4.1 投影 第1课时（含答案）
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第四章 投影与视图
4.1 投影
第1课时
知识梳理
知识点1 投影现象
物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是________现象。
影子所在的平面称为_____________。
知识点2 中心投影
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为___________。
知识点3 中心投影光线及光源的确定
如图所示，过一棵小树的顶端及其影子的顶端作_____________，再过另一棵小树的顶端及其影子的顶端作_____________，这两条直线即为形成树影的光线，这两条直线的_________________即为光源的位置。
知识点4 中心投影的特征
如图1所示，在灯光下，甲、乙两个等高的物体垂直于地面放置，此时甲、乙两个物体的影长的关系为___________。
如图2所示，在灯光下，甲、乙两个等长的物体平行于地面放置，甲、乙两个物体的影长的关系为___________。
（1）等高的物体垂直放置于地面时，在低于点光源的情况下，离点光源近的物体的影子____________，离点光源远的物体的影子_____________。
（2）等长的物体平行于地面放置时，在低于点光源的情况下，离地面越远，影子越__________；离地面越近，影子越_________，但不会比物体本身的长度还短。
（3）两条对应点的连线的交点为光源的位置。
（4）中心投影不能反映原物体的真实形状和大小。
考点突破
考点1 确定中心投影
典例1 如图所示，已知甲、乙两棵小树在路灯下的影子。
（1）确定路灯灯泡的位置；
（2）画出小树丙的影子。
思路导析: 过甲树的顶端和其影子的顶端作直线，过乙树的顶端和其影子的顶端作直线，两条直线的交点就是路灯灯泡所在的位置，过路灯灯泡的位置和丙树的顶端作一条直线，就可画出丙树的影子。
解:（1）如图所示，点A是路灯灯泡的位置；
（2）如图所示，线段BC为小树丙的影子。
友情提示 （1）在中心投影下，点光源、物体的点及影子上的对应点在同一条直线上；（2）必须由空间的两条光线才能确定一个点光源，在确定这个点光源时，应紧紧抓住物体的顶端和其影子的顶端两个关键点；（3）先确定出点光源的位置，再确定出小树丙的影子。
变式1 小红和小明在同一路灯下玩耍，两人的身高和影子的情况如图所示，你能根据此图确定出路灯灯泡的位置吗？
变式2 某天夜晚，两辆汽车同一时刻在路灯下的影子如图所示。
（1）确定路灯灯泡的位置；
（2）画出行人的影子（两汽车、行人在同一平面内）。
变式3 已知小明、小红、李涛在路灯下的影子如图所示。
（1）确定路灯灯泡的位置；
（2）画出表示李涛身高的线段.
考点2 中心投影在生活中的应用
典例2 如图所示，身高为1.6m的小华站在距离路灯杆5m的C处，测得他在灯光下的影长CD为2.5 m.你能求出路灯AB的高度吗？
思路导析: 由中心投影知识可知△CED∽△BAD，可得。
解: ∵△CED∽△BAD，∴
∵CE＝1.6 m，DC＝2.5 m，DB＝7.5 m，∴AB＝＝4.8（m）.
∴路灯AB的高度为4.8 m。
友情提示 （1）中心投影中，点光源、物体边缘的点和对应的影子上的点在同一条直线上.（2）熟练地应用相似三角形的性质是解决此类问题的关键.
变式4 如图所示，已知李明的身高为1.8m，他在路灯下的影长为2m，路灯灯泡距地面的高度为4.5m，求李明距灯杆底部的距离.
巩固提高
1.如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（ ）
A.越来越小 B.越来越大 C.大小不变 D.不能确定
第1题图 第2题图
2.如图所示，路灯S距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（ ）
A.增加1.5米 B.减小1.5米 C.增加3.5米 D.减小3.5米
3.如图所示，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子 （ ）
A.逐渐变短 B.逐渐变长 C.先变短后变长 D.先变长后变短
第3题图 第4题图
4.如图所示，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是2.7 m，则AB与CD间的距离是________ m.
5.如图所示，试确定路灯灯泡的位置，并画出此时小赵在路灯下的影子.
6.请你确定出图中路灯灯泡的位置，并用线段表示小明在该路灯下的影长.
