2020-2021学年山东省淄博市沂源县九年级上学期期中数学试卷（五四学制） （Word版 含解析）

2020-2021学年山东省淄博市沂源县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（共12小题）.
1．下列函数中y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝（x+1）（2x﹣1）﹣2x2 B．y＝﹣2x+1
C．y＝3x2﹣x+5 D．y＝ax2+bx+c
2．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（　　）
①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
4．下列说法中，正确的有（　　）个．
①α为锐角，则sinα+cosα＞1；②cos31°+cos41°＝cos72°；③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形；④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；⑤sinA＝＝30°；⑥当Rt△ABC的三边长扩大为2倍时，则sinA的值也相应扩大2倍．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB'的位置，测得∠PB'C＝α（B'C为水平线），测角仪B'D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．已知一个直角三角形中：
①两条边的长度，
②两个锐角的度数，
③一个锐角的度数和一条边的长度．
利用上述条件中的一个，能解这个直角三角形的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．直角三角形一边长为8，另一条边是方程x2﹣2x﹣24＝0的一解，则此直角三角形的第三条边长是（　　）
A．10 B．2 C．4或10 D．10或2
8．探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数y＝2x2与一次函数y＝x+2的图象，求一元二次方程2x2＝x+2的近似根”小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根x1和x2满足﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．小华的上述方法体现的数学思想是（　　）
A．公理化 B．分类讨论
C．数形结合 D．由特殊到一般
9．已知二次函数y＝（x﹣）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x的增大而减小，其中说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．滑雪者从山坡上滑下，其滑行距离S（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，根据图象，当滑行时间为4s时，滑行距离为（　　）
A．40m B．48m C．56m D．72m
11．已知二次函数y＝ax2+6ax+c（a＜0），设抛物线与x轴的交点为A（﹣7，0）和B，与y轴的交点为C，若∠ACO＝∠CBO，则tan∠CAB的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）给出下列结论：①2a+c＜0；②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k＝0有实数解，则k＞c﹣n；④当n＝﹣时，△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果.
13．在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1000m，∠D＝50°．为了使开挖点E在直线AC上，那么DE＝　 　m．
（供选用的三角函数值：sin50°＝0.7660，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.192）
14．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程x2+bx+c＝﹣8的根是　 　．
15．在学习解直角三角形以后，某数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上的影长BC为6米，落在斜坡上的影长CD为4米，AB⊥BC，同一时刻，光线与旗杆的夹角为37°，斜坡的坡角为30°，旗杆的高度AB约为　 　米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73，精确到0.01米）
16．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为　 　．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（3，1），（6，﹣5），若当3＜x＜6时，y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是　 　．
三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，∠B＝60°．
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 8 3 0 ﹣1 0 …
（1）当ax2+bx+c＝3时，则x＝　 　；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）将该函数的图象向上（下）平移，使图象与直线y＝3只有一个公共点，直接写出平移后的函数表达式．
20．一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣ 0
2
0 m ﹣6
…
（1）m＝　 　；
（2）与x轴的交点坐标是　 　；
（3）求这个二次函数的表达式；
（4）在下面框里，画出这个函数的图象；
（5）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
21．小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
22．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
t（秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …
x（米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …
y（米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y＝a（x﹣3）2+k．
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线恰好擦网扣杀到点A，求a的值．
23．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其图象与x轴的一个交点为B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），且对称轴为直线x＝1，过点B，C作直线BC．
（1）求二次函数和直线BC的表达式；
（2）利用图象求不等式x2﹣3x≥0的解集；
（3）点P是函数y＝ax2+bx+c的图象上位于第四象限内的一动点，连接PB，PC，
①若△PBC面积最大时，求点P的坐标及△PBC面积的最大值；
②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
24．如图，已知二次函数y1＝﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx+b．
（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题5分，共60分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分.
