江苏省镇江市2020-2021学年高二上学期12月校际联考数学试题word版含答案

高二年级校际联考
数学试题
2020.12
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意要求的．
1．已知命题，则命题p的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
2．双曲线方程为，则它的右焦点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
3．祖暅（公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上．以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到及两截面，可以证明总成立．据此，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
4．正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（
）
A．60°
B．90°
C．45°
D．120°
5．等差数列的前n项和为．若，，则的公差为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（
）天，蒲草和菀草高度相同．（已知，，结果精确到0.1）（
）
A．3.5
B．3.6
C．3.7
D．3.8
7．一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，设其方程为，在杯内放置一个玻璃球，要使玻璃球能接触到酒杯的底部，玻璃球的半径的最大值为（
）
A．
B．1
C．2
D．3
8．如图，四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，以D为圆心，为半径在侧面上画弧，当半径的端点完整地划过时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题意要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的3分．
9．若m、n是两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，下列说法正确的有（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．设椭圆，双曲线（其中）的离心率分别为，下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知点是椭圆上一点（异于椭圆的项点），、分别为C的两个焦点，A、B是椭圆的左右两个顶点，则下列结论正确的是（
）
A．周长为16
B．的最大值为7
C．准线方程为
D．直线与的斜率的乘积为
12．已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，等比数列的首项为，公比为q，前n项和为，下列说法正确的有（
）
A．若，则存在正整数n使得且
B．若，则有最小值无最大值
C．数列是单调递增数列的一个充分不必要的条件是
D．对于任意正整数n恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．空间向量，若三个向量共面，则可用和表示为______．
14．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则________．
15．已知F为双曲线的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为直线上一点，O为坐标原点，已知，且，则双曲线C的离心率为________．
16．圆锥曲线（英语：conic
section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得．阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究．之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线．其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知为等差数列，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数都不在下表的同一列．
第一列
第二行
第三行
第一列
第二行
4
6
9
第三行
12
8
7
请从①，②，③的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列存在；并在此存在的数列中，试解答下列两个问题．
（1）（4分）直接将满足要求的条件填入相应的空格里，并求数列的通项公式；
（2（6分）设数列满足，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点、，其中，且．
（1）（6分）求该抛物线的方程；
（2）（6分）设O为坐标原点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为C，证明：B、O、C三点共线．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，，M是的中点．
（1）（6分）求证：；
（2）（6分）求二面角的平面角的大小．
20．（本小题满分12分）
已知数列满足，且，数列满足，且，．
（1）（5分）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）（7分）解关于n的不等式：．
21．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，底面四边形为正方形，已知平面，，．
（1）（6分）求与平面所成角的正弦值；
（2）（6分）在棱上存在一点E，使得平面平面，求的值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆，点F，B分别是椭圆的右焦点与上项点，O为坐标原点，记的周长与面积分别为C和S．
（1）（4分）求的最小值；
（2）（8分）如图，过点F的直线l交椭圆于P，Q两点过点F作l的垂线，交直线于点R，当取最小值时，求的最小值．
镇江市高二第一学期12月份九校联考
参考答案
一、单项选择题
1
2
3
4
8
6
7
8
A
C
B
B
C
B
B
A
二、多项选择题
9
10
11
12
CD
ABD
BD
BCD
三、填空题
13．
14．1033
15．2
16．
17．解析：（1）将②①③分别填入第一、二、三列第一行表格中
满足题意的因为是等差数列，设公差为d
则
（2）
①
②
18．解析：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为，故直线的方程为，
联立，可得．
∵，，，解得．
∴经过抛物线焦点的弦，解得．
∴抛物线方程为；
（2）由（1）知A点的坐标为
B点的坐标为
过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为C，则C点的坐标为
直线与直线有一个公共点O
所以B、O、C三点共线
19．解析：（1）证明：以C为原点，，，所在直线为x，y，z二轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
∵，∴．
（2）∵是直三棱柱，∴平面，又平面，∴，
∵，即，又，∴平面，即平面，
∴是平面的一个法向量，
设是平面的法向量，
，，∴，
取，得，∴．
∴二面角的平面角的大小为45°．
20．解析：（1）证：由，且知，
将原式取到数得：，∴数列是等差数列．又∵，，∴．
（2）由得，由累乘法得，，
则代入原不等式，化为即，令，，
逐一检验，不满足，时满足题意，时，
而时，，
综述，解集为．
21．（1）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，取，得，
设与平面所成角为，则．
∴与平面所成角的正弦值为．
（2）设在棱上存在一点，，，使得平面平面，
则，∴，
，，设平面的法向量，
则，取，得，
∵平面平面，
∴，解得．
∴棱上存在一点E，使得平面平面，且．
22．解：（Ⅰ）的周长．的面积．
，
当且仅当时，的最小值为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为．
此时椭圆方程可化为
依题意可得过点F的直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为．
联立，整理得：．
，
．
当时，垂直横轴，与横轴重合，此时，，
．
当时，设直线，令得
综上所述：当且仅当时，取最小值为．