课时分层作业(二十) 指数幂的拓展
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．有下列四个命题：
①正数的偶次方根是一个正数；
②正数的奇次方根是一个正数；
③负数的偶次方根是一个负数；
④负数的奇次方根是一个负数．
其中正确的个数是( )
A.0 B．1 C．2 D．3
C [正数的偶次方根有两个，负数的偶次方根不存在．①③错误，②④正确．]
2．下列各式正确的是( )
A.＝－3
B．＝a
C.＝－2
D．＝2
C [由于＝3，＝，＝－2，故选项A，B，D错误，故选C.]
3．下列各式中正确的是( )
A.＝
B.＝xy
C.＝a－b
D.＝
eq
\s\up6(－)
[答案] D
4．若＋有意义，则a的取值范围是( )
A.a≥0
B．a＝2
C.a≠2
D．a≥0且a≠2
D [由题知
得，a≥0且a≠2，故选D.]
5．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( )
A.－＝(－x)(x≠0)
B.x
eq
\s\up6(－)＝－(x≠0)
C.
eq
\s\up6(－)＝
D.＝y
C [－＝－x，x＝，＝
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y，y≥0，,（－y），y＜0.))故选C.]
二、填空题
6．(3－2x)
eq
\s\up6(－)中x的取值范围是________．
x< [要使该式有意义，需3－2x>0，
即x<.]
7.＋＋的值为________．
－6 [＝－6，＝|－4|＝4－，＝－4，
所以原式＝－6＋4－＋－4＝－6.]
8．化简：＋＝________.
6 [原式＝＋＝3＋＋3－＝6.]
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)；(2)；(3).
[解] (1)＝－2.
(2)＝＝10.
(3)＝＝.
10．化简：＋.
[解] 原式＝|x－2|＋|x＋2|.
当x≤－2时，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x；
当－2
当x≥2时，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x.
综上，＋＝
11．若xn＝a(x≠0)，则下列说法中正确的个数是( )
①当n为奇数时，x的n次方根为a；
②当n为奇数时，a的n次方根为x；
③当n为偶数时，x的n次方根为±a；
④当n为偶数时，a的n次方根为±x.
A.1 B．2 C．3 D．4
B [当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；
当n为偶数时，由于＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.
所以说法②④是正确的，选B.]
12．给出下列4个等式：①＝±2；②＝；③若a∈R，则＝1；④设n∈N
，则＝a.其中正确的个数是( )
A.0
B．1
C．2
D．3
B [①中＝＝2，所以①错误；
②错误；
③因为a2－a＋1>0恒成立，所以有意义且恒等于1，所以③正确；
④若n为奇数，则＝a，若n为偶数，则＝，所以当n为偶数时，a<0时不成立，所以④错误．故选B.]
13．当a>0时，等于( )
A.x
B．x
C.－x
D．－x
C [因为a>0，所以x≤0，＝＝－x，故选C.]
14．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝______.
－11或7 [因为81的平方根为±9，
所以a＝±9.
又因为－8的立方根为－2，
所以b＝－2.
所以a＋b＝－11或a＋b＝7.]
15．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
[解] ∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴∵a＞b＞0
∴>，＝＝＝＝，
∴＝＝.
PAGE课时分层作业(二十一) 指数幂的运算性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．将化为分数指数幂为( )
A．2 B．－2 C．2
eq
\s\up6(－) D．－2
eq
\s\up6(－)
B [＝＝＝－2.]
2.0－(1－0.5－2)÷的值为( )
A．－
B．
C．
D．
D [原式＝1－(1－22)÷＝1－(－3)×＝.故选D.]
3．设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．a
B．a
C．a
D．a
C [＝
eq
\f(a2,\r(a·a))＝＝
eq
\f(a2,a)＝a2·a
eq
\s\up6(－)＝a2
eq
\s\up6(－)＝a
eq
\s\up6()．]
4．计算(n∈N
)的结果为( )
A．
B．22n＋5
C．2n2－2n＋6
D．
D [原式＝＝＝27－2n＝.]
5．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于( )
A．
B．2或－2
C．－2
D．2
D [因为a>1，b>0，所以ab>a－b，(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4，
所以ab－a－b＝2.故选D.]
