模块综合评估(一)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．复数等于( A )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：＝＝＝1＋i，故选A.
2．在复平面内，复数(i是虚数单位)对应的点位于( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：＝＝－i，故对应的点在第四象限．
3．设f(x)＝10x＋lgx，则f′(1)等于( B )
A．10
B．10ln10＋lge
C.＋ln10
D．11ln10
解析：∵f′(x)＝10xln10＋，∴f′(1)＝10ln10＋lge，故选B.
4．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为( D )
A．(1,0)
B．(－1，－4)
C．(1，－4)
D．(1,0)或(－1，－4)
解析：设点P的坐标为(a，b)，因为f′(x)＝3x2＋1，所以点P处的切线的斜率为f′(a)＝3a2＋1，
又切线平行于直线y＝4x－1，所以3a2＋1＝4，解得a＝±1.
当a＝1时，由P(a，b)为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，得b＝0；当a＝－1时，同理可得b＝－4，所以点P的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
5．设f(x)为可导函数，且满足条件
＝3，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( C )
A.
B．3
C．6
D．无法确定
解析：
＝
＝f′(1)＝3，∴f′(1)＝6.故选C.
6．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( D )
A.
B．－1
C．0
D．1
解析：由f′(x)＝3－12x2＝0得x＝±，∵x∈[0,1]，∴x＝.当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，故当x＝时，f(x)取得极大值，也是最大值，即f(x)max＝f＝3×－4×3＝1，故选D.
7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是( A )
A．4n＋2
B．4n－2
C．2n＋4
D．3n＋3
解析：方法一(归纳猜想法)：观察可知：除第一个外，每增加一块黑色地面砖，相应的白色地面砖就增加四块，因此第n个图案中有白色地面砖的块数是“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”．故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n＋2.
方法二(特殊值代入排除法)：由题图可知，当n＝1时，a1＝6，可排除B；当n＝2时，a2＝10，可排除C，D.故答案为A.
8．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为( D )
A.
B.
C.＋1
D.－1
解析：f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－
0，f(x)单调递增，当x＝时，令f(x)＝＝，＝<1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1，故选D.
9．已知使函数y＝x3＋ax2－a的导数值为0的x值也使y值为0，则常数a的值为( C )
A．0
B．±3
C．0或±3
D．非以上答案
解析：y′＝3x2＋2ax.令y′＝0，得x＝0或x＝－a.由题知x＝0时，y＝0，故－a＝0，则a＝0.同理，当x＝2，a＝－3或x＝－2，a＝3时也成立．故选C.
10．下列求导运算正确的是( B )
A.′＝x·2x－1
B.′＝3ex
C.′＝2x－
D.′＝
解析：对于A，(2x)′＝2xln2；对于B，(3ex)′＝3ex；对于C，′＝2x＋；对于D，′＝.综上可知选B.
11．若f(x)＝，0A．f(a)>f(b)
B．f(a)＝f(b)
C．f(a)D．f(a)·f(b)>1
解析：∵f′(x)＝，在(0，e)上f′(x)>0，∴f(x)在(0，e)上为增函数．∴f(a)12．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)F(2x－1)的实数x的取值范围为( A )
A．(－1,2)
B.
C.
D．(－2,1)
解析：∵f(x)是奇函数，且x∈(－∞，0]时，xf′(x)F(2x－1)＝F(|2x－1|)，∴|2x－1|<3，∴－1二、填空题(每小题5分，共20分)
13．i是虚数单位，复数的共轭复数是2＋i.
解析：∵＝＝＝2－i，∴的共轭复数是2＋i.
14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为.
解析：正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为，通过类比可知，表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为.
15．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是[－，]．
解析：依题意可知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数，所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
16．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a①f(0)f(1)>0；
②f(0)f(1)<0；
③f(0)f(3)>0；
④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是②③.
解析：因为f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，s由f′(x)<0，得10，得x<1或x>3，所以f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a0，y极小值＝f(3)＝－abc<0.所以00.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，所以a<0，b<0，c>0不可能成立，如图．所以f(0)<0.所以f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.所以正确结论的序号是②③.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.
