专题提升(16) 阅读理解
专题提升演练
1.现定义一种变换:对于一个由有限个数组成的序列S0,将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数,可得到一个新序列S1.例如序列S0:(4,2,3,4,2),通过变换可生成新序列S1:(2,2,1,2,2).若S0可以为任意序列,则下面的序列可作为S1的是( )
A.(1,2,1,2,2)
B.(2,2,2,3,3)
C.(1,1,2,2,3)
D.(1,2,1,1,2)
答案D
2.定义新运算:a?b=例如:4?5=,4?
(-5)=,则函数y=2?x(x≠0)的图象大致是( )
答案D
3.(2019山东德州中考)已知[x]表示不超过x的最大整数.例:[4.8]=4,[-0.8]=-1.现定义:{x}=x-[x],例:{1.5}=1.5-[1.5]=0.5,则{3.9}+{-1.8}-{1}= .?
答案1.1
4.对x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=(其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如:T(0,1)==b.
(1)已知T(1,-1)=-2,T(4,2)=1.
①求a,b的值;
②若关于m的不等式组恰好有3个整数解,求实数p的取值范围;
(2)若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)均有意义),则a,b应满足怎样的关系式?
解(1)①根据T(1,-1)=-2,T(4,2)=1,得
解得
②由①知T(x,y)=,
由题意,可得
要使得不等式组的整数解恰好为3个,必须满足:解得-2≤p<-.
(2)由T(x,y)=T(y,x),得,去分母,整理得ax2+2by2=2bx2+ay2.
由于上式对实数x,y都成立,∴a=2b.
故存在非零常数a,b,且满足a=2b.
5.阅读材料:善于思考的小军在解方程组时,采用了一种“整体代换”的解法.
解:将方程②变形,得4x+10y+y=5,
即2(2x+5y)+y=5.
③
把方程①代入③,得2×3+y=5,∴y=-1.
把y=-1代入①,得x=4.
所以方程组的解为
请你模仿小军的“整体代换”法解方程组
解将方程⑤变形,得3(3x-2y)+2y=19,
⑥
把方程④代入⑥,得3×5+2y=19,所以y=2.
把y=2代入方程④,得x=3.
故方程组的解为
6.如果二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].
(1)若一个二次函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.
(2)探究下列问题:
①若一个二次函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到的图象对应的函数的特征数.
②若一个二次函数的特征数为[2,3],问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?
解(1)由题意得y=x2-2x+1=(x-1)2,所以特征数为[-2,1]的函数图象的顶点坐标为(1,0).
(2)①特征数为[4,-1]的函数为y=x2+4x-1,即y=(x+2)2-5.
因为将函数y=x2+4x-1的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,
所以y=(x+2-1)2-5+1,即y=x2+2x-3.
所以该函数的特征数为[2,-3].
②特征数为[2,3]的函数为y=x2+2x+3,
即y=(x+1)2+2,
特征数为[3,4]的函数为y=x2+3x+4,即y=,
所以将函数y=x2+2x+3的图象先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度即可得到函数y=x2+3x+4的图象.
注:符合题意的其他平移,也正确.(共15张PPT)
专题提升(16) 阅读理解
阅读理解题是最近几年中考命题的热点之一,该类题目中所提供的阅读素材丰富多样,有与数学知识相关的阅读,也有与天文、地理、音乐、美术、体育、生物、历史等学科知识相关的阅读,还有与生活常识、法律法规相关的阅读.解该类题要求学生具有一定的阅读能力,能通过阅读题目提供的素材,理解其含义,再解决相关的问题.
阅读理解型问题构思新颖别致、题样多变,知识覆盖面较广,它集阅读、理解、应用于一体,现学现用是它的最大特征.它不仅考查阅读能力,更重要的是考查对数学知识的理解能力、对数学方法的运用能力及分析推理能力、信息处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等.
解答阅读理解型问题的关键在于阅读,核心在于理解,目的在于应用.通过阅读,理解阅读材料中所提供的知识要点、数学思想方法以及解题的方法技巧,然后利用从中获得的信息解决有关的问题.
解答阅读理解型问题需要具备一定的数学基础知识,掌握分析、比较、综合、抽象和概括的基本技能,具有一定的数学思想和方法的储备量.因此,在平时的学习和复习中,应理解所学内容,理清楚知识的来龙去脉,不仅要学数学知识,更要掌握在研究知识的过程中体现的数学思想和方法.
考向一
考向二
考向三
考向一 新知学习型问题
新知学习型阅读理解题是指题目中首先给出一个新知识(通常是新概念或新公式),通过阅读题目提供的材料,从中获取新知识,通过对新知识的理解来解决题目提出的问题,其主要目的是考查学生的自学能力及对新知识的理解与运用能力,便于学生养成良好的学习习惯.