二、填空题
6．若
＋＝0，则(x2
019)y＝________．
－1 [因为
＋
＝0，
所以
＋
＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
所以x＝－1，y＝－3.
所以(x2
019)y＝[(－1)2
019]－3＝(－1)－3＝－1.]
7．5x2·5－x＝125
eq
\s\up8()，则y的最小值是________．
－ [由已知得，5x2－x＝5
eq
\s\up8()，所以y＝(x2－x)＝－，所以y的最小值是－.]
8．如果a＝3，b＝384，那么a[()]n－3＝________．
3×2n－3 [a[()]n－3＝3[()]n－3＝3[(128)]n－3＝3×2n－3.]
三、解答题
12．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )
A．
B．
C．1
D．
B [∵x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.
∴x8＝9.∴x＝＝.]
13．已知2m＋2－m＝5，则4m＋4－m的值为( )
A．5
B．23
C．25
D．27
B [∵2m＋2－m＝5，
∴(2m＋2－m)2＝25，
即4m＋2＋4－m＝25，
∴4m＋4－m＝23.]
14．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．
2 [由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝.
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.]
PAGE课时分层作业(二十二) 指数函数的概念、图象和性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式不正确的是( )
A．f(x＋y)＝f(x)·f(y)
B．f[(xy)n]＝fn(x)·fn(y)
C．f(x－y)＝
D．f(nx)＝fn(x)
B [由am＋n＝am·an及am－n＝知A、C、D正确，故选B.]
2．为了得到函数y＝2x－3＋1的图象，只需把函数y＝2x上的所有点( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C [y＝2xy＝2x－3y＝2x－3＋1.
]
3．函数y＝的值域为( )
A．{y|y>0}
B．{y|y≤1}
C．{y|y≥1}
D．{y|0D [由于|x|≥0，且y＝为偶函数，结合其图象知04．若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．00
B．a>1，且b>0
C．0D．a<1，且b>0
C [根据题意，画出函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的大致图象，如图所示．所以05．一批价值为a的设备，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( )
A．na(1－b%)
B．a(1－nb%)
C．a[1－(b%)n]
D．a(1－b%)n
D [1年后，这批设备价值为a(1－b%)
2年后，这批设备价值为a(1－b%)(1－b%)＝a(1－b%)2
……
n年后，这批设备价值为a(1－b%)n.
故选D.]
二、填空题
6．若f＝π的最大值为m，且f(x)是偶函数，则m＋n＝________．
1 [因为f(－x)＝f(x)，
所以π＝π
所以－(－x－n)2＝(x－n)2.
所以n＝0，f＝π－x，
因为x2≥0，所以－x2≤0.
所以0<π≤1.
所以m＝1，故m＋n＝1.]
7．若函数f(x)＝，则不等式f(x)≥的解集为________．
{x|0≤x≤1} [当x≥0时，由f(x)≥得≥，
∴0≤x≤1.
当x<0时，不等式≥明显不成立．
综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}．]
8．函数y＝23－x与________的图象关于y轴对称，与________的图象关于x轴对称，与________的图象关于原点对称．
y＝23＋x，y＝－23－x，y＝－23＋x [因为图象与y＝2－x关于y轴对称的函数为y＝2x，所以函数y＝23－x与y＝23＋x的图象关于y轴对称．关于x轴对称的图象为y＝－23－x，关于原点对称的图象为y＝－23＋x.]
三、解答题
9．画出函数y＝2|x＋1|的图象，并根据图象指出它的单调区间．
[解] 变换作图，y＝2xy＝2|x|y＝2|x＋1|，如图．
由图可知函数y＝2|x＋1|在(－∞，－1]上单调递减，
在(－1，＋∞)上单调递增．
10．求函数y＝(0≤x≤3)的值域．
[解] 令t＝x2－2x＋2，则y＝，
又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，0≤x≤3，
∴当x＝1时，tmin＝1；当x＝3时，tmax＝5.
故1≤t≤5，∴≤y≤，
故所求函数的值域为．
11．下列函数中值域为正实数集的是( )
A．y＝2
eq
\s\up6()
B．y＝3
C．y＝x
D．y＝x
B [∵1－x∈R，∴y＝31－x的值域是正实数集，]
12．若3m＋2－n≥3n＋2－m则( )
A．m＋n≥0
B．m＋n≤0
C．m－n≥0
D．m－n≤0
C [3m＋2－n≥3n＋2－m?3m－2－m≥3n－2－n.
