北师大版九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程 同步测试题（word版，有答案）

10617200107442001231900002.5 二次函数与一元二次方程 同步测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）
?1. 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴的交点的个数是（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
?
2. 二次函数y=kx2-6x+7的图象过点(1,?2)，且与x轴有两个交点A(x1,?0)，B(x2,?0)，则x1x2的值是（ ）
A.1 B.3 C.6 D.7
?
3. 如图，二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+b的图象交于A(1,?0)，B(-2,?-3)两点，若y1>y2，则x的取值范围是（ ）
A.x<-2 B.-21 D.x<-2或x>1
?
4. 抛物线y=x2+3x-4与x轴交点的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.0个 D.3个
?
5. 抛物线y=-3x2+2x-1与坐标轴的交点个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
?
6. 如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（ ）

A.x>3 B.x<-1 C.-13或x<-1
?
7. 如图，已知直线y=kx+b(k>0)与抛物线y=x2交于A、B两点（A、B两点分别位于第二和第一象限），且A、B两点的纵坐标分别是1和9，则不等式x2-kx-b>0的解集为（ ）
A.-13 C.19
?
8. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（ ）
A.m≥-2 B.m≥5 C.m≥0 D.m>4
?
9. 如图，已知二次函数y1=23x2-43x的图象与正比例函数y2=23x的图象交于点A(3,?2)，与x轴交于点B(2,?0)，若y1 A.03 C.2?
10. 小明利用二次函数的图象估计方程x2-2x-2=0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2-2x-2=0必有一个实数根在（ ）
x
1.5
2
2.5
3
3.5
x2-2x-2
-2.75
-2
-0.75
1
3.25
A.1.5和2之间 B.2和2.5之间 C.2.5和3之间 D.3和3.5之间
二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ， ） ?
11. 如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,?4)，B(1,?1)，则关于x的不等式ax2>bx+c的解集为________．
?
12. 抛物线y=x2-4x+c与x轴交于A、B两点，己知点A的坐标为(1,?0)，则线段AB的长度为________．
?
13. 已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式-x2+2x+m<0的解集为________．
?
14. 已知二次函数y=-x2-2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2-2x+m=0的解为________.
15. 抛物线y=ax2+b+c的部分图象如图所示，则当y<0时，x的取值范围是________． ?
16. 已知二次函数y=-x2+4x+m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程-x2+4x+m=0的解是________．
17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+m(k≠0)与抛物线y2＝ax2+bx+c(a≠0)交于点A(0,?4)，B(3,?1)，当?y1≤y2时，x的取值范围是________．

三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，共计69分 ， ）
?18 利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根．
?
19 已知二次函数y=-x2+2bx的图象经过原点及x轴上正半轴另一点A，设此二次函数图象的顶点为B．
（1）若△OAB是等腰直角三角形，求b的值；
（2）利用二次函数y=-x2+2bx的图象，试求不等式-x2+2bx+3>0的解集．
?
20 已知二次函数y=x2-4x-5，画出这个二次函数的图象，根据图象回答下列问题：
(1)方程x2-4x-5=0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？
?
21 如图，抛物线y=-12x2+bx+c 与轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=-12x+2 经过点 A，C．
（1)求抛物线的解析式．
(2)点P为直线AC上方抛物线上一动点上．
①连结PO，交AC于点E，求?PEEO??的最大值．
②过点P作PF⊥AC垂足为点F，连结PC，是否存在点P，使△PFC中的一个角等于∠CAB的2倍?
若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
?
22. 如图，二次函数y=x2-2x-3的图象与两坐标轴分别交于A，B，C三点，一次函数的图象与抛物线交于B，C两点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）当两函数的函数值都随着x的增大而增大，求x的取值范围；
（3）当自变量x满足什么范围时，一次函数值大于二次函数值．
?