7.设桌子正上方有一盏电灯，距离地面100厘米，桌子高30厘米，如果桌子的长为60厘米，宽为35厘米，那么桌面被电灯照射后的影子是多少平方厘米？影子周长是多少厘米？
8.如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
9.如图所示，墙壁CD上有一盏灯，小明站在A处测得影长与身长都为1.6m，小明向墙壁走了1m到达B处，发现影子刚好落在A点.求灯泡与地面的距离CD.
体验中考
1.（永州中考）圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A.0.324πm2 B.0.288πm2 C.1.08πm2 D.0.72πm2
第1题图 第2题图
2.（北京中考）如图所示，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为______ m.
3.（茂名中考）如图所示，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB，CD.
（1）请你在图中画出路灯所在位置（用点P表示）；
（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段EF表示）.
参考答案
A 2. D 3. ①③④ 4. 变小
5.解:（1）如图所示，点O和FH即为所作；
（2）BM＝BD＝2×1.5＝3（m），GD＝1.2（m），
DF＝1.5×1.5×2＝4.5（m）.
设AB＝CD＝EF＝a，如图所示，作OK⊥MN于点K.
∵AB∥OK，∴△MAB∽△MOK.∴，即①。
∵CD∥OK，∴△GCD∽△GOK.∴，即＝②.
由①②得，解得DK＝2（m）。∴。
FK＝DF－DK＝4.5－2＝2.5.∵EF∥OK，∴△HEF∽△HOK.
∴，即。∴HF＝1.5（m）.
答:小明到达点F时的影长FH的长为1.5m.
6.解:（1）如图所示，R即为光源所在的位置，QN即为PQ在地面的影子；
（2）如图所示，分别延长FD，EA交于点S.
在Rt△ADS中，∠ADS＝90°，∠DAS＝60°，∴∠S＝30°。
又∵AD＝1（米），∴AS＝2（米）。∴ES＝AS＋AE＝2＋2＝4（米）。
在Rt△EFS中，∠FES＝90°，
EF＝ES·tan∠FSE＝4·tan30°＝4×＝（米）。
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第四章 投影与视图
4.1 投影
第1课时
知识梳理
知识点1 投影现象
物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是________现象。
影子所在的平面称为_____________。
知识点2 中心投影
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为___________。
知识点3 中心投影光线及光源的确定
如图所示，过一棵小树的顶端及其影子的顶端作_____________，再过另一棵小树的顶端及其影子的顶端作_____________，这两条直线即为形成树影的光线，这两条直线的_________________即为光源的位置。
知识点4 中心投影的特征
如图1所示，在灯光下，甲、乙两个等高的物体垂直于地面放置，此时甲、乙两个物体的影长的关系为___________。
如图2所示，在灯光下，甲、乙两个等长的物体平行于地面放置，甲、乙两个物体的影长的关系为___________。
（1）等高的物体垂直放置于地面时，在低于点光源的情况下，离点光源近的物体的影子____________，离点光源远的物体的影子_____________。
（2）等长的物体平行于地面放置时，在低于点光源的情况下，离地面越远，影子越__________；离地面越近，影子越_________，但不会比物体本身的长度还短。
（3）两条对应点的连线的交点为光源的位置。
（4）中心投影不能反映原物体的真实形状和大小。
考点突破
考点1 确定中心投影
典例1 如图所示，已知甲、乙两棵小树在路灯下的影子。
（1）确定路灯灯泡的位置；
（2）画出小树丙的影子。
思路导析: 过甲树的顶端和其影子的顶端作直线，过乙树的顶端和其影子的顶端作直线，两条直线的交点就是路灯灯泡所在的位置，过路灯灯泡的位置和丙树的顶端作一条直线，就可画出丙树的影子。
解:（1）如图所示，点A是路灯灯泡的位置；
（2）如图所示，线段BC为小树丙的影子。
友情提示 （1）在中心投影下，点光源、物体的点及影子上的对应点在同一条直线上；（2）必须由空间的两条光线才能确定一个点光源，在确定这个点光源时，应紧紧抓住物体的顶端和其影子的顶端两个关键点；（3）先确定出点光源的位置，再确定出小树丙的影子。
变式1 小红和小明在同一路灯下玩耍，两人的身高和影子的情况如图所示，你能根据此图确定出路灯灯泡的位置吗？
变式2 某天夜晚，两辆汽车同一时刻在路灯下的影子如图所示。
（1）确定路灯灯泡的位置；
（2）画出行人的影子（两汽车、行人在同一平面内）。
变式3 已知小明、小红、李涛在路灯下的影子如图所示。
（1）确定路灯灯泡的位置；
（2）画出表示李涛身高的线段.