又f＝3x－2－x是增函数，f≥f，
则m≥n，即m－n≥0.]
13．已知f＝，则下列正确的是( )
A．奇函数，在R上为增函数
B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数
D．偶函数，在R上为减函数
A [由f＝＝＝－f知，f是奇函数．由y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数知，f是增函数.]
14．函数f＝－3x在区间[－1，1]上的最大值为________．
[由f是减函数，知f＝f＝.]
15．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
[解] (1)∵f(x)为奇函数且在x＝0处有意义，
∴f(0)＝0，即＝0，
∴b＝1，
∴f(x)＝.
又∵f(－1)＝－f(1)，
∴＝－，
∴a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝，
先研究f(x)＝的单调性．
∵f(x)＝＝－＋，
∴f(x)＝在R上为减函数．
∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，即f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).
又∵f(x)在R上为减函数，
∴t2－2t>－2t2＋k，即对一切t∈R，有3t2－2t－k>0，
∴Δ<0，即4＋12k<0，
∴k<－.
故k的取值范围是.
PAGE课时分层作业(二十三) 指数函数的综合应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2
KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64
MB(1
MB＝210KB)内存需经过的时间为( )
A．15分钟
B．30分钟
C．45分钟
D．60分钟
C [设该病毒占据64
MB内存需经过n分钟，则2×2＝64×210，解得n＝45.]
2．函数y＝ax－(a＞0，a≠1)的图象可能是( )
A B C D
D [当a＞1时函数单调递增，－＜0，故A不正确；因为y＝ax－恒不过点(1，1)，所以B不正确；当0＜a＜1时函数单调递减，－＜0，故C不正确
；D正确．]
3．设a，b满足0A．aaB．baC．aaD．bbC [由于y＝ax与y＝bx为减函数，
故A.B错误；
因为>1，a>0，所以>1，
所以aa1，b>0，
所以>1，
所以ab故选C.]
4．函数y＝|2x－1|的大致图象是( )
C [如图先作y＝2x的图象，再向下平移1个单位得y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的图象翻折上去得y＝|2x－1|的图象，如图实线部分．故选C.]
5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等．
其中正确的是( )
A．①②③
B．①②③④
C．②③④
D．①②
D [由a1＝2，得a＝2，所以y＝2t，故①正确；
当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；
当y＝4时，t＝2，经过1.5个月后面积为23.5＜12，，故③错误；
＝2，故④错误．]
二、填空题
6．解方程：52x－6×5x＋5＝0的解集为________.
{0，1} [令t＝5x，则原方程可化为t2－6t＋5＝0，
所以t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，
所以x＝1或x＝0.]
7．函数f＝3在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________.
[1，＋∞) [设u＝－x2＋2ax，则y＝3u是R上的增函数，而原函数在(－∞，1)内单调递增，所以u＝－x2＋2ax在(－∞，1)也是增函数，而u＝－x2＋2ax的单调增区间为(－∞，a)，
所以a≥1.]
8．若关于x的方程＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
[－1，0) [法一：∵0<≤1，
∴m<＋m≤m＋1.
要使方程＋m＝0有解，只要m<0≤m＋1，
解得－1≤m<0，故实数m的取值范围是[－1，0).
法二：令y＝＋m，作函数图象，如图，
依题意，函数y＝＋m的图象与x轴有交点，
∴解得－1≤m<0，即m∈[－1，0).]
三、解答题
9．已知指数函数f的图象过点.
(1)求函数f的解析式；
(2)已知f>f，求x的取值范围；
[解] (1)设f＝ax(a>0且a≠1).
将点代入得＝a2.解得a＝.
故f＝.
(2)由(1)知f＝，显然f在R上是减函数，
又f>f，所以|x|<1，解得－1即x的取值范围为(－1，1).
10．已知f(x)＝.
