2020—2021学年上学期全国百强名校“领军考试”高一数学（Word含解析）

2020—2021学年上学期全国百强名校
“领军考试”高一数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则
A．
B．
C．
D．
2．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是
A．
B．
C．
D．
3．若l，m为直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
4．已知函数，则
A．
B．
C．
D．
5．平面α截球O所得截面圆的面积为2π，球心O到平面α的距离为，则此球的表面积为
A．
B．
C．
D．
6．若圆锥的轴截面三角形面积为24，底面周长为8π，则其体积是
A．9π
B．10π
C．16π
D．32π
7．设，，，则
A．
B．
C．
D．
8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是
A．
B．
C．
D．
9．函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则
A．3
B．4
C．
D．
10．函数的大致图象是
A．
B．
C．
D．
11．已知四棱锥的侧棱长为均3，底面是边长为2正方形，则该四棱锥表面积为
A．12
B．16
C．
D．
12．若，则函数的零点的个数是
A．0
B．1
C．1或2
D．3
二、填空题：
13．设集合，，则的真子集个数为________．
14．一个圆柱形容器，它的底面直径为12cm，在这个容器内注入水并且放入一个半径为6cm的铁球，这时水面恰好和球面相切，则将球从容器内取出后，容器内水面的高是________cm．
15．已知函数，若，则实数a的范围为________．
16．如图，在直四棱柱中，底面四边形ABCD为等腰梯形，AB=4，AD=CD=DD1=2，则三棱锥的体积为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知．
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）证明函数不存在零点．
18．已知（a>0且a≠1）满足．
（1）求的值；
（2）若，求的单调区间．
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=2，PC=AC=，PD=，CD=1，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：平面PAB⊥平面PAC．
（2）设点E为AB的中点，F为棱PB的中点，且CE∥AD，证明：平面PAD∥平面CEF．
20．已知函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
21．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，AB=2，PB=，M为圆周上任意一点，N为PM的中点，且AN⊥PM．若AQ⊥PB，垂足为Q．
（1）求证：NQ⊥PB；
（2）求三棱锥P-ANQ的体积．
22．已知四棱锥P-ABED，底面梯形ABED中，AB∥DE，∠BAD=90°，AB=PD=10，AD=PB=4，平面PAB⊥底面ABED，如图：
（1）求证PB⊥面PAD；
（2）求点A到平面PBD的距离．
高一数学答案与解析
1．【答案】D
【解析】由题意得，PQ＝，∴．
2．【答案】C
【解析】对于A，是增函数，但不是奇函数；
对于B，是偶函数，在区间（-∞，0]上是增函数，在区间（0，+∞）上是减函数；
对于C，既是奇函数，又是减函数；
对于D，是奇函数，在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞）上是减函数，选C．
3．【答案】B
【解析】对于A，若若l∥α，m∥β，mα，lβ，则α和β可能平行也可能相交，故A错误；
对于B，由线面垂直的性质可得，B正确；
对于C，若l⊥α，m∥β，l⊥m，则α和β可能平行也可能相交，故C错误；
对于D，m与β的位置关系不确定，m∥β，m?β，m与β相交，都有可能，故D错误．
4．【答案】C
【解析】因为f（e-2）＝lne-2＝-2<0，所以，故选C．
5．【答案】D
【解析】截面圆的面积为2π，得半径为r=，球的半径R＝，
所以球的表面积为S＝4π×22＝16π．
6．【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，由底面周长为2πr=8π，
得r=4，又轴截面三角形面积为24，所以，得圆锥体积为．
7．【答案】C
【解析】a＝，c>0且c＝＝1，而b＝log24=2>1，因此a8．【答案】A
【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，故V=23+4×4×2=40（cm3）．
9．【答案】B
【解析】∵函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，
∴，得f（1）＝f（2），f（5）＝f（-2）＝4，
又函数f（x）是偶函数，∴f（-1）＝f（1）＝f（2）＝f（-2）＝4．
10．【答案】B
【解析】由f（x）＝2lg（|x|-1），知x>1或x<-1．排除D；
当x>1时，f（x）＝2lg（x-1）值域为R，排除C；
又因为f（x）＝2lg（x-1）在区间（1，+∞）上为增函数．故选B．
11．【答案】C
【解析】如下图，设E点为BC的中点，连接SE，
∵SB=SC，∴SE⊥BC，因为SC=3，CE=1，得SE=2，
所以表面积为．
12．【答案】C
【解析】因为函数x，x>0的图象恒过点（1，0），所以函数f（x）在（0，+）?有一个零点，函数y＝a-3x（x≤0）零点个数?函数y＝3x（x≤0）的图象与直线y＝a交点个数．数形结合（图略）可得a≤0时，函数y＝a-3x（x≤0）不存在零点．013．【答案】7
【解析】A＝{-1，0，1}，B＝{y|y≤2}，∴A∩B＝{-1，0，1}，∴A∩B的子集个数为23-1＝7．
14．【答案】4
【解析】设取出球后水面的高为x，则π×62×12-π×63＝π×62×x，解得x＝4．
故将球从容器内取出后，容器内水面的高是4cm．
15．【答案】：??
