2020_2021学年高中数学第二章解三角形课后习题 Word含解析（5份打包）北师大版必修5

第二章解三角形
§1　正弦定理与余弦定理
1.1　正弦定理
课后篇巩固探究
A组
1.在△ABC中,若,则B的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析:因为,所以,
所以cosB=sinB,从而tanB=1,
又0°答案:B
2.在△ABC中,若B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析:由已知得A=75°,所以B最小,故最短边是b.
由,得b=.
答案:A
3.在△ABC中,若b=8,c=8,S△ABC=16,则A等于
(　　)
A.30°
B.60°
C.30°或150°
D.60°或120°
解析:由三角形面积公式得×8×8·sinA=16,
于是sinA=,所以A=30°或A=150°.
答案:C
4.下列条件判断三角形解的情况,正确的是(　　)
A.a=8,b=16,A=30°有两解
B.b=9,c=20,B=60°有一解
C.a=15,b=2,A=90°无解
D.a=30,b=25,A=150°有一解
解析:对于A,sinB=sinA=1,所以B=90°,有一解;
对于B,sinC=sinB=>1,所以无解;
对于C,sinB=sinA=<1,
又A=90°,所以有一解;
对于D,sinB=sinA=<1,又A=150°,
所以有一解.
答案:D
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A∶B=1∶2,且a∶b=1∶,则cos
2B的值是(　　)
A.-
B.
C.-
D.
解析:由已知得,所以cosA=,解得A=30°,B=60°,所以cos2B=cos120°=-.
答案:A
6.在△ABC中,若a=,A=45°,则△ABC的外接圆半径为　　　　　.?
解析:因为2R==2,所以R=1.
答案:1
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=　　　　　.?
解析:由正弦定理得,即,解得sinB=,又因为b>a,所以B=或B=.
答案:
8.在△ABC中,若sin
A=2sin
Bcos
C,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC的形状是　　　　　.?
解析:由sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理,
得a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形,且A=90°,
所以B+C=90°,B=90°-C,所以sinB=cosC.
由sinA=2sinBcosC,可得1=2sin2B,
所以sin2B=,sinB=,所以B=45°,C=45°.
所以△ABC为等腰直角三角形.
答案:等腰直角三角形
9.在△ABC中,sin(C-A)=1,sin
B=.
(1)求sin
A的值;
(2)设AC=,求△ABC的面积.
解(1)由sin(C-A)=1,-π又A+B+C=π,所以2A+B=,
即2A=-B,0故cos2A=sinB,即1-2sin2A=,sinA=.
(2)由(1)得cosA=,sinC=sin=cosA.
又由正弦定理,得,BC==3,
所以S△ABC=AC·BC·sinC
=AC·BC·cosA=3.
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列.
(1)求cos
B的值;
(2)边a,b,c成等比数列,求sin
Asin
C的值.
解(1)因为角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.
又A+B+C=π,所以B=,所以cosB=.
(2)因为边a,b,c成等比数列,
所以b2=ac,根据正弦定理得sin2B=sinAsinC,
所以sinAsinC=sin2B=.
B组
1.已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围是(　　)
A.x>2
B.x<2
C.2D.2解析:由题设条件可知解得2答案:C
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为(　　)
A.
B.
C.1
D.
解析:因为3a=2b,所以b=a.
由正弦定理可知.
答案:D
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+,则C=(　　)
A.
B.
C.π
D.
解析:由1+,从而cosA=,所以A=,由正弦定理得,解得sinC=,又C∈(0,π),所以C=或C=(舍去),选B.
答案:B
4.设a,b,c三边分别是△ABC中三个内角A,B,C所对应的边,则直线xsin(π-A)+ay+c=0与bx-ycos+sin
C=0的位置关系是(　　)
A.平行
B.重合
C.垂直
D.相交但不垂直
解析:由已知得k1=-,k2=,因为,所以k1·k2=-=-=-1,所以两直线垂直,故选C.
答案:C
5.已知在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,则的取值范围是　　　　　.?
解析:在锐角三角形ABC中,A,B,C均小于90°,
所以所以30°由正弦定理得=2cosB∈(),
故的取值范围是().
答案:()
6.在△ABC中,已知sin
B·sin
C=cos2,A=120°,a=12,则△ABC的面积为　　　　　.?