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性．
[解] (1)f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝＝
＝－＝－f，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)＝＝1－，
又y＝(－1)x是减函数，且y>0，
所以y＝是增函数，
所以f(x)是减函数．
11．已知函数f＝a2－x，当x>2时，f>1，则f在R上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数
D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数
A [因为当x>2时，2－x<0.f>1，所以012．已知实数a，b满足等式＝，给出下列五个关系式：①0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B [画出函数y＝与y＝的图象，如图所示．
当x<0时，＝，则有a当x>0时，＝，则有a>b>0；
当x＝0时，＝，则有a＝b＝0.
所以题中的五个关系式中不可能成立的有两个．]
13．已知函数f(x)＝2x－1，对于满足0(1)(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0；
(2)x2f(x1)(3)f(x2)－f(x1)>x2－x1；
(4)>f().
其中正确结论的序号是( )
A．(1)(2)
B．(1)(3)
C．(2)(4)
D．(3)(4)
C [由题知，函数f(x)单调递增，这与(1)所描述的单调性相反，故(1)错误；(2)中的式子可化为<，其表示点(x1，f(x1))与原点连线的斜率小于点(x2，f(x2))与原点连线的斜率，由函数f(x)图象的性质可知(2)正确；(3)表示过图象上两点的直线的斜率大于1，由函数f(x)的图象可知这个结论不一定正确；(4)描述了函数图象的下凹性，由函数图象可知正确．综上，可判断只有(2)(4)正确．]
14．已知函数f＝，则f(x)的单调递增区间是________.
(－∞，1] [令u＝|x－1|，因为f＝y＝在R上单调递减，
故要求f(x)的单调递增区间，只需求u＝|x－1|的单调递减区间，为 (－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1].]
15．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)求f(x)；
(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)由题意得
，又∵a>0，解得
，
∴f(x)＝3×2x.
(2)由＋－m≥0，得m≤＋.
在x∈(－∞，1]上恒成立．
又g(x)＝＋是减函数，则g(x)min＝g(1)＝＋＝，
∴m≤.
PAGE章末综合测评(三) 指数运算与指数函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝1.5x的图象是( )
B [函数y＝1.5x是R上的增函数，排除A、C；又因为当x＝0时，y＝1，即图象过点(0，1)，故选B.]
2．下列不等关系中，正确的是( )
A．<1<
B．<<1
C．1<<
D．<<1
D [∵函数y＝在R上是减函数，而0<<，
∴<<，即<<1.]
3．已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(0，1)
D．(－∞，0)
A [∵0.71.3＜0.70＝1＝1.30＜1.30.7，∴0.71.3＜1.30.7，∴m＞0.]
4．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝( )
A．2 B．
C．0 D．
B [f(－1)＝2－1＝，f(f(－1))＝f＝3＝.]
5．不等式2x>的解集为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．(0，2)
D．[0，2]
C [∵＝2x2－x且y＝2x在R上单调递增，
∴原不等式转化为x>x2－x，即x2－2x<0，解得06．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝2
eq
\s\up8(－)
B．y＝
C．y＝x2＋5x＋3
D．y＝3
A [A中，y＝2
eq
\s\up8(－)＝的值域为(0，＋∞).]
7．设3x＝，则( )
A．－2B．－3C．－1D．0A [∵<<，∴3－2<3x<3－1，∴－28．函数f(x)＝的图象( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
D [∵f(x)＝＝3x＋3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．下列函数不是指数函数的是( )
A．y＝5x＋1
B．y＝x4
C．y＝3－x
D．y＝2·3x
ABD [y＝5x＋1＝5·5x与y＝2·3x都不符合指数函数的定义，y＝x4是幂函数．]
10．下列四种说法中，错误的是( )
A．y＝2x＋1是指数函数
B．指数函数y＝ax的最小值是0
C．对任意的x∈R，都有3x>2x
D．函数y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
ABC [依指数函数定义知y＝2x＋1＝2·2x，它不是指数函数，∴A选项错误；
y＝ax>0，∴B选项错误；
从y＝2x与y＝3x的图象中可以看出
当x>0时，3x>2x；
当x＝0时，3x＝2x；
当x<0时，3x<2x，
∴C选项错误．]
11．关于函数f(x)＝说法正确的是( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
AD [易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．]
12．定义域和值域均为[－a，a](常数a>0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是( )
A．方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解
B．方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解
C．方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解
D．方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解
AD [根据函数的图象，函数f(x)的图象与x轴有3个交点，
所以，方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解；
函数g(x)在区间上单调递减，
所以，方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解．故选AD.]