1．下列函数中y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝（x+1）（2x﹣1）﹣2x2 B．y＝﹣2x+1
C．y＝3x2﹣x+5 D．y＝ax2+bx+c
解：A、不是二次函数，故此选项错误；
B、不是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
2．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（　　）
①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①依题意得：y＝x2，属于二次函数关系，故正确；
②依题意得：y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，属于二次函数关系，故正确；
③依题意得：y＝6x2，属于二次函数关系，故正确；
④依题意得：y＝120x，属于一次函数关系，故错误；
综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．
故选：C．
3．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
解：∵sin30°＝cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
故选：C．
4．下列说法中，正确的有（　　）个．
①α为锐角，则sinα+cosα＞1；②cos31°+cos41°＝cos72°；③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形；④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；⑤sinA＝＝30°；⑥当Rt△ABC的三边长扩大为2倍时，则sinA的值也相应扩大2倍．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①在Rt△ACB中，设c为斜边，∠α的对边、邻边分别为a，b，那么sinα+cosα＝＞1，所以①对；
②不对，函数值是角与边的关系，不是简单度数相加；
③也不对，只知道角不知道边也不能解直角三角形；
④垂直高度与水平距离之比即坡度所以④对；
⑤也不对，sinA＝＝30°是明显错误；
⑥不对，角度数不变，函数值就不变．
故选：B．
5．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB'的位置，测得∠PB'C＝α（B'C为水平线），测角仪B'D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
解：设旗杆PA的高度为x米，则PB′＝x米，
在Rt△PB′C中，sinα＝，
则x﹣1＝x?sinα，
解得，x＝，
故选：C．
6．由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．已知一个直角三角形中：
①两条边的长度，
②两个锐角的度数，
③一个锐角的度数和一条边的长度．
利用上述条件中的一个，能解这个直角三角形的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
解：①已知两条边的长度，可以由勾股定理求出第三边；由锐角三角函数的定义求出其中一个锐角，再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角，能解这个直角三角形；
②已知两个锐角的度数，这个三角形的大小不确定，无法求出边的大小，不能解这个直角三角形；
③已知一个锐角的度数，先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角的度数，又知道一条边的长度，根据锐角三角函数的定义可以求出另外两条边的长度，能解这个直角三角形．
故选：B．
7．直角三角形一边长为8，另一条边是方程x2﹣2x﹣24＝0的一解，则此直角三角形的第三条边长是（　　）
A．10 B．2 C．4或10 D．10或2
解：根据题意得
解方程x2﹣2x﹣24＝0，得
x1＝6，x2＝﹣4，
所以另一条边是6，
①若8为斜边，则用勾股定理得第三条边长是＝2；
②若8和6是两条直角边，则此直角三角形的第三条边长是＝10．
故选：D．
8．探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数y＝2x2与一次函数y＝x+2的图象，求一元二次方程2x2＝x+2的近似根”小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根x1和x2满足﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．小华的上述方法体现的数学思想是（　　）
A．公理化 B．分类讨论
C．数形结合 D．由特殊到一般
解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数形结合的数学思想．
故选：C．
9．已知二次函数y＝（x﹣）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x的增大而减小，其中说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵a＝＞0，
∴抛物线开口向上，所以①正确；
∵y＝（x﹣）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，1），所以②③错误；
当x＜时，y随x的增大而减小，所以④正确；
综上所述，正确的说法有2个．
故选：B．
10．滑雪者从山坡上滑下，其滑行距离S（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，根据图象，当滑行时间为4s时，滑行距离为（　　）
A．40m B．48m C．56m D．72m
解：观察函数图象，s与t的关系可近似看成二次函数，
设s关于t的函数关系式为s＝at2+bt+c
将（1，4.5），（2，14），（3，28.5）代入得，
解得：，
∴近似地表示s关于t的函数关系式为s＝2.5t2+2t
当t＝4s时，s＝48m，
故选：B．
11．已知二次函数y＝ax2+6ax+c（a＜0），设抛物线与x轴的交点为A（﹣7，0）和B，与y轴的交点为C，若∠ACO＝∠CBO，则tan∠CAB的值为（　　）
A． B． C． D．
解：如图所示，
∵A（﹣7，0），则OA＝7，
设点B的横坐标为b，
根据根和系数的关系，则﹣7+b＝﹣＝﹣6，解得b＝1，故点B（1，0），则OB＝1，
∵∠ACO＝∠CBO，
∴tan∠ACO＝tan∠CBO，
∴，即，解得OC＝（舍去负值），
tan∠CAB＝＝，
故选：D．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）给出下列结论：①2a+c＜0；②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k＝0有实数解，则k＞c﹣n；④当n＝﹣时，△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
解：①∵﹣＜，a＞0，
∴a＞﹣b，
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故①错误；
②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，
由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确；
③∵抛物线与直线y＝t有交点时，方程ax2+bx+c＝t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c﹣t＝0有实数解
要使得ax2+bx+k＝0有实数解，则k＝c﹣t≤c﹣n；故③错误；
④设抛物线的对称轴交x轴于H．连接PA，PB
∵＝﹣，
∴b2﹣4ac＝4，
∴x＝，
∴|x1﹣x2|＝，
∴AB＝2PH，
∵BH＝AH，
∴PH＝BH＝AH，
∴△PAB是直角三角形，
∵PA＝PB，
∴△PAB是等腰直角三角形．故④正确．
故选：D．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果.
