2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高一上学期期中数学试卷 （解析版）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高一上学期期中数学试卷 （解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 737.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-20 11:21:32 | ||
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文档简介
2020-2021学年江苏省淮安市高中校协作体高一（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．设集合A＝{2，x，x2}，若1∈A，则x的值为（ ）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
2．命题“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（ ）
A．?x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．?x∈（﹣∞，0），x3+x≥0
C．?x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．?x0∈[0，+∞），x03+x0≥0
3．已知f（x）＝，则f（3）为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．函数f（x）＝x2﹣2x﹣8零点是（ ）
A．2和﹣4 B．﹣2和4
C．（2，0）和（﹣4，0） D．（﹣2，0）和（4，0）
5．函数y＝的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．[0，1] C．（0，1] D．[1，+∞）
7．已知函数f（x）＝的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．（，] B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（，+∞）
8．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声调m0（m0约为10﹣12，单位：W/m2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）米．
A．5 B．10 C．45 D．48
二、多项选择题（共4小题）.
9．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（ ）
A．A∩B＝{0，1} B．?UB＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8
10．下列函数中，在区间（0，1）上满足对任意的实数x1≠x2，都有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0的是（ ）
A．y＝|x| B．y＝x+3 C． D．y＝x2+2x
11．已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列正确的是（ ）
A． B．a+b∈（21，78）
C．a﹣b∈（﹣9，42） D．
12．已知函数y＝x++1（x＜0），则该函数（ ）
A．最小值为5 B．最大值为﹣3 C．没有最小值 D．没有最大值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则M、N的大小关系为 ．
14．已知f（x+1）＝x2+1，则f（3）＝ ．
15．命题“?x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是
16．已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则＝ ，b+c+的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）求值：
（1）；
（2）log25．
18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12≤0}，B＝{x|x2﹣mx﹣6m2≤0，m＞0}．
（1）求集合A，B；
（2）若x∈A是x∈B成立的_____条件，判断实数m是否存在？
19．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）画出函数f（x）的图象，并写出函数的单调区间；
（2）若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有3个交点，请由（1）中函数图象直接写出m的取值范围．
20．（12分）设集合A＝{x|x2﹣4＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．
（1）若A∩B＝{﹣2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．
（Ⅰ）若a＝2，试求函数y＝（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）＝0．
（1）若f（x）在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的的值．
参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A＝{2，x，x2}，若1∈A，则x的值为（ ）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
【分析】利用集合A中的元素1属于集合A，将1代入，求出x，将x的值代入集合A，进行检验，即得答案．
解：∵集合A＝{2，x，x2}，且1∈A，
∴x＝1或x2＝1，
即x＝﹣1或x＝1，