考向一
考向二
考向三
【例1】
我们规定:将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”,“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”).已知等边三角形的边长为2,则它的“面径”长可以是 .(写出一个即可)?
考向一
考向二
考向三
考向一
考向二
考向三
考向二 方法模仿型问题
方法模仿型阅读理解题,是指材料先给出一道题目的解答方法或解题过程,要求模仿这一方法来解决同类型或者类似的问题.
考向一
考向二
考向三
【例2】
阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图①,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.
考向一
考向二
考向三
小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形(如图②).
考向一
考向二
考向三
请你回答:图②中△BDE的面积等于 .?
参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图③,△ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.
(1)在图③中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形.
(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于 .?
考向一
考向二
考向三
解:△BDE的面积等于1.
(1)如图.
?
以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP.
(2)以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于
.
考向一
考向二
考向三
考向一
考向二
考向三
考向三 探索归纳型问题
这是一类将阅读理解与探索猜想结合在一起的新型考题,其特点是要求学生从给出的特殊条件中,通过阅读、理解、分析,归纳出一般规律.
考向一
考向二
考向三
考向一
考向二
考向三专题提升(17) 开放探究题
专题提升演练
1.如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,添加下列哪一个条件仍无法证明△ABC≌△DEF( )
A.∠A=∠D
B.AC=DF
C.AC∥DF
D.∠ACB=∠F
答案B
2.(2019山东临沂中考)如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( )
A.OM=AC
B.MB=MO
C.BD⊥AC
D.∠AMB=∠CND
答案A
3.如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A,B两点在网格格点上,若点C也在网格格点上,以A,B,C为顶点的三角形的面积为2,则满足条件的点C的个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案C
4.已知?ABCD的对角线AC与BD相交于点O,请你添加一个适当的条件,使?ABCD成为一个菱形,你添加的条件是 .?
答案AB=BC(或AC⊥BD等,答案不唯一)
5.已知一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴,且y的值随x值的增大而减小,请写出符合上述条件的一个解析式: .?
答案y=-2x+3(答案不唯一,满足k<0且b>0即可)
6.已知点A,B的坐标分别为(2,0),(2,4),O为原点,以A,B,P为顶点的三角形与△ABO全等,写出一个符合条件的点P的坐标: .?
答案(0,4)(答案不唯一)
7.(2019海南中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(-5,0),B(-4,-3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t,
①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;
②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解(1)∵抛物线y=ax2+bx+5经过点A(-5,0),B(-4,-3),
∴解得
∴该抛物线的解析式为y=x2+6x+5.
(2)①如图,过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F.
在抛物线y=x2+6x+5中,
令y=0,则x2+6x+5=0,解得x1=-5,x2=-1.
∴点C的坐标为(-1,0).由点B(-4,-3)和C(-1,0),可得直线BC的解析式为y=x+1.
设点P的坐标为(t,t2+6t+5).由题意知-4则点F(t,t+1).
∴FP=(t+1)-(t2+6t+5)=-t2-5t-4.
∴S△PBC=S△FPB+S△FPC=·FP·3
=(-t2-5t-4)=-t2-t-6
=-.
∵-4<-<-1,
∴当t=-时,△PBC的面积的最大值为.
②存在.
∵y=x2+6x+5=(x+3)2-4,
∴抛物线的顶点D的坐标为(-3,-4).
由点C(-1,0)和D(-3,-4),可得
直线CD的解析式为y=2x+2.
分两种情况讨论:
Ⅰ.当点P在直线BC上方时,
如图.
若∠PBC=∠BCD,
则PB∥CD.
设直线PB的解析式为y=2x+b.
把B(-4,-3)代入y=2x+b,得b=5.
∴直线PB的解析式为y=2x+5.
由x2+6x+5=2x+5,解得x1=0,x2=-4(舍去),
∴点P的坐标为(0,5).
Ⅱ.当点P在直线BC下方时,如图.
设直线BP与CD交于点M.若∠PBC=∠BCD,则MB=MC.
过点B作BN⊥x轴于点N,则点N(-4,0).
∴NB=NC=3,
∴MN垂直平分线段BC.
设直线MN与BC交于点G,
则线段BC的中点G的坐标为.
由点N(-4,0)和G,可得
直线NG的解析式为y=-x-4.
∵直线CD:y=2x+2与直线NG:y=-x-4交于点M,
由2x+2=-x-4,解得x=-2,
∴点M的坐标为(-2,-2).
由B(-4,-3)和M(-2,-2),可得
直线BM的解析式为y=x-1.
由x2+6x+5=x-1,解得x1=-,x2=-4(舍去).∴点P的坐标为.
