人教版九年级下册数学 28.2.1解直角三角形 同步练习（Word版 含解析）

28.2.1解直角三角形 同步练习
一．选择题
1．在锐角等腰△ABC中，AB＝AC，sinA＝，则cosC的值是（　　）
A． B．2 C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AB＝10，则直角边BC的长是（　　）
A．10sin40° B．10cos40° C．10tan40° D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA到点D，使AD＝AB，连接BD．根据此图形可求得tan15°的值是（　　）
A．2﹣ B．2+ C． D．
4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，cosC＝，则△BCD与△ABD的面积比是（　　）
A．1：3 B．2：7 C．2：9 D．2：11
5．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上的一点，且AF：FC＝4：1，EF⊥AC于点F，连结FB．则tan∠BFC的值为（　　）
A． B． C． D．
7．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，连接AC，则tan∠ACD的值等于（　　）
A．2 B．2+ C．1+ D．2
8．如图，已知D是AB上一点，CD⊥AC于C，AD：DB＝2：3，sin∠DCB＝，AC＝10，则BC的长为（　　）
A．15 B．20 C．5 D．25
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，如果AD＝BC，那么tan∠B的值是（　　）
A．1 B． C． D．
10．如图，已知AD是等腰△ABC底边BC上的高，sinB＝，点E在AC上，且AE：EC＝2：3，则tan∠ADE＝（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．已知：如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝6，AC＝6，AD是BC边上的高，则BC的长为　 　．
12．在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥直线AC于点D，若cos∠BAD＝，BD＝2，则CD为　 　．
13．已知在△ABC中，tanB＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为D，且＝2，则△ABC的面积为　 　．
14．等边△ABC中，点P是BC所在直线上一点，且PC：BC＝1：4，则tan∠APB的值是　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD：AC＝1：3，则tan∠CAD＝　 　．
三．解答题
16．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cosB＝，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）求AE的长；
（3）求sin∠ADB的值．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，CF⊥BD，垂足为点F，延长CF与边AB交于点E．求：
（1）∠ACE的正切值；
（2）线段AE的长．
参考答案
一．选择题
1．解：如图，过B作BD⊥AC于D，
∵sinA＝＝，
∴设BD＝4k，AB＝5k，
∴AD＝＝3k，
∵AB＝AC＝5k，
∴CD＝2k，
∴BC＝＝2k，
∴cosC＝＝＝，
故选：D．
2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
cosB＝，
BC＝10cos40°．
故选：B．
3．解：设AB＝AD＝2x，
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，AB＝2x，
∴BC＝AB＝x，AC＝BC＝x，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD＝∠BAC＝15°，
∴tanD＝＝＝2﹣，即tan15°＝2﹣；
故选：A．
4．解：作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝BC，
∵在Rt△AEC中，cosC＝＝，
∴AC＝3EC，
∴AC＝BC，
在Rt△BCD中，cosC＝＝，
∴BC＝3CD，
∴AC＝CD，
∴＝，
∴＝＝＝，
故选：B．
5．解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，
∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵AE＝5，DE∥BC，
∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，
∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，
故选：A．
6．解：设AB＝2x，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝x，AC＝AB?cos∠A＝2x?＝x．
∵AF：FC＝4：1，
∴FC＝AC＝x，
∴tan∠CFB＝＝＝．
故选：C．
