5.2任意角以及三角函数的概念 同步学案

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任意角以及三角函数的概念学案
一．学习目标
初中阶段学习了锐角三角函数的概念以及应用，锐角三角函数的定义是在直角三角形利用三边的比例关系得到三角函数的定义；进入高中，需要研究三角函数的基本性质，因此需要将角的范围进行推广：将角由锐角推广至任意角；对于任意角的三角函数的概念是通过单位圆推知的。
本节课的目标：理解任意角的概念，能区分各类角的概念；掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角；理解终边相同的角的含义及其表示，并能解决有关问题；了解1弧度的角的概念，弧长公式、扇形的面积公式熟练应用，并能进行弧度与角度的互化；理解任意角的三角函数的定义并能判断任意角的三角函数值的符号；
本节课的重点在于掌握终边相同角的概念、角度与弧度的相互转化，同时三角函数的概念以及应用也是本节课的重难点。
二．基础知识梳理
1.角的概念的推广和分类：
①任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
②正角、负角和零角
我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角；这样，零角的始边与终边重合．如果是零角，那么。
③概念理解
根据角的新的定义，角的范围有什么变化？
提示：角的范围不再是以前学的锐角、直角以及钝角，而是任意的角。
如图所示，图(1)中，角的度数为，图(2)中，角的度数为，角的度数为
2.象限角：
①象限角的定义
为了讨论问题的方便，我们在直角坐标系内使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称它为轴线角(或称为象限界角)。
②概念理解
“锐角”、“第一象限角”、“小于的角”三者有何不同？
提示：锐角是第一象限角也是小于的角，而第一象限角可以是锐角，也可以大于，还可能是负角，小于的角可以是锐角，也可以是零角或负角。
3.终边相同角：
①终边相同角的定义
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
②概念理解
终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示：终边相同的角不一定相等，它们相差的整数倍；相等的角，终边相同。
求与角终边相同的最小正角。
解析：，故而答案为。
4.角的单位制：
①角度制：规定圆周角的为1°的角；用度来作为单位来度量角的单位制称为角度制；
②弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角定义为1弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制称为弧度制。
③概念理解
i扇形的圆心角的弧度数随弧长和半径的改变而变化吗？
提示：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关。
ii在半径不同的圆中，1度的角的大小是否相等？1弧度的角的大小是否相等？
提示：1度的角等于周角的，该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，
1度的角都是相等的；
1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，所以该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1弧度的角都是相等的。
5.任意角的弧度数与实数的对应关系：
①正角：正角的弧度数是一个正数；
②负角：负角的弧度数是一个负数．
③零角：零角的弧度数是0.
④如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么，角的弧度数的绝对值是
6.角度与弧度的转化
注意：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用。
7.弧度制下的弧长与扇形面积公式
扇形的半径为，弧长为，为圆心角，则扇形弧长为，周长为，扇形面积
角度制下：弧长公式，扇形面积公式
8.三角函数的定义
①定义：设任意角的终边与单位圆交于点，则，，
②一般地，设角终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，则，，
③概念理解
i三角函数值的大小与点P在终边上的位置是否有关？
提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
ii若角的终边与单位圆相交于点，则，，
9.三角函数值的符号法则
结合任意角的三角函数的定义，三角函数的值在各象限的符号如下所示：
三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即在第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正。
三．典例分析与性质总结
题型1：任意角的概念应用
例1：分别求出下图中从OA旋转到时所成的角
方法提炼：
在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向；②要明确旋转角的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置；④注意由旋转方向来确定的符号。
题型2：终边相同的角的表示
命题视角1：终边相同的角及象限角的表示
例2：视角1：将下列各角表示为的形式，并指出是第几象限角：
(1)；
(2)；
(3)
思路导引：
首先把写成的形式，然后只需判断所在的象限即可。
命题视角2：终边落在直线上的角的表示
视角2：(1)写出终边落在轴上的角的集合；
(2)终边落在上的角的集合；
(3)写出终边落在直线上的角的集合．
思路导引：
已知终边求角的一般方法是：先根据终边位置在范围内写出符合要求的角，再根据终边相同的角的集合的表示形式写出与角终边相同的角的集合，如果已知角的终边在一条直线上，则需对写出的两个集合求并集并进行化简。
命题视角3：区域角的表示
视角3：已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围．
[分析]结合图形，在范围内，写出终边在阴影部分内的角的范围，再加上的整数倍后进行集合的运算．
思路导引：
表示区间角的三个步骤,第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的范围内的角和，写出最简区间；,第三步：起始、终止边界对应角，再加上的整数倍，即得区间角集合。
题型3：弧度制的概念
例3：有关角的度量给出以下说法：
①1°的角是周角的，1
rad的角是周角的；
②1
rad的角等于1度的角；
③的角一定等于rad的角；
④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．
其中正确的说法是________．
思路导引：
解决概念辨析问题的关键是准确理解概念，如本题中要准确理解1弧度角的概念，知道角度制与弧度制的关系。
题型4：角度制与弧度制的互化
命题视角1：角度制与弧度制的换算
例4：视角1：将下列角度与弧度进行互化：
(1)；
(2)；
(3)
思路导引：
将角度转化为弧度时，在把带有分、秒的部分化为度之后，牢记即可求解；把
弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可.