综上所述,存在满足条件的点P的坐标为(0,5)和.(共20张PPT)
专题提升(17) 开放探究题
开放探究型问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论,要求添加条件或概括结论,或者是给定条件,判断结论存在与否的问题.近几年来出现了一些根据提供的材料,按自己的喜好自编问题并加以解决的试题.
开放探究型问题具有较强的综合性,既能充分地考查学生对基础知识的掌握程度,又能较好地考查学生观察、分析、比较、概括的能力,发散思维能力和空间想象能力等,体现了学生的自主性,符合课程标准的理念,所以近几年来此类题目成为中考命题的热点.
开放探究型问题涉及知识面广,要求解题者有较强的解题能力和思维能力,有时还需要一定的语言表达能力和说理能力.
开放探究型问题通常有条件开放、结论开放、条件结论都开放等类型;就探究而言,可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种.
探究条件型是指根据问题提供的残缺条件添补若干个条件,使结论成立.解决此类问题的一般方法是:根据结论成立所需要的条件增补条件,此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出来的条件,不可有重复条件,也不能遗漏条件.探究结论型问题是指根据题目所给的已知条件进行分析、推断,推导出一个与已知条件相关的结论.解决此类问题的关键是对已知的条件进行综合推理,导出新的结论.探究结论存在型问题的解法一般是先假定存在,然后结合现有的条件进行推理,最后推导出问题的解或矛盾再加以说明.归纳探究型问题是指给出一些条件和结论,通过归纳、总结、概括,由特殊猜测一般的结论或规律,解决此类问题的一般方法是对由特殊得到的结论进行合理猜想,并进行验证.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向一 条件开放型问题
条件开放问题主要是指问题的条件开放,即:问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一,解决此类问题的思路是从所给结论出发,逆向探索,逐步探寻合乎要求的一些条件,从而进行逻辑推理证明,确定满足结论的条件.
考向一
考向二
考向三
考向四
【例1】
如图,已知点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.
能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使AB∥ED成立,并给出证明.
供选择的三个条件(请从中选择一个):
①AB=ED;②BC=EF;③∠ACB=∠DFE.
解法一:FB=CE,AC=DF,添加①AB=ED.
证明:因为FB=CE,所以BC=EF.
又AC=DF,AB=ED,所以△ABC≌△DEF.
所以∠B=∠E.所以AB∥ED.
解法二:FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE.
证明:因为FB=CE,所以BC=EF.
又∠ACB=∠DFE,AC=DF,所以△ABC≌△DEF.
所以∠B=∠E.所以AB∥ED.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向一
考向二
考向三
考向四
考向二 结论开放探究问题
结论开放问题就是给出问题的条件,根据已知条件探究问题的结论,并且将符合条件的结论一一罗列出来,或者对相应的结论的“存在性”加以推断,甚至探究条件变化时的结论,这些问题都是结论开放型问题.解决此类问题要求利用条件大胆而合理地猜想,发现规律,得出结论.
考向一
考向二
考向三
考向四
【例2】
如图,海中有一小岛B,它的周围15海里内有暗礁.有一货轮以30海里/时的速度向正北航行,当它航行到A处时,发现岛B在它的北偏东30°方向,当货轮继续向北航行半小时后到达C处,发现岛B在它的东北方向.问货轮继续向北航行有无触礁的危险?
考向一
考向二
考向三
考向四
解:如图,作BD⊥AC于点D.
设BD=x,
∵21.4>15,
故货轮没有触礁的危险.
答:货轮没有触礁的危险.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向一
考向二
考向三
考向四
考向三 条件、结论开放探究问题
条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一,此类问题没有明确的条件和结论,并且符合条件的结论具有开放性,它要求学生通过自己的观察和思考,将已知的信息集中进行分析,通过这一思维活动揭示事物的内在联系.
考向一
考向二
考向三
考向四
【例3】
(1)如图①,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B,C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°,求证:AM=MN.
下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明.
证明:在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵在正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC,
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB
=∠MAB=∠MAE.
(下面请你完成余下的证明过程)
考向一
考向二
考向三
考向四
(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图②),N是∠ACP的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还成立?请说明理由.
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”,请你作出猜想:当∠AMN= 时,结论AM=MN仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)?
考向一
考向二
考向三
考向四
解:(1)如图①,∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=135°.
∵CN平分∠DCP,∴∠PCN=45°,
∴∠AEM=∠MCN=135°.
在△AEM和△MCN中,
∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN.
考向一
考向二
考向三
考向四
(2)仍然成立.
理由:如图②,在边AB上截取AE=MC,连接ME.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,∴∠ACP=120°.