解析:因为sinB·sinC=cos2,所以sinB·sinC=,所以2sinBsinC=cosA+1.
又因为A+B+C=π,所以cosA=cos(π-B-C)=-cos(B+C)=-cosB·cosC+sinB·sinC,
所以2sinBsinC=-cosB·cosC+sinB·sinC+1,
所以cosB·cosC+sinB·sinC=cos(B-C)=1.
因为B,C为△ABC的内角,所以B=C.
因为A=120°,所以B=C=30°.
由正弦定理得,b==4,
所以S△ABC=absinC=×12×4=12.
答案:12
7.△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2=b(b+c),求证:A=2B.
证明由已知及正弦定理得,sin2A=sin2B+sinB·sinC,
因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B),
所以sin2A=sin2B+sinB·sin(A+B),
所以sin2A-sin2B=sinB·sin(A+B).
因为sin2A-sin2B=sin2A(sin2B+cos2B)-sin2B(sin2A+cos2A)=sin2Acos2B-cos2Asin2B
=(sinAcosB+cosAsinB)(sinAcosB-cosAsinB)
=sin(A+B)·sin(A-B),
所以sin(A+B)·sin(A-B)=sinB·sin(A+B).
因为A,B,C为△ABC的三个内角,所以sin(A+B)≠0,
所以sin(A-B)=sinB,所以只能有A-B=B,即A=2B.
8.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知cos
B=,
(1)判断△ABC的形状;
(2)若sin
B=,b=3,求△ABC的面积.
解(1)因为cosB=,
所以cosB=,所以sinA=2cosBsinC.
又sinA=sin[π-(B+C)]
=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,
所以sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC.
所以sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)=0.
所以在△ABC中,B=C,所以△ABC为等腰三角形.
(2)因为C=B,所以0因为sinB=,所以cosB=.
所以sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
=sin2B=2sinBcosB=,
所以S△ABC=bcsinA=×3×3×=3.
51.2　余弦定理
课后篇巩固探究
A组
1.在△ABC中,已知a=2,b=3,cos
C=,则边c长为
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.3
C.
D.
解析:因为c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×=9,所以c=3.
答案:B
2.在△ABC中,若C=60°,c2=ab,则三角形的形状为
(　　)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
解析:因为在△ABC中,C=60°,c2=ab,所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=ab,所以a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形,故选C.
答案:C
3.已知△ABC的三边满足a2+b2=c2-ab,则△ABC的最大内角为(　　)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
解析:由已知得,c2=a2+b2+ab,所以c>a,c>b,故C为最大内角.由cosC==-,得C=150°,故选D.
答案:D
4.在△ABC中,若a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的直径为(　　)
A.4
B.6
C.5
D.6
解析:因为S△ABC=acsinB=·c·sin45°=c=2,
所以c=4.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×4=25,所以b=5.
所以△ABC外接圆直径2R==5.
答案:C
5.已知在△ABC中,a比b大2,b比c大2,最大角的正弦值是,则△ABC的面积是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析:因为a=b+2,b=c+2,所以a=c+4,A为最大角,所以sinA=.
又A>B>C,所以A=120°,
所以cosA=-,即=-,
所以(c+2)2+c2-(c+4)2=-c(c+2),解得c=3.
所以a=7,b=5,c=3,A=120°.
S△ABC=bcsinA=×5×3×.
答案:A
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,b=4,cos
B=,则c=　　　　　.?
解析:因为cosB=,由余弦定理得42=a2+(2a)2-2a×2a×,解得a=2,所以c=4.
答案:4
7.设△ABC的内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4bc,则sin
A的值为　　　　　.?
解析:由已知得b2+c2-a2=bc,于是cosA=,从而sinA=.
答案:
8.已知在△ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,则=　　　　　.?
解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB,
则=ca·cosB=ca·
=(a2+c2-b2)=(52+72-62)=19.
答案:19
9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos
B=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
解(1)由b2=a2+c2-2accosB,
得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又b=2,a+c=6,cosB=,所以ac=9,解得a=3,c=3.
(2)在△ABC中,sinB=,
由正弦定理得sinA=.
因为a=c,所以A为锐角,
所以cosA=.
因此sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=.
10.已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量p=(sin
A-cos
A,1-sin
A),q=(2+2sin
A,sin
A+cos
A),p与q是共线向量,且≤A≤.