23 我们可以用如下方法解不等式(x-1)(x+1)>0．
第一步：画出函数y=(x-1)(x+1)的图象；
第二步：找出图象与x轴的交点坐标，即交点坐标为(1,?0)，(-1,?0)；
第三步：根据图象可知，在x<-1或x>1时，y的值大于0．因此可得不等式(x-1)(x+1)>0的解集为x<-1或x>1．
请你仿照上述方法，求不等式x2-4<0的解集．
?
24 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0)、B(1,0)、C三点， 且C点为抛物线与y轴的交点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接BC，过点A作AP//BC交抛物线于点P，求以点A、P、B、C为顶点的四边形的面积；
(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是“ 否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A，M，G三点为顶点的三角形与△PCA相似? 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
1.
【答案】
B
【解答】
解：当y=0时，x2-1=0，
∵ Δ=02-4×1×(-1)=4>0，
∴ 方程x2-1=0有两个不相等的实数根，
即抛物线y=x2-1与x轴有两个交点.
故选B．
2.
【答案】
D
【解答】
解：
∵ 二次函数过点(1,?2)，
∴ k-6+7=2，解得k=1，
∴ 抛物线解析式为y=x2-6x+7，
令y=可得x2-6x+7=0，
由题意可知x1和x2是该方程的两根，
∴ x1x2=7，
故选D．
3.
【答案】
D
【解答】
解：观察图象可知：抛物线y1与直线y2的交点横坐标是-2，1，
故当x<-2或x>1时，y1>y2．
故选：D．
4.
【答案】
B
【解答】
解：当与x轴相交时，函数值为0．即x2+3x-4=0，
△=b2-4ac=32-4×1×(-4)=25>0，
∴ 有2个不相等的实数根，
∴ 抛物线y=x2+3x-4与x轴有2个交点，
故选：B．
5.
【答案】
B
【解答】
解：∵ △=22-4×(-3)×(-1)=-8<0，
∴ 抛物线与x轴没有交点，
而抛物线y=-3x2+2x-1与y轴的交点为(0,?-1)，
∴ 抛物线y=-3x2+2x-1与坐标轴的交点个数为1．
故选B．
6.
【答案】
D
【解答】
抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为：(-1,?0)，
从图象看，不等式ax2+bx+c<0的解集是：x>3或x<-1，
7.
【答案】
B
【解答】
解：由x2-kx-b>0得x2>kx+b，
∵ A、B两点的纵坐标分别是1和9，
∴ 点A的横坐标为-1，点B的横坐标为3，
当x<-1或x>3时，抛物线图象在直线图象上方，
故不等式x2-kx-b>0的解集为x<-1或x>3．
故选B．
8.
【答案】
A
【解答】
解：一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，
可以理解为y=ax2+bx+c和y=m有交点，
可见，m≥-2，
故选：A．
9.
【答案】
D
【解答】
解：如图所示：若y1此时x的取值范围是：0故选：D．
10.
【答案】
C
【解答】
解：根据表格得，当2.5则方程x2-2x-2=0必有一个实数根在2.5和3之间．
故选C．
二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）
11.
【答案】
x>1或x<-2
【解答】
解：∵ 抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,?4)，B(1,?1)，
∴ 关于x的不等式ax2>bx+c的解集为x>1或x<-2，
故答案为：x>1或x<-2．
12.
【答案】
2
【解答】
解：∵ 抛物线y=x2-4x+c=(x-2)2-4+c，
∴ 抛物线的对称轴为直线x=2，
∵ 点A的坐标为(1,?0)，
∴ 点B的坐标为(3,?0)，
∴ 线段AB=3-1=2，
故答案为2．
13.
【答案】
x<-1或x>3
【解答】
解：由图可知，对称轴为直线x=1，
所以，二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,?0)，
所以，-x2+2x+m<0的解集为x<-1或x>3．
故答案为：x<-1或x>3．
14.
【答案】
x1=-3，x2=1
【解答】
解：由图象可得，
二次函数y=-x2-2x+m与x轴的一个交点为(-3,0)，且对称轴为x=-1，
所以与x轴的另一个交点为(1,0)，
所以关于x的一元二次方程-x2-2x+m=0的解为
二次函数y=-x2-2x+m与x轴的交点的横坐标，
即x1=-3，x2=1.
