沪教版（上海）数学八年级第二学期-22.5 等腰梯形的判定 课件（共17张ppt）

在数学的天地里，
重要的不是我们知道什么，
而是我们怎么知道什么。

——毕达哥拉斯
平移腰
作 高
补为三角形
平移对角线
其他方法
转化为三角形或平行四边形等
在梯形中常用的作辅助线方法
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
O
平 移 腰
A
B
C
D
E
E
从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。
例题：
1、如图，梯形ABCD中, AB∥CD，∠D=70°,∠ C=40 °, AB=4cm，CD=11cm，求BC.
A
B
C
D
解：（平移腰）
过B作BE∥AD交DC于E
则∠ 1= ∠ D=70°,DE=AB=4
∵△BCE中， ∠ C=40°∠1=70°
∴ ∠ 2= ∠1= 70 °
∴CB=CE=CD─DE=7(cm)
）1
2
E
4
40°
70°
7
11
分析: ∠D =70 °, ∠C =40°在一个三角形中结果会如何? 如何才能使之在同一个三角形中?
4
A
B
C
D
补 三 角 形
1、若梯形ABCD是等腰梯形时，ΔOBC是什么三角形？
2、梯形满足什么条件时， ΔOBC是直角三角形？
O
将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。
解法2：（补三角形）
A
B
C
D
O
70°
40 °
4
11
70°
7
延长DA与CB交于O
则∠ OAB=∠ D=70 °
∵∠C=40°，∠ D=70 °
∴ ∠O=70 °
∴ ∠ OAB= ∠O=∠ D=70 °
∴ OB=AB= 4，OC=CD=11
∴ BC=7
4
11
例题：
1、如图，梯形ABCD中, AB∥CD，∠D=70°，∠ C=40 ° AB=4cm,CD=11cm,求BC.
一题多解！
作 高
A
B
C
D
E
F
从梯形上底的一个顶点（或两个顶点）向下底作高线，将特殊梯形（等腰梯形、直角梯形）转化成矩形和直角三角形。
A
B
C
D
E
O
平 移 对 角 线
1、当AC⊥BD时，ΔBED是什么三角形？
2、当AC=BD时，ΔBED又是什么三角形？
3、ΔBED与梯形ABCD的面积关系如何?
从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。
分析：
如图平移对角线后，
可以得到四边形ACED是_________形，
所以AD=______, △BDE是______三角形，
从而可以得到S△ABD=_______ ，
因此S梯形ABCD=_________=_ ____ _ = cm2 .
2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=3cm，BD=4cm，求梯形ABCD的面积.
E
（平移对角线）
平行四边
CE
6
直角
例题:
3
4
S△DCE
S△BDE
BD×AC÷2
结论：当梯形的对角线相互垂直时，梯形的面积还可以
用两条对角线乘积的一半来进行计算。
分析：
如图平移对角线后，
可以得到四边形ACED是_________形，
所以AD=______, △BDE是______三角形，
从而可以得到S△ABD=_______ ，
因此S梯形ABCD= = = cm2 .
2、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=3cm，BD=3cm，求梯形ABCD的面积.
（平移对角线）
平行四边
CE
6
直角
例题:
S△DCE
A
D
C
B
E
F
3
3
等腰直角
4.5
思考：此时等腰梯形面积与高的等量关系？
S梯形ABCD=______ .
DF2
BD×AC÷2
S△BDE
结论：当等腰梯形的对角线相互垂直时，等腰梯形的
面积还可以用等腰梯形的高的平方进行计算。
其 他 方 法
A
B
C
D
O
E
构造旋转变换
梯形ABCD面积与哪个图形面积相等?
过梯形的一个顶点及一腰中点作直线（具体可利用旋转得到），与梯形底边的延长线相交，构成三个特殊三角形（其中两个成中心对称），从而将问题转化到三角形中进行解决。
3、已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。
F
证明一：延长DE交CB延长线于F
A
B
C
D
E
∴ ΔADE≌ΔBFE
∴ DE=FE，AD=BF
∵ DE ⊥CE
∴ CD=CF
即CD=CB+BF=CB+AD
∵ AE=BE,∠A= ∠ABF,∠ AED=∠BEF
分析:1、AD+BC 怎样用一条线段表示?
例题:
2、AD+BC跟梯形中哪条线段有关？
已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。
A
B
C
D
E
F
证明二：构造中位线
取CD的中点F，并连结EF
则EF为梯形的中位线。
∴2EF=AD+BC
RtΔCDE中，2EF=CD
∴CD=AD+BC
分析：EF的双重角色
一 题 多 证
例题:
反馈练习：
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD且AC=8cm，BD=15cm，则梯形的高= cm.
A
B
C
D
E
F
先用勾股定理求出BE，再用面积法求高DF。答案：120/17（cm)
2、梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=54 °，∠C=36°，AD=10，AB=12 ，CD=16 则BC= .
A
B
C
D
E
)1
16
10
12
平移腰后， 在RtΔBDE中计算出CE=20，则BC=CE+BE=30（cm）
20
15
8
17
54?
36?
A
D
B
C
60°
45 °
2
E
2
3
3、如图，梯形ABCD中, AD∥BC, ∠B=60 °,∠C=45 °
AB= ，AD=2，则梯形周长=
E`
3
下图是一个上底与两腰相等、下底是上底2倍的等腰梯形，请你将它分成四个形状和大小完全一样的四边形，如何分？
（只要求在图中画出四个形状完全一样的四边形，不要求说明理由）
趣味题:
在数学的天地里，
重要的不是我们知道什么，
而是我们怎么知道什么。

——毕达哥拉斯