当x＝1时，x＝x2，故x＝1舍去，
当x＝﹣1时，A＝{2，﹣1，1}，符合题意．
故选：A．
2．命题“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（ ）
A．?x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．?x∈（﹣∞，0），x3+x≥0
C．?x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．?x0∈[0，+∞），x03+x0≥0
【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．
解：∵命题“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．
∴其否定命题为：?x0∈[0，+∞），x03+x0＜0
故选：C．
3．已知f（x）＝，则f（3）为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（5）、f（7）的值，然后经过转换，由此可以得到f（3）值．
解：由题意得：
f（3）＝f（5）＝f（7）
∵7≥6，
∴f（7）＝7﹣5＝2．
故选：A．
4．函数f（x）＝x2﹣2x﹣8零点是（ ）
A．2和﹣4 B．﹣2和4
C．（2，0）和（﹣4，0） D．（﹣2，0）和（4，0）
【分析】通过函数的零点与方程根的关系，求解即可．
解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣8零点，解得方程x2﹣2x﹣8＝0的解，
解得x＝﹣2或x＝4，
所以函数f（x）＝x2﹣2x﹣8零点是：﹣2和4．
故选：B．
5．函数y＝的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】将函数的解析式变形后，根据函数图象的平移变换法则我们可得函数的图象是由反比例函数的图象向右平移一个单位再向上平移一个单位得到的，结合反比例函数的性质及及函数图象平移法则，易得到结论．
解：函数＝的图象是由函数的图象向右平移一个单位再向上平移一个单位得到的，
故函数函数在区间（﹣∞，1）和（1，+∞）上都单调递增；
分析四个答案中的图象易得只有B中的图象符合要求；
故选：B．
6．函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．[0，1] C．（0，1] D．[1，+∞）
【分析】函数f（x）的定义域为R，则被开方数恒大于等于0，然后对a分类讨论进行求解，当a＝0时满足题意，当a≠0时，利用二次函数的性质解题即可．
解：∵函数f（x）＝的定义域为R，
∴说明对任意的实数x，都有ax2+2ax+1≥0成立，
当a＝0时，1＞0显然成立，
当a≠0时，需要，
解得：0＜a≤1，
综上，函数f（x）的定义域为R的实数a的取值范围是[0，1]，
故选：B．
7．已知函数f（x）＝的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．（，] B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（，+∞）
【分析】运用分段函数以及一次函数，简化函数的单调性，函数的值域列出不等式组，求解即可．
解：函数f（x）＝的值域为R，
可得：，解得≤a．
故选：C．
8．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声调m0（m0约为10﹣12，单位：W/m2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）米．
A．5 B．10 C．45 D．48
【分析】设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学的声强为10m，喷出泉水高度为50，根据题意可得lgm﹣lgm0＝0.2x，1+lgm﹣lgm0＝10，两式相减即可求出x的值．
解：设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学的声强为10m，喷出泉水高度为50，
由10lg＝2x，得lgm﹣lgm0＝0.2x，①
∵，∴1+lgm﹣lgm0＝10，②
①﹣②得：﹣1＝0.2x﹣10，
解得x＝45，
∴B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45米．
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（ ）
A．A∩B＝{0，1} B．?UB＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8
【分析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．
解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，
∴A∩B＝{0，1}，故A正确，
?UB＝{2，4}，故B错误，
A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，
集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误
故选：AC．
10．下列函数中，在区间（0，1）上满足对任意的实数x1≠x2，都有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0的是（ ）
A．y＝|x| B．y＝x+3 C． D．y＝x2+2x
【分析】根据常见函数的性质判断函数的单调性即可．
解：由题意得：函数在（0，1）递增，
对于A：函数在（0，1）递增，符合题意，故A正确；
对于B：函数在R递增，故B正确；
对于C：函数在（0，1）递减，故C错误；
对于D：函数的对称轴是x＝﹣1，故函数在（0，1）递增，符合题意，故D正确
故选：ABD．
11．已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列正确的是（ ）
