5.4三角函数的单调性与最值 同步学案

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三角函数的单调性与最值学案
一．学习目标
1.掌握，的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值；
2.掌握，的单调性，并能利用单调性比较大小；
3.会求函数及的单调区间，并能够利用三角函数的单调性解决相应的问题。
二．基础知识梳理
1.三角函数的性质：
函数
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
单调性
单调递增区间
单调递减区间
/
最值
最大值1
/
最小值
/
思考：和在区间(其中)上都是减函数，你能确定的最小值、的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知
2.课前预习：
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在上是增函数．
(　　)
(2)函数，的最大值为0.
(　　)
[提示]　(1)错误．在上是增函数，在上是减函数．
(2)正确．函数在上为减函数，故当时，取最大值0.
2.函数在区间上是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．先减后增函数
D．先增后减函数
[因为在区间上先增后减，所以在区间上先减后增．故而答
案为C。]
3.函数的值域为
．
因为，所以，即所求的值域为
4.函数取得最大值时的取值集合为
．
当时，取得最大值，此时
5.函数，的最大值一定是吗？
提示：不是．因为时最大值为，若时最大值应为.
三．典例分析与性质总结
题型1：三角函数单调区间的求解
例1：求下列函数的单调区间．
(1)；(2)；(3)；
方法提炼：
求形如或形如(其中，，为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得。
题型2：复合型三角函数的单调区间求解
复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律，在求解的过程中需要注意定义域的限制作用。
例2：求下列函数的单调递增区间。
(1)；(2)；
方法提炼：
用整体替换法求函数或的单调区间时，如果式子中的系数是负数，先利用诱导公式将的系数变为正数再求单调区间，求单调区间时需将最终结果写成区间的形式。
求函数的单调性时可将看成一个整体，利用的单调性求解，但需注意的正负性对函数单调性的影响。
具体求解时注意两点：①要把看作一个整体，若，先用诱导公式将式子变形，将的系数化为正；②在，时，将“”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当，时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间。
题型3：三角函数值比较大小
例3：比较下列各组中函数值的大小：
(1)与；
(2)与；(3)与
例4：已知为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(　　)
A．
B．
C．
D．
思路导引：
1.利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于正切函数来说，一般将两个角转化到内。
2.比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上；
3.自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦以及正切函数的单调性来比较大小。
题型4：三角函数的最值问题
命题视角1：利用三角函数的有界性与单调性求值域（或最值）
例5：视角1：求下列函数的值域：
(1)，；
(2).
思路导引：
形如或的三角函数值域或最值问题，要注意的取值范围；一般情况下先利用的取值范围，求出的范围，再求三角函数的值域或最值。
命题视角2：化为或函数求值域(或最值)
视角2：求使下列函数取得最大值和最小值时的的值，并求出函数的最大值和最小值：
(1)；
(2)
思路导引：
形如的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题.要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当时，，对值域的影响。
总结：三角函数最值问题的常见类型及求解方法：
1.，利用换元思想设，转化为二次函数求最值，的范围需要根据定义域来确定。
2.，可先由定义域求得的范围，然后求得的范围，最后得最值。
题型5：三角函数图像与性质的综合应用
例6：已知
(1)当有实数解时，求实数的取值范围；
(2)若对，恒有，求实数的取值范围．
例7：设函数，已知函数的图象与轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称。
(1)求的解析式；
(2)求的单调区间；
(3)求不等式的解集。
思路导引：
三角函数也是函数的一种，所以在解决三角函数的有关问题时，函数的基本题型得到解题思路也应该熟悉，并能够运用到三角函数的解题过程中；例如对称性、恒成立、方程有解等问题。
四．变式演练与提高
1.函数，的单调递减区间为
．
2．函数在区间上为增函数，则的取值范围是
．
3.比较大小：
(1)与；(2)与
4.求函数，的最大、最小值及相应的值．
5.求函数，的最大值和最小值。
6.已知函数图象的一个对称中心为点，若，求的值。
五．反思总结
1．理解2个知识点——三角函数的单调性、最值
(1)确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行．
(2)函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形．
2．掌握3种方法
(1)求函数单调区间的方法
把看成一个整体，由解出的范围，所得区间即为单调增区间，由解出的范围，所得区间即为单调减区间；若，先利用诱导公式把
转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间。
(2)比较三角函数值的大小
先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断。
(3)求三角函数值域或最值的常用方法：
将表示成以(或)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定的范围．
3．规避2个误区
(1)单调区间漏写；(2)求值域时忽视本身具有的范围限制．
六．课后作业
1．函数的一个单调递减区间是(　　)
A．
B．
C．
D．
2.已知函数，则它的单调减区间为
．
3.求函数的单调递增区间．
4.下列关系式中正确的是(　　)
A．
B．
C．
D．
5.