(1)求角A的大小;
(2)若sin
C=2sin
B,且a=,试判断△ABC的形状,并说明理由.
解(1)因为p∥q,所以(sinA-cosA)(sinA+cosA)-2(1-sinA)(1+sinA)=-cos2A-2cos2A=0,所以1+2cos2A=0,所以cos2A=-.
因为≤A≤,所以≤2A≤π,所以2A=,所以A=.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
由cosA=,a=及余弦定理得b2+c2-bc=3.
又sinC=2sinB,由正弦定理得c=2b.
联立可得解得
所以a2+b2=()2+12=4=c2,所以△ABC是直角三角形.
B组
1.在△ABC中,若△ABC的面积S=(a2+b2-c2),则C=(　　)
A.
B.
C.
D.
解析:由S=(a2+b2-c2),得absinC=×2abcosC,
所以tanC=1,又C∈(0,π),所以C=.
答案:A
2.在△ABC中,若sin
A-sin
A·cos
C=cos
Asin
C,则△ABC的形状是(　　)
A.正三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
解析:由正弦定理、余弦定理,知sinA-sinAcosC=cosAsinC可化为a·c,整理,得a=b,所以△ABC是等腰三角形,选B.
答案:B
3.已知△ABC各角的对边分别为a,b,c,满足≥1,则角A的范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析:将不等式≥1两边同乘以(a+c)(a+b)整理得,b2+c2-a2≥bc,所以cosA=,所以0答案:A
4.在△ABC中,若边长和内角满足a2-b2=bc,=2,则A=　　　　　.?
解析:因为=2,
所以c=2b.
又a2-b2=bc,所以cosA=,又A∈(0,π),所以A=.
答案:
5.已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对边分别为a=3,b=4,c=6,则bccos
A+accos
B+abcos
C的值为　　　　　.?
解析:bccosA+accosB+abcosC
=bc·+ac·+ab·
=(b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2)
=(a2+b2+c2)=.
答案:
6.已知点O是△ABC的重心,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2a·+b·c·=0,则角C的大小是　　　　　.?
解析:因为点O是△ABC的重心,所以=0,
又因为2a·+b·c·=0,所以2a=b=c=k(k>0),从而a=,b=k,c=k,由余弦定理得cosC=,又因为C∈(0,π),所以C=,所以角C的大小是.
答案:
7在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan
C=3.
(1)求cos
C的值;
(2)若,且a+b=9,求c.
解(1)因为tanC=3,所以=3,
又因为sin2C+cos2C=1,解得cosC=±,
由tanC>0知,C为锐角,所以cosC=.
(2)由,得abcosC=,即ab=20.
又因为a+b=9,则a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41.
由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC=41-2×20×=36,故c=6.
8.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
解(1)由余弦定理知,cosB=,cosC=.
将上式代入=-,得=-,整理得a2+c2-b2=-ac.
所以cosB==-=-.
因为B为三角形的内角,所以B=.
(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,即b2=(a+c)2-2ac-2accosB得,
13=16-2ac,所以ac=3.
所以S△ABC=acsinB=.
5§2　三角形中的几何计算
课后篇巩固探究
1.在△ABC中,若A=105°,B=30°,BC=,则角B的平分线的长是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.2
C.1
D.
解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC=,由正弦定理可知BD=1.
答案:C
2.在△ABC中,若AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析:如图,在△ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,
即7=AB2+4-2×2×AB×.
整理得AB2-2AB-3=0.
解得AB=3或AB=-1(舍去).
故BC边上的高AD=AB·sinB=3×sin60°=.
答案:B
3.若△ABC的周长等于20,面积是
10,A=60°,则BC边的长是(　　)
A.5
B.6
C.7
D.8
解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=bcsinA,得10bc×sin60°,即bc=40.
又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
所以a2=(20-a)2-120,解得a=7.
答案:C
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csin
A=acos
C.当sin
A-cos取最大值时,A的大小为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析:由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.
因为00,
从而sinC=cosC.
又cosC≠0,所以tanC=1,则C=,
所以B=-A.
于是sinA-cossinA-cos(π-A)
=sinA+cosA=2sin.
因为0即A=时,2sin取最大值2.