∵AE=MC,∴BE=BM,
∴∠BEM=∠EMB=60°,∴∠AEM=120°.
∵CN平分∠ACP,∴∠PCN=60°,
∴∠AEM=∠MCN=120°.
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB
=∠BAM(∠B=∠AMN=60°),
∴△AEM≌△MCN,∴AM=MN.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向一
考向二
考向三
考向四
考向四 存在探索型问题
存在探索型问题是指在给定条件下,判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题.
【例4】
如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线
相交于点A,B.已知点B的坐标为(-2,-2),点A在第一象限内,且tan∠AOx=4.过点A作直线AC∥x轴,交抛物线于点C.
(1)求双曲线和抛物线的解析式.
(2)计算△ABC的面积.
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积?若存在,请你写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
考向一
考向二
考向三
考向四
考向一
考向二
考向三
考向四
考向一
考向二
考向三
考向四专题提升(18) 归纳与猜想
专题提升演练
1.观察下面的几个算式:
1+2+1=4,1+2+3+2+1=9,1+2+3+4+3+2+1=16,1+2+3+4+5+4+3+2+1=25,……,根据你所发现的规律,请直接写出下面式子的结果:1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1的值为( )
A.100
B.1
000
C.10
000
D.100
000
答案C
2.将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n,m)表示第n排,从左到右第m个数,如(4,2)表示9,则表示58的有序数对是( )
A.(11,3)
B.(3,11)
C.(11,9)
D.(9,11)
答案A
3.如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),根据这个规律探索可得,第56个点的坐标为 .?
答案(11,10)
4.如图所示,将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“”的个数为a1,第2幅图形中“”的个数为a2,第3幅图形中“”的个数为a3,…,以此类推,则+…+= .?
答案
5.【问题情境】
如图①,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)证明:AM=AD+MC.
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图②,探究展示(1)(2)中的结论是否成立?请分别作出判断.
解(1)证明:延长AE,BC并交于点N,如图①甲,
图①甲
∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠ENC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠ENC=∠MAE.
∴MA=MN.
在△ADE和△NCE中,
∴△ADE≌△NCE(AAS).
∴AD=NC.
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC.
(2)AM=DE+BM成立.
证明:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,
如图①乙所示.
图①乙
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°.
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE.
在△ABF和△ADE中,
∴△ABF≌△ADE(ASA).
∴BF=DE,∠F=∠AED.
∵AB∥DC,∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM.
∴∠F=∠FAM.
∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM.
(3)①结论AM=AD+MC仍然成立.
证明:延长AE,BC并交于点P,如图②甲.
图②甲
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠EPC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠EPC=∠MAE.∴MA=MP.
在△ADE和△PCE中,
∴△ADE≌△PCE(AAS).∴AD=PC.
∴MA=MP=PC+MC=AD+MC.
②结论AM=DE+BM不成立.
证明:假设AM=DE+BM成立.
过点A作AQ⊥AE,交CB的延长线于点Q,
如图②乙所示.
图②乙
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB∥DC.
∵AQ⊥AE,∴∠QAE=90°.
∴∠QAB=90°-∠BAE=∠DAE.
∴∠Q=90°-∠QAB=90°-∠DAE=∠AED.
∵AB∥DC,∴∠AED=∠BAE.
∵∠QAB=∠DAE=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠QAB=∠QAM.
∴∠Q=∠QAM.∴AM=QM.
∴AM=QB+BM.
∵AM=DE+BM,∴QB=DE.
在△ABQ和△ADE中,
∴△ABQ≌△ADE(AAS).
∴AB=AD.
与条件“AB≠AD”矛盾,故假设不成立.
∴AM=DE+BM不成立.(共9张PPT)
专题提升(18) 归纳与猜想
归纳猜想型问题是中考命题的热点之一,在全国各地的中考试卷中经常出现.归纳猜想型问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形,或是给出与图形有关的操作、变化过程,要求通过观察、分析、推理,探求其中所蕴含的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论.
归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高,在中考试卷中以选择题、填空题、解答题的形式出现,解题时要善于从所提供的数字或图形信息中,寻找共同之处,即存在于个例中的共性,就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式,体现了总结归纳的数学思想,这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而言,猜想结论型问题的难度较大些,具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合,解题的方法也更为灵活多样:计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等,都能用到.
考向一
考向二
考向三
考向一 数字规律问题
数字规律问题,即按一定规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题.
【例1】
已知整数a1,a2,a3,a4,…满足下列条件:a1=0,a2=-|a1+1|,
a3=-|a2+2|,a4=-|a3+3|,……,依此类推,则a2
017的值为( )
A.-1
006
B.-1
007
C.-1
008
D.-2
012
解析:a1=0,a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1,a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1,
a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2,a5=-|a4+4|=-|-2+4|=-2,
a6=-|a5+5|=-|-2+5|=-3,a7=-|a6+6|=-|-3+6|=-3,……,
所以a1=0,a2=a3=-1,a4=a5=-2,a6=a7=-3,……,所以a2
017=-1
008.
