湖南师大附中2011―2012学年度高二上学期期中考试（数学理）

湖南师大附中2011—2012学年度高二上学期期中考试（数学理）
（时量 120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．椭圆的离心率是(A)
A. B. 2 C. D.
【解析】A
2. 给出下列四个命题：其中真命题的是（C）
A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”；
B. 命题“”的否定是“”；
C.命题“若，则”的逆否命题为真命题；
D. “”是“”的必要不充分条件.
【解析】 A为假命题，“若，则”的否命题应为“若，则”； B为假命题，“”的否定应为“”；C正确； D为假命题，“”是“”的充分不必要条件.选C.
3. 样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则样本方差为（D）
A. B. C. D. 2
【解析】D
4已知命题，使；命题，都有，给出下列结论：
①命题“”是真命题，②命题“”是假命题，③命题“”是真命题，④命题“”是假命题.其中正确的个数是（B）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】命题是假命题，命题是真命题，故③④正确，选B.
5．某产品的成本费用x与销售额y的统计数据如下表
成本费用x（万元） 2 3 4 5
销售额y（万元） 26 39 49 54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报成本费用为6万元时销售额为（ C ）
A. 72.0万元 B. 67. 7万元 C.65.5万元 D.63.6万元
【解析】由表可计算,,因为点在回归直线上,且为9.4，所以42 =9.4×, 解得= 9.1,故回归方程为, 令x=6得65.5,选C.
6．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线的右焦点，则此抛物线的方程是（D）
A. B.
C． D.
【解析】设抛物线方程为，因为双曲线的右焦点是，则，即，所以抛物线方程为，选D.
7．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为(B)
A．2 B．6 C．3 D．8
【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，
因为，，所以
==，，因为，所以当时，取得最大值，选B
8．已知抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（ A ）
A． B． C． D．
【解析】，且
在直线上，即
选A
二、填空题(本题共7小题，每小题5分，共35分)
9．在边长为2的正方形内随机地取一点，则该点到正方形中心的距离小于1的概率为.
【解析】边长为2的正方形内，所有到正方形中心的距离小于1的点均在以正方形中心为圆心的单位圆内，故所求概率为该圆与该正方形的面积之比，故其概率为.
10. 双曲线y2-4x2=64上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则P到它的另个焦点的距离等于为 17 .
【解析】17
11. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .
【解析】10
列表分析
运行次数 值 吗？ 值
起始 否
1 否
2 否
3 否
4 是，输出
12. 已知定圆定圆动圆与圆内切和外切，则动圆圆心的轨迹方程为 ______
【解析】
13．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为 ______
【解析】
14．曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则的面积不大于.
其中，所有正确结论的序号是____②__③_____
【解析】曲线如果经过原点，，与条件不符①错；若(x,y)在曲线上则(-x.-y)也在曲线上,故曲线关于原点对称 ②对;三角形的面积
=③对.
15. 若双曲线C1：的一条渐近线与抛物线C2：y2 = 2px (p>0)的一个交点在x轴上的射影在抛物线C2的焦点的右侧，则双曲线C1的离心率的取值范围是 .
【解析】取双曲线C1的一条渐近线方程y =与抛物线C2的方程y2 = 2px联立，求得两交点的横坐标分别为0，，依题意有>，故b2<4a2，所以e<，故其离心率的取值范围是(1, ).
三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
已知,设命题函数在R上单调递减，
设函数, 函数恒成立,
若p∧q为假, p∨q为真,求的取值范围.
【解析】若是真命题, 则
若是真命题,即，又 ∴
∴为真命题时；
又∵p∨q为真,p∧q为假,∴p与q一真一假．
若p真q假, 则;
若p假q真, 则
故a的取值范围为或
17．（本小题满分12分）
已知动圆过定点F(2,0)，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程
(2)若过F(2,0)且斜率为1的直线与曲线C相交于A,B两点，求
【解析】
(1)依题意知动圆圆心的轨迹为以F(2,0)为焦点的抛物线，其方程为
(2) 依题意直线AB的方程为y=x-2,代入方程y2=8x得x2-12x+4=0,得
故=
18．（本小题满分12分）
对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组 频数 频率
10 0.25
24
2 0.05
合计 1
（1）求出表中及图中的值；
（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.
【解析】（1）由分组内的频数是，频率是知，，
所以.
因为频数之和为，所以，.
.
因为是对应分组的频率与组距的商，所以.
（2）因为该校高二学生有240人，分组内的频率是，
所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人.
（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，
设在区间内的人为，在区间内的人为.
则任选人共有
，15种情况，
而两人都在内只能是一种，
所以所求概率为.
19．（本小题满分12分）
P为椭圆上任意一点，为左、右焦点，如图所示．
(1)若的中点为，求证:
(2)若，求|PF1|·|PF2|之值；
(3)椭圆上是否存在点P，使·＝0，若存在，
求出P点的坐标，若不存在，试说明理由
【解析】(1)证明：在△F1PF2中，MO为中位线，
∴|MO|＝＝＝a－＝5－|PF1|.
(2)解：∵ |PF1|＋|PF2|＝10，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝100－2|PF1|·|PF2|，
在△PF1F2中，cos 60°＝，
∴|PF1|·|PF2|＝100－2|PF1|·|PF2|－36，∴|PF1|·|PF2|＝.
(3)设点P(x0，y0)，则＋＝1.①
易知F1（-3，0），F2（3，0），故PF1＝(－3－x0，－y0)，
PF2＝(－3－x0，－y0)，
∵PF1·PF2=0，∴x－9＋y＝0，②
由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在．
20．（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10km的区域。
(1)求考察区域边界曲线的方程：
(2)如图所示，设线段 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
21．（本小题满分13分）
已知椭圆：与双曲线有公共焦点，且离心率为. ,分别是椭圆的左顶点和右顶点. 点是椭圆上位于轴上方的动点.直线，分别与直线：分别交于，两点.
求椭圆的方程；
延长交椭圆于点，若，试证明.
当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在点，使得的面积为？若存在确定点的个数，若不存在，说明理由.
【解析】（1）由已知得椭圆的交点为，
EMBED Equation.DSMT4 ，又 ，，椭圆的方程为.
(2) 直线的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0
设则得，从而
即又，从而
，
，又因为，由射影定理可得.
(3) 得
故又
当且仅当，即时等号成立
时，线段的长度取最小值
此时的方程为
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线
则由解得或 w.
当时，由，得
由于，故直线与椭圆有两个不同的交点；
当时由得，由于故直线与椭圆没有交点.
综上所述，当线段的长度最小时，在椭圆上仅存在两个不同的点，使得的面积为.
结束
，
输出
开始
是
否
频率/组距
15
25
20
10
0
30
次数
a