答案:A
5.在△ABC中,若C=60°,c=2,周长为2(1+),则A为(　　)
A.30°
B.45°
C.45°或75°
D.60°
解析:根据正弦定理,得2R=
=
=,所以sinA+sinB+sin60°=,所以sinA+sinB=,即sinA+sin(A+C)=?sin(A+60°)+sinA=sin(A+30°)=?sin(A+30°)=,所以A+30°=75°或A+30°=105°,所以A=45°或A=75°.
答案:C
6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边之比为3∶2,则这个三角形的面积是　　　　　.?
解析:设另两边分别为3x,2x,则
cos60°=,解得x=,
故两边长为3和2,
所以S=×3×2×sin60°=.
答案:
7.已知在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD是△ABC的角平分线,则AD=　　　　.?
解析:如图,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
所以×3×2sin60°=×3ADsin30°+×2AD×sin30°,所以AD=.
答案:
8.在△ABC中,若AB=a,AC=b,△BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时,∠BAC=　　　　　.?
解析:设∠BAC=θ,则BC2=a2+b2-2abcosθ.S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=absinθ+BC2=(a2+b2)+ab·sin(θ-60°),即当∠BAC=θ=150°时,S四边形ABDC取得最大值.
答案:150°
9.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为　　　　　.?
解析:设三角形的三边依次为a-4,a,a+4,可得a+4的边所对的角为120°.
由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)·cos120°,则a=10,所以三边长为6,10,14,
S△ABC=×6×10×sin120°=15.
答案:15
10.已知△ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a+3c=0,则sin
A∶sin
B∶sin
C=　　　　　.?
解析:因为G是△ABC的重心,所以=0,又2a+3c=0,所以2a-3c()=0,即(2a-3c)+(b-3c)=0,则所以a∶b∶c=3∶2∶2,由正弦定理,得sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶2.
答案:3∶2∶2
11.(2017全国2高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cos
B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解(1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2,
故sinB=4(1-cosB).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,
解得cosB=1(舍去),cosB=.
(2)由cosB=得sinB=,
故S△ABC=acsinB=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6得
b2=a2+c2-2accosB
=(a+c)2-2ac(1+cosB)
=36-2×
=4.
所以b=2.
12.(2017全国3高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin
A+cos
A=0,a=2,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
解(1)由已知可得tanA=-,所以A=.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,
即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.
(2)由题设可得∠CAD=,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.
5§3　解三角形的实际应用举例
课后篇巩固探究
1.
如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了四种测量方案:(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c)
①测量A,C,b　②测量a,b,C　③测量A,B,a　④测量a,b,B
则一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
解析:已知三角形的两角及一边,可以确定三角形,故①③正确;已知两边及夹角,可以确定三角形,故②正确;已知两边与其中一边的对角,满足条件的三角形可能有一个或两个,故④错误.故选A.
答案:A
2.已知某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20
m,则折断点与树干底部的距离是(　　)m.
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.10
C.
D.20
解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,
所以∠OAB=60°.
由正弦定理知,,
所以AO=(m).
答案:A
3.已知一艘船以4
km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2
km/h,则经过
h,该船实际航程为(　　)
A.2
km
B.6
km
C.2
km
D.8
km
解析:如图,因为||=2km/h,||=4km/h,∠AOB=120°,
所以∠OAC=60°,||=
=2(km/h).
经过h,该船的实际航程为2=6(km).
答案:B
4.甲船在B岛的正南方10
km处,且甲船以4
km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以6
km/h的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是(　　)
A.
min
B.
h
C.21.5
min
D.2.15
h
解析:如图,设经过xh后甲船处于点P处,乙船处于点Q处,两船的距离为s,则在△BPQ中,BP=(10-4x)km,BQ=6xkm,∠PBQ=120°,由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cos∠PBQ,即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6x·cos120°=28x2-20x+100.
当x=-时,s最小,此时h=min.
答案:A
5.已知一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为(　　)
A.20()海里/时
B.20()海里/时
C.20()海里/时
D.20()海里/时
解析:设货轮航行30分后到达N处,
由题意可知∠NMS=45°,∠MNS=105°,
则∠MSN=180°-105°-45°=30°.
而MS=20海里,在△MNS中,
由正弦定理得,
即MN=
=
==10()(海里).
故货轮的速度为10()÷=20()(海里/时).
