第三章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．复数等于( B )
A．－1
B．－i
C．1
D．i
解析：由题意得，复数＝＝＝－i，故选B.
2.＝( D )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：＝＝＝－1－i.
3．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( A )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
解析：因为z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以＝2－3i.
4．设a是实数，且＋是实数，则a等于( B )
A.
B．1
C.
D．2
解析：＋＝＋＝＋i，由题意可知＝0，即a＝1.
5．若a为实数，且(2＋ai)·(a－2i)＝－4i，则a＝( B )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，∴解之得a＝0.
6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( A )
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
解析：由题意知z2＝－2＋i.所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A.
7．若复数z满足i(z－1)＝1＋i(i为虚数单位)，则z＝( A )
A．2－i
B．2＋i
C．1－2i
D．1＋2i
解析：由i(z－1)＝1＋i，得z－1＝＝＝1－i，∴z＝2－i.故选A.
8．若将复数表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则的值为( A )
A．－2
B．－
C．2
D.
解析：因为＝1－2i，所以a＝1，b＝－2.所以＝－2.
9．已知复数z满足＝i，则复数z的虚部为( C )
A．－i
B．i
C．1
D．－1
解析：由题得z＝i(1－i)－1＝i，其虚部为1.故选C.
10．在复平面内，复数3－4i，i(2＋i)对应的点分别为A，B，则线段AB的中点C对应的复数为( D )
A．－2＋2i
B．2－2i
C．－1＋i
D．1－i
解析：∵i(2＋i)＝－1＋2i，∴复数3－4i，i(2＋i)对应的点A，B的坐标分别为A(3，－4)，B(－1,2)．
∴线段AB的中点C的坐标为(1，－1)．则线段AB的中点C对应的复数为1－i.故选D.
11．已知z1与z2是共轭虚数，有4个命题：①z<|z2|2；②z1z2＝|z1z2|；③z1＋z2∈R；④∈R.其中一定正确的是( B )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①②③
解析：z1与z2是共轭虚数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R，b≠0)．
①z＝a2－b2＋2abi，|z2|2＝a2＋b2，虚数不能比较大小，因此不正确；
②z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，正确；
③z1＋z2＝2a∈R，正确；
④＝＝＝＋i不一定是实数，因此不一定正确．故选B.
12．已知复数z＝(3a＋2i)(b－i)的实部为4，其中a，b为正实数，则2a＋b的最小值为( D )
A．2
B．4
C.
D.
解析：∵z＝(3a＋2i)(b－i)＝3ab＋2＋(2b－3a)i，∴3ab＋2＝4，∴ab＝，∴2a＋b≥2＝2
＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故2a＋b的最小值为，故选D.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为1.
解析：依题意设z＝5＋bi(b∈R)，则|z|＝，而|4－3i|＝＝5，所以＝5，即b＝0.所以z＝5.故满足题意的复数只有一个．
14．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝3.
解析：因为复数a＋bi的模为，所以＝，即a2＋b2＝3.于是(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2＝3.
15．i是虚数单位，若复数(1－2i)·(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为－2.
解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i.∵(1－2i)(a＋i)是纯虚数，∴a＋2＝0，且1－2a≠0，∴a＝－2.
16．下面四个命题：①0比－i大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是①②③.
解析：①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有表明x，y是否是实数；④若z＝bi(b≠0)为纯虚数，则z2＝－b2<0，故①②③均是错误命题，④是正确的．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)实数m取什么数值时，复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i分别是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
解：(1)∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i是实数，∴m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2.
(2)∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i是虚数，∴m2－m－2≠0，∴m≠－1且m≠2.
(3)∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i是纯虚数，∴m2－m－2≠0且m2－1＝0，∴m＝1.
18．(12分)已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．
(1)若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值；
(2)若z1＝z，求m，n的值．
解：(1)当m＝1，n＝－1时，z1＝1－2i，z2＝1＋i，所以z1＋z2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i，所以|z1＋z2|＝＝.
(2)若z1＝z，则m－2i＝(1－ni)2，所以m－2i＝(1－n2)－2ni，所以解得
19．(12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1－2＝＝＝＝－i，∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
又∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
20．(12分)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3＋i，向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，求B点对应的复数．
解：因为向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，所以表示的复数是(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，故＝＋对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，所以B点对应的复数为5－2i.
21．(12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝1＋3i－z，∴－1－3i＋a＋bi＝0，即解得∴z＝－4＋3i，∴＝＝＝3＋4i.
22．(12分)已知z＝m＋3＋3i，其中m∈C，且为纯虚数；
(1)求m对应点的轨迹；
(2)求|z|的最大值、最小值．
解：(1)设m＝x＋yi(x，y∈R)，则＝＝，
∵为纯虚数，∴即
∴m对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．
(2)由(1)知|m|＝3，由已知m＝z－(3＋3i)，∴|z－(3＋3i)|＝3.∴z所对应的点Z在以(3,3)为圆心，以3为半径的圆上．
由图形可知|z|的最大值为|3＋3i|＋3＝9；最小值为|3＋3i|－3＝3.第三章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．复数等于( )
A．－1
B．－i
C．1
D．i
2.＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
3．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
4．设a是实数，且＋是实数，则a等于( )
A.
B．1
C.
D．2
5．若a为实数，且(2＋ai)·(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
7．若复数z满足i(z－1)＝1＋i(i为虚数单位)，则z＝( )
A．2－i
B．2＋i
C．1－2i
D．1＋2i
8．若将复数表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则的值为( )
A．－2
B．－
C．2
D.
9．已知复数z满足＝i，则复数z的虚部为( )
A．－i
B．i
C．1
D．－1
10．在复平面内，复数3－4i，i(2＋i)对应的点分别为A，B，则线段AB的中点C对应的复数为( )
A．－2＋2i
B．2－2i
C．－1＋i
D．1－i
11．已知z1与z2是共轭虚数，有4个命题：①z<|z2|2；②z1z2＝|z1z2|；③z1＋z2∈R；④∈R.其中一定正确的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①②③
12．已知复数z＝(3a＋2i)(b－i)的实部为4，其中a，b为正实数，则2a＋b的最小值为( )
A．2
B．4
C.
D.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为(
)
14．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝(
)
15．i是虚数单位，若复数(1－2i)·(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为(
).
16．下面四个命题：①0比－i大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是(
).
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)实数m取什么数值时，复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i分别是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
18．(12分)已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．
(1)若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值；
(2)若z1＝z，求m，n的值．
19．(12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
20．(12分)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3＋i，向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，求B点对应的复数．
21．(12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
22．(12分)已知z＝m＋3＋3i，其中m∈C，且为纯虚数；
(1)求m对应点的轨迹；
(2)求|z|的最大值、最小值．
