专题提升(一) 数形结合与实数的运算
类型之一 数轴与实数
(人教版七下P54)
以单位长度为边长画一个正方形(如图)，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示－.(为什么？)
【思想方法】 用画图的方法可以将一个无理数用数轴上的点表示出来．事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来．
1．[2018·凉山州]如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于点A，且AB＝1，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴于点C，则OC的长为( )
A．3
B．
C．
D．
2．[2019·宜昌]如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是( )
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
3．[2019·大庆]实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式中正确的是( )
A．m>n
B．－n>|m|
C．－m>|n|
D．|m|<|n|
4．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和－1，则点C所对应的实数是( )
A．1＋
B．2＋
C．2－1
D．2＋1
5．[2017·成都]如图，数轴上点A表示的实数是________．
6．[2018·吉林]如图，在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(0,3)，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为________．
实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A．a>b
B．a>－b
C．－a>b
D．－a类型之二 实数的混合运算
(人教版七下P61复习题第8题)
计算下列各式的值：
(1)(＋2)；
(2).
【思想方法】 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，若没有括号，在同级运算中，要从左至右依次进行运算．
1．[2019·南充]计算：(1－π)0＋|－|－＋－1.
2．[2019·益阳]计算：4sin
60°＋(－2
019)0－－1－|－2|.
3．已知a＝－1，b＝2cos
45°＋1，c＝(2
020－π)0，d＝|1－|.
(1)请化简这四个数；
(2)根据化简结果，列式表示这四个数中“有理数的和”与“无理数的积”的差，然后计算结果．
计算：2sin
60°＋|－2＋(－1)－1－.
参考答案
【教材母题】 略
【中考变形】 1.D 2.D 3.C 4.D
5. 6.(－1,0)
【中考预测】 C
【教材母题】 (1)2＋2 (2)4
【中考变形】
1．1－ 2.－1
3．(1)a＝3，b＝＋1，c＝1，d＝－1
(2)a＋c－bd＝3
【中考预测】 3
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中考学练测·数学[人教]
第一部分
第一章
专题提升(一)
全
效
学
习
第一部分 数与代数
第一章 实 数
专题提升(一) 数形结合与实数的运算
D
D
C
D
(－1,0)
C
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答
案
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0专题提升(二) 代数式的化简与求值
类型之一 整式的化简与求值
(人教版八上P125复习题第8题)
已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求xy与x2＋y2的值．
【思想方法】 完全平方公式的一些主要变形有：(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab.在四个量a＋b，a－b，ab和a2＋b2中，知道其中任意的两个量，就可以求其余的两个量(整体代换)．
1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2等于( )
A．10
B．6
C．5
D．3
2．[2019·宁波]先化简，再求值：(x－2)(x＋2)－x(x－1)，其中x＝3.
先化简，再求值：(x＋1)2－(x＋6)(x－6)，其中x＝－1.
类型之二 分式的化简与求值
(人教版八上P159复习题第11(1)题)
先化简，再求值：÷·，其中x＝.
【思想方法】 先化简，然后再代入求值．
1．[2019·烟台]先化简÷，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．
2．[2019·本溪]先化简，再求值：÷.其中a满足a2＋3a－2＝0.
先化简，再求值：÷·，其中＋(n－3)2＝0.
类型之三 二次根式的化简与求值
(人教版八下P15习题第6题)
已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值：
(1)x2＋2xy＋y2；
(2)x2－y2.
【思想方法】 在进行二次根式的化简求值时，常常用到整体思想，如把x＋y，x－y，xy当成整体进行代入．
1．[2018·北京]如果a－b＝2，那么代数式·的值为( )
A.
B．2
C．3
D．4
2．已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为( )
A．9
B．±3
C．3
D．5
3．[2019·福建]先化简，再求值：
(x－1)÷，其中x＝＋1.
先化简，再求值：＋＋，其中a＝，b＝.