A． B．a+b∈（21，78）
C．a﹣b∈（﹣9，42） D．
【分析】根据条件利用不等式的基本性质，即可逐一判断各选项．
解：A．∵15＜b＜18，∴，又6＜a＜60，∴，故A正确；
B．∵6＜a＜60，15＜b＜18，∴21＜a+b＜78，故B正确；
C．∵15＜b＜18，∴﹣18＜﹣b＜﹣15，又6＜a＜60，∴﹣12＜a﹣b＜45，故C错误；
D．∵6＜a＜60，15＜b＜18，∴21＜a+b＜78，，∴，故D错误．
故选：AB．
12．已知函数y＝x++1（x＜0），则该函数（ ）
A．最小值为5 B．最大值为﹣3 C．没有最小值 D．没有最大值
【分析】由函数y＝x++1（x＜0），转化为y＝﹣（﹣x+）+1，根据基本不等式求得最值即可．
解：∵函数y＝x++1（x＜0），
∴可转化为y＝﹣（﹣x+）+1≤﹣2+1＝﹣3，
当且仅当﹣x＝时，即x＝﹣2时取等号；
故该函数的最大值为﹣3，没有最小值．
故选：BC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则M、N的大小关系为 M＞N ．
【分析】利用作差法，判断出M﹣N的符号即可获解．
解：M﹣N＝2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）
＝a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2＞0，
故M＞N．
故答案为：M＞N．
14．已知f（x+1）＝x2+1，则f（3）＝ 5 ．
【分析】根据题意，令x+1＝3，解可得x＝2，将x＝2代入f（x+1）＝x2+1中，计算可得答案．
解：根据题意，若x+1＝3，则x＝2，
在f（x+1）＝x2+1中，令x＝2可得：f（3）＝22+1＝5，
故答案为：5．
15．命题“?x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，通过特称命题是假命题，求出a的范围．
解：∵命题“?x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，
∴原命题的否定，“存在实数x，使x2﹣2ax+1≤0”为真命题，
∴△＝4a2﹣4≥0，
∴a≤﹣1或a≥1．
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
16．已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则＝ ﹣ ，b+c+的最小值为 8 ．
【分析】根据不等式的解集可得a，b，c之间的关系，然后将b+c+用a表示，再用基本不等式求其最小值即可．
解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，
∴2，3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＞0，
∴2+3＝﹣，2×3＝，
即b＝﹣5a，c＝6a，
∴＝﹣，
∴b+c+＝﹣5a+6a+＝a+2+﹣2≥2﹣2＝10﹣2＝8，
当且仅当a+2＝，即a＝3时取等号，
故b+c+的最小值为8，
故答案为：﹣，8．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）求值：
（1）；
（2）log25．
【分析】（1）指数幂的运算性质，求解．（2）对数的运算性质，求解．
解：（1）
＝
＝；
（2）＝；
所以（1）原式＝，（2）原式＝．
18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12≤0}，B＝{x|x2﹣mx﹣6m2≤0，m＞0}．
（1）求集合A，B；
（2）若x∈A是x∈B成立的_____条件，判断实数m是否存在？
【分析】（1）根据不等式的解法分别求出不等式的解集即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可．
解：（1）由x2﹣4x﹣12≤0得﹣2≤x≤6，故集合A＝{x|﹣2≤x≤6}，
由x2﹣mx﹣6m2≤0得﹣2m≤x≤3m，故集合B＝{x|﹣2m≤x≤3m，m＞0}．
（2）若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，
则有，解得m≥2，
所以，实数m的取值范围是[2，+∞）．
若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，
则有，解得0＜m≤1，
所以，实数m的取值范围是（0，1]．
若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于集合B，
则有，方程组无解．
所以，不存在满足条件的实数m．
19．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）画出函数f（x）的图象，并写出函数的单调区间；
（2）若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有3个交点，请由（1）中函数图象直接写出m的取值范围．
【分析】（1）描点画图即可；由图象直接得到函数单调区间；
（2）由图象直接得到m的取值范围．
解：（1）图象如图所示，
由图象可得函数在（﹣∞，1]，（2，+∞）上为增函数，在（1，2]上为减函数，
（2）直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有3个交点，则由（1）的图象可得m的取值范围为（﹣1，0）．
20．（12分）设集合A＝{x|x2﹣4＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．
（1）若A∩B＝{﹣2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【分析】（1）可求出A＝{﹣2，2}，根据A∩B＝{﹣2}即可得出﹣2∈B，从而可解出a的值，然后验证所得a的值是否满足题意即可；
（2）根据A∪B＝A可得出B?A，然后可讨论△的取值情况：△＜0，即a＜﹣3时，显然满足题意；△＝0，即a＝﹣3时，B＝{2}，满足题意；△＞0，即a＞﹣3时，可得出B＝{﹣2，2}，然后根据韦达定理求出a的值，最后即可得出a的取值范围．
