(共16张PPT)
角的平分线的性质
角的平分线的性质
复分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线。
O
B
A
C
OC是∠AOB的平分线
<=>
∠BOC=∠AOC
如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，
BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿
着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE
就是角平分线。你能说明它的道理吗？
探究
A
D
C
B
E
在△ADC和
△ABC中，
AD=
AB
AC=AC
DC=BC
∴△ADC
≌
△ABC
（SSS）
∴
∠DAE=∠DAE
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
A
B
C
E
N
O
M
C
E
N
M
探究
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于
ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
如何用尺规作角的平分线？
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
小问题：OC为什么是∠AOB的平分线？
要求：每个学生在练习本上画一个已知角的平分线
合作探究
1.
动手操作：在∠AOB的平分线OC是任取一点P，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.
2.
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________
C
O
B
A
PD=PE
P
D
E
得到什么结论
命题：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD
⊥OA于D
，PE
⊥OB于E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
C
已知：OC是∠AOB的平分线
，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。 求证:
PD=PE
A
O
B
E
D
P
C
∵
PD⊥OA，PE⊥OB
证明：
∴
∠PDO=
∠PEO=
90°
在△POD和△PEO中
∴
△PDO≌△PEO（AAS）
∠
PDO＝∠PEO
∠
AOC＝∠BOC
OP=OP
∴
PD＝PE
∵OC是∠AOB的平分线
∴
∠AOC＝∠BOC
∵OC是∠AOB的平分线,
且PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边距离相等)
符号语言:
角平分线性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
E
D
O
A
B
P
C
1、明确命题中的已知和求证；
2、根据题意，画出图形，并用数学符号
表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，会按照如下类似的步骤进行：
例：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
A
B
C
P
E
F
G
M
N
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
1、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
4
已知：在△OAB中，OE是∠
AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。
O
A
B
E
C
D
同学们：这节课我们学习了什么知识？
1、利用尺规画已知角的平分线
2、角平分线的性质：
∵OC是∠AOB的平分线,
且PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边距离相等)
E
D
O
A
B
P
C
3、角平分线的性质的应用
在应用过程中我们应注意些什么？
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD
于H，FM⊥BC于M，
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE，
FM⊥BC，
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD平分线上，
FH⊥AD，
FM⊥BC.
∴FM=FH.
∴FG=FH，
∴点F在∠DAE的平分线上.
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
课堂练习(共14张PPT)
学习目标
1、掌握角平分线的判定方法。
2、掌握角平分线的性质与判定的综合应用。
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言：
∵
OC平分∠AOB，
且PD⊥OA，
PE⊥OB
∴
PD=
PE
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的性质：
不必再证全等
O
D
E
P
A
C
B
反过来，到一个角的两边的距离相等
的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明:
∵
QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴
∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）
在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO＝QO（公共边）
QD=QE
∴
Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴
∠
QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵
QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用数学语言表示为：
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵
QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴
QD＝QE
用数学语言表示为：
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
A
B
C
E
F
D
利用结论，解决问题
练一练
1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?
如图,
直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,
现要建一个货物中转站,
要求它到三条公路的距离相等,
可选择的地址有（
）
拓展延伸
l
1
l
3
l
2
A.一处
B.
两处
C.三处
D.四处
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
已知:BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD,CE交点F,CF=BF,
求证:点F在∠A的平分线上.
课堂练习
D
E
F
C
A
B
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
1、角平分线的判定：
2、三角形角平分线的交点性质：
三角形的三条角平分线交于一点。
3、角的平分线的辅助线作法：
见角平分线就作两边垂线段。
4、角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°M是
BC的中点，DM平分∠ADC
求证：AM平分∠DAB
A
B
C
D
M
拓展与延伸
已知：如图,在△ABC中，
BD＝CD,
∠1=
∠2.
求证：AD平分∠BAC
D
A
B
C
1
2
拓展与延伸