参考答案
【教材母题】 xy＝4，x2＋y2＝17
【中考变形】
1．C 2.x－4，－1
【中考预测】 37＋2x,35
【教材母题】 ，
【中考变形】
1.，①当x＝1时，原式＝，②当x＝2时，原式＝
2.，1
【中考预测】 －，
【教材母题】 (1)12 (2)4
【中考变形】
1．A 2.C
3.，1＋
【中考预测】 ，(共25张PPT)
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第二章
专题提升(二)
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效
学
习
第一部分 数与代数
第二章 代数式
专题提升(二) 代数式的化简与求值
C
A
C
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答
案
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点击进入答案word链接专题提升(三) 数式规律型问题
(人教版七上P70习题第10题)
如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”(包括两个顶点)有n(n>1)个点，每个图形总的点数S是多少？当n＝5,7,11时，S是多少？
【思想方法】 模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一．
1．[2017·烟台改编]用棋子摆出如图所示的一组图形：
……
按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为( )
A．3n
B．6n
C．3n＋6
D．3n＋3
2．[2018·重庆]把三角形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有4个三角形，图案②中有6个三角形，图案③中有8个三角形，……按此规律排列下去，则图案⑦中三角形的个数为( )
……
A．12
B．14
C．16
D．18
3．[2018·烟台]如图所示图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的．按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为( )
……
A．28
B．29
C．30
D．31
4．[2019·武汉]观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；……已知按一定规律排列的一组数：250,251,252，…，299,2100.若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是( )
A．2a2－2a
B．2a2－2a－2
C．2a2－a
D．2a2＋a
5．[2019·甘肃]如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2
019个菱形，则n＝________.
6．[2019·大庆]归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要棋子的个数为________．
7．如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，则第n个图案中的基础图形的个数为________(用含n的式子表示)．
……
8．[2018·泰安]观察“田”字中各数之间的关系：
则c的值为________．
9．[2019·安顺]将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是________．
10．[2019·枣庄]观察下列各式：
＝1＋＝1＋，
＝1＋＝1＋，
＝1＋＝1＋，
……
请利用你发现的规律，计算：
＋＋＋…＋，
其结果为________________．
11．[2018·孝感]我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1,3,6,10，……记a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，……那么a9＋a11－2a10＋10的值是________________．
观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝－1；
第2个等式：a2＝＝－；
第3个等式：a3＝＝2－；
第4个等式：a4＝＝－2；
……
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：
an＝____________________________________；
(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝______________________.
参考答案
【教材母题】 S＝3(n－1)，当n＝5,7,11时，S分别是12,18,30.
【中考变形】
1．D 2.C 3.C 4.C 5.1
010 6.3n＋2
7．3n＋1 8.270 9.2
019 10.2
018
11．11
【中考预测】
(1)＝－ (2)－1(共32张PPT)
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第二章
专题提升(三)
全
效
学
习
第一部分 数与代数
第二章 代数式
专题提升(三) 数式规律型问题
D
C
C
C
1
010
3n＋2
3n＋1
270
2
019
11
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答
案
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点击进入答案word链接专题提升(四) 整式方程(组)的应用
类型之一 一元一次方程的应用
(人教版七上P91习题第11题)
几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗．求参与种树的人数．
【思想方法】 利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，是课标要求，也是热点考题．
[2018·襄阳]我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱．问这个物品的价格是多少钱？”则该物品的价格是________钱．
将一箱苹果分给一群小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则最后一位小朋友只分到2个苹果．求这群小朋友的人数．
类型之二 二元一次方程组的应用
(人教版七下P90习题第4题)
我国古代数学著作《孙子算法》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？试找出问题的解．
【思想方法】 利用方程(组)解决古代数学问题的关键是读懂题意，翻译成现代语言，找出等量关系列方程组．
1．[2019·兰州]《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为( )
A.
B．
C.
D．
2．[2019·嘉兴]中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为( )
A.
B．
C.
D．
中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？
类型之三 一元二次方程的应用
(人教版九上P19探究2)
两年前生产1
t甲种药品的成本是5
000元，生产1
t
乙种药品的成本是6
000元．随着生产技术的进步，现在生产1
t甲种药品的成本是3
000元，生产1
t乙种药品的成本是3
600元．哪种药品成本的年平均下降率较大？
【思想方法】 列一元二次方程解应用题的常见类型：(1)增长率问题；(2)利润率问题；(3)比赛场次问题；(4)面积问题．
[2019·广州]随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
(1)计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
(2)按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
[2020·原创]如图，有一矩形的硬纸板，长为30
cm，宽为20
cm，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为200
cm2?