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上
13．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．
(1，2) [由题意知，0＜2－a＜1，即1＜a＜2.]
14．当x∈[－1，1]时，函数f(x)＝2x－2的值域为________．
[∵－1≤x≤1，∴＝2－1≤2x≤21＝2，
∴－≤2x－2≤0.]
15．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
或 [若a>1，则f(x)在[1，2]上递增，f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a，
由题意a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去).
若0∴a－a2＝，∴a＝或a＝0(舍去).]
16．关于x的方程|ax－1|＋1－2a＝0有两个相等的实数根，求实数a的取值范围________．
[当a>1时，函数y＝|ax－1|＋1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图象(实线)，
由图可知1<2a<2，即1矛盾．
当0由图可知1<2a<2，即∴当直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1的图象有两个交点时，a的取值范围是.]
四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知指数函数f(x)＝(a2－8)ax的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f的值．
[解] (1)∵f(x)＝(a2－8)ax为指数函数，
∴a2－8＝1.①
又∵图象过点(－1，)，∴f(－1)＝.②
联立①②得a＝3，∴f(x)＝3x.
(2)f＝3＝＝.
18．(本小题满分12分)求函数y＝＋＋1的值域．
[解] 令t＝，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝＋.
因为函数y＝＋在t∈(0，＋∞)上是增函数，所以y>1，即原函数的值域是(1，＋∞).
19．(本小题满分12分)求函数y＝4x－2·2x＋5的单调区间．
[解] 令2x＝t，则t是x的增函数，
y＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，
当t＜1，即2x＜1，即x＜0时，y是t的增函数；
当t≤1，即2x≤1，即x≤0时，y是t的减函数；
又函数的定义域为R，
∴函数y＝4x－2·2x＋5的单调增区间是[0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0).
20．(本小题满分12分)设函数y＝2|x＋1|－|x－1|.
(1)讨论y＝f(x)的单调性，作出其图象；
(2)求f(x)≥2的解集．
[解] (1)y＝
当x≥1或x≤－1时，y＝f(x)是常数函数不具有单调性，
当－1＜x<1时，y＝4x单调递增，
故y＝f(x)的单调递增区间为(－1，1)，其图象如图．
(2)当x≥1时，y＝4≥2成立；
当－1＜x<1时，由y＝22x≥2＝2×2
eq
\s\up6()＝2
eq
\s\up6()，得2x≥，x≥，
∴≤x<1；
当x≤－1时，y＝2－2＝<2不成立．
综上，f(x)≥2的解集为.
21．(本小题满分12分)设函数f(x)的定义域为实数集R，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y).
(1)求f(0)；
(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．
[解] (1)将y＝0代入f(x＋y)＝f(x)·f(y)，
得f(x)＝f(x)·f(0)，于是有f(x)[1－f(0)]＝0.
若f(x)＝0，则对任意x1≠x2，有f(x1)＝f(x2)＝0，
这与已知题设矛盾，所以f(x)≠0，从而f(0)＝1.
(2)设x＝y≠0，则f(2x)＝f(x)·f(x)＝[f(x)]2≥0，
又由(1)知f(x)≠0，所以f(2x)>0，
由x为任意实数，知f(x)>0.
故对任意x∈R，都有f(x)>0.
22．(本小题满分12分)已知方程9x－2·3x＋(3k－1)＝0有两个实根，求实数k的取值范围．
[解] 令3x＝t(t>0)，则方程化为t2－2t＋(3k－1)＝0.①
要使原方程有两个实根，方程①必须有两个正根，设两个根为t1，t2，
则
解得故实数k的取值范围是.
PAGE专题强化训练(三) 指数运算与指数函数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若a<，则化简的结果是( )
A．
B．－
C．
D．－
C [∵a<，∴2a－1<0，于是，原式＝＝.]
2．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为( )
A．2 B．－2
C．－2 D．2
D [∵函数f(x)是指数函数，
∴a－3＝1，∴a＝8.
∴f(x)＝8x，f＝8＝＝2.]