故答案为：x1=-3，x2=1.
15.
【答案】
x<-1或x>3
【解答】
解：∵ 抛物线与x轴的一个交点坐标是(-1,?0)，对称轴是直线x=1，
∴ 抛物线与x轴另一交点的坐标是(3,?0)，
∴ 当y<0时，x<-1或x>3．
故答案为：x<-1或x>3．
16.
【答案】
x1=-1，x2=5
【解答】
解：根据图示知，
二次函数y=-x2+4x+m的对称轴为x=2，与x轴的一个交点为(5,?0)，
根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一个交点横坐标与点(5,?0)关于对称轴对称，即x=-1，
则另一交点坐标为(-1,?0)
则当x=-1或x=5时，函数值y=0，
即-x2+4x+m=0，
故关于x的一元二次方程-x2+4x+m=0的解为
x1=-1，x2=5．
故答案为：x1=-1，x2=5．
17.
【答案】
0≤x≤3
【解答】
∵ 两函数图象交于点A(0,?4)，B(3,?1)，
∴ 当?y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．
18.
【答案】
4
【解答】
解：①由y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(-2,?0)得：
a×(-2)2+b×(-2?)+c=0，
即4a-2b+c=0，
所以①正确；
②由图象开口向下知a<0，
由y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点
坐标为(x1,?0?)，且1则该抛物线的对称轴为x=-b2a=(-2)+x12>-12，
即ba<1，
由a<0，两边都乘以a得：b>a，
∵ a<0，对称轴x=-b2a<0，
∴ b<0，
∴ a③由一元二次方程根与系数的关系知x1.x2=ca<-2，
结合a<0得2a+c>0，
所以结论③正确，
④由4a-2b+c＝0得2a-b=-c2，
而0∴ -1<-c2<0，
∴ -1<2a-b<0，
∴ 2a-b+1>0，所以结论④正确．
故答案为：4.
三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）
19.
【答案】
解：如图，
图象与x轴的交点坐标是(-0.2,?0)(2.2,?0)，
一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根x1≈-0.2，x2≈2.2．
【解答】
解：如图，
图象与x轴的交点坐标是(-0.2,?0)(2.2,?0)，
一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根x1≈-0.2，x2≈2.2．
20.
【答案】
解：（1）∵ △OAB是等腰直角三角形，
∴ 设B点横坐标为：a，则OA=2a，
故B点纵坐标为；(a,?a)，
则a=-a2+2ba，-2b2×(-1)=a，则a=b，
故整理得：a2-a=0，
解得：a1=0（不合题意舍去），a2=1，
故b=1；
（2）由（1）得：y=-x2+2x，
则y=-x2+2x+3是y=-x2+2x向上平移3个单位得到的，
故y=0时，0=-x2+2x+3
解得：x1=-1，x2=3，
如图所示：不等式-x2+2bx+3>0的解集为：-1【解答】
解：（1）∵ △OAB是等腰直角三角形，
∴ 设B点横坐标为：a，则OA=2a，
故B点纵坐标为；(a,?a)，
则a=-a2+2ba，-2b2×(-1)=a，则a=b，
故整理得：a2-a=0，
解得：a1=0（不合题意舍去），a2=1，
故b=1；
（2）由（1）得：y=-x2+2x，
则y=-x2+2x+3是y=-x2+2x向上平移3个单位得到的，
故y=0时，0=-x2+2x+3
解得：x1=-1，x2=3，
如图所示：不等式-x2+2bx+3>0的解集为：-121.
【答案】
解：给出x的部分值，求出相应的y值，
列成如下表格：
按照表格中的数据在平面直角坐标系内，作出5个点：
A(-1,?0)、C(0,?5)、D(2,?-9)、E(4,?-5)、B(5,?0)，
用平滑的曲线将5个点连接起来，即得函数的图象．
(1)由图象可知：x1=-1，x2=5．
(2)由图象可知：当x<-1或x>5时，y>0；
当-1【解答】
解：给出x的部分值，求出相应的y值，
列成如下表格：
按照表格中的数据在平面直角坐标系内，作出5个点：
A(-1,?0)、C(0,?5)、D(2,?-9)、E(4,?-5)、B(5,?0)，
用平滑的曲线将5个点连接起来，即得函数的图象．
(1)由图象可知：x1=-1，x2=5．
(2)由图象可知：当x<-1或x>5时，y>0；
当-122.
