人教版8上第14章14.3.2因式分解（公式法三个课时）（24张PPT）

(共24张PPT)
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bn
第
章
整式的乘除与因式分解
十四
14.3.2
因式分解——公式法1
14.3因式分解
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习旧引新
1.什么是因式分解？
一个多项式化为几个整式的乘积的形式
2.请对下列多项式进行因式分解：
-3+6x2=_____________
2x2-x=___________
4x-6x2+2x3=___________
3.有相同公因式的多项式能因式分解.
方法1（提公因式法）：pa+
pb
+pc=p(a+b+c)
一个多项式
几个整式的乘积
-3(1-2x2)
x(2x-1)
2x(2-3x+x2)
因式分解
整式的乘法
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习旧引新
4.请你完成下列的计算：
(x-y)(x+y)=_____________
(2x-1)(2x+1)=___________
(3x+2y)(3x-2y)=__________
思考：
1.从左到右是一种什么样的运算？从右到左呢？
2.什么样的多项式能逆用平方差进行因式分解？
x2-y2
4x2-1
9x2-4y2
从左到右是乘法运算，从右到左是因式分解.
这个多项式具备：①二项式
（看成二项式）
②每一项的绝对值为平方项
③两项符号相反
方法2（平方差公式）：用符号表示如下：
a2-b2=(a+b)(a-b)
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新课讲授——因式分解（平方差）
多项式中可用a2和-b2表示两个符号不同的平方项，那么便可以用平方差的逆运算进行因式分解
【基础训练】
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2+y2
（4）-x2-y2
（5）4x2-y2
（6）9-y2
（7）-(3x)2+1
（8）(x-y)2-(x+y)2
（9）(x-y)2+y2
（10）4(x-y)2-16x2
a,b可以是一个单项式，也可以是一个多项式
?
?
?
?
?
?
?
　解：
（1）4x2-9
=(2x)2-32　
=(2x+3)(2x-3)
例1　分解因式：
（1）4x2-9
（2）(x+p)2-(x+q)2
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例题解析——因式分解（平方差）
（2）(x+p)2-(x+q)2
=[(x+p)+(x+q)][(x+p-(x+q)]
=(2x+p+q)(p-q)
【练】将下列多项式分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）x4-y4
=(x2)2-(y2)2　
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y)
例2　分解因式：
（1）x4-y4
（2）a3b-ab
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例题解析——因式分解（平方差）
（2）a3b-ab
=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1)
【方法小结】
1.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．
2.如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．
3.第一步分解因式以后，如果所含的多项式还可以继续分解，则
需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．
【练】1.分解因式：
（1）x3-x
（2）-4a3b+4ab
（3）x2y-4y
（4）-a4+16
（5）16(x+y)2-25(2x+5y)2
（6）(a-1)+a2(1-a)
2.计算：
（1）5152-4852（2）7552-2452
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课堂训练——因式分解（平方差）
【方法小结】
1.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．
2.如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．
3.第一步分解因式以后，如果所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分
解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．
【综合训练】
1.已知x-y=2，x2-y2=6,求x+y的值.
2.已知x2-y2=16,x+y=8,求x,y的值.
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课堂训练——因式分解（平方差）
3.计算：
4.求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差
(2n+1)2–(2n-1)2是8的倍数．
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第
章
整式的乘除与因式分解
十四
14.3.2
因式分解——公式法2
14.3
因式分解
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习旧引新
请你完成下列的计算：
(x-y)2=_____________
(2x-1)2=___________
(3x+2y)2=__________
思考：
1.从左到右是一种_________运算,从右到左是一种
___________.
2.什么样的多项式能逆用完全平方公式进行因式分解？
x2-2xy+y2
4x2-4x+1
9x2+12xy+4y2
乘法运算
这个多项式具备：①（看成）三项式
②有两项为平方项
③另一项可以看成是平方项的底数的±2倍.
因式分解
方法3（完全平方公式）：
用符号表示如下：
a2
±2ab
+b2=(a±b)2
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新课讲授——因式分解（完全平方公式）
简记口诀：
头平方，尾平方，两倍头尾放中央.
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两项为平方项；
3.中间有两项底数之积的±2倍.
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
（3）a?+4ab+4b?=(
)?+2·(
)
·(
)+(
)?=(
)?
（2）m?-6m+9=(
)?
-
2·(
)·(
)+(
)?
=(
)?
（1）
x?+4x+4=
(
)?
+2·(
)·(
)+(
)?
=(
)?
x
2
x
+
2
a
a
2b
a
+
2b
2b
m
m
-
3
3
x
2
m
3
用符号表示如下：
a2
±2ab
+b2=(a±b)2
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新课讲授——因式分解（完全平方公式）
多项式中可用a2和b2必须是两个符号相同的平方项，a,b可以是单项式，也可以是多项式.
【基础训练】
下列多项式能否用完全平方公式来分解因式，为什么？
（1）x2+2xy-y2
（2）x2-4x+2
（3）x2+x+0.25
（4）9-6x+x2
（5）-x2+2xy-y2
（6）4(x+1)2+y2+2xy
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
?
?
?
　解：
（1）16x2+
24x
+9
=
(4x)2
+
2·4x·3
+
(3)2　
=
(4x
+
3)2
例1　分解因式：
（1）16x2+24x+9
（2）(a+b)2-12(a+b)+36
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例题解析——因式分解（完全平方公式）
（2）(a+b)2-12(a+b)+36
=(a+b)2-2·(a+b)
·6+62
=(a+b-6)2
【练】1.将下列多项式分解因式：
（1）4x2-4x+1
（2）4(x-y)2-12(x-y)+9
2.计算：（1）1002－2×100×99+99?