答案:B
6.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10
000
m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为(　　)
A.2
500(-1)
m
B.5
000
m
C.4
000
m
D.4
000
m
解析:如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°,AB=10000m,
所以∠ACB=45°.
由正弦定理,得,
又cos75°=,
所以BD=·cos75°=2500(-1)(m).
答案:A
7.台风中心从A地以20
km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30
km内的地区为危险区,城市B在A的正东40
km处,B城市处于危险区内的持续时间为(　　)
A.0.5
h
B.1
h
C.1.5
h
D.2
h
解析:设th后,B市处于危险区内,则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40cos45°≤302.
化简得4t2-8t+7≤0,所以t1+t2=2,t1·t2=.
从而|t1-t2|==1.
答案:B
8.
如图,已知海岸线上有相距5
n
mile的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔A的北偏西75°方向,与A相距3
n
mile的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5
n
mile的C处,则两艘船之间的距离为　　　　　n
mile.?
解析:连接AC,BC=AB=5nmile,∠ABC=60°,
所以△ABC为等边三角形,所以AC=5nmile,
且∠DAC=180°-75°-60°=45°.
在△ACD中,由余弦定理得CD2=(3)2+52-2×3×5×cos45°=13,所以CD=nmile.
故两艘船之间的距离为nmile.
答案:
9.
如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A的俯角β=45°.已知塔高60
m,则山高为　　　　　.?
解析:在△ABC中,BC=60m,∠BAC=15°,∠ABC=30°,
由正弦定理,得AC==30()(m).
所以CD=AC·sin45°=30(+1)(m).
答案:30(+1)m
10.
如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°及∠MAC=75°,从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=50
m,则山高MN=　　　　　
m.?
解析:在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=50m,所以AC=50m.
在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,
由正弦定理得,,因此AM=50m.
在Rt△MNA中,AM=50m,∠MAN=60°,由=sin60°,得MN=50=75(m).
答案:75
11.
如图,CM,CN为某公园景观湖畔的两条木栈道,∠MCN=120°.现拟在两条木栈道的A,B两处设置观景台,记BC=a,AC=b,AB=c(单位:百米).
(1)若a,b,c成等差数列,且公差为4,求b的值;
(2)已知AB=12,记∠ABC=θ,试用θ表示观景路线A-C-B的长,并求观景路线A-C-B长的最大值.
解(1)因为a,b,c成等差数列,且公差为4,
所以a=b-4,c=b+4,
因为∠MCN=120°,
所以由余弦定理得,(b+4)2=(b-4)2+b2-2b(b-4)cos120°,解得b=10.
(2)由题意,得,
所以AC=8sinθ,BC=8sin(60°-θ),
所以观景路线A-C-B的长AC+BC=8sinθ+8sin(60°-θ)=8sin(60°+θ)(0°<θ<60°).
所以当θ=30°时,观景路线A-C-B长的最大值为8百米.
12.
如图,一艘船由西向东航行,测得某岛M的方位角为α,前进5
km后测得此岛的方位角为β.已知该岛周围3
km内有暗礁,现该船继续东行.
(1)若α=2β=60°,问该船有无触礁危险?
(2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁的危险?
解(1)设岛M到直线AB的距离MC为dkm,则
AC=dtanαkm,BC=dtanβkm.
由AC-BC=AB,
得dtanα-dtanβ=5,d=.
当α=2β=60°时,d=>3,
所以此时没有触礁的危险.
(2)方法一:要使船没有触礁危险,只要使d>3,
即>3.
因为0<β<α<,所以tanα-tanβ>0,
所以tanα-tanβ<,
所以当α,β满足tanα-tanβ<时,该船没有触礁的危险.
方法二:设CM=xkm,由,
即,解得x=,
所以当>3时没有触礁危险.
13.某海军护航舰艇在某海域执行护航任务时,收到某渔船在航行中发出的求救信号,海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10
n
mile的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9
n
mile/h的速度航行,海军舰艇立即以21
n
mile/h的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间(角度精确到0.1°,时间精确到1
min).
解如图,设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为xh,
则AB=21xnmile,
BC=9xnmile,
AC=10nmile,
∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°,
根据余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°,
即(21x)2=102+(9x)2-2×10×9xcos120°,
亦即36x2-9x-10=0,
解得x1=,x2=-(舍去),
所以AB=14nmile,BC=6nmile.