【答案】
解：(1)对于y=-12x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=4，
∴ A(4,0),C(0,2)．
∵ 抛物线y=-12x2+bx+c经过点A(4,0),C(0,2)，
∴ -8+4b+c=0，c=2，
解得b=-32，c=2．
故抛物线的解析式为y=-12x2+32x+2．
(2)①如图(1)，过点P作PN⊥x轴于点N，交直线AC于点M，
则PN//y轴，
∴ ∠PME=∠OCE，
又∵ ∠PEM=∠OEC，
∴ △PEM?△OEC，
∴ PEEO=PMOC．
∵ C(0,2)，
∴ OC=2．
设点P的坐标为(t,-12t2+32t+2)，
则点Mt,-12t+2，
∴ PM=-12t2+32t+2--12t+2=-12t2+2t，
∴ PEEO=-14t2+t=-14(t-2)2+1．
∵ -14<0,0∴ 当t=2时，PEEO有最大值1．
②存在，
易得∠PFC≠2∠CAB，分以下两种情况．
当∠PCF=2∠CAB时，如图(2)，在y轴上取点D，使点C于点D关于x轴对称，连结AD，
则∠CAB=∠DAB，点D的坐标为(0,-2)．
∴ ∠PCF=∠CAD，
∴ PC//AD，
设直线AD的解析式为y=kx+d，
则d=-2，4k+d=0，
解得k=12，d=-2．
故直线AD的解析式为y=12x-2，直线PC的解析式为y=12x+2．
令-12x2+32x+2=12x+2，
整理，得x2-2x=0，
解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=2．
当x=2时，y=-12×22+32×2+2=3，
故点P的坐标为(2,3)．
当∠CPF=2∠CAB时，如图(3)，过点C作CH⊥AD于点H，过点A作AG⊥CP，交CP的延长线于点G，
易得∠ACP=∠ACH，
从而可得AG=AH,CG=CH．
由勾股定理可得AC=AD=25，
由三角形面积公式可得12AD?CH=12CD?OA，
即12×25CH=12×4×4，
解得CH=85．
由勾股定理得AH=65，
∴ CG=85,AG=65．
过点G作GQ⊥x轴于点Q，作GR⊥y轴于点R，
设点G的坐标为(m,n)，则GH=m,GQ=n．
在Rt△GAQ和Rt△GCR中，
由勾股定理得(4-m)2+n2=652，m2+(n-2)2=852，
解得m1=8825，n1=6625，m2=85，n2=-65，(不合题意，舍去)
设直线CG的解析式为y=k1x+e，
将C(0,2) G8825,6625分别代入，
得e=2，8825k1+e=6625，
解得k1=211，e=2，
故直线CG的解析式为y=211x+2．
令-12x2+32x+2=211x+2，
整理，得11x2-29x=0，
解得x1=2911,x2=0，(不合题意，舍去)．
在y=211x+2，
当x=2911时，y=211×2911+2=300121，
故点P的坐标为2911,300121．
综上，点P的坐标为(2,3)或2911,300121．
【解答】
解：(1)对于y=-12x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=4，
∴ A(4,0),C(0,2)．
∵ 抛物线y=-12x2+bx+c经过点A(4,0),C(0,2)，
∴ -8+4b+c=0，c=2，
解得b=-32，c=2．
故抛物线的解析式为y=-12x2+32x+2．
(2)①如图(1)，过点P作PN⊥x轴于点N，交直线AC于点M，
则PN//y轴，
∴ ∠PME=∠OCE，
又∵ ∠PEM=∠OEC，
∴ △PEM?△OEC，
∴ PEEO=PMOC．
∵ C(0,2)，
∴ OC=2．
设点P的坐标为(t,-12t2+32t+2)，
则点Mt,-12t+2，
∴ PM=-12t2+32t+2--12t+2=-12t2+2t，