答案:C
考向一
考向二
考向三
考向一
考向二
考向三
考向二 数式规律问题
解答此类问题的常用方法是:(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式;(2)按规律顺序排列这些式子;(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来;(4)用题中所给数据验证规律的正确性.
【例2】
观察下列关于自然数的等式:
……
根据上述规律解决下列问题:
(1)写出第4个等式;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.
考向一
考向二
考向三
考向一
考向二
考向三
考向三 数形规律问题
根据一组图形的排列,探究图形变化所反映的规律,其中以图形为载体的数字规律最为常见.
【例3】
观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个点,……按此规律第5个图中共有点的个数是( )
?
A.31
B.46
C.51
D.66
考向一
考向二
考向三
解析:第1个图中共有1+1×3=4个点,
第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点,
第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点,
……
第n个图中共有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点.
所以第5个图中共有点的个数是
1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46.故选B.
答案:B
考向一
考向二
考向三专题提升(19) 操作实践题
专题提升演练
1.如图,贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩,做好后发现上口太小了,于是他把纸灯罩对齐压扁,剪去上面一截后,正好合适.在下列裁剪示意图中,正确的是( )
答案A
2.如图,把一个长方形的纸片按图示对折两次,然后剪下一部分,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角α的度数应为( )
A.15°或30°
B.30°或45°
C.45°或60°
D.30°或60°
答案D
3.(2018浙江舟山中考)将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是( )
答案A
4.(2018海南中考)如图1,分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC,EG剪开,拼成如图2所示的?KLMN,若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形,且?KLMN的面积为50,则正方形EFGH的面积为
( )
A.24
B.25
C.26
D.27
答案B
5.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了 次.?
答案2
6.如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C',当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA'等于 .?
答案4或8
7.课题学习:正方形折纸中的数学
动手操作:如图①,四边形ABCD是一张正方形纸片,先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B'.
数学思考:(1)求∠CB'F的度数;(2)如图②,在图①的基础上,连接AB',试判断∠B'AE与∠GCB'的大小关系,并说明理由.
图①
图②
解决问题:
图③
(3)如图③,按以下步骤进行操作:
第一步:先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后继续对折,使AB与DC重合,折痕为MN,再把这个正方形展平,设EF和MN相交于点O;
第二步:沿直线CG折叠,使点B落在EF上,对应点为B';再沿直线AH折叠,使点D落在EF上,对应点为D';
第三步:设CG,AH分别与MN相交于点P,Q,连接B'P,PD',D'Q,QB'.
试判断四边形B'PD'Q的形状,并证明你的结论.
图①
解(1)解法一 如图①,由对折可知,∠EFC=90°,CF=CD.
∵四边形ABCD为正方形,
∴CD=CB.
∴CF=CB.
又由折叠可知,CB'=CB,
∴CF=CB'.
∴在Rt△B'FC中,sin∠CB'F=.
∴∠CB'F=30°.
解法二 如图①,连接B'D,由对折知,EF垂直平分CD,∴B'C=B'D.
由折叠知,B'C=BC.
∵四边形ABCD为正方形,
∴BC=CD.
∴B'C=CD=B'D,
∴△B'CD为等边三角形.
∴∠CB'D=60°.
∵EF⊥CD,
∴∠CB'F=∠CB'D=×60°=30°.
(2)∠B'AE=∠GCB'.理由如下:
图②
如图②,连接B'D,同(1)中解法二,得△B'CD为等边三角形,
∴∠CDB'=60°.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠CDA=∠DAB=90°.
∴∠B'DA=30°.
∵DB'=DA,
∴∠DAB'=∠DB'A.
∴∠DAB'=(180°-∠B'DA)=75°.
∴∠B'AE=∠DAB-∠DAB'=90°-75°=15°.
由(1)知∠CB'F=30°,
∵EF∥BC,∴∠B'CB=∠CB'F=30°.
由折叠知,∠GCB'=∠B'CB=×30°=15°.
∴∠B'AE=∠GCB'.
(3)四边形B'PD'Q为正方形.
图③
证明:如图③,连接AB',由(2)知,∠B'AE=∠GCB'.
由折叠知,∠GCB'=∠PCN,
∴∠B'AE=∠PCN.
由对折知,∠AEB'=∠CNP=90°,AE=AB,CN=BC.
又四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC.∴AE=CN.
∴△AEB'≌△CNP.∴EB'=NP.