【解析】因为1<2，所以f（1）＝30+1＝2，所以f（2）＝8+2a，
所以＝f（2）＝8+2a4a，所以a4．
16．【答案】
【解析】由已知底面四边形ABCD为等腰梯形，AB=4，AD=CD=2，
得AC=，因为，所以BC⊥AC，又BC⊥C1C，
故BC⊥平面A1C1CA，即BC⊥平面AA1C，即BC点B与面AA1C的距离，
BC=2，则三棱锥B-AA1C的体积为
．
17．【命题意图】本题主要考查函数奇偶性判断方法，考察函数零点存在性判断，考查学生的数学运算能力.
【解析】（1）f（x）定义域为{x|x≠0}，
由定义域关于原点对称，f（x）＝，
，故f（x）为奇函数；
（2）证明y=f（x）=，当x>0时，2x+1>0，2x-1>0，则，即函数f（x）的图象在x轴上方；
当x<0时，2x+1>0，2x-1<0，则y<0，即函数f（x）的图象在x轴下方
综上，函数y=f（x）的图像与x轴无交点，即函数y=f（x）不存在零点．
（第2问利用f（x）=0无解证明函数y=f（x）不存在零点，同样得分．）
18．【命题意图】本题主要考查对数函数的解析式，单调性和应用以及对数运算公式，考查学生的数学运算和综合应用能力．
【解析】（1）由已知f（x）＝logax（a＞0且a≠1）满足，
则，即，得loga2=1，所以a＝2，
得f（x）＝log2x，则
=1+2+3+…10=55；
（2）g（x）＝f（2-x）+f（1+x）＝log2（2-x）+log2（1+x）．
由，得-1g（x）＝log2（2-x）+log2（1+x）＝log2（-x2+x+2），
设，
则g（x）＝log2在（-1，2）递增，
在上增，在上减，
故g（x）单调增区间为，单调减区间为．
19．【命题意图】本题主要考查四棱锥中的面面垂直的判定方法和面面平行的判定方法，考查学生的空间想象和逻辑推理能力．
【解析】（1）证明因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．
因为，，，
得，，
即∠PCA=∠PCD=90°，
又ACCD=C，得PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．又ACPC=C，所以AB⊥平面PAC．
所以平面PAB⊥平面PAC．
（2）证明由已知F为PB中点，E为AB的中点，所以EF∥PA．
又因为PA平面CEF，所以PA∥平面CEF．
由CE∥AD，AD平面CEF，所以AD∥平面CEF，
由于PAAD=A，故平面PAD∥平面CEF．
20．【命题意图】本题主要考查函数的解析式及不等式恒成立时求参数的取值范围，考查学生的逻辑推理和数学运算能力．
【解析】：（1）因为f（2）＝-1，所以2m-=-1，所以m＝2．
f（x）＝x2-，定义域为{x∈R|x≠0}；
（2）因为y＝x2，y＝-，在[5，+∞）上均为增函数，
所以f（x）在[5，+∞）上为增函数，所以f（x）≥f（5）＝23．
不等式f（x）-a＞0在[5，+∞）上恒成立，即不等式a所以a<23，所以实数a的取值范围为（-∞，23）．
21．【命题意图】本题主要考查三棱锥中的线线垂直的判定以及体积运算，考查学生的空间想象和运算求解能力．
【解析】（1）∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM．
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM．
∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM．
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN．
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM
∵PB?平面PBM，∴AN⊥PB．
∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ．
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ；
（2）由（1）知AN⊥平面PBM，∵NQ?平面PBM，∴AN⊥NQ，即ANQ为直角三角形，
由PB⊥平面ANQ，知PQ为三棱锥P-ANQ的高．
由已知AB=2，PB=，得PA=1，由N为PM的中点，
且AN⊥PM，得MA=1．PM=，BM=，AN=PN=，
由PNQ~PBM，得，
即，得，，
则三棱锥P-ANQ的体积为
22．【命题意图】本题主要考查四棱锥中的线线垂直的判定方法和点到直线的距离的求解运算，考查学生的空间想象和数学运算能力．
【解析】（1）依题意，∠BAD=90°，平面PAB⊥底面ABED，得AD⊥平面PAB，所以，，在中，AD=4，PD=10，所以，在PAB中，AB＝10，PB=4，得，所以PAB为直角三角形，PB⊥PA，又AD⊥PB，ADAP=A，故PB⊥面PAD；
（2）设点A到平面PBD的距离为h，在三棱锥P-ABD中.
由（1）可知PB⊥面，PBD为，
又
所以h＝，
即点A到平面PBD的距离为