考点2 中心投影在生活中的应用
典例2 如图所示，身高为1.6m的小华站在距离路灯杆5m的C处，测得他在灯光下的影长CD为2.5 m.你能求出路灯AB的高度吗？
思路导析: 由中心投影知识可知△CED∽△BAD，可得。
解: ∵△CED∽△BAD，∴
∵CE＝1.6 m，DC＝2.5 m，DB＝7.5 m，∴AB＝＝4.8（m）.
∴路灯AB的高度为4.8 m。
友情提示 （1）中心投影中，点光源、物体边缘的点和对应的影子上的点在同一条直线上.（2）熟练地应用相似三角形的性质是解决此类问题的关键.
变式4 如图所示，已知李明的身高为1.8m，他在路灯下的影长为2m，路灯灯泡距地面的高度为4.5m，求李明距灯杆底部的距离.
巩固提高
1.如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（ ）
A.越来越小 B.越来越大 C.大小不变 D.不能确定
第1题图 第2题图
2.如图所示，路灯S距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（ ）
A.增加1.5米 B.减小1.5米 C.增加3.5米 D.减小3.5米
3.如图所示，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子 （ ）
A.逐渐变短 B.逐渐变长 C.先变短后变长 D.先变长后变短
第3题图 第4题图
4.如图所示，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是2.7 m，则AB与CD间的距离是________ m.
5.如图所示，试确定路灯灯泡的位置，并画出此时小赵在路灯下的影子.
6.请你确定出图中路灯灯泡的位置，并用线段表示小明在该路灯下的影长.
7.设桌子正上方有一盏电灯，距离地面100厘米，桌子高30厘米，如果桌子的长为60厘米，宽为35厘米，那么桌面被电灯照射后的影子是多少平方厘米？影子周长是多少厘米？
8.如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
9.如图所示，墙壁CD上有一盏灯，小明站在A处测得影长与身长都为1.6m，小明向墙壁走了1m到达B处，发现影子刚好落在A点.求灯泡与地面的距离CD.
体验中考
1.（永州中考）圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A.0.324πm2 B.0.288πm2 C.1.08πm2 D.0.72πm2
第1题图 第2题图
2.（北京中考）如图所示，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为______ m.
3.（茂名中考）如图所示，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB，CD.
（1）请你在图中画出路灯所在位置（用点P表示）；
（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段EF表示）.
参考答案
A 2. D 3. ①③④ 4. 变小
5.解:（1）如图所示，点O和FH即为所作；
（2）BM＝BD＝2×1.5＝3（m），GD＝1.2（m），
DF＝1.5×1.5×2＝4.5（m）.
设AB＝CD＝EF＝a，如图所示，作OK⊥MN于点K.
∵AB∥OK，∴△MAB∽△MOK.∴，即①。
∵CD∥OK，∴△GCD∽△GOK.∴，即＝②.
由①②得，解得DK＝2（m）。∴。
FK＝DF－DK＝4.5－2＝2.5.∵EF∥OK，∴△HEF∽△HOK.
∴，即。∴HF＝1.5（m）.
答:小明到达点F时的影长FH的长为1.5m.
6.解:（1）如图所示，R即为光源所在的位置，QN即为PQ在地面的影子；
（2）如图所示，分别延长FD，EA交于点S.
在Rt△ADS中，∠ADS＝90°，∠DAS＝60°，∴∠S＝30°。
又∵AD＝1（米），∴AS＝2（米）。∴ES＝AS＋AE＝2＋2＝4（米）。
在Rt△EFS中，∠FES＝90°，
EF＝ES·tan∠FSE＝4·tan30°＝4×＝（米）。
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