7．解：如图作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABD＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠ABH＝45°，
∵∠AHB＝90°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝BH，
设AH＝BH＝a，则AB＝a，BD＝a，BC＝CD＝a，CH＝a+a，
∵∠AHB＝∠DCB＝90°，
∴AH∥DC，
∴∠ACD＝∠CAH，
∴tan∠ACD＝tan∠CAH＝＝+1，
故选：C．
8．解：如图，作DE∥AC交BC于E．
∵DE∥AC，
∴＝＝＝，∠CDE＝∠ACD＝90°，
∵AC＝10，
∴DE＝6，
∴sin∠DCB＝＝，
∴EC＝10，
∵＝，
∴BE＝15，
∴BC＝EC+BE＝10+15＝25．
故选：D．
9．解：∵AD是BC边上的中线，
∴设BD＝CD＝x，
则AD＝BC＝2x，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝x，
则tan∠B＝＝＝，
故选：C．
10．解：如图．作EF∥CD交AD于F点．
∵sinB＝sinC＝＝，
∴设AD＝4x，则AC＝5x，CD＝3x，
∵＝＝，
∴FD＝x，AF＝x．
∵＝＝，
∴EF＝x．
∴tan∠ADE＝＝，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠C＝60°，AC＝6，
∴CD＝ACcos∠C＝6cos60°＝6×＝3，
AD＝ACsin∠C＝6sin60°＝6×＝3，
∵AB＝6，
∴BD＝＝＝9，
∴BC＝CD+BD＝3+9＝12，
故答案为：12．
12．解：∵cos∠BAD＝，
∴设AD＝2x，AB＝3x，
过点B作BD⊥AC于D，
根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，
即（2x）2+（2 ）2＝（3x）2，
解得x＝2，
∴AD＝4，AB＝6，
如图1，△ABC是锐角三角形时，CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2，
如图2，△ABC是钝角三角形时，CD＝AC+AD＝6+4＝10；
综上所述，CD的长为2或10．
故答案为：2或10．
13．解：当△ABC是锐角三角形时，如图1，
∵BC＝6，＝2，
∴BD＝4，
∵tanB＝，
∴＝，
∴AD＝，
∴S△ABC＝＝＝8；
当△ABC是钝角三角形时，如图2，
∵BC＝6，＝2，
∴BD＝12，
∵tanB＝，
∴＝，
∴AD＝8，
∴S△ABC＝＝＝24，
综上，△ABC的面积为8或24，
故答案为8或24．
14．解：如图，过A作AD⊥BC于D，
设等边△ABC的边长为4a，则DC＝2a，AD＝2a，PC＝a，
当P在BC的延长线上时，DP＝DC+CP＝2a+a＝3a，
在Rt△ADP中，tan∠APD＝＝＝；
当P点在线段BC上，即在P′的位置，则DP′＝DC﹣CP′＝a，
在Rt△ADP′中，tan∠AP′D＝＝＝2．
故答案为2或．
15．解：过点D作DE⊥AC，与AC的延长线交于点E，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE＝∠B，
∵sinB＝，
∴，
不妨设DE＝4x，则CD＝5x，
∴，
∵CD：AC＝1：3，
∴AC＝3CD＝15x，
∴AE＝AC+CE＝18x，
∴tan∠CAD＝，
故答案为
三．解答题
16．解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，cosB＝，BC＝10，
∴AB＝BC?cosB＝10×＝6．
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC＝＝＝8．
∵AE是BC边的高，
∴AC?AB＝BC?AE，即×8×6＝×10AE，
∴AE＝．
（3）Rt△ABC中，AD是BC边的中线，BC＝10，
∴AD＝BC＝5．
在Rt△AED中，∠AED＝90°，AD＝5，AE＝，
∴sin∠ADB＝＝＝．
17．解：（1）∵tanB＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝1，
∴CD＝3，
∴AD＝；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵tanB＝，可设DE＝3y，则BE＝4y，
∵BE2+DE2＝BD2，
∴（3y）2+（4y）2＝12，
解得，y＝﹣（舍），或y＝，
∴，
∴sinα＝．
18．解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，
又∵CF⊥BD，
∴∠CFB＝90°，
∴∠BCE+∠CBD＝90°，
∴∠ACE＝∠CBD，
∵AC＝4且D是AC的中点，
∴CD＝2，
又∵BC＝3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°．
∴tan∠CBD＝＝，
∴tan∠ACE＝tan∠CBD＝；
（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，
在Rt△EHA中，∠EHA＝90°，
∴tanA＝，
∵BC＝3，AC＝4，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴tanA＝＝，
∴＝，
设EH＝3k，AH＝4k，
∵AE2＝EH2+AH2，
∴AE＝5k，
在Rt△CEH中，∠CHE＝90°，
∴tan∠ECA＝＝，
∴CH＝k，
∴AC＝AH+CH＝k＝4，
解得：k＝，
∴AE＝．