参考答案
【教材母题】 参与种树的人数为6人．
【中考变形】 53
【中考预测】 这群小朋友有6人．
【教材母题】 鸡有23只，兔有12只．
【中考变形】
1．C 2.D
【中考预测】 牛、羊每头各值金两、两．
【教材母题】 甲、乙两种药品成本的年平均下降率一样大．
【中考变形】
(1)计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
(2)2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%.
【中考预测】
当剪去的小正方形的边长为5
cm时，长方体盒子的底面积为200
cm2.(共22张PPT)
中考学练测·数学[人教]
第一部分
第三章
专题提升(四)
全
效
学
习
第一部分 数与代数
第三章 方程与方程组
专题提升(四) 整式方程(组)的应用
53
D
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答
案
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点击进入答案word链接专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用
(人教版八下P94例5)
“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2
kg以上的种子，超过2
kg部分的种子价格打八折．
(1)填写下表；
购买量
/kg
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
付款金
额/元
…
(2)写出购买量关于付款金额的函数的解析式，并画出函数图象．
【思想方法】 (1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标．
(2)一次函数和一次方程有着独立的概念，但在本质上，后者是前者的特殊情况，从而可以利用函数图象解决方程或方程组问题，体现数形结合思想．
1．[2019·龙东地区]小明放学后从学校回家，出发5
min时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明．小强出发10
min时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y(m)与小强所用时间t(min)之间的函数图象如图所示．
(1)求函数图象中a的值；
(2)求小强的速度；
(3)求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
2．[2019·济宁]小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间t(h)之间的函数关系．请你根据图象进行探究：
(1)小王和小李的速度分别是多少？
(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
3．[2019·湖州]某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2
400
m．甲从小区步行去学校，出发10
min后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米达到还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每min快5
m．设甲步行的时间为x(min)，图①中线段OA和折线B→C→D分别表示甲、乙离开小区的路程y(m)与甲步行时间x(min)的函数关系的图象；图②表示甲、乙两人之间的距离s(m)与甲步行时间x(min)的函数关系的图象(不完整)．
(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
(3)在图②中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．
①
②
甲、乙两人同时从A地前往相距90
km的B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，下图是他们离A地的距离y(km)与出发时间x(h)之间的函数关系图象．
(1)求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若乙出发2
h后和甲相遇，则乙从A地到B地用了多长时间？
参考答案
【教材母题】
(1)2.5 5 7.5 10 12 14 16 18
(2)y＝图略
【中考变形】
1．(1)a＝900 (2)小强的速度为65
m/min.
(3)线段AB的解析式为y＝－60x＋1
500(10≤x≤12)．
2．(1)v小王＝10
km/h，∴v小李＝20
km/h.
(2)线段BC的解析式为y＝30x－30(1≤x≤1.5)．
3．(1)甲步行的速度是80
m/min，乙出发时甲离开小区的路程为800
m.
(2)乙骑自行车的速度为180
m/min，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700
m.
(3)图略
【中考预测】
(1)y＝－60x＋180(1.5≤x≤3) (2)3
h(共20张PPT)
中考学练测·数学[人教]
第一部分
第五章
专题提升(五)
全
效
学
习
第一部分 数与代数
第五章 函数及其图象
专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用
…
18
16
14
12
10
7.5
5
2.5
付款金
额/元
…
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
购买量
/kg
教材母题答图
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案
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/n
2400
B
10182530x/minO
0
G
25
30
x/min专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合运用
(人教版九下P9习题第5题)
正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2.
(1)当x＝－3时，求反比例函数y＝的值；
(2)当－3【思想方法】 (1)求反比例函数的解析式用待定系数法，设y＝，把已知一点的坐标代入函数的解析式求k；
(2)求一次函数的解析式用待定系数法，设y＝kx＋b，把已知两点的坐标代入函数的解析式求k，b；
(3)求两函数图象交点的坐标，即解两个函数的解析式组成的方程组．
1．[2019·宿迁]如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－的图象相交于点A(－1，m)，B(n，－1)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
2．[2018·湘西州]已知反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的图象经过点A(1,3)，B(3，m)．
(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标；
(2)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
3．[2019·南充]如图，双曲线y＝(k为常数，且k≠0)与直线y＝－2x＋b，交于A，B(1，n)两点．
(1)求k与b的值；
(2)如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积．
4．[2019·绵阳]如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝(m≠0且m≠3)的图象在第一象限交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，D.已知A(4,1)，CE＝4CD.
