第二十七章 相似 27.2.1相似三角形的判定 课后练习一（含答案）
文档属性
| 名称 | 第二十七章 相似 27.2.1相似三角形的判定 课后练习一（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-19 16:23:17 | ||
图片预览
文档简介
人教版九年级数学下册
第二十七章
相似
27.2.1相似三角形的判定
课后练习一
一、选择题
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2）
B．（3，）
C．（3，）
D．（2，）
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
4．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.其中正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝CD＝5，AC＝7，BE＝3，下列命题错误的是(
)
A．△AED∽△BEC
B．∠AEB＝90°
C．∠BDA＝45°
D．图中全等的三角形共2对
6．如图，已知在中，BC=3，AB=4，，E为线段BC上任意一点，连接AE并延长与DC交于点G，若BE=2EC，则AE的边长为（
）
A．
B．
C．
D．
7．和符合下列条件，其中使与不相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
10．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（ ）
A．1
B．
2
C．3
D．)4
二、填空题
11．已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________
12．如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件：____，使△ADE∽△ACB．
13．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
14．已知Rt△ABC中，∠A=90°，M是BC的中点．如图，(1)以M为圆心，MB为半径，作半圆M；(2)分别B，C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧交于D点；(3)连接AM，AD，CD；(4)作线段CD的中垂线，分别交线段CD于点F，半圆M于点G，连接GC；(5)以点G为圆心，线段GC为半径，作弧CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中：①点A在半圆M上；②AC=CD；③弧AC=弧CD；④△ABM∽△ACD；⑤BC=GC；⑥∠BAM=∠CGF．一定正确的是_______．
15．如图，在中，，在的外部和内部（不在边上）分别取一点，，若，，，的补角等于，
则下列结论：
①点在线段的垂直平分线上；②；
③；④的最大值是14．
其中正确的结论是_________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
16．如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．
（1）求证：△A1DE∽△B1EH；
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．
17．关于x的方程①和一元二次方程②中，k，m均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为最小整数时，方程②有两根分别为和，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，点C是双曲线在第一象限图像上一动点，作CD⊥y轴交线段AB于点E，作CF⊥x轴交线段AB于点G，坐标原点为O．按要求补全图形并完成：
①BG·AE＝___________；
②求∠EOG的度数．
18．如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
19．如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
20．如图，已知P是菱形ABCD中CD边上一点，AP交对角线BD于点E，将沿AP翻折得，FP交边BC于点G，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）点是线段上一个动点．
①如图1，设，当为何值时，有．
②如图2，若，求出点的坐标．
22．如图，是的外接圆，，延长到点，使得，连接交于点，过点做的平行线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：为的切线；
（3）若，，求弦的长．
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
【参考答案】
1．C
2．B
3．B
4．C
5．D
6．A
7．D
8．D
9．D
10．C
11．或．
12．∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一个即可）．
13．145
14．①②
15．①③
16．解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，
∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．
又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，
∴∠DEA1＝∠EHB1，
∴△A1DE∽△B1EH；
（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：
∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，
∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，
在△A1DE和△A1DF中
，
∴△A1DE≌△A1DF（SAS），
∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，
∴△DEF是等腰三角形，
又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．
∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：
由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE顺时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），
∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，
∴△DGG'是等边三角形，
∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，
∵∠DGF＝150°，
∴∠G'GF＝90°，
∴G'G2+GF2＝G'F2，
∴DG2+GF2＝GE2．
17．（1）∵，
∴x=，
∵方程的根为非负数，方程是一元二次方程，
∴≥0，2-k≠0，
解得：k≥-1且k≠2．
（2）由（1）可知k≥-1，
∵k为最小整数，
∴k=-1，
∴方程②为，
∵方程②有两根分别为和，
∴+()=，即-m=-4，
解得：m=4．
（3）①根据题意补全图形如下，过点E作EP⊥x轴于P，过G作GQ⊥y轴于Q，由（2）可知k=-1，m=4，
∴直线AB解析式为y=-x+1，双曲线的解析式为，
∵直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（1，0），B（0，1），
∴OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵EP⊥x轴，GQ⊥y轴，
∴△BQG和△EPA是等腰直角三角形，
∴BG=GQ，AE=PE，
∵CD⊥y轴，CF⊥x轴，
∴GQ=CD，PE=CF，
设点C坐标为（t，），则CD=t，CF=，
∴BG·AE=t×·=1．
②如图，连接OE、OG，
由①得BG·AE=1，OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，
∴BG=，
∴，
∴△BOG∽△AEO，
∴∠OGB=∠EOA，
∵∠OGB=∠GOA+∠OAB，∠EOA=∠EOG+∠GOA，
∴∠EOG=∠OAB=45°．
18．（1）
如图可知：
在中，
又
．
（2），
是等腰直角三角形
BC=2，AB=AC=BC=
①当AD=AE时，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②
当AD=DE时，
由（1）结论可知：
AB=DC=
．
③
当AE=DE时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉：或．
19．（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，
为中点，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点在中点位置时，．
20．（1）证明：在菱形ABCD中，BC=CD
∵FPBD
∴∠DEP＝∠APF＝∠APD，BG=DP，
∴DE=PD
又∵BG＝DP
，DE=PD
∴BG＝DE
．
（2）连结AC，交BD，FP分别为M，N两点．
∵四边形ABCD是菱形
，BM＝DM，PN=GN．
∵ABCD
∴∠ABE=∠PDE，∠BAE=∠DPE
在△ABE和△PDE中
∴△ABE∽△PDE
∵DP=DE，
∴
AB=BE
又∵CP:DP=1:3，AP=7，设CP=
DP=DE=3CP=3，AB=BE=4，
BD=7，，
在Rt△ADM和Rt△AEM中，
AM2=，
得=2．
，
得．
．
21．解：抛物线过点，
解得:
抛物线解析式为；
顶点的坐标为；
在中，，
，
，
，
，
为直角三角形，且
为的中点，
在中，
在中，
连接
当时，，
设直线的解析式为
解得:
直线的解析式为
直线的解析式为
设直线的解析式为
解得:
直线的解析式为
解得:
22．（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
∵∠DBC=∠BDC，
∴∠ACB=2∠DBC，
∵∠DBC=∠EAC，
∴∠ACB=2∠EAC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠BAC=2∠EAC，
∴∠EAC=∠EAB，
∴点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴为圆的切线．
（3）在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵AB=5，BE=3，
∴
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴．
23．（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AC解析式为y＝mx+n，
∵点A（-1，0）、C（2，3）在直线AC上，
∴，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝x+1.
（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴N（0，3），
∵点P的横坐标为t，点P在抛物线y=-x2+2x+3图象上，
∴P（t，﹣t2+2t+3），
如图，过点P作PH//AC，
∵平行线间的距离相等，
∴S△ACP＝S△CAN，
设直线NP的解析式为y=kx+a，
∴k=1，
把N（0，3）代入得a=3，
∴直线NP的解析式为y=x+3，
联立直线NP与抛物线解析式得，
解得：或（舍去），
∴P（1，4）.