同理可得,FD'=MQ,由对称性可知,EB'=FD'.
∴EB'=NP=FD'=MQ.
由两次对折可知,OE=ON=OF=OM,
∴OB'=OP=OD'=OQ.
∴四边形B'PD'Q为矩形.
由对折知,MN⊥EF于点O,∴PQ⊥B'D'于点O.
∴四边形B'PD'Q为正方形.(共18张PPT)
专题提升(19) 操作实践题
操作实践题是指通过动手操作对某种现象获得感性认识,再利用数学知识进行思考、探索和解决的一类问题,这类问题具有较强的实践性,能够有效考查学生的实践能力、创新意识和发散思维能力等综合素质.
操作实践题就其操作过程的形式而言,有折叠与剪拼,平移与旋转等多种变换操作.在操作中观察、探索、发现、手脑并用是这类问题的基本特征,让学生在动手操作的过程中体验数学结论与规律的发现过程,亲自体验问题情境、研究问题情趣,领略数学的奥秘.
操作实践题能够更好地促进学生对数学的理解,帮助他们提高使用数学的语言、符号进行表达交流的能力.在解决这类问题的过程中,学生能够感受到数学学习的情趣与价值,经历“数学化”和“再创造”的过程,不断提高自己的创新意识与综合能力,因此,近年来操作实践性试题颇受命题者的青睐.
解答操作实践题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并转化为我们所熟悉的数学问题,解答操作实践试题的基本步骤为:从实例或实物出发,通过具体操作实践,发现其中可能存在的规律,提出问题,检验猜想.在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等过程,利用自己已有的生活经验和数学知识去感知操作过程中发生的现象,从而发现结论,进而解决问题.
考向一
考向二
考向三
考向一 图形的展开与折叠问题
折纸是最富有自然情感而又形象的实验,它的实质是对称问题,折痕就是对称轴,而一个点折叠前后的不同位置就是对称点,“遇到折叠用对称”就是运用对称的性质:
(1)关于一条直线对称的两个图形全等;
(2)对称轴是对称点连线的中垂线.
此类题有一定的趣味性和挑战性,需要学生有折叠图形之间联系的空间概念,考查观察能力、分析能力与直觉思维能力,通过实际演示与操作给不同思维层次的学生都提供了机会.学生在解题时也可“就地取材”,剪下草稿纸的一角,动手操作即可解决.
考向一
考向二
考向三
【例1】
已知矩形纸片OABC的长为4、宽为3,以长OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系.点P是OA边上的动点(与点O,A不重合),△POC沿PC翻折得到△PEC,再在AB边上选取适当的点D,将△PAD沿PD翻折,得到△PFD,使得直线PE与PF重合.
(1)若点E落在BC边上,如图①,求点P,C,D的坐标,并求过此三点的抛物线的函数关系式;
(2)若点E落在矩形纸片OABC的内部,如图②,设OP=x,AD=y,当x为何值时,y取得最大值?
考向一
考向二
考向三
解:(1)由题意知,△POC,△PAD均为等腰直角三角形,
可得P(3,0),C(0,3),D(4,1).
设过此三点的抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),
考向一
考向二
考向三
(2)由PC平分∠OPE,PD平分∠APF,且PE与PF重合,
得∠CPD=90°.
所以∠OPC+∠APD=90°.
又∠APD+∠ADP=90°,
所以∠OPC=∠ADP.
所以Rt△POC∽Rt△DAP.
考向一
考向二
考向三
考向一
考向二
考向三
考向二 图形的移动问题
图形的移动问题是指题目中的图形通过移动,得到新图形,但在变化过程中存在变量或不变量.
通过实验动手操作来分析问题中的图形关系,从而寻求解答思路.一般综合性较强,是近几年中考的热点.考查学生解决复杂问题的能力、实验能力及空间想象能力等.
考向一
考向二
考向三
【例2】
在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A(3,0),点B(0,4),以点A为旋转中心,把△ABO顺时针旋转,得到△ACD.记旋转角为α,∠ABO为β.
(1)如图①,当旋转后点D恰好落在AB边上时,求点D的坐标;
(2)如图②,当旋转后满足BC∥x轴时,求α与β之间的数量关系.
考向一
考向二
考向三
解:(1)由点A(3,0),B(0,4),得OA=3,OB=4.
在Rt△ABO中,由勾股定理,得
考向一
考向二
考向三
(2)由题知∠CAB=α,AC=AB,
所以∠ABC=∠ACB.
在△ABC中,由∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°,
得α=180°-2∠ABC.
又由BC∥x轴,得∠OBC=90°,
有∠ABC=90°-∠ABO=90°-β,
所以α=2β.