(1)求m的值和反比例函数的解析式；
(2)若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．
5．[2019·宜宾]如图，已知反比例函数y＝(k>0)的图象和一次函数y＝－x＋b的图象都过点P(1，m)，过点P作y轴的垂线，垂足为点A，O为坐标原点，△OAP的面积为1.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为点B，求五边形OAPMB的面积．
6．[2018·成都]如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋b的图象经过点A(－2,0)，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点B(a,4)．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)设M是直线AB上一点，过点M作MN∥x轴，交反比例函数y＝(x>0)的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
7．[2019·岳阳]如图，反比例函数y＝经过点P(2,1)，且与一次函数y＝kx－4(k<0)有两个不同的交点．
(1)求m的值；
(2)求k的取值范围．
8．[2019·泰安]如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B(5,0)，已知OB＝AB，且S△OAB＝.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(－1，n)，B(2，－1)两点，与y轴相交于点C.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
(3)若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数y＝上的两点，当x1参考答案
【教材母题】 (1)－ (2)－4【中考变形】
1．(1)y＝－x＋4 (2)12
2．(1)y＝，B(3,1) (2)(2.5,0)
3．(1)k＝－4，b＝－2 (2)
4．(1)m的值为4或－1，y＝
(2)
5．(1)y＝，y＝－x＋3
(2)S五边形OAPMB＝
6．(1)y＝x＋2，y＝(x>0)
(2)(2，2＋2)或(－2＋2，2)
7．(1)m＝2 (2)－28．(1)y＝，y＝x－
(2)点P的坐标为P1(13,0)，P2(0,0)，P3(10,0)，P4.
【中考预测】 (1)y＝－，y＝－x＋1
(2)3 (3)y1中考学练测·数学[人教]
第一部分
第五章
专题提升(六)
全
效
学
习
第一部分 数与代数
第五章 函数及其图象
专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合运用
中考变形8答图①
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点击进入答案word链接专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用
(人教版九上P47习题第5题)
画出函数y＝x2－2x－3的图象，利用图象回答：
(1)方程x2－2x－3＝0的解是什么；
(2)x取什么值时，函数值大于0；
(3)x取什么值时，函数值小于0.
【思想方法】 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，因此，我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解．
1．[2019·广安]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1,0)，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc<0；②b0时，－1A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．[2019·南充]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)，a>0，顶点坐标为，有下列结论：①若点(n，y1)与在该抛物线上，当n<时，则y1A．①正确，②正确
B．①正确，②错误
C．①错误，②正确
D．①错误，②错误
3．[2019·遂宁]二次函数y＝x2－ax＋b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是 ( )
A．a＝4
B．当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8)
C．当x＝－1时，b>－5
D．当x>3时，y随x的增大而增大
4．[2019·湖州]已知抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点．
(1)求c的取值范围；
(2)若抛物线y＝2x2－4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m和n的大小，并说明理由．
5．[2018·泰州]在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的图象与x轴有两个交点．
(1)当m＝－2时，求二次函数的图象与x轴的交点坐标；
(2)过点P(0，m－1)作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(点A不在直线l上)，求m的范围；
(3)在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．
6．[2019·原创]已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式；
(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；
(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若点P存在，求出点P的坐标；若点P不存在，请说明理由．
7．[2019·东营节选]已知抛物线y＝ax2＋bx－4经过点A(2,0)，B(－4,0)，与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标．
8．[2018·宜宾改编]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)．如图，直线y＝x与抛物线交于A，B两点，直线l为y＝－1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在l上是否存在一点P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标．
参考答案
【教材母题】图象略
(1)x1＝－1，x2＝3
(2)x<－1或x>3
(3)－1【中考变形】
1．D 2.A 3.C
4．(1)c<2 (2)m5．(1)(－2＋，0)和(－2－，0)
(2)－3(3)m＝－
6．(1)y＝x2－2x或y＝x2＋2x
(2)C(0,3)，D(2，－1)
(3)存在，P(1.5,0)
7．(1)y＝x2＋x－4 (2)P(－2，－4)
8．(1)y＝x2－x＋1 (2)存在，P
【中考预测】
(1)y＝－x2＋2x＋3 (2)P(1,2)(共38张PPT)
中考学练测·数学[人教]
第一部分
第五章
专题提升(七)
全
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学
习
第一部分 数与代数
第五章 函数及其图象
专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用
D
A
C
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答
案
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A
B专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用
(人教版九上P50探究2)
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
【思想方法】 本题是一道复杂的市场营销问题，不能直接列出函数模型，需要分情况讨论，建立函数关系式，在不同情况下，必须注意自变量的取值范围，以便在这个取值范围内，考查函数的性质(最大最小、变化情况、对称性、特殊点等)和图象，然后比较选择，得出结论．营销问题是中考的热点考题．
1．[2019·潍坊]扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了1
000
kg，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%.