13．在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1000m，∠D＝50°．为了使开挖点E在直线AC上，那么DE＝　642.8　m．
（供选用的三角函数值：sin50°＝0.7660，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.192）
解：∵∠ABD＝140°，
∴∠DBE＝180°﹣140°＝40°，
∵∠D＝50°，
∴∠E＝180°﹣∠DBE﹣∠D＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∴＝cosD，
即＝0.6428，
解得DE＝642.8m．
故答案为：642.8．
14．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程x2+bx+c＝﹣8的根是　x1＝x2＝﹣2　．
解：由图象可知，
当y＝﹣8时，x＝﹣2，即x＝﹣2时，x2+bx+c＝﹣8，
∴一元二次方程x2+bx+c＝﹣8的根是x1＝x2＝﹣2，
故答案为：x1＝x2＝﹣2．
15．在学习解直角三角形以后，某数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上的影长BC为6米，落在斜坡上的影长CD为4米，AB⊥BC，同一时刻，光线与旗杆的夹角为37°，斜坡的坡角为30°，旗杆的高度AB约为　10.61　米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73，精确到0.01米）
解：过点C作CG⊥EF于点G，延长GH交AD于点H，过点H作HP⊥AB于点P，过点D作DQ⊥GH于点Q，
∵HP⊥AB，CB⊥AB，CH⊥BC，
∴四边形BCHP为矩形，
∴PH＝BC＝6，BP＝CH，∠CHD＝∠A＝37°，
在Rt△APH中，tanA＝，
∴AP＝≈＝8，
∵DQ∥GE，
∴∠CDQ＝∠CEG＝30°，
∴CQ＝CD＝2，DQ＝CD×cos∠CDQ＝4×＝2，
在Rt△DHQ中，tan∠DHQ＝，
∴QH＝≈，
∴CH＝QH﹣CQ＝﹣2，
∴AB＝AP+PB＝AP+CH＝8+﹣2≈10.61（米），
故答案为：10.61．
16．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为　﹣1＜x＜3　．
解：由图象可知：
抛物线的对称轴为：x＝1，
抛物线与x轴的一个交点为：（3，0），
则抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为：1×2﹣3＝﹣1，
由图象可知：函数值大于0的x的取值范围为：﹣1＜x＜3，
即关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（3，1），（6，﹣5），若当3＜x＜6时，y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是　　．
解：将点（3，1），（6，﹣5），代入二次函数表达式得：，解得：，
当a＞0时，则函数对称轴在x＝6的右侧，即x＝﹣≥6，即≥6，解得：a≤，
同理当a＜0时，则函数对称轴在x＝3的左侧，即x＝﹣≤3，即≤3，解得：a≥﹣，
故答案为：﹣≤a≤且a≠0．
三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，∠B＝60°．
解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴＝，
∴c＝10，
由勾股定理得：．
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 8 3 0 ﹣1 0 …
（1）当ax2+bx+c＝3时，则x＝　0或4　；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）将该函数的图象向上（下）平移，使图象与直线y＝3只有一个公共点，直接写出平移后的函数表达式．
解：（1）由表示可知抛物线的对称轴为x＝2，且当x＝0时，y＝3，
∴由抛物线的对称性可知当x＝4时，y＝3．
故答案为：0或4．
（2）由表格可知抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．
设抛物线的解析式为y＝a （x﹣2）2﹣1
∵过点（0，3），
∴3＝a （0﹣2）2﹣1．
∴a＝1．
∴y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．
（3）∵抛物线平移之后与y＝3只有一个交点，
∴抛物线的顶点坐标在直线y＝3上，
∴平移后抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+3．
20．一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣ 0
2
0 m ﹣6
…
（1）m＝　﹣　；
（2）与x轴的交点坐标是　（﹣3，0），（1，0）　；
（3）求这个二次函数的表达式；
（4）在下面框里，画出这个函数的图象；
（5）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵（﹣4，﹣）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，﹣），
∴m＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）由图表可知抛物线经过（﹣3，0）和（1，0）两点，
∴与x轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0），
故答案为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），
所以，设这个二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+2，
∵图象过点（1，0），
∴a（1+1）2+2＝0，
∴a＝﹣，
∴这个二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+2；
（4）函数图象如图所示；