考向一
考向二
考向三
考向一
考向二
考向三
考向三 在操作中探究
【例3】
邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,称为第二次操作……以此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形.如图甲,在?ABCD中,若AB=1,BC=2,则?ABCD为1阶准菱形.
考向一
考向二
考向三
(1)判断与推理:
①邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形;?
②小明为了剪去一个菱形,进行如下操作:如图乙,把?ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A落在BC边上的点F处,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.
(2)操作、探究与计算:
①已知?ABCD的邻边长分别为1,a(a>1),且是3阶准菱形,请画出?ABCD及裁剪线的示意图,并在图形下方写出a的值;
②已知?ABCD的邻边长分别为a,b(a>b),满足a=6b+r,b=5r,请写出?ABCD是几阶准菱形.
考向一
考向二
考向三
解:(1)①2
②由折叠知:∠ABE=∠FBE,AB=BF.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AE∥BF.
所以∠AEB=∠FBE.
所以∠AEB=∠ABE.
所以AE=AB,所以AE=BF.
所以四边形ABFE是菱形.
考向一
考向二
考向三
(2)①?ABCD及裁剪线的示意图如下:
?
②10阶准菱形.
考向一
考向二
考向三专题提升(20) 方案设计题
专题提升演练
1.一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60°的绿化带上种植四种不同的花卉,要求种植的四种花卉组成面积分别相等、形状完全相同的几何图案.某同学为此提供了如图所示的四种设计方案.其中可以满足园艺设计师要求的有( )
A.2种
B.3种
C.4种
D.1种
答案B
2.小明设计了一个利用两块相同的长方体木块测量一张桌子高度的方案,首先按图①方式放置,再交换两木块的位置,按图②方式放置.测量的数据如图,则桌子的高度是
( )
A.73
cm
B.74
cm
C.75
cm
D.76
cm
答案C
3.某化工厂,现有A种原料52
kg,B种原料64
kg,现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件.已知生产1件甲种产品需要A种原料3
kg,B种原料2
kg;生产1件乙种产品需要A种原料2
kg,B种原料4
kg,则生产方案的种数为
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案B
4.某市有甲、乙两家液化气站,他们的每罐液化气的价格、质量都相同.为了促销,甲站的液化气每罐降价25%销售;乙站的液化气第1罐按原价销售,从第2罐开始以7折优惠销售,若小明家购买8罐液化气,则最省钱的方法是买 站的.?
答案乙
5.从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后,其截成的四个相同的等腰梯形(如图①)可以拼成一个平行四边形(如图②).现有一张平行四边形纸片ABCD(如图③),已知∠A=45°,AB=6,AD=4.若将该纸片按图②的方式截成四个相同的等腰梯形,然后按图①的方式拼图,则得到的大正方形的面积为 .?
答案11+6
6.某市继2018年成功创建全国文明城市之后,又准备争创全国卫生城市,某小区积极响应,决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱,若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元,且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元/个;
(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱,如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个,且费用不超过10
000元,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少,最少是多少元.
解(1)设温馨提示牌的单价是x元/个,则垃圾箱的单价是3x元/个,由题意得2x+3×3x=550,解得x=50.故温馨提示牌的单价是50元/个,垃圾箱的单价是150元/个.
(2)设购买温馨提示牌m个,则购买垃圾箱(100-m)个,由题意得50m+150(100-m)≤1
0000,解得m≥50.
又100-m≥48,∴m≤52.
∵m为整数,
∴
m的取值为50,51,52.
方案一:当m=50时,100-m=50,即购买50个温馨提示牌和50个垃圾箱,其费用为50×50+50×150=10
000(元);
方案二:当m=51时,100-m=49,即购买51个温馨提示牌和49个垃圾箱,其费用为51×50+49×150=9
900(元);
方案三:当m=52时,100-m=48,即购买52个温馨提示牌和48个垃圾箱,其费用为52×50+48×150=9
800(元).
∵10
000>9
900>9
800,
∴方案三所需资金最少,最少是9
800元.
7.(2019浙江温州中考)某旅行团32人在景区A游玩,他们由成人、少年和儿童组成.已知儿童10人,成人比少年多12人.
(1)求该旅行团中成人与少年分别是多少人?
(2)因时间充裕,该团准备让成人和少年(至少各1名)带领10名儿童去另一景区B游玩.景区B的门票价格为100元/张,成人全票,少年8折,儿童6折,一名成人可以免费携带一名儿童.
①若由成人8人和少年5人带队,则所需门票的总费用是多少元?
②若剩余经费只有1
200元可用于购票,在不超额的前提下,最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案,并指出哪种方案购票费用最少.
解(1)设该旅行团中成人x人,少年y人,根据题意,得
解得
故该旅行团中成人17人,少年5人.