(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元；
(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均售价为41元，则每天可售出300
kg，若每千克的平均售价每降低3元，每天可多卖出180
kg.设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其他费用忽略不计)
2．[2019·青岛]某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
(2)若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
3．[2019·原创]某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图①所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图②所示[图①的图象是线段，图②的图象是抛物线，且顶点为(6,1)]．
①
②
(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益＝售价－成本)
(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由；
(3)已知市场部销售该种蔬菜4,5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份多2万千克，求4,5两个月的销售量分别是多少．
牡丹花会前夕，某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价
x/元
…
20
30
40
50
60
…
每天销售
量y/件
…
500
400
300
200
100
…
(1)把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在下图的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想并求出y与x之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？(利润＝销售总价－成本总价)
(3)如果物价部门规定，该工艺品的销售单价最高不得超过35元，那么销售单价定为多少元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
参考答案
【教材母题】
当商品售价定为每件65元时，每星期能获得最大利润6
250元．
【中考变形】
1．(1)今年这种水果每千克的平均批发价为24元．
(2)当每千克平均售价为35元时，一天的利润最大，最大利润是7
260元．
2．(1)y＝－2x＋160
(2)销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润为1
200元．
(3)每天的销售量最少应为20件．
3．(1)6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．
(2)5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，理由略．
(3)4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．
【中考预测】
(1)图略，y＝－10x＋700
(2)当销售单价定为40元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9
000元．
(3)当销售单价定为35元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．(共30张PPT)
中考学练测·数学[人教]
第一部分
第五章
专题提升(八)
全
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第一部分 数与代数
第五章 函数及其图象
专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用
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答
案
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y元
y2元
2
O
①专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明
(人教版八上P44习题第11题)
如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD.求证：AB＝DE，AC＝DF.
【思想方法】 (1)证明两条线段相等，可证它们所在的两个三角形全等；(2)由平行线可得同位角或内错角相等；(3)要完成一般三角形全等的证明，必须以SAS，ASA，AAS，SSS作为依据．
1．[2019·山西]已知，如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F，求证：BC＝DF.
2．[2018·铜仁]如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：AE∥FB.
3．[2019·南充]如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.
(1)求证：△AOD≌△OBC；
(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．
4．[2019·温州]如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
5．[2019·孝感]如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD.求证：AE＝BE.
6．[2019·南京]如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F.求证：△ADF≌△CEF.
7．[2017·温州]如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．
8．[2019·桂林]如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．
求证：(1)AC平分∠BAD；
(2)BE＝DE.
如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
参考答案
【教材母题】 略
【中考变形】 1.略 2.略 3.(1)略 (2)35°
4．(1)略 (2)3 5.略 6.略
7．(1)略 (2)80°
8．(1)略 (2)略
【中考预测】
(1)略 (2)60°(共27张PPT)
中考学练测·数学[人教]
第二部分
第七章
专题提升(九)
全
效
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第二部分 图形与几何
第七章 三角形
专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明
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答
案
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B
F
C
E专题提升(十) 以等腰三角形和直角三角形为背景的计算与证明
类型之一 以等腰三角形为背景的计算与证明
(人教版八上P82习题第7题)
如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.求∠DBC的度数．
【思想方法】 等腰三角形的性质常与线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角的度数，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中边的计算问题．
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.