∴ PEEO=-14t2+t=-14(t-2)2+1．
∵ -14<0,0∴ 当t=2时，PEEO有最大值1．
②存在，
易得∠PFC≠2∠CAB，分以下两种情况．
当∠PCF=2∠CAB时，如图(2)，在y轴上取点D，使点C于点D关于x轴对称，连结AD，
则∠CAB=∠DAB，点D的坐标为(0,-2)．
∴ ∠PCF=∠CAD，
∴ PC//AD，
设直线AD的解析式为y=kx+d，
则d=-2，4k+d=0，
解得k=12，d=-2．
故直线AD的解析式为y=12x-2，直线PC的解析式为y=12x+2．
令-12x2+32x+2=12x+2，
整理，得x2-2x=0，
解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=2．
当x=2时，y=-12×22+32×2+2=3，
故点P的坐标为(2,3)．
当∠CPF=2∠CAB时，如图(3)，过点C作CH⊥AD于点H，过点A作AG⊥CP，交CP的延长线于点G，
易得∠ACP=∠ACH，
从而可得AG=AH,CG=CH．
由勾股定理可得AC=AD=25，
由三角形面积公式可得12AD?CH=12CD?OA，
即12×25CH=12×4×4，
解得CH=85．
由勾股定理得AH=65，
∴ CG=85,AG=65．
过点G作GQ⊥x轴于点Q，作GR⊥y轴于点R，
设点G的坐标为(m,n)，则GH=m,GQ=n．
在Rt△GAQ和Rt△GCR中，
由勾股定理得(4-m)2+n2=652，m2+(n-2)2=852，
解得m1=8825，n1=6625，m2=85，n2=-65，(不合题意，舍去)
设直线CG的解析式为y=k1x+e，
将C(0,2)?G8825,6625分别代入，
得e=2，8825k1+e=6625，
解得k1=211，e=2，
故直线CG的解析式为y=211x+2．
令-12x2+32x+2=211x+2，
整理，得11x2-29x=0，
解得x1=2911,x2=0，(不合题意，舍去)．
在y=211x+2，
当x=2911时，y=211×2911+2=300121，
故点P的坐标为2911,300121．
综上，点P的坐标为(2,3)或2911,300121．
23.
【答案】
解：（1）∵ 令x=0，则y=-3，
∴ C(0,?-3)．
∵ 令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
∴ A(-1,?0)，B(3,?0)．
（2）∵ 由（1）知，A(-1,?0)，B(3,?0)，
∴ 抛物线的对称轴为直线x=3-12=1，
∴ 当x>1时，两函数的函数值都随着x的增大而增大；
（3）∵ 由函数图象可知，当0∴ 当0【解答】
解：（1）∵ 令x=0，则y=-3，
∴ C(0,?-3)．
∵ 令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
∴ A(-1,?0)，B(3,?0)．
（2）∵ 由（1）知，A(-1,?0)，B(3,?0)，
∴ 抛物线的对称轴为直线x=3-12=1，
∴ 当x>1时，两函数的函数值都随着x的增大而增大；
（3）∵ 由函数图象可知，当0∴ 当024.
【答案】
解：如图，不等式x2-4<0的解集是-2【解答】
解：如图，不等式x2-4<0的解集是-225.
【答案】
解：(1)∵ 抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)、B(1,0)，
∴ 1-b+c=01+b+c=0，解得b=0c=-1，
∴ 抛物线额的表达式为y=x2-1；
(2)将x=0代入y=x2-1，得y=-1，
∴ C(0,-1),OC=1
∵ OA=OB=OC=1
∴ ∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45?