命题视角2：用弧度制表示终边相同的角
视角2：(1)把写成的形式，其中；
(2)在中找出与角终边相同的角．
思路导引：
用弧度表示的与角终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为。
题型5：弧长公式与扇形面积公式
例5：(1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2　　　B．　　　C.　　　D．
(2)已知扇形的周长为10，面积为42，求扇形圆心角的弧度数．
(3)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20，求扇形的面积．
思路导引：
涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解。
题型6：利用三角函数的定义求三角函数值
例6：(1)利用定义求的正弦，余弦和正切值．
(2)已知角的终边在直线上，求的值．
思路导引：
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
(1)若已知角的大小，只需确定出角的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角的各三角函数值；
(2)若已知角终边上一点是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则
，，；
(3)若已知角终边上一点不是单位圆上的点，应先求，然后
根据三角函数定义求角的三角函数值，即，，；
(4)若角终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论。
题型7：三角函数值的符号确定
例7：判断下列各式的符号：
(1)；
(2)
思路导引：
(1)准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键；
(2)记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．
即：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。
四．变式演练与提高
1.(1)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是（
）
(2)射线绕端点顺时针旋转到位置，接着逆时针旋转到位置，然后再顺时针旋转270°到位置，则（
）
2.与角终边相同的角可以表示成(　　)
A．
B．
C．
D．
3.写出顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合，如图所示．
4.下列说法中，错误的是(　　)
A．半圆所对的圆心角是rad
B．周角的大小等于
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
5.将化为弧度；
6.将下列各角化成的形式，并指出它们是第几象限角．
(1)；(2).
7.已知一扇形的周长为8，当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面积．
8.(1)如果角的终边经过点，求的值。
(2)已知角的终边上有一点，且，求的值
9.设是第三象限角，且满足，则角为第
象限角．
五．反思总结
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”。
2.相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍。
3.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
4.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“”这一关系式．
5.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．
6.三角函数的定义
(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(3)三角函数是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．
六．课后作业
1.手表时针走过了1小时，时针转过的度数为(　　)
A．60°
B．
C．30°
D．
2.将化为的形式。
3.若角的终边和函数的图象重合，试写出角的集合。
4.将化成弧度是(　　)
A.
B．
C.
D.
5.角的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6.与角终边相同的角是(　　)
A.
B．
C.
D.
7.已知.
(1)把改写成的形式，并指出α的终边在第几象限；
(2)求角，使与角的终边相同，且.
8.已知角的终边经过点，则的值为(　　)
A．
B.
C.
D．
9.若，则点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
七．参考答案
例1：解析：
题图①中，正角；
题图②中，负角，正角
例2：解析：
视角1：(1)，而角是第一象限角，故角是第一象限角；
(2)，而角是第三象限角，故角是第三象限角；
(3)用除以的商为2，余数为，即，而角是第四象限角，故角是第四象限角。
视角2：(1)在范围内，终边在直线上的角有两个，即和，又所有与角终边相同的角的集合为，所有与角终边相同的角的集合为，
于是，终边在直线上的角的集合为．
(2)∵表示第一象限内的一条射线，
∴终边落在上的角与角的终边重合，
故终边落在上的角的集合为．
(3)如图，直线过原点，倾斜角为，
以射线为终边的角的集合为，
以射线为终边的角的集合为．
所以，终边落在直线上的角的集合为
视角3：终边在角的终边所在直线上的角的集合为，
终边在角的终边所在直线上的角的集合为，
因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为；
例3：解析：
由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；
因为，故②不正确．
例4：解析：
视角1：(1)
(2)
(3)
视角2：(1)因为，所以，其中
(2)因为，所以终边与角相同的角为
当时，；
当时，
所以在中与角终边相同的角为，.
例5：解析：
(1)
如图，过点作于，延长，交弧于，则，且.
在中，.
∴圆心角所对的弧长，故选C.
(2)解：设扇形圆心角的弧度数为，弧长为，半径为，依题意有
解得，或
当时不合题意（此时），
所以，此时，
(3)设扇形弧长为，
因为，所以；所以
例6：解析：
(1)如图所示：
的终边与单位圆的交点为，过作轴于点，在中，，，则，，则；所以，，
(2)在直线上任取一点，则
①若，则，从而，，即
②若，则，∴，，即
例7：解析：
(1)因为是第二象限角，所以；
因为是第四象限角，所以，
所以．
(2)因为是第三象限角，是第二象限角，是第四象限角，
所以，，，
从而．
四．变式演练与提高
1.解析：
(1)将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转，所以分针转过的度数为
(2)如图：
2.解析：
因为，故可以表示成，故选C
3.解析：
如题图(1)所示，以为终边的角有角，可看成是，
∴以、为终边的角的集合分别是：
,
∴终边落在阴影部分的角的集合为
如题图(2)所示，以为终边的角有角，可看成是，
∴以、为终边的角的集合分别是：
,
∴终边落在阴影部分的角的集合为
4.解析：
由弧度制的定义知D说法错误．故选D。
5.解析：
根据角度与弧度的互化原则可知，
6.解析：
(1)因为，所以.
所以与的终边相同，故是第一象限角．
(2)
角与终边相同，故是第二象限角．
7.解析：
设扇形的半径为，弧长为，则，，
．
当时，，此时，
8.解析：
(1)由题意知，
所以，，
(2)因为，，所以
又，所以，所以.
当为第一象限角时，，，则
9.解析：
因为是第三象限角，所以，所以
所以角为第二、四象限角，
又因为，所以，所以为第四象限角
六．课后作业
1.解析：
顺时针转过个周角，转过的度数为
2.解析：
由终边相同角的概念知，
3.解析：
由于的图象是三、四象限的平分线，故在间所对应的两个角分别为及，从而角的集合为或
4.解析：
5.解析：
，的终边位于第四象限，故选D
6.解析：
与角终边相同的角的集合为，当时，故选C
7.解析：
(1)∵，
∴，角与的终边相同，
∴是第四象限角．
(2)∵与角终边相同的角为，角与终边相同，∴
又∵，∴
当时，∴
8.解析：
由三角函数的定义知
；故选A
9.解析：
因为，所以，且，
所以点在第四象限，选D.
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