(1)求证：△ABD是等腰三角形；
(2)若∠A＝36°，求∠BDC的度数；
(3)若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
2．[2018·荆门]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边三角形BDE，连接AD，CD.
(1)求证：△ADE≌△CDB；
(2)若BC＝，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值．
[2020·原创](1)如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系为________________；
(2)如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在边BC上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
(3)如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长．
类型之二 以直角三角形为背景的计算与证明
(人教版八下P29习题第14题)
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．
求证：AE2＋AD2＝2AC2.(提示：连接BD)
【思想方法】 “等腰直角三角形的两腰相等，两底角等于45°”的性质在几何计算与证明中应用广泛，常常与直角三角形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质综合运用，解答时证明三角形全等是关键．
1．[2019·毕节]三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是________．
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件________________，使△AEH≌△CEB.
3．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一直线上，连接BD.
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)试猜想BD与CE之间的位置关系，并证明．
4．[2019·烟台改编]如图，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D在同一直线上，连接AD，BD.
(1)请探究AD与BD之间的位置关系；
(2)若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求线段AD的长．
5．[2019·绍兴]如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.
(1)在旋转过程中：
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点在同一直角三角形的顶点时，求AM的长；
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
①
②
如图，已知∠ABC＝90°，点A，B，D在同一条直线上，AD＝BC.
(1)如图①，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；
(2)如图②，点B，C，E在同一条直线上，且CE＝BD，直线AE，CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
①
②
参考答案
【教材母题】 30°
【中考变形】
1．(1)略 (2)72° (3)32
2．(1)略 (2)BH＋EH的最小值为3
【中考预测】
(1)BC＝EC＋DC
(2)BD2＋CD2＝2AD2，证明略
(3)6
【教材母题】 略
【中考变形】
1．15－5 2.AE＝CE(答案不唯一)
3．(1)略 (2)BD⊥CE，证明略
4．(1)AD⊥BD (2)4
5．(1)①AM＝20 ②10 (2)BD2＝30
【中考预测】
(1)△CDF是等腰直角三角形．证明略．
(2)∠APD＝45°，是一个固定的值．(共52张PPT)
中考学练测·数学[人教]
第二部分
第七章
专题提升(十)
全
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第二部分 图形与几何
第七章 三角形
专题提升(十) 以等腰三角形和直角三角形为背景的计算与证明
BC＝EC＋DC
AE＝CE(答案不唯一)
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案
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A
M
N
B
C
E
E
CB
D
C
D
B
M
-→)CB
C专题提升(十一) 以特殊四边形为背景的计算与证明
类型之一 以平行四边形为背景的计算与证明
(人教版八下P68复习题第7题)
如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E，F，连接ED，BF.求证：∠1＝∠2.
【思想方法】 平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等、对角线互相平分等性质．根据平行四边形的性质，可以解决一些有关的计算或证明问题．平行四边形的判定有四种常用方法：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分．
[2018·恩施州]如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O.求证：AD与BE互相平分．
如图，已知E，F分别是?ABCD的边BC，AD上的点，且BE＝DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若四边形AECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长．
类型之二 以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明
(人教版八下P64数学活动1)
如果我们身旁没有量角器或三角板，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法(如图)：
(1)对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM.同时，得到了线段BN，MN，再把纸片展平．
观察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系？你能证明吗？
【思想方法】 折叠的本质是轴对称，折叠在实际生活中有广泛的应用，折叠前后的图形全等是解题的关键．特殊四边形与折叠的结合能很好地考查学生综合运用知识的能力，是中考的热点考题．
1．[2018·荆州]如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于点E，延长PF，交AB于点G.