(2)①由题意得,所需门票的总费用是:100×8+100×0.8×5+100×0.6×(10-8)=1
320(元).
②设可以安排成人a人,少年b人带队,则1≤a≤17,1≤b≤5.
当10≤a≤17时,
若a=10,则费用为100×10+100×0.8×b≤1
200,解得b≤,
∴b的最大值是2,此时a+b=12,费用为1
160元.
若a=11,则费用为100×11+100×0.8×b≤1
200,解得b≤,
∴b的最大值是1,此时a+b=12,费用为1
180元.
若a≥12,则100a≥1
200,即成人门票至少需要1
200元,不合题意,舍去.当1≤a<10时,
若a=9,则费用为100×9+100×0.8×b+100×0.6×1≤1
200,解得b≤3,
∴b的最大值是3,a+b=12,费用为1
200元.
若a=8,则费用为100×8+100×0.8×b+100×0.6×2≤1
200,解得b≤,
∴b的最大值是3,a+b=11<12,不合题意,舍去.
同理,当a<8时,a+b<12,不合题意,舍去.
综上所述,最多可以安排成人和少年共12人带队,有三个方案:成人10人,少年2人;成人11人,少年1人;成人9人,少年3人.其中成人10人,少年2人时购票费用最少.(共14张PPT)
专题提升(20) 方案设计题
同一个问题往往有多种不同的解决方案,但其中常常存在最科学、最合理的方案.方案设计题有利于考查学生的创新意识和实践能力,它已成为中考命题的一大热点.
方案设计问题大多取材于生活,命题背景富有浓厚的生活气息,有利于激发同学们学习数学的兴趣.它改变了只依赖模仿和记忆的“重结果,轻过程”的学习方式,培养了同学们动手操作和实践的能力,有助于帮助同学们养成在生活中应用数学的习惯.
方案设计问题在求解时,多会涉及几何、函数、方程、不等式以及概率等知识,其主要特征是要求在众多的可行方案中确定最佳方案或最优方案.
解决方案设计问题的一般方法是:阅读,了解问题的背景和要求;观察,结合生活经验寻找问题的等量关系与不等关系;建模,应用数学知识将问题转化为数学问题;解答,求解相关的数学问题;作答,根据实际意义,对所获得的结论进行归纳、比较,确定符合题目要求的最佳方案.
考向一
考向二
考向三
考向一 利用方程(或不等式)、一次函数等知识进行方案设计
本类题是一类综合性较强的分析决策问题,涵盖了方程、不等式、一次函数等有关知识,考查学生的综合分析、归纳能力.
考向一
考向二
考向三
【例1】
某社区饮用水紧张,每天需从社区外调运饮用水120吨.有关部门紧急部署,从甲、乙两水厂调运饮用水到该社区供水点,甲厂每天最多可调出80吨饮用水,乙厂每天最多可调出90吨饮用水.从两水厂运水到该社区供水点的路程和运费如下表:
(1)若某天调运水的总运费为26
700元,则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水?
(2)设从甲厂调运饮用水x吨,总运费为W元,试写出W关于x的函数解析式,怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少?
考向一
考向二
考向三
考向一
考向二
考向三
考向一
考向二
考向三
考向二 利用几何知识进行方案设计
利用几何知识进行方案设计,不仅要有一定的几何作图能力,而且要能熟练地运用几何的有关性质及全等、相似、图形变换、方程及三角函数的有关知识,并注意充分发挥分类讨论、类比归纳、猜想验证等数学思想方法的作用.
考向一
考向二
考向三
【例2】
一种电讯信号转发装置的发射直径为31
km,现要求:在一边长为30
km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号完全覆盖这个城区.
(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?在图①中画出安装点的示意图,用大写字母M,N,P,Q表示安装点,并简要说明理由;
(2)能否找到这样的3个安装点,使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?在图②中画出示意图,并用大写字母M,N,P表示安装点,用计算、推理和文字来说明你的理由.
考向一
考向二
考向三
考向一
考向二
考向三
考向一
考向二
考向三
考向一
考向二
考向三
考向三 利用解直角三角形进行测量方案设计
这类题目的特点是在测量方案中,用有关的三角函数知识解决.
【例3】
如图,飞机沿水平方向(A,B两点所在的直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行过低,就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素,飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离),请设计一个求距离MN的方案,要求:
(1)指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.
考向一
考向二
考向三
解:此题为开放题,答案不唯一,只要方案设计合理即可.
(1)如图,测出飞机在A处对山顶的俯角α,测出飞机在B处对山顶的俯角β,测出AB的水平距离d,连接AM,BM,MN.
考向一
考向二
考向三