解：（1）A＝{﹣2，2}，
∵A∩B＝{﹣2}，
∴﹣2∈B，4﹣4（a+1）+a2﹣5＝0，解得a＝﹣1或5，
a＝﹣1时，B＝{﹣2，2}，A∩B＝{﹣2，2}，不满足题意，应舍去，
∴a＝5；
（2）∵A∪B＝A，
∴B?A，
①△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＜0，即a＜﹣3时，B＝?，满足题意；
②△＝0，即a＝﹣3时，B＝{2}，满足题意；
③△＞0，即a＞﹣3时，B＝{﹣2，2}，则，解得a＝﹣1，
综上得，实数a的取值范围为{a|a≤﹣3或a＝﹣1}．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．
（Ⅰ）若a＝2，试求函数y＝（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由y＝＝＝x﹣4．利用基本不等式即可求得函数的最小值；
（Ⅱ）由题意可得不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在[0，2]恒成立”．不妨设g（x）＝x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．
解：（Ⅰ）依题意得y＝＝＝x﹣4．
因为x＞0，所以x，当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．
所以y≥﹣2．
所以当x＝1时，y＝的最小值为﹣2．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）﹣a＝x2﹣2ax﹣1，所以要使得“?x∈[0，2]，
不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在[0，2]恒成立”．
不妨设g（x）＝x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．
因为g（x）＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣1﹣a2，
所以即，解得a≥．
所以a的取值范围是[，+∞）． …（13分）
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）＝0．
（1）若f（x）在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的的值．
【分析】（1）由f（1）＝0可得b＝1，求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）由f（x）在区间（2，3）上有零点，结合二次函数的图象和性质，可得关于a的不等式组，解得实数a的取值范围；
（3）根据二次函数f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x＝a，分类讨论[0，3]与对称轴位置关系，进而结合f（x）在[0，3]上的最大值是2，可求实数a的值．
解：（1）∵函数f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+b，
由f（1）＝0，得﹣1+2a﹣2a+b＝0，
解得：b＝1；
故f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+1，对称轴x＝a，
若f（x）在区间（2，3）上为单调函数，
则a＞3或a＜2；
（2）由（1）f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+1，对称轴x＝a，
又f（x）在区间（2，3）上有零点，且f（x）的一个零点是1；
所以??＜a＜2．
（3）∵f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x＝a．
①当a≤0时，fmax＝f（0）＝﹣2a+1＝2，则a＝﹣；
②当0＜a＜3时，fmax＝f（a）＝a2﹣2a+1＝2，则a＝1+，或a＝1﹣（舍去）；
③当a≥3时，fmax＝f（3）＝4a﹣8＝2，则a＝（舍去）；
综上：a＝﹣或a＝1+．
一、选择题（共8小题）.
1．设集合A＝{2，x，x2}，若1∈A，则x的值为（ ）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
2．命题“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（ ）
A．?x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．?x∈（﹣∞，0），x3+x≥0
C．?x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．?x0∈[0，+∞），x03+x0≥0
3．已知f（x）＝，则f（3）为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．函数f（x）＝x2﹣2x﹣8零点是（ ）
A．2和﹣4 B．﹣2和4
C．（2，0）和（﹣4，0） D．（﹣2，0）和（4，0）
5．函数y＝的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．[0，1] C．（0，1] D．[1，+∞）
7．已知函数f（x）＝的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．（，] B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（，+∞）
8．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声调m0（m0约为10﹣12，单位：W/m2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）米．
A．5 B．10 C．45 D．48
二、多项选择题（共4小题）.
