2020-2021学年河北省石家庄市正定县八年级上学期期中数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年河北省石家庄市正定县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共16个小题）
1．下列式子中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．化简：﹣＝（　　）
A．0 B．1 C．x D．
3．在实数，，π﹣2，，0.121 221 222 1…（两个”1”之间依次多一个“2”）中，有理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．关于的叙述，错误的是（　　）
A．是有理数
B．面积为10的正方形边长是
C．是无限不循环小数
D．在数轴上可以找到表示的点
5．下列命题中是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．数轴上的点与实数一一对应
C．同旁内角互补
D．无理数就是开方开不尽的数
6．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
7．分式中，a，b都扩大2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的
8．已知+b2+2b+1＝0，则ab＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
9．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（　　）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
10．下列二次根式计算正确的是（　　）
A．＝±7 B．＝4
C．＝1﹣ D．（）2＝
11．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或2
12．如图所示，△ABC≌△AEF，AB＝AE，有以下结论：
①AC＝AE；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．A、B两地相距48千米，一般轮胎从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为5千米/时．若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
14．若关于x的分式方程＝有增根，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
15．已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，以下判断正确的是（　　）
A．的整数部分与小数部分的差是4﹣
B．m＝3
C．的小数部分是0.236
D．m+n＝9
16．如图，AB＝BC，AB⊥BC，过点B作直线l，过点A作AE⊥于E，过点C作CF⊥l于F，则下列说法中正确的是（　　）
A．AC＝AE+BE B．EF＝AE+EB C．AC＝EB+CF D．EF＝EB+CF
二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分.）
17．的平方根为　 　．
18．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　 　．
19．比较大小：7　 　．
20．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，当点Q的运动速度为　 　厘米/秒时，能够使△BEP与△CPQ全等．
三、简答题（共6个小题，共56分）
21．（1）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝5．
（2）解分式方程：+2＝．
22．如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
23．已知x2﹣25＝0，64（y﹣1）3﹣1＝0，求|x﹣4y|的值．
24．已知：两边及其夹角，线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
请你根据所学的知识，说明尺规作图作出∠ABC＝∠α，用到的是三角形全等判定定理中的　 　，作出的△ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的　 　．
25．甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理10分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过15分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
26．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点．连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD＝AE，∠DAE＝90°．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，求证：BD＝CE，BD⊥CE．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外），请直接写出你的猜想．
参考答案
一、选择题（共16个小题，每小题2分，共32分）
1．下列式子中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
解：、、的分母中不含有字母，属于整式，的分母中含有字母，属于分式．
故选：C．
2．化简：﹣＝（　　）
A．0 B．1 C．x D．
解：原式＝＝x．
故选：C．
3．在实数，，π﹣2，，0.121 221 222 1…（两个”1”之间依次多一个“2”）中，有理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：有理数有：、＝﹣3，两个，
故选：B．
4．关于的叙述，错误的是（　　）
A．是有理数
B．面积为10的正方形边长是
C．是无限不循环小数
D．在数轴上可以找到表示的点
解：A、是无理数，原说法错误；
B、面积为10的正方形边长是，原说法正确；
C、是无理数，是无限不循环小数，原说法正确；
D、在数轴上可以找到对应的点，原说法正确；
故选：A．
5．下列命题中是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．数轴上的点与实数一一对应
C．同旁内角互补
D．无理数就是开方开不尽的数
解：A、相等的角不一定是对顶角，故此命题是假命题；
B、数轴上的点与实数一一对应，故此命题是真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，故此命题是假命题；
D、π2是无理数，但不是开方开不尽的数，故此命题是假命题；
故选：B．
6．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
解：A、∵∠1＝∠2，AD为公共边，若AB＝AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，AD为公共边，若BD＝CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；
C、∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠B＝∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；
D、∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠BDA＝∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．
故选：B．
7．分式中，a，b都扩大2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的
解：分式中，a，b都扩大2倍，
则分式的值为：＝．
故选：B．
8．已知+b2+2b+1＝0，则ab＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
解：∵+b2+2b+1＝0，
∴+（b+1）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，
解得：a＝3，b＝﹣1，
则ab＝3﹣1＝．
故选：C．
9．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（　　）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合全等三角形的判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以此块玻璃也不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
10．下列二次根式计算正确的是（　　）
