初一一模）如果a，b，c是非零实数，且a＋b＋c＝0，那么的所有可能的值为(
)
A．0
B．1或－1
C．2或－2
D．0或－2
例2．（2019·四川省初一期中）若|abc|＝－abc，且abc≠0，则＝（ ）
A．1或－3
B．－1或－3
C．±1或±3
D．无法判断
例3．（2020·四川省初一期末）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB=OC，则下列结论中：①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c=b；④
．其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
例4．（2019·深圳市龙岗区布初一月考）已知，则式子：（
）
A．3
B．或1
C．或3
D．1
题型2
定义新运算
解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
例1．（2019·湖北省初一期中）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（
）
A．1，2
B．1，3
C．4，2
D．4，3
例2．（2020·常州市第二十四中学初三月考）定义一种新的运算：a?b=，如2?1==2，则（2?3）?1=（
）
A．
B．
C．
D．
例3．（2019·沈阳市第一二六中学初一月考）定义新运算：对有理数、，有，如，那么的值是（
）
A．
B．
C．
D．
例4．（2019·广东省华南师大附中初一期中）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号），，，，…，那么计算的值是（
）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
例5．（2019·吉林省东北师大附中初一月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．
[]
例6．（2020·北京十二中初一期中）对于有理数，定义一种新运算“”，规定.
（1）计算的值.（2）当在数轴上的位置如图所示时，化简.
（3）当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明.
（4）已知，求的值.
例7．（2020·江苏武进初一期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是=－2，－2的“哈利数”是，已知a1＝5，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于(
)
A．
B．
C．
D．5
题型3.
±1赋值问题
解题技巧：对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。
用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。
例1.（2020.江苏省初一期中改编）桌上放5个杯子，杯口朝上的有2个，朝下的有3个，每次翻动4个杯子。问能否翻动若干次后，将杯口全部朝上？
例2．（2020·北京中关村中学初三月考）容器中有A，B，C
3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：
①最后一颗粒子可能是A粒子；②最后一颗粒子一定是C粒子
③最后一颗粒子一定不是B粒子；④以上都不正确
其中正确结论的序号是(
)．(写出所有正确结论的序号)
A．①
B．②③
C．③
D．①③
例3．（2019·云南省初一期末）如图，桌上有9张卡片，每张卡片的一面写数字1,另一面写数字-1.每次翻动任意2张(包括已翻过的牌)。改变其向上的面，然后计算能看到的所有牌面数字的积请问，
当翻了2019次时牌面数字的积为(
)
A．1
B．-1
C．2019
D．-2019[来源:学
科
网Z
X
X
K]
课后作业：
1．（2019·江苏泰州初一月考）下列计算：①；②；③；④.其中正确的个数是(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．（2019·江苏东海初一期中）下列等式成立的是（
）
A．100÷×（—7）=100÷
B．100÷×（—7）=100×7×（—7）
C．100÷×（—7）=100××7
D．100÷×（—7）=100×7×7
3．（2019·江苏海安初一月考）把转化为乘法是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2019·江苏省苏州工业园区金鸡湖学校初一一模）下列运算正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
5．（2019·江苏泰州初一月考）如果mn>0，且m
+n<0，则下列选项正确的是(
)
A．m<0，n<0
B．m>0，n＞0
C．m，n异号，且负数的绝对值大
D．m，n异号，且正数的绝对值大
6．（2019·全国初一课时练习）如果五个有理数的积为负数，那么其中的负因数有( )
A．1个
B．3个
C．5个
D．1个或3个或5个
7．（2019·山西省初一月考）已知，为有理数，且，，则下列说法正确的是（
）
A．，中一正一负
B．，都为正数
C．的绝对值更大
D．，都为负数
8．（2019·深圳市龙岗区布吉街道可园学校初一月考）已知，则式子：（
）
A．3
B．或1
C．或3
D．1
9．（2019·四川省资阳市雁江区中和中学初一期中）已知a，b，c为有理数，且a+b-c=0，abc＜0，则=_____________.
10．（2020·重庆实验外国语学校初一期中）如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是3，则m2﹣2019a+5cd﹣2019b的值是____．
11．（2020·湖北襄城初一期中）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于－1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于本身的有理数是0；⑤几个有理数相乘，负因数的个数为奇数，则乘积为负数．
其中正确的有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
12．（2020·山东省青岛第四中学初一月考）计算：
______
．
13．（2020·湖北省初一月考）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么______.
14．（2020·青岛超银中学初一月考）在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或-24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，分别代表11、12、13.现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3、-4、-6、10，请你帮助他写一个算式，使其运算结果等于24或-24__________．
15．（2020·启东市百杏中学初一月考）阅读后回答问题：计算（–）÷（–15）×（–）．
解：原式=–÷[（–15）×（–）]①
=–÷1②
=–③.
（1）上述的解法是否正确？答：__________；若有错误，在哪一步？
答：__________（填代号）
错误的原因是：__________；
（2）这个计算题的正确答案应该是：__________．
16．（2019·江苏泰州中学附属初中初一月考）计算
（1）；
（2）；
（3）
（4）
17．（2020·东台市三仓镇一仓中学初一月考）计算：（1）（-32）÷4×（-8）；（2）．
18．（2020·全国初一课时练习）阅读下列材料：计算
解法一：原式=．
解法二：原式=．
解法三：原式的倒数为
故原式=300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法
是错误的．
请你选择合适的解法解答下列问题：计算：