9．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（ ）
A．A∩B＝{0，1} B．?UB＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8
10．下列函数中，在区间（0，1）上满足对任意的实数x1≠x2，都有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0的是（ ）
A．y＝|x| B．y＝x+3 C． D．y＝x2+2x
11．已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列正确的是（ ）
A． B．a+b∈（21，78）
C．a﹣b∈（﹣9，42） D．
12．已知函数y＝x++1（x＜0），则该函数（ ）
A．最小值为5 B．最大值为﹣3 C．没有最小值 D．没有最大值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则M、N的大小关系为 ．
14．已知f（x+1）＝x2+1，则f（3）＝ ．
15．命题“?x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是
16．已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则＝ ，b+c+的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）求值：
（1）；
（2）log25．
18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12≤0}，B＝{x|x2﹣mx﹣6m2≤0，m＞0}．
（1）求集合A，B；
（2）若x∈A是x∈B成立的_____条件，判断实数m是否存在？
19．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）画出函数f（x）的图象，并写出函数的单调区间；
（2）若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有3个交点，请由（1）中函数图象直接写出m的取值范围．
20．（12分）设集合A＝{x|x2﹣4＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．
（1）若A∩B＝{﹣2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．
（Ⅰ）若a＝2，试求函数y＝（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）＝0．
（1）若f（x）在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的的值．
参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A＝{2，x，x2}，若1∈A，则x的值为（ ）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
【分析】利用集合A中的元素1属于集合A，将1代入，求出x，将x的值代入集合A，进行检验，即得答案．
解：∵集合A＝{2，x，x2}，且1∈A，
∴x＝1或x2＝1，
即x＝﹣1或x＝1，
当x＝1时，x＝x2，故x＝1舍去，
当x＝﹣1时，A＝{2，﹣1，1}，符合题意．
故选：A．
2．命题“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（ ）
A．?x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．?x∈（﹣∞，0），x3+x≥0
C．?x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．?x0∈[0，+∞），x03+x0≥0
【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．
解：∵命题“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．
∴其否定命题为：?x0∈[0，+∞），x03+x0＜0
故选：C．
3．已知f（x）＝，则f（3）为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（5）、f（7）的值，然后经过转换，由此可以得到f（3）值．
解：由题意得：
f（3）＝f（5）＝f（7）
∵7≥6，
∴f（7）＝7﹣5＝2．
故选：A．
4．函数f（x）＝x2﹣2x﹣8零点是（ ）
A．2和﹣4 B．﹣2和4
C．（2，0）和（﹣4，0） D．（﹣2，0）和（4，0）
【分析】通过函数的零点与方程根的关系，求解即可．
解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣8零点，解得方程x2﹣2x﹣8＝0的解，
解得x＝﹣2或x＝4，
所以函数f（x）＝x2﹣2x﹣8零点是：﹣2和4．
故选：B．
5．函数y＝的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】将函数的解析式变形后，根据函数图象的平移变换法则我们可得函数的图象是由反比例函数的图象向右平移一个单位再向上平移一个单位得到的，结合反比例函数的性质及及函数图象平移法则，易得到结论．
解：函数＝的图象是由函数的图象向右平移一个单位再向上平移一个单位得到的，
故函数函数在区间（﹣∞，1）和（1，+∞）上都单调递增；
分析四个答案中的图象易得只有B中的图象符合要求；
故选：B．
6．函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．[0，1] C．（0，1] D．[1，+∞）
【分析】函数f（x）的定义域为R，则被开方数恒大于等于0，然后对a分类讨论进行求解，当a＝0时满足题意，当a≠0时，利用二次函数的性质解题即可．
解：∵函数f（x）＝的定义域为R，
∴说明对任意的实数x，都有ax2+2ax+1≥0成立，
当a＝0时，1＞0显然成立，
当a≠0时，需要，
解得：0＜a≤1，
综上，函数f（x）的定义域为R的实数a的取值范围是[0，1]，
故选：B．
7．已知函数f（x）＝的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．（，] B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（，+∞）
【分析】运用分段函数以及一次函数，简化函数的单调性，函数的值域列出不等式组，求解即可．