求：(1)z1＋2；(2)z1·z2；(3).
解：z2＝＝＝＝＝1－3i.
(1)z1＋2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.
(2)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i＝－7－9i.
(3)＝＝＝＝＋i.
18．(12分)求函数f(x)＝x(ex－1)－x2的单调区间．
解：f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
19．(12分)已知a，b，c>0，且a＋b＋c＝1，
求证：(1)a2＋b2＋c2≥；(2)＋＋≤.
证明：(1)∵a2＋≥a，b2＋≥b，c2＋≥c，∴＋＋≥a＋b＋c＝.∴a2＋b2＋c2≥.
(2)∵≤，≤，≤，三式相加得＋＋≤(a＋b＋c)＋＝1，∴＋＋≤.
20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一件的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]．
(2)L′＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)(18＋2a－3x)．
令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．
∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.
在x＝6＋a两侧L′的值由正变负，
∴当8≤6＋a≤9，即3≤a≤时，Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)．
当9<6＋a≤，即∴Q(a)＝
综上，若3≤a≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)万元；若21．(12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4，∴(
)
(1)当a＝3时，由(
)式得解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，∴“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(
)式得c＝4a,2b＝9－5a.
又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，解得a∈[1,9]，即a的取值范围为[1,9]．
22．(12分)已知函数f(x)＝4ln(x－1)＋x2－(m＋2)x＋－m(m为常数)，
(1)当m＝4时，求函数的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)有两个极值点，求实数m的取值范围．
解：依题意得，函数的定义域为(1，＋∞)．
(1)当m＝4时，f(x)＝4ln(x－1)＋x2－6x－.f′(x)＝＋x－6＝＝.
令f′(x)>0，解得x>5，或1可知函数f(x)的单调递增区间为(1,2)和(5，＋∞)，单调递减区间为(2,5)．
(2)f′(x)＝＋x－(m＋2)＝
若函数y＝f(x)有两个极值点，则解得m>3.模块综合评估(一)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．复数等于( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
2．在复平面内，复数(i是虚数单位)对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．设f(x)＝10x＋lgx，则f′(1)等于( )
A．10
B．10ln10＋lge
C.＋ln10
D．11ln10
4．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为( )
A．(1,0)
B．(－1，－4)
C．(1，－4)
D．(1,0)或(－1，－4)
5．设f(x)为可导函数，且满足条件
＝3，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
A.
B．3
C．6
D．无法确定
6．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A.
B．－1
C．0
D．1
7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是( )
A．4n＋2
B．4n－2
C．2n＋4
D．3n＋3
8．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为( )
A.
B.
C.＋1
D.－1
9．已知使函数y＝x3＋ax2－a的导数值为0的x值也使y值为0，则常数a的值为( )
A．0
B．±3
C．0或±3
D．非以上答案
10．下列求导运算正确的是( )
A.′＝x·2x－1
B.′＝3ex
C.′＝2x－
D.′＝
11．若f(x)＝，0A．f(a)>f(b)
B．f(a)＝f(b)
C．f(a)D．f(a)·f(b)>1
12．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)F(2x－1)的实数x的取值范围为( )
A．(－1,2)
B.
C.
D．(－2,1)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．i是虚数单位，复数的共轭复数是(
).
14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为(
).
15．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(
).．
16．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a①f(0)f(1)>0；
②f(0)f(1)<0；
③f(0)f(3)>0；
④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是(
)..
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.
求：(1)z1＋2；(2)z1·z2；(3).
18．(12分)求函数f(x)＝x(ex－1)－x2的单调区间．
19．(12分)已知a，b，c>0，且a＋b＋c＝1，
求证：(1)a2＋b2＋c2≥；(2)＋＋≤.
20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一件的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
21．(12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
22．(12分)已知函数f(x)＝4ln(x－1)＋x2－(m＋2)x＋－m(m为常数)，
(1)当m＝4时，求函数的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)有两个极值点，求实数m的取值范围．