求证：(1)△AFG≌△AFP；
(2)△APG为等边三角形．
2．[2019·青岛]如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
3．[2019·宁波]如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
(1)求证：BG＝DE；
(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
4．[2019·鄂州]如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)当DE＝DF时，求EF的长．
如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且点E，F不与点B，C，D重合．
(1)求证：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE＝CF；
(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化．如果不变，求出其定值；如果变化，求出其最大(或最小)值．
参考答案
【教材母题】 略
【中考变形】 略
【中考预测】 (1)略 (2)5
【教材母题】 ∠ABM＝∠MBN＝∠NBC＝30°.证明略．
【中考变形】
1．(1)略 (2)略
2．(1)略 (2)当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形，理由略
3．(1)略 (2)8
4．(1)略 (2)
【中考预测】
(1)略 (2)四边形AECF的面积不发生变化，其值为4，△CEF的面积发生变化，其最大值为.(共40张PPT)
中考学练测·数学[人教]
第二部分
第八章
专题提升(十一)
全
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第二部分 图形与几何
第八章 四边形
专题提升(十一) 以特殊四边形为背景的计算与证明
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D
E
B
E
N
DFC
B专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明
类型之一 与圆的切线的性质有关的计算或证明
(人教版九上P102习题第12题)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
【思想方法】 已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径(若图中未画出，通常需要连半径作辅助线)．
[2019·天津]已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．
(1)如图①，求∠ACB的大小；
(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠EAC的大小．
如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E.
(1)求证：CB平分∠ACE；
(2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
类型之二 与圆的切线的判定有关的计算或证明
(人教版九上P101习题第4题)
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．
【思想方法】 证明圆的切线的两种常用思路：(1)作半径，证垂直；(2)作垂直，证半径．
1．[2018·青海]如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC.
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若PD＝，求⊙O的直径．
2．[2019·雅安]如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于点E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．
3．[2019·菏泽]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于点D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF.
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC.
如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD，交⊙O于点T，过点T作TC⊥AD，交AD的延长线于点C.
(1)求证：CT为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，CT＝，求AD的长．
参考答案
【教材母题】 略
【中考变形】
(1)50° (2)20°
【中考预测】
(1)略 (2)
【教材母题】 略
【中考变形】
1．(1)略 (2)2 2.(1)略 (2)4 3.略
【中考预测】
(1)略 (2)2(共31张PPT)
中考学练测·数学[人教]
第二部分
第九章
专题提升(十二)
全
效
学
习
第二部分 图形与几何
第九章 圆
专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明
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案
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C
C
B
B
E
P
D
B
B专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明
(人教版九下P58复习题第8题)
如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝PA·PB.
【思想方法】 证明等积式的常用方法是把等积式转化为比例式，一般要证明比例式，就要证明三角形相似．证明圆中的相似三角形时，要充分运用切线的性质、圆周角定理及推论、垂径定理等知识点．
1．[2019·宜宾]如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M.
(1)求证：直线BD是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径OD的长；
(3)求线段BM的长．
2．[2019·苏州节选]如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F.
求证：(1)DO∥AC；
(2)DE·DA＝DC2.
3．[2019·聊城]如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作DO⊥AB于点O，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E.
(1)求证：EC＝ED；
(2)如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
4．[2018·泸州]如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF.
(1)求证：CO2＝OF·OP；
(2)连接EB，交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．
5．[2019·绵阳]如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为点E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.
(1)求证：△BFG≌△CDG；
(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．
6．[2019·黄石]如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C，E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：CE＝CF；
(3)若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．
7．[2018·遂宁]如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连接AM，交CD于点N，连接AC，CM.
(1)求证：CM2＝MN·MA；
(2)若∠P＝30°，PC＝2，求CM的长．
8．[2019·泰州]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.
(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．
如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E.
求证：(1)∠D＝∠AEC；
(2)OA2＝OD·OF.