由余弦定理可得cos∠BAC=
=≈0.9286,所以∠BAC≈21.8°,
所以方位角为45°+21.8°=66.8°,又因为h=40min,所以舰艇应以北偏东66.8°的方向航行,靠近渔船需要40min.第二章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=60°,a=1,b=2,则sin
A=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
解析:由正弦定理得,所以sinA=.故选C.
答案:C
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析:因为a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得,cosB=,所以B=.
答案:A
3.在△ABC中,已知a=11,b=20,A=130°,则此三角形
(　　)
A.无解
B.只有一解
C.有两解
D.解的个数不确定
解析:由A=130°,而a答案:A
4.在△ABC中,如果A=60°,AC=16,△ABC的面积为220,那么BC的长度为(　　)
A.25
B.51
C.49
D.49
解析:由S△ABC=·AB·ACsin60°=4AB=220,得AB=55.由余弦定理,得BC2=162+552-2×16×55×cos60°=2401,解得BC=49.
答案:D
5.在平行四边形ABCD中,若对角线AC=,BD=,周长为18,则这个平行四边形的面积是(　　)
A.16
B.
C.18
D.32
解析:设AB=CD=a,AD=BC=b,
则解得
所以cos∠BAD=,
所以sin∠BAD=,S=4×5×=16.
答案:A
6.若△ABC的三个内角满足sin
A∶sin
B∶sin
C=5∶11∶13,则△ABC(　　)
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
解析:由正弦定理=2R(R为△ABC外接圆的半径)及已知条件sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,可设a=5x,b=11x,c=13x,其中x>0,由余弦定理得cosC==-<0,所以C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
答案:C
7.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=.则S△ABC=
(　　)
A.
B.
C.
D.2
解析:因为A,B,C成等差数列,
所以A+C=2B.
又A+B+C=180°,所以B=60°.
又a=1,b=,由得
sinA=.
因为a所以S△ABC=×1×.
答案:C
8.
如图为起重机装置示意图.支杆BC=10
m,吊杆AC=15
m,吊索AB=5
m,起吊的货物与岸的距离AD为
(　　)
A.30
m
B.
m
C.15
m
D.45
m
解析:在△ABC中,由余弦定理,得
cos∠ACB=
==-,
所以∠ACB=120°,
所以∠ACD=180°-120°=60°.
所以AD=AC·sin60°=(m).
答案:B
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C=120°,c=a,则(　　)
A.a>b
B.aC.a=b
D.a与b的大小关系不能确定
解析:由余弦定理,得2a2=a2+b2-2abcos120°,所以b2+ab-a2=0,即-1=0,<1,故b答案:A
10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,且,则cos
B的值为(　　)
A.
B.
C.-
D.-
解析:因为,所以由正弦定理,得sinB=sin,所以2sincos=sin,因为sin≠0,所以cos,所以cosB=2cos2-1=2×-1=-,故选C.
答案:C
11.
如图,已知在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin
C的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析:设AB=c,则AD=c,BD=,BC=.
在△ABD中,由余弦定理,
得cosA=,所以sinA=.
在△ABC中,由正弦定理,得,
解得sinC=,故选D.
答案:D
12.
在△ABC中,内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,已知a=c,且满足cos
C+(cos
∠BAC-·sin
∠BAC)cos
∠ABC=0,若点O是△ABC外一点,且OA=2OB=4,设∠AOB=θ(0<θ<π),则四边形OACB面积的最大值是(　　)
A.8+5
B.5+4
C.12
D.4+5
解析:在△OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB=42+22-2×4×2×cosθ=20-16cosθ.
在△ABC中,因为cosC+(cos∠BAC-sin∠BAC)cos∠ABC=-cos(∠BAC+∠ABC)+cos∠BACcos∠ABC-sin∠BACcos∠ABC=sin∠BACsin∠ABC-sin∠BACcos∠ABC=sin∠BAC(sin∠ABC-cos∠ABC)=0,且sin∠BAC≠0,所以sin∠ABC-cos∠ABC=0,即tan∠ABC=,所以∠ABC=,又a=c,所以△ABC是等边三角形,所以S四边形OACB=S△OAB+S△ABC=×4×2×sinθ+×(20-16cosθ)=4sinθ+5-4cosθ=8sin+5.