解：函数f（x）＝的值域为R，
可得：，解得≤a．
故选：C．
8．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声调m0（m0约为10﹣12，单位：W/m2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）米．
A．5 B．10 C．45 D．48
【分析】设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学的声强为10m，喷出泉水高度为50，根据题意可得lgm﹣lgm0＝0.2x，1+lgm﹣lgm0＝10，两式相减即可求出x的值．
解：设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学的声强为10m，喷出泉水高度为50，
由10lg＝2x，得lgm﹣lgm0＝0.2x，①
∵，∴1+lgm﹣lgm0＝10，②
①﹣②得：﹣1＝0.2x﹣10，
解得x＝45，
∴B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45米．
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（ ）
A．A∩B＝{0，1} B．?UB＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8
【分析】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可．
解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，
∴A∩B＝{0，1}，故A正确，
?UB＝{2，4}，故B错误，
A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，
集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误
故选：AC．
10．下列函数中，在区间（0，1）上满足对任意的实数x1≠x2，都有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0的是（ ）
A．y＝|x| B．y＝x+3 C． D．y＝x2+2x
【分析】根据常见函数的性质判断函数的单调性即可．
解：由题意得：函数在（0，1）递增，
对于A：函数在（0，1）递增，符合题意，故A正确；
对于B：函数在R递增，故B正确；
对于C：函数在（0，1）递减，故C错误；
对于D：函数的对称轴是x＝﹣1，故函数在（0，1）递增，符合题意，故D正确
故选：ABD．
11．已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列正确的是（ ）
A． B．a+b∈（21，78）
C．a﹣b∈（﹣9，42） D．
【分析】根据条件利用不等式的基本性质，即可逐一判断各选项．
解：A．∵15＜b＜18，∴，又6＜a＜60，∴，故A正确；
B．∵6＜a＜60，15＜b＜18，∴21＜a+b＜78，故B正确；
C．∵15＜b＜18，∴﹣18＜﹣b＜﹣15，又6＜a＜60，∴﹣12＜a﹣b＜45，故C错误；
D．∵6＜a＜60，15＜b＜18，∴21＜a+b＜78，，∴，故D错误．
故选：AB．
12．已知函数y＝x++1（x＜0），则该函数（ ）
A．最小值为5 B．最大值为﹣3 C．没有最小值 D．没有最大值
【分析】由函数y＝x++1（x＜0），转化为y＝﹣（﹣x+）+1，根据基本不等式求得最值即可．
解：∵函数y＝x++1（x＜0），
∴可转化为y＝﹣（﹣x+）+1≤﹣2+1＝﹣3，
当且仅当﹣x＝时，即x＝﹣2时取等号；
故该函数的最大值为﹣3，没有最小值．
故选：BC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则M、N的大小关系为 M＞N ．
【分析】利用作差法，判断出M﹣N的符号即可获解．
解：M﹣N＝2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）
＝a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2＞0，
故M＞N．
故答案为：M＞N．
14．已知f（x+1）＝x2+1，则f（3）＝ 5 ．
【分析】根据题意，令x+1＝3，解可得x＝2，将x＝2代入f（x+1）＝x2+1中，计算可得答案．
解：根据题意，若x+1＝3，则x＝2，
在f（x+1）＝x2+1中，令x＝2可得：f（3）＝22+1＝5，
故答案为：5．
15．命题“?x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，通过特称命题是假命题，求出a的范围．
解：∵命题“?x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，
∴原命题的否定，“存在实数x，使x2﹣2ax+1≤0”为真命题，
∴△＝4a2﹣4≥0，
∴a≤﹣1或a≥1．
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
16．已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则＝ ﹣ ，b+c+的最小值为 8 ．
【分析】根据不等式的解集可得a，b，c之间的关系，然后将b+c+用a表示，再用基本不等式求其最小值即可．
解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，
∴2，3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＞0，
∴2+3＝﹣，2×3＝，
即b＝﹣5a，c＝6a，
∴＝﹣，
∴b+c+＝﹣5a+6a+＝a+2+﹣2≥2﹣2＝10﹣2＝8，
当且仅当a+2＝，即a＝3时取等号，
故b+c+的最小值为8，
故答案为：﹣，8．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）求值：
（1）；
（2）log25．
【分析】（1）指数幂的运算性质，求解．（2）对数的运算性质，求解．
解：（1）
＝
＝；
（2）＝；
所以（1）原式＝，（2）原式＝．
18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12≤0}，B＝{x|x2﹣mx﹣6m2≤0，m＞0}．
（1）求集合A，B；
（2）若x∈A是x∈B成立的_____条件，判断实数m是否存在？
【分析】（1）根据不等式的解法分别求出不等式的解集即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可．