②如图2，过P作PS⊥x轴于S，过C作CK⊥PS于K，则∠CKP＝∠PSA＝90°，
∵P（t，﹣t2+2t+3），A（﹣1，0），C（2，3），
∴CK＝2﹣t，PK＝﹣t2+2t，PS＝﹣t2+2t+3，AS＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵△ACP是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠APS+∠CPK＝∠APC＝90°，
∵∠PCK+∠CPK＝90°，
∴∠APS＝∠PCK，
∴△APS∽△PCK，
∴＝，即＝，
解得：t＝，
∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，
∴﹣1＜t＜2，
∵＞2，
∴t＝，
∴﹣t2+2t+3=，
∴P（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∴B（1，2），BD＝2，
∵点E在直线AC上，AC解析式为y=x+1，
∴设点E（m，m+1），
∵B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，
∴EF=BD，
∵EF//BD，BD为抛物线对称轴，
∴F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，
∴m2-m-2＝±2，解得：m1＝0，m2＝1（舍去），m3＝，m4＝，
∴，以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）．
第二十七章
相似
27.2.1相似三角形的判定
课后练习一
一、选择题
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2）
B．（3，）
C．（3，）
D．（2，）
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
4．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.其中正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝CD＝5，AC＝7，BE＝3，下列命题错误的是(
)
A．△AED∽△BEC
B．∠AEB＝90°
C．∠BDA＝45°
D．图中全等的三角形共2对
6．如图，已知在中，BC=3，AB=4，，E为线段BC上任意一点，连接AE并延长与DC交于点G，若BE=2EC，则AE的边长为（
）
A．
B．
C．
D．
7．和符合下列条件，其中使与不相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
10．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（ ）
A．1
B．
2
C．3
D．)4
二、填空题
11．已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________
12．如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件：____，使△ADE∽△ACB．
13．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
14．已知Rt△ABC中，∠A=90°，M是BC的中点．如图，(1)以M为圆心，MB为半径，作半圆M；(2)分别B，C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧交于D点；(3)连接AM，AD，CD；(4)作线段CD的中垂线，分别交线段CD于点F，半圆M于点G，连接GC；(5)以点G为圆心，线段GC为半径，作弧CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中：①点A在半圆M上；②AC=CD；③弧AC=弧CD；④△ABM∽△ACD；⑤BC=GC；⑥∠BAM=∠CGF．一定正确的是_______．
15．如图，在中，，在的外部和内部（不在边上）分别取一点，，若，，，的补角等于，
则下列结论：
①点在线段的垂直平分线上；②；
③；④的最大值是14．
其中正确的结论是_________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
16．如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．
（1）求证：△A1DE∽△B1EH；
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．
17．关于x的方程①和一元二次方程②中，k，m均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为最小整数时，方程②有两根分别为和，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，点C是双曲线在第一象限图像上一动点，作CD⊥y轴交线段AB于点E，作CF⊥x轴交线段AB于点G，坐标原点为O．按要求补全图形并完成：
①BG·AE＝___________；
②求∠EOG的度数．
18．如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
19．如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
20．如图，已知P是菱形ABCD中CD边上一点，AP交对角线BD于点E，将沿AP翻折得，FP交边BC于点G，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）点是线段上一个动点．
①如图1，设，当为何值时，有．
②如图2，若，求出点的坐标．
22．如图，是的外接圆，，延长到点，使得，连接交于点，过点做的平行线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：为的切线；
（3）若，，求弦的长．
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
【参考答案】
1．C
2．B
3．B
4．C
5．D
6．A
7．D
8．D
9．D
10．C
11．或．
12．∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一个即可）．
13．145
14．①②
15．①③
16．解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，
∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．
又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，
∴∠DEA1＝∠EHB1，
∴△A1DE∽△B1EH；
（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：
∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，
∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，
在△A1DE和△A1DF中
，
∴△A1DE≌△A1DF（SAS），
∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，
∴△DEF是等腰三角形，
又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．
∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：
由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE顺时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），
∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，
∴△DGG'是等边三角形，
∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，
∵∠DGF＝150°，
∴∠G'GF＝90°，
∴G'G2+GF2＝G'F2，
∴DG2+GF2＝GE2．
17．（1）∵，
∴x=，
∵方程的根为非负数，方程是一元二次方程，
∴≥0，2-k≠0，
解得：k≥-1且k≠2．
（2）由（1）可知k≥-1，
∵k为最小整数，
∴k=-1，
∴方程②为，
∵方程②有两根分别为和，
∴+()=，即-m=-4，
解得：m=4．
（3）①根据题意补全图形如下，过点E作EP⊥x轴于P，过G作GQ⊥y轴于Q，由（2）可知k=-1，m=4，
∴直线AB解析式为y=-x+1，双曲线的解析式为，
∵直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（1，0），B（0，1），
∴OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵EP⊥x轴，GQ⊥y轴，
∴△BQG和△EPA是等腰直角三角形，
∴BG=GQ，AE=PE，
∵CD⊥y轴，CF⊥x轴，
∴GQ=CD，PE=CF，
设点C坐标为（t，），则CD=t，CF=，
∴BG·AE=t×·=1．
②如图，连接OE、OG，
由①得BG·AE=1，OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，
∴BG=，
∴，
∴△BOG∽△AEO，
∴∠OGB=∠EOA，
∵∠OGB=∠GOA+∠OAB，∠EOA=∠EOG+∠GOA，
∴∠EOG=∠OAB=45°．
18．（1）
如图可知：
在中，
又
．
（2），
是等腰直角三角形
BC=2，AB=AC=BC=
①当AD=AE时，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②
当AD=DE时，
由（1）结论可知：
AB=DC=
．
③
当AE=DE时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉：或．
19．（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，
为中点，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点在中点位置时，．
20．（1）证明：在菱形ABCD中，BC=CD
∵FPBD
∴∠DEP＝∠APF＝∠APD，BG=DP，
∴DE=PD
又∵BG＝DP
，DE=PD
∴BG＝DE
．
（2）连结AC，交BD，FP分别为M，N两点．
∵四边形ABCD是菱形
，BM＝DM，PN=GN．
∵ABCD
∴∠ABE=∠PDE，∠BAE=∠DPE
在△ABE和△PDE中
∴△ABE∽△PDE
∵DP=DE，
∴
AB=BE
又∵CP:DP=1:3，AP=7，设CP=
DP=DE=3CP=3，AB=BE=4，
BD=7，，
在Rt△ADM和Rt△AEM中，
AM2=，
得=2．
，
得．
．
21．解：抛物线过点，
解得:
抛物线解析式为；
顶点的坐标为；
在中，，
，
，
，
，
为直角三角形，且
为的中点，
在中，
在中，
连接
当时，，
设直线的解析式为
解得:
直线的解析式为
直线的解析式为
设直线的解析式为
解得:
直线的解析式为
解得:
22．（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
∵∠DBC=∠BDC，
∴∠ACB=2∠DBC，
∵∠DBC=∠EAC，
∴∠ACB=2∠EAC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠BAC=2∠EAC，
∴∠EAC=∠EAB，
∴点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴为圆的切线．
（3）在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵AB=5，BE=3，
∴
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴．
23．（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AC解析式为y＝mx+n，
∵点A（-1，0）、C（2，3）在直线AC上，
∴，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝x+1.
（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴N（0，3），
∵点P的横坐标为t，点P在抛物线y=-x2+2x+3图象上，
∴P（t，﹣t2+2t+3），
如图，过点P作PH//AC，
∵平行线间的距离相等，
∴S△ACP＝S△CAN，
设直线NP的解析式为y=kx+a，
∴k=1，
把N（0，3）代入得a=3，
∴直线NP的解析式为y=x+3，
联立直线NP与抛物线解析式得，
解得：或（舍去），
∴P（1，4）.
②如图2，过P作PS⊥x轴于S，过C作CK⊥PS于K，则∠CKP＝∠PSA＝90°，
∵P（t，﹣t2+2t+3），A（﹣1，0），C（2，3），
∴CK＝2﹣t，PK＝﹣t2+2t，PS＝﹣t2+2t+3，AS＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵△ACP是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠APS+∠CPK＝∠APC＝90°，
∵∠PCK+∠CPK＝90°，
∴∠APS＝∠PCK，
∴△APS∽△PCK，
∴＝，即＝，
解得：t＝，
∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，
∴﹣1＜t＜2，
∵＞2，
∴t＝，
∴﹣t2+2t+3=，
∴P（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∴B（1，2），BD＝2，
∵点E在直线AC上，AC解析式为y=x+1，
∴设点E（m，m+1），
∵B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，
∴EF=BD，
∵EF//BD，BD为抛物线对称轴，
∴F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，
∴m2-m-2＝±2，解得：m1＝0，m2＝1（舍去），m3＝，m4＝，
∴，以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）．