∵ AP//BC
∴ ∠PAB=∠ABC=45?，
如解图①，过点P作PE⊥x轴于点E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=AE=a+1，
∴ P(a,a+1)，
∵ 点P在抛物线y=x2-1上，
∴ a+1=a2-1，
解得a1=2,a2=-1(不合题意，舍去)，
∴ PE=3，
∴ S四边形ACBP=SΔABC+S△ABP=12AB?OC+12AB?PE=12×2×1+12×2×3=4；
(3)存在，
如解图②，
∵ ∠PAB=∠BAC=45?，
∴ PA⊥AC，
∴ ∠MGA=∠PAC=90?，
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴ AC=OA2+OC2=2，
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴ AP=AE2+PE2=32，
设M点横坐标为m，则M(m,m2-1)，
∵ 点M在x轴上方抛物线上，
∴ m2-1>0，
∴ m<-1或m>1，
①当M在y轴左侧时，则m<-1．
(i)当△AMG?△PCA时，有AGPA=MGCA，
∵ AG=-m-1，MG=m2-1，
∴ -m-132=m2-12，
解得m1=-1(舍去)，m2=23(舍去)；
(ii)当△MAG?△PCA时，有AGCA=MGPA，
即-m-12=m2-132，
解得m1=-1(舍去)，m2=-2，
∴ M(-2,3)；
②点M在y轴右侧时，则m>1，
(i)当△AMG?△PCA时，有AGPA=MGCA，
∵ AG=m+1,MG=m2-1，
∴ m+132=m2-12，解得m1=-1?(舍去），m2=43，
∴ M(43,79)；
(ii)当△MAG?△PCA时，有AGCA=MGPA，
即m+12=m2-132，解得m1=-1(舍去)，m2=4，
∴ M(4,15)，
综上所述，存在点M，使以A，M，G三点为顶点的三角形与△PCA相似，点M的坐标为(-2,3)或(43,79)或(4,15)．
【解答】
解：(1)∵ 抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)、B(1,0)，
∴ 1-b+c=01+b+c=0，解得b=0c=-1，
∴ 抛物线额的表达式为y=x2-1；
(2)将x=0代入y=x2-1，得y=-1，
∴ C(0,-1),OC=1
∵ OA=OB=OC=1
∴ ∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45?
∵ AP//BC
∴ ∠PAB=∠ABC=45?，
如解图①，过点P作PE⊥x轴于点E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=AE=a+1，
∴ P(a,a+1)，
∵ 点P在抛物线y=x2-1上，
∴ a+1=a2-1，
解得a1=2,a2=-1(不合题意，舍去)，
∴ PE=3，
∴ S四边形ACBP=SΔABC+S△ABP=12AB?OC+12AB?PE=12×2×1+12×2×3=4；
(3)存在，
如解图②，
∵ ∠PAB=∠BAC=45?，
∴ PA⊥AC，
∴ ∠MGA=∠PAC=90?，
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴ AC=OA2+OC2=2，
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴ AP=AE2+PE2=32，
设M点横坐标为m，则M(m,m2-1)，
∵ 点M在x轴上方抛物线上，
∴ m2-1>0，
∴ m<-1或m>1，
①当M在y轴左侧时，则m<-1．
(i)当△AMG?△PCA时，有AGPA=MGCA，
∵ AG=-m-1，MG=m2-1，
∴ -m-132=m2-12，
解得m1=-1(舍去)，m2=23(舍去)；
(ii)当△MAG?△PCA时，有AGCA=MGPA，
即-m-12=m2-132，
解得m1=-1(舍去)，m2=-2，
∴ M(-2,3)；
②点M在y轴右侧时，则m>1，
(i)当△AMG?△PCA时，有AGPA=MGCA，
∵ AG=m+1,MG=m2-1，
∴ m+132=m2-12，解得m1=-1?(舍去），m2=43，
∴ M(43,79)；
(ii)当△MAG?△PCA时，有AGCA=MGPA，
即m+12=m2-132，解得m1=-1(舍去)，m2=4，
∴ M(4,15)，
综上所述，存在点M，使以A，M，G三点为顶点的三角形与△PCA相似，点M的坐标为(-2,3)或(43,79)或(4,15)．