（2）342＋34×32＋162
解:
(1)3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2
例2　分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2
（2）-x2+4xy-4y2
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例题解析——因式分解（完全平方公式）
(2)-x2+
4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2
【方法小结】
1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．
2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．
3．第一步分解因式以后，如果所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．
【练】1.将下列多项式分解因式：
（1）-3x2+6xy-3y2
（2）-2xy-x2-y2
（3）－3a2x2＋24a2x－48a2；（4）(a2＋4)2－16a2.
【综合训练】
1.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为___.
2.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，
则m的值为____.
3.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值
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课堂训练——因式分解（完全平方公式）
【综合训练】
4.已知m＝2n＋1，求m2－4mn＋4n2的值.
5.已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值.
6.已知a2＋b2－c2＝2ab，a，b，c都是正数，能否以a，b，
c为边长构成一个三角形？为什么？
7.已知a,b,c为三角形的三边长，且满足
a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，请问该三角形是什么三角形？
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课堂训练——因式分解（完全平方公式）
am
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第
章
整式的乘除与因式分解
十四
14.3.2
因式分解——公式法3
14.3
因式分解
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习旧引新
请你完成下列的计算：
(x+1)(x+2)=_____________
(x+3)(x+4)=_____________
(x-2)(x-6)=_____________
(x-5)(x-1)=___________
x2+3x+2
x2+7x+12
x2-8x+12
x2-6x+5
思考：
从左往右看以上的运算，请你归纳：这样的多项式有什么共同特点？如何对他们进行因式分解？
x2+3x+2
(+1)×(+2)
x2+7x+12
(+3)×(+4)
(+3)+(+4)
x2-8x+12
(-2)×(-6)
(-2)+(-6)
x2-6x+5
(-2)×(-3)
(-2)+(-3)
x×x
x×x
x×x
x×x
(+1)+(+2)
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习旧引新
x2+3x+2
(+1)×(+2)
(+1)+(+2)
x2+7x+12
(+3)×(+4)
(+3)+(+4)
x2-8x+12
(-2)×(-6)
(-2)+(-6)
x2-6x+5
(-2)×(-3)
(-2)+(-3)
x×x
x×x
x×x
x×x
x
x
+1
+2
+x
+2x
=3x
(x+1)(x+2)
x
x
-2
-6
-2x
-6x
=
-8x
(x-2)(x-6)
思考：这样的多项式有什么样的共同点？
①二次项和常数项都能写成两个单项式的乘积；
②一次项恰好为这两对单项式交叉相乘再相加的结果.
这种因式分解的方法叫做十字相乘法
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新课讲授——因式分解（十字相乘法）
方法4（十字相乘）：用符号表示如下：
x2+(a+b)x+ab
x
x
+a
+b
+ax
+bx
=(a+b)x
思考：多项式
2x2+7x+3能否利用十字相乘进行因式分解？
?
?
?
?
?
+
?
=?
x
2x
+3
+1
+6x
+x
=+7x
2x2+7x+3=(x+3)(2x+1)
=(x+a)
(x+b)
【领跑口诀】首分解，尾分解，交叉相乘再相加等于中间项系数，成功之后横着写.
解:例1
(1)
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
(2)m2-7m+10=(m-2)(m-5)
例2
(1)x2-x-6=(x-3)(x+2)
(2)x2+2x-8=(x-2)(x+4)
例3
(1)2x2+5x-3=(x+3)(2x-1)
(2)x2-5xy+6y2=(x-3y)(x-2y)
(3)-2x2+4x+30=(2x+6)(-x+5)
例1　分解因式：
（1）x2+3x+2
（2）m2-7m+10
例2　分解因式：
（1）x2-x-6
（2）x2+2x-8
例3　分解因式：
（1）2x2+5x-3
（2）x2-5xy+6y2
（3）-2x2+4x+30
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例题讲解——因式分解（十字相乘法）
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课堂训练——因式分解（十字相乘法）
训练　1.(1)x2＋4x＋3＝____________________；
(2)x2－6x＋8＝____________________；
(3)a2＋8a＋12＝____________________.
例2　分解因式：
(1)解：x2－x－6＝(x－3)(x＋2)．
(2)解：x2＋2x－8＝(x＋4)(x－2)．
例3　分解因式：
(1)解：2x2＋5x－3＝(2x－1)(x＋3)．
(2)解：x2－5xy＋6y2＝(x－2y)(x－3y)．
(3)解：－2x2＋4x＋30＝－2(x＋3)(x－5)．
(x＋3)(x＋1)
(x－4)(x－2)
(a＋2)(a＋6)
am
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课堂训练——因式分解（十字相乘法）
7.分解因式：
(1)(x－4)(x＋7)＋18；
(2)(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3.
解：原式＝x2＋3x－10
＝(x－2)(x＋5)．
解：原式＝(x2＋2x－3)(x2＋2x＋1)
＝(x＋3)(x－1)(x＋1)2.
总结：对于复杂的多项式且看不出用哪种方法因式分解时，可先化简，如（1）；
在因式分解常用到了整体思想，如（2）中的(x2＋2x)
am
bn
总结——因式分解（公式法）
因式分解的方法：
【前提】若有公因式
若是二项式
若是三项式
【注意】看到相同的多项式，记得采用整体法解决问题
提
考虑平方差
考虑完全平方公式
有两项平方项
无两项平方项
考虑十字相乘法