(填“＞”或“＜”)．
6.下列函数中，在区间上恒正且是增函数的是(　　)
A．
B．
C．
D．
7.若有意义，则的取值范围是
．
8.函数的一个递减区间是(　　)
A.
B．
C.
D.
9.求下列函数的值域：
(1)，；
(2)
七．参考答案
例1：解析：
(1)令，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
由，得
所以函数的单调递增区间是
由，得
所以函数的单调递增区间是
(2)令，解得．
∴原函数的单调递减区间是．
令，解得．
∴原函数的单调递减区间是
(3)由，得；
所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间。
例2：解析：
(1)∵是对数的真数，∴.①
∵以为底的对数函数是单调递减的，∴要求的单调递增区间，需求的
单调递减区间．②
∵同时满足①②的的取值范围为，
∴
故所求函数的单调递增区间为．
(2)，
令，得．
∴原函数的单调递增区间是．
例3：解析：
[分析]　利用诱导公式将异名三角函数转化为同名三角函数，非同一单调区间上的角转化到同一单调区间上，利用函数的单调性来比较。
(1)，
∵，在上是增函数；
∴，即
(2)，
∵，在上是增函数；∴
从而，即
(3)由于，，
又，而在上单调递增，
所以，所以，即
例4：解析：
为锐角三角形的两个内角，，，，；
所以
例5：解析：
视角1：
(1)∵，
∴
令，
又在上单调递增，∴，∴；
在上单调递减，∴，∴，
∴函数的值域为．
(2)∵
又时，，
∴函数的值域为．
视角2：
(1)
因为，
当，即，时，函数取得最小值，；
当，即，时，函数取得最小值，
(2)
∵，∴
∴当，即时，函数取得最大值，；
当，即时，函数取得最小值，
例6：解析：
(1)由，得
当时，；当时，.
∴实数的取值范围为
(2)由，得
即，且对恒成立．
由，得.
由，得；故，
∴实数的取值范围为．
例7：解析：
(1)由题意，知函数的最小正周期，即.
因为，所以.从而
因为函数的图象关于点对称，所以，即
因为，所以；故
(2)令，得
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间．
(3)由(1)，知
由，得
即
所以不等式的解集为
四．变式演练与提高
1.解析：
由，得
又，所以函数的单调递减区间为、
2.解析：
[思路点拨]　(1)确定的范围→在区间上为增函数→在区间上是增函数，在区间上是减函数→的范围．
因为在上是增函数，在上是减函数，所以只有时满足条件，故
3.解析：
(1)，
∵，在上是减函数
∴，∴
∴
(2)由于，，
又，而在上单调递增，
所以，所以
4.解析：
因为，所以，，从而
所以当，即，时，
当，即，时，.
综上所述，当时，；当时，
5.解析：
∵，∴.
当时，；
当时，
6.解析：
因为函数图象的对称中心为点，所以的其中一个解为，得；
又，当时，，当时，；所以或
六．课后作业
1.解析：
令，函数的单调递减区间是．
由，得
令，得
2.解析：
由，得
∴单调递减区间是
3.解析：
，
由，得，
∴原函数的单调增区间为
4.解析：
∵，，由函数的单调性，
得，即
答案：C
5.解析：
，因为，在上是增函数，
所以，即
6.解析：
作出四个函数的图象，知，在上单调递减，不符合；而的图象虽满足在上单调递增但其值为负，所以只有D符合，故选D.
7.解析：
因为，要使有意义，须有，所以；
8.解析：
∵，∴
令得
又∵；∴函数的一个递减区间为.故选D.
9.解析：
(1)因为，所以，所以
令，则原式转化为，，
由的图象知，所以所求函数的值域为.
(2)令，则.
∴，
∴时，取得最大值10；时，取得最小值2.
所以的值域为
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