A．＝±7 B．＝4
C．＝1﹣ D．（）2＝
解：A、原式＝7，所以A选项错误；
B、原式＝±4，所以B选项错误；
C、原式＝﹣1，所以C选项错误；
D、原式＝，所以D选项正确．
故选：D．
11．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或2
解：由题意得：x﹣2＝0，且x+1≠0，
解得：x＝2，
故选：C．
12．如图所示，△ABC≌△AEF，AB＝AE，有以下结论：
①AC＝AE；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵△ABC≌△AEF，
∴BC＝EF，∠BAC＝∠EAF，故③正确；
∴∠EAB+∠BAF＝∠FAC+∠BAF，
即∠EAB＝∠FAC，故④正确；
AC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB＝∠EAB，
故①、②错误；
故选：B．
13．A、B两地相距48千米，一般轮胎从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为5千米/时．若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
解：设该轮船在静水中的速度为x千米/时，由题意得：
+＝9，
故选：A．
14．若关于x的分式方程＝有增根，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
解：去分母得：x﹣2＝m，
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：m＝1，
故选：B．
15．已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，以下判断正确的是（　　）
A．的整数部分与小数部分的差是4﹣
B．m＝3
C．的小数部分是0.236
D．m+n＝9
解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴m＝2，n＝3，故选项B不符合题意，
∴m+n＝5，故选项D不符合题意，
∵的整数部分为2，
∴的小数部分为﹣2，故选项C不符合题意，
∴的整数部分与小数部分的差＝2﹣（﹣2）＝4﹣，故选项A符合题意，
故选：A．
16．如图，AB＝BC，AB⊥BC，过点B作直线l，过点A作AE⊥于E，过点C作CF⊥l于F，则下列说法中正确的是（　　）
A．AC＝AE+BE B．EF＝AE+EB C．AC＝EB+CF D．EF＝EB+CF
解：∵AE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°．
∴∠EAB+∠EBA＝90°．
又∵∠ABC＝90°，
∴∠EBA+∠CBF＝90°．
∴∠EAB＝∠CBF．
在△AEB和△BFC中
∵∠AEB＝∠CFB，∠EAB＝∠CBF，AB＝BC，
∴△AEB≌△BFC（AAS）．
∴AE＝BF，EB＝CF．
∴AE+CF＝EB+BF．
即EF＝AE+EB．
故选：B．
二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分.请把答案填在题中的横线上）
17．的平方根为　±3　．
解：∵＝9
∴的平方根为±3．
故答案为：±3．
18．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　同位角相等，两直线平行　．
解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
19．比较大小：7　＜　．
解：∵7＝，而＜，
∴7＜．
故填空结果为：＜．
20．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，当点Q的运动速度为　2或　厘米/秒时，能够使△BEP与△CPQ全等．
解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝2t，CP＝8﹣2t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，5＝8﹣2t，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷＝2（厘米/秒）；
②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，2t＝8﹣2t，
解得t＝2，
∴点Q的运动速度为5÷2＝（厘米/秒）；
故答案为：2或．
三、简答题（共6个小题，共56分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（1）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝5．
（2）解分式方程：+2＝．
解：（1），
当x＝5时，原式＝；
（2）方程两边同乘（x﹣2），得：1+2（x﹣2）＝x﹣1，
解得x＝2，
经检验，x＝2是增根．
∴原方程无解．
22．如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝FC+CE，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
（2）结论：AB∥DE，AC∥DF．
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，
∴AB∥DE，AC∥DF．
23．已知x2﹣25＝0，64（y﹣1）3﹣1＝0，求|x﹣4y|的值．
解：∵x2﹣25＝0，
∴x2＝25，
∴x＝±5；
∵64（y﹣1）3﹣1＝0，
∴（y﹣1）3＝，
∴y﹣1＝，
∴y＝，
当x＝5，y＝时，|x﹣4y|＝5﹣5＝0，
当x＝﹣5，y＝时，|x﹣4y|＝|﹣5﹣5|＝10．
故|x﹣4y|的值为0或10．
24．已知：两边及其夹角，线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
请你根据所学的知识，说明尺规作图作出∠ABC＝∠α，用到的是三角形全等判定定理中的　SSS　，作出的△ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的　SAS　．
解：如图，△ABC为所作；
用到的是三角形全等判定定理中的“SSS”，作出的△ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的“SAS”．
故答案为SSS，SAS．
25．甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理10分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过15分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
解：（1）设乙单独整理x分钟完工，
根据题意得：+＝1，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：乙单独整理60分钟完工．
（2）设甲整理y分钟完工，
根据题意得：+≥1，
解得：y≥30．
答：甲至少整理30分钟才能完工．
26．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点．连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD＝AE，∠DAE＝90°．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，求证：BD＝CE，BD⊥CE．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外），请直接写出你的猜想．
解：（1）①∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
又 BA＝CA，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS），
∴∠ACE＝∠B＝45°，CE＝BD，
∵∠ACB＝∠B＝45°，
∴∠ECB＝45°+45°＝90°，
即 CE⊥BD．
②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，
∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
又AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
即 CE⊥BD；
（2）如图丁所示，当∠BCA＝45°时，CE⊥BD．
理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC＝AG，∠AGC＝45°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，
∴∠GAD＝∠CAE，
又∵DA＝EA，
∴△GAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠AGD＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
即CE⊥BD．