解：（1）由x2﹣4x﹣12≤0得﹣2≤x≤6，故集合A＝{x|﹣2≤x≤6}，
由x2﹣mx﹣6m2≤0得﹣2m≤x≤3m，故集合B＝{x|﹣2m≤x≤3m，m＞0}．
（2）若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，
则有，解得m≥2，
所以，实数m的取值范围是[2，+∞）．
若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，
则有，解得0＜m≤1，
所以，实数m的取值范围是（0，1]．
若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于集合B，
则有，方程组无解．
所以，不存在满足条件的实数m．
19．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）画出函数f（x）的图象，并写出函数的单调区间；
（2）若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有3个交点，请由（1）中函数图象直接写出m的取值范围．
【分析】（1）描点画图即可；由图象直接得到函数单调区间；
（2）由图象直接得到m的取值范围．
解：（1）图象如图所示，
由图象可得函数在（﹣∞，1]，（2，+∞）上为增函数，在（1，2]上为减函数，
（2）直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有3个交点，则由（1）的图象可得m的取值范围为（﹣1，0）．
20．（12分）设集合A＝{x|x2﹣4＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．
（1）若A∩B＝{﹣2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【分析】（1）可求出A＝{﹣2，2}，根据A∩B＝{﹣2}即可得出﹣2∈B，从而可解出a的值，然后验证所得a的值是否满足题意即可；
（2）根据A∪B＝A可得出B?A，然后可讨论△的取值情况：△＜0，即a＜﹣3时，显然满足题意；△＝0，即a＝﹣3时，B＝{2}，满足题意；△＞0，即a＞﹣3时，可得出B＝{﹣2，2}，然后根据韦达定理求出a的值，最后即可得出a的取值范围．
解：（1）A＝{﹣2，2}，
∵A∩B＝{﹣2}，
∴﹣2∈B，4﹣4（a+1）+a2﹣5＝0，解得a＝﹣1或5，
a＝﹣1时，B＝{﹣2，2}，A∩B＝{﹣2，2}，不满足题意，应舍去，
∴a＝5；
（2）∵A∪B＝A，
∴B?A，
①△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＜0，即a＜﹣3时，B＝?，满足题意；
②△＝0，即a＝﹣3时，B＝{2}，满足题意；
③△＞0，即a＞﹣3时，B＝{﹣2，2}，则，解得a＝﹣1，
综上得，实数a的取值范围为{a|a≤﹣3或a＝﹣1}．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．
（Ⅰ）若a＝2，试求函数y＝（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由y＝＝＝x﹣4．利用基本不等式即可求得函数的最小值；
（Ⅱ）由题意可得不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在[0，2]恒成立”．不妨设g（x）＝x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．
解：（Ⅰ）依题意得y＝＝＝x﹣4．
因为x＞0，所以x，当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．
所以y≥﹣2．
所以当x＝1时，y＝的最小值为﹣2．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）﹣a＝x2﹣2ax﹣1，所以要使得“?x∈[0，2]，
不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在[0，2]恒成立”．
不妨设g（x）＝x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．
因为g（x）＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣1﹣a2，
所以即，解得a≥．
所以a的取值范围是[，+∞）． …（13分）
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）＝0．
（1）若f（x）在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的的值．
【分析】（1）由f（1）＝0可得b＝1，求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）由f（x）在区间（2，3）上有零点，结合二次函数的图象和性质，可得关于a的不等式组，解得实数a的取值范围；
（3）根据二次函数f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x＝a，分类讨论[0，3]与对称轴位置关系，进而结合f（x）在[0，3]上的最大值是2，可求实数a的值．
解：（1）∵函数f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+b，
由f（1）＝0，得﹣1+2a﹣2a+b＝0，
解得：b＝1；
故f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+1，对称轴x＝a，
若f（x）在区间（2，3）上为单调函数，
则a＞3或a＜2；
（2）由（1）f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+1，对称轴x＝a，
又f（x）在区间（2，3）上有零点，且f（x）的一个零点是1；
所以??＜a＜2．
（3）∵f（x）＝﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x＝a．
①当a≤0时，fmax＝f（0）＝﹣2a+1＝2，则a＝﹣；
②当0＜a＜3时，fmax＝f（a）＝a2﹣2a+1＝2，则a＝1+，或a＝1﹣（舍去）；
③当a≥3时，fmax＝f（3）＝4a﹣8＝2，则a＝（舍去）；
综上：a＝﹣或a＝1+．
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