因为0<θ<π,所以-<θ-,所以当θ-,即θ=时,S四边形OACB取最大值,所以四边形OACB面积的最大值是8+5.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面积S=,则三角形外接圆的面积为　　　　　.?
解析:在△ABC中,b=2,A=120°,三角形的面积S=bc·sinA=×2c×,
所以c=2=b.所以B=C=(180°-A)=30°.
由正弦定理可得=2R==4,
所以三角形外接圆半径R=2,
所以三角形外接圆的面积S=4π.
答案:4π
14.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A到C的距离为2
km,B船在灯塔C北偏西40°,A,B两船的距离为3
km,则B到C的距离为　　　　　km.?
解析:如图,由已知条件可得∠ACB=80°+40°=120°,AC=2km,AB=3km,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即BC2+2BC-5=0,所以BC=(-1)km,所以B到C的距离为(-1)km.
答案:-1
15.在锐角三角形ABC中,若a=2,b=3,则c的取值范围是　　　　　.?
解析:因为△ABC为锐角三角形,所以cosA>0,cosB>0,cosC>0,即>0,>0,>0.将a=2,b=3代入,解得答案:().
16.在△ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边,S为△ABC的面积.若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(,S)满足p∥q,则C=　　　　　.?
解析:由p∥q,得4S=(a2+b2-c2),
则S=(a2+b2-c2).
由余弦定理得cosC=,
所以S=×2abcosC=abcosC.
又由面积公式得S=absinC,
所以abcosC=absinC,所以tanC=.
又C∈(0,π),所以C=.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)在△ABC中,C=2A,a+c=20,sin
A=,求b的值.
解因为0由正弦定理得
=2cosA=2×.
又a+c=20,所以a=8,c=12.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得,
所以b=8或b=10.当b=8时,a=8,所以A=B.
由C=2A,所以A=,这与cosA=矛盾,应舍去.
当b=10时,满足题意,故b=10.
18.(本小题满分12分)(2017天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin
B=.
(1)求b和sin
A的值;
(2)求sin的值.
解(1)在△ABC中,因为a>b,
故由sinB=,可得cosB=.
由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,
所以b=.
由正弦定理,
得sinA=.
所以,b的值为,sinA的值为.
(2)由(1)及a所以sin2A=2sinAcosA=,
cos2A=1-2sin2A=-.
故sin=sin2Acos+cos2Asin.
19.
(本小题满分12分)如图,在△ABC中,AB=12,AC=3,BC=5,点D在边BC上,且∠ADC=60°.
(1)求cos
C的值;
(2)求线段AD的长.
解(1)在△ABC中,由余弦定理得cosC=.
(2)由题意知00,所以sinC=,在△ADC中,根据正弦定理得,,所以AD==8.
20.(本小题满分12分)(2017全国1高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin
Bsin
C;
(2)若6cos
Bcos
C=1,a=3,求△ABC的周长.
解(1)由题设得acsinB=,即csinB=.
由正弦定理得sinCsinB=.
故sinBsinC=.
(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,即cos(B+C)=-.
所以B+C=,故A=.
由题设得bcsinA=,即bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.
故△ABC的周长为3+.
21.
(本小题满分12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于点A北偏东45°,点B北偏西60°的点D有一艘轮船发出求救信号,位于点B南偏西60°,且与点B相距20海里的点C的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达点D需要多长时间?
解由题意,知AB=5(3+)海里,
∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,
所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.
在△ADB中,
由正弦定理,得
,
所以DB=
==10(海里).
在△CDB中,BC=20海里,BD=10海里,∠DBC=60°.
由余弦定理,得DC2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=(10)2+(20)2-2×10×20×cos60°=900.
所以DC=30海里.
故救援船到达点D需要的时间为=1(时).
22.(本小题满分12分)(2016四川高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
(1)证明:sin
Asin
B=sin
C;
(2)若b2+c2-a2=bc,求tan
B.
(1)证明根据正弦定理,可设=k(k>0).
则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.
代入中,有,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,
所以sinAsinB=sinC.
(2)解由已知,b2+c2-a2=bc,
根据余弦定理,有cosA=,
所以sinA=.
由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以sinB=cosB+sinB,
故tanB==4.
1