参考答案
【教材母题】 略
【中考变形】 1.(1)略 (2)1 (3)
2．略 3.(1)略 (2)
4．(1)略 (2) 5.(1)略 (2)2
6．(1)略 (2)略 (3)
7．(1)略 (2)2
8．(1)DE为⊙O的切线，理由略． (2)
【中考预测】 略(共47张PPT)
中考学练测·数学[人教]
第二部分
第十章
专题提升(十三)
全
效
学
习
第二部分 图形与几何
第十章 相似形
专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明
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答
案
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C
F
D专题提升(十四) 利用解直角三角形进行测量
(人教版九下P77练习题第2题)
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i＝1∶3是指DE与CE的比．根据图中数据，求：
(1)坡角α和β的度数；
(2)斜坡AB的长．(精确到0.1
m，参考数据：≈3.6)
【思想方法】 将生活中的实际问题抽象成解直角三角形的数学问题是常见的考题类型．在直角三角形中，除了锐角三角函数，还能利用勾股定理、相似三角形、全等三角形等知识，综合性较强．
1．[2019·遂宁]汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200
m且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30
cm，斜坡AB的坡度i＝1∶1，加固后坝顶宽度增加2
m，斜坡EF的坡度i＝1∶，问工程完工后，共需土石多少立方米？(计算土石时忽略阶梯，结果保留根号)
2．[2019·衡阳]如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10
m到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝10
m，山坡的坡度i＝1∶，(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB的高度．(结果精确到0.1
m，参考数据：≈1.73，≈1.41)
3．[2019·泰州]某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1∶2，顶端C离水平地面AB的高度为10
m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C，D两点间的距离为4
m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3
m，求：
(1)观众区的水平宽度AB；
(2)顶棚的E处离地面的高度EF.(结果精确到0.1
m，参考数据：sin
18°30′≈0.32，tan
18°30′≈0.33)
4．[2019·资阳]如图，南海某海域有两艘外国渔船A，B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．
(1)求渔船B航行的距离；
(2)此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我国渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．(注：结果保留根号)
5．[2019·邵阳]某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE，支架BC与水平线AD垂直．AC＝40
cm，∠ADE＝30°，DE＝190
cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度(结果精确到1
cm；温馨提示：sin
65°≈0.91，cos
65°≈0.42，tan
65°≈2.14)
6．如图，为了测量出楼房AC的高度，小文从距离楼底C处60
m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)处出发，沿斜面坡度为i＝1∶的斜坡DB前进30
m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度.
7．[2019·达州]渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．蹲坐在观音崖旁的一块奇石似一只“哮天犬”，如图①，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“哮天犬”上嘴尖与头顶的距离，他们把蹲着的“哮天犬”抽象成ABCD，如图②，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好为60°，CB＝5
m，CD＝2.7
m，景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3
m，他们很快就算出了AB的长，你也算算？(结果精确到0.1
m，参考数据：sin
40°≈0.64，cos
40°≈0.77，tan
40°≈0.84，≈1.41，≈1.73)
如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知点A的高度AB为3
m，台阶AC的坡度为1∶.(即AB∶BC＝1∶)，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件，求出树DE的高度(测角器的高度忽略不计)
参考答案
【教材母题】 (1)α≈33.7°，β≈18.4° (2)10.8
m
【中考变形】
1．(8
100－4
500)m3
2．23.7
m
3．(1)20
m (2)21.6
m
4．(1)40海里 (2)到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是(20＋20)海里．
5．19
cm
6．(60＋15)
m
7．0.6
m
【中考预测】 9
m(共30张PPT)
中考学练测·数学[人教]
第二部分
第十一章
专题提升(十四)
全
效
学
习
第二部分 图形与几何
第十一章 解直角三角形
专题提升(十四) 利用解直角三角形进行测量
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案
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楼房
30
i=1:A3
60°
C
D
A
40
△60°
C
D
E
60专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算
(人教版九上P63习题第10题)
如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
【思想方法】 旋转前、后的图形全等，借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于疏通解题思路，找出解题突破口．
1．[2020·中考预测]如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，有以下结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC.
其中结论正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．[2019·北京]如图，已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝＋1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON.
(1)依题意补全图；
(2)求证：∠OMP＝∠OPN；
(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．
3．[2018·烟台]
【问题解决】
一节数学课上，老师提出了一个这样问题：如图①，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，你能求出∠APB的度数吗？
小明他通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图②，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．
①
②
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；
(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状，并加以证明；
(3)如图③，在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
参考答案
【教材母题】 BE＝DC，理由略
【中考变形】 1.D
2．(1)略 (2)略 (3)OP＝2，证明略．
3．【问题解决】 ∠APB＝135°，解答过程略
【类比探究】 ∠APB＝45°
【中考预测】
(1)∠ABD＝30°－α (2)△ABE为等边三角形，证明略 (3)30°(共29张PPT)
中考学练测·数学[人教]
第二部分
第十二章
专题提升(十五)
全
效
学
习
第二部分 图形与几何
第十二章 图形变换
专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算
D
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案
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E
B
E
E
B
c
B
C
B