3．函数y＝ax＋1(a＞0且a≠1)的图象必经过点( )
A．(0，1)
B．(1，0)
C．(2，1)
D．(0，2)
D [因为a0＝1，所以，当x＝0时，y＝1＋1＝2.]
4．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
A [∵函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
∵函数y＝在R上是减函数，
∴函数y＝－在R上是增函数．
又∵y＝3x在R上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－在R上是增函数．
故选A.]
5．函数f(x)＝()的单调递减区间为( )
A．(－∞，＋∞)
B．[－3，3]
C．(－∞，3]
D．[3，＋∞)
D [令u＝x2－6x＋5＝－4，则u的单调递增区间为，又y＝是减函数，所以函数f(x)＝()的单调递减区间为[3，＋∞)]
二、填空题
6．方程3x－1＝的解为________．
－1 [∵3x－1＝＝3－2，∴x－1＝－2，
∴x＝－1.]
7．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x年后我国人口数为y亿，则y与x的关系式为_____________．
y＝13×(1＋1%)x，x∈N
[经过1年后人口数为13×(1＋1%)＝13(1＋1%)；
经过2年后人口数为13×(1＋1%)2；
…
经过x年后人口数为13×(1＋1%)x.
故y＝13×(1＋1%)x，x∈N
.]
8．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值为________．
1 [∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴y＝f(x)关于直线x＝1对称，∴a＝1.
∴f(x)＝2|x－1|在[1，＋∞)上单调递增．
∴[m，＋∞)?[1，＋∞).∴m≥1，即m的最小值为1.]
三、解答题
9．求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝4x＋2x＋1
[解] (1)观察易知≠0,
则有y＝≠＝1.
∴
原函数的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)y＝4x＋2x＋1＝(2x)2＋2x＋1. 令t＝2x，易知t>0.
则y＝t2＋t＋1＝＋.
结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到y＝＋在t>0上为增函数，
所以y＝＋>＋＝1.
∴
原函数的值域为{y|y>1}．
10．已知函数f(x)＝，
(1)证明：函数f(x)是R上的增函数；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)令g(x)＝，判定函数g(x)的奇偶性，并证明．
[解] (1)设x1，x2是R内任意两个值，且x10，
y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝－＝＝，
当x1∴2x2－2x1>0.又2x1＋1>0，2x2＋1>0，
∴y2－y1>0，
∴f(x)是R上的增函数．
(2)f(x)＝＝1－，
∵2x＋1>1，
∴0<<2，即－2<－<0，
∴－1<1－<1.
∴f(x)的值域为(－1，1).
(3)由题意知g(x)＝＝·x，
易知函数g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
g(－x)＝(－x)·＝(－x)·＝x·＝g(x)，
∴函数g(x)为偶函数．
11．给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；④y＝xx；⑤y＝22x＋1.
以上函数中指数函数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．]
12．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，0]
C．(0，＋∞)
D．[0，＋∞)
B [由题意得1－2x≥0，即2x≤1，所以x≤0.]
13．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则( )
A．y3>y1>y2
B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2
D．y1>y2>y3
C [从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝()－1.5＝(2－1)－1.5＝21.5.
因为指数函数y＝2x(x∈R)是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2.]
14．若函数y＝2x＋1，y＝b，y＝－2x－1的图象两两无公共点，结合图象则b的取值范围为________．
[－1，1] [如图．
当－1≤b≤1时，此三函数的图象无公共点．]
15．若函数y＝为奇函数．
(1)确定a的值；
(2)求函数的定义域与值域；
(3)讨论函数的单调性．
[解] 先将函数y＝化简为y＝a－.
(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即a－＋a－＝0，
∴2a＋＝0.∴a＝－.
(2)∵y＝－－，∴2x－1≠0.
∴函数y＝－－的定义域为{x|x≠0}．
∵x≠0，∴2x－1>－1.又∵2x－1≠0，
∴0>2x－1>－1或2x－1>0.
∴－－>或－－<－，
即函数的值域为.
(3)当x>0时，设0则y1－y2＝－＝.
∵0∴2x1－2x2<0，2x1－1>0，2x2－1>0，
∴y1＜y2.
因此y＝－－在(0，＋∞)上是单调递增的．
由于y＝f(x)是奇函数，从而y＝－－在(－∞，0)上也是单调递增的．
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