（5）y＜0时，x＜﹣3或x＞1．
21．小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．
∵α+∠DAF＝180°﹣∠BAD＝180°﹣90°＝90°，
∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝α＝36°．
根据题意，得BE＝24mm，DF＝48mm．
在Rt△ABE中，sin，
∴AB＝＝40（mm）．
在Rt△ADF中，cos∠ADF＝，
∴AD＝＝60（mm）．
∴矩形ABCD的周长＝2（40+60）＝200（mm）．
22．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
t（秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …
x（米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …
y（米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y＝a（x﹣3）2+k．
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线恰好擦网扣杀到点A，求a的值．
解：（1）由表格中数据可知，当t＝0.4秒时，乒乓球达到最大高度．
（2）以点A为原点，桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立直角坐标系．
由表格中数据可判断，y是x的二次函数，且顶点为（1，0.45），
所以可设y＝m（x﹣1）2+0.45，
将（0，0.25）代入，得：0.25＝m（0﹣1）2+0.45，
解得：m＝﹣0.2，
∴y＝﹣0.2（x﹣1）2+0.45．
当y＝0时，﹣0.2（x﹣1）2+0.45＝0，
解得：x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）．
∴乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是2.5米．
（3）①由（2）得，乒乓球落在桌面时的坐标为（2.5，0）．
∴将（2.5，0）代入y＝a（x﹣3）2+k，得0＝a（2.5﹣3）2+k，
化简整理，得：k＝﹣a．
②∵球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，
∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（1.4，0.14）点，
由题意可得，扣杀路线在直线y＝x上，
由①得y＝a（x﹣3）2﹣a，
令a（x﹣3）2﹣a＝x，整理，得20ax2﹣（120a+2）x+175a＝0．
当△＝（120a+2）2﹣4×20a×175a＝0时，符合题意，
解方程，得a1＝，a2＝．
当a＝时，求得x＝﹣，不合题意，舍去；
当a＝时，求得x＝，符合题意．
答：当a＝时，可以将球沿直线扣杀到点A．
23．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其图象与x轴的一个交点为B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），且对称轴为直线x＝1，过点B，C作直线BC．
（1）求二次函数和直线BC的表达式；
（2）利用图象求不等式x2﹣3x≥0的解集；
（3）点P是函数y＝ax2+bx+c的图象上位于第四象限内的一动点，连接PB，PC，
①若△PBC面积最大时，求点P的坐标及△PBC面积的最大值；
②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，B（3，0），
∴A（﹣1，0）．
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入得：﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B和点C的坐标代入得：，解得k＝1，b＝﹣3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
（2）由x2﹣3x≥0可得到x2﹣2x﹣3≥x﹣3，
由函数图象可得到x≥3或x≤0．
（3）①作PM⊥x轴，垂足为M，交BC与点N．
设P（m，m2﹣2m﹣3），则N（m，m﹣3）．
∴PN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m．
∴S△PBC＝PN?（OM+MB）＝PN?OB＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．
∴当△PBC的面积最大时，点P的坐标为（，﹣），△PBC的面积的最大值为．
②∵点B和点Q均在x轴，以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，
∴PC∥BQ，PC＝BQ．
∴点P与点C关于x＝1对称，
∴点P的坐标为（2，﹣3）．
∴CP＝2．
∵BQ＝PC＝2，B（3，0），
∴点Q的坐标为（1，0）或（5，0）．
24．如图，已知二次函数y1＝﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx+b．
（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）将A点坐标代入y1，得
﹣16+13+c＝0．
解得c＝3，
二次函数y1的解析式为y＝﹣x2+x+3，
B点坐标为（0，3）；
（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，
∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；
（3）直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
AB的中点为（2，）
AB的垂直平分线为y＝x﹣
当x＝0时，y＝﹣，P1（0，﹣），
当y＝0时，x＝，P2（，0），
综上所述：P1（0，﹣），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．