第二章单元评估卷(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.
B.
C．1
D.
2．已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝( )
A．3
B．3或－
C．－
D．6－9
3．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
4．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上答案都有可能
5．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2
B．2
C．2
D．4
7．已知双曲线－＝1(a>b>0)的两焦点间的线段F1F2正好被椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
8．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，设某条弦过点P，且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为( )
A．3x＋2y－12＝0
B．2x＋3y－12＝0
C．4x＋9y－144＝0
D．9x＋4y－144＝0
9．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若2<|AB|<4，则这样的直线l共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．无数条
10．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||＝( )
A.p
B.p
C.p
D.p
11．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A．5
B.＋
C．7＋
D．6
12．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2
B．3
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．准线方程为x＝1的抛物线的标准方程是________．
14．若曲线＋＝1的焦距与k无关，则它的焦点坐标是________．
15.已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是________．
16．已知椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合；过点M(1,1)且斜率为－的直线交椭圆C于A，B两点，且M是线段AB的中点，则椭圆C的方程为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)椭圆的两个焦点F1，F2在x轴上，以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P(3,4)，求椭圆的标准方程．
18．(12分)抛物线y＝－与过点M(0，－1)的直线l相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．
19.(12分)一炮弹在A处的东偏北60°的某处爆炸，在A处测到爆炸信号的时间比在B处早4
s，已知A在B的正东方、相距6
km，P为爆炸地点(该信号的传播速度为1
km/s)，求A，P两地的距离．
20．(12分)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
21.(12分)已知双曲线－＝1的离心率e＝，原点到过A(a,0)，B(0，－b)两点的直线的距离是.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝kx＋5(k≠0)交双曲线于不同的点C，D，且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值．
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－2,0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．第二章单元评估卷(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.
B.
C．1
D.
2．已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝( )
A．3
B．3或－
C．－
D．6－9
3．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
4．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上答案都有可能
5．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2
B．2
C．2
D．4
7．已知双曲线－＝1(a>b>0)的两焦点间的线段F1F2正好被椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
8．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，设某条弦过点P，且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为( )
A．3x＋2y－12＝0
B．2x＋3y－12＝0
C．4x＋9y－144＝0
D．9x＋4y－144＝0
9．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若2<|AB|<4，则这样的直线l共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．无数条
10．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||＝( )
A.p
B.p
C.p
D.p
11．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A．5
B.＋
C．7＋
D．6
12．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2
B．3
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．准线方程为x＝1的抛物线的标准方程是________．
14．若曲线＋＝1的焦距与k无关，则它的焦点坐标是________．
答案
1．B x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，顶点坐标为(±1,0)，点(±1,0)到y＝±x的距离为＝＝.
2．A 根据题意，＝，解得m＝3.
3．A 由题意得|CA|＋|CB|＝10>|AB|，所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点，且a＝5的椭圆．又因为A，B，C三点不共线，所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
4．B
如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M为圆心，其横坐标x0＝，故点M到准线x＝－的距离为＋＝，而圆的半径r＝＝＝＝，因此，直线(准线)与圆相切．
5．C 由题意得∠AF2F1＝30°.|AF1|＝，
∴tan30°＝，即＝，∴e＝，选C.
6．C 抛物线的焦点F(，0)，准线方程为x＝－.因为|PF|＝4，所以|PF|＝4＝xP＋，即xP＝3，所以y＝4×3＝24，即|yP|＝＝2.所以△POF的面积为××2＝2，选C.
7．B ∵双曲线的焦距为2，椭圆的焦距为2，∴2＝·2，整理得4a2＝5b2，则a＝b.代入双曲线的渐近线方程y＝±x，得y＝±x.
8．B 设满足题意的直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
两式相减得4(x－x)＋9(y－y)＝0，
即＝－＝－.
由此可得所求的直线方程为y－2＝－(x－3)，
即2x＋3y－12＝0.
9．D 当|AB|＝2时，只有1条，此时是x轴；当|AB|＝4时，有3条，其中2条交在两支上，另1条垂直于x轴．那么当2<|AB|<4时有无数条．
10．B 易知F.设A(x0，y0)，则＝x0－
，y0.x轴方向上的单位向量为i＝(1,0)，由夹角为60°，得cos60°＝＝，
将y＝2px0代入上式并化简，得＝，解得x0＝，y＝3p2.故||2＝x＋y＝＋3p2＝，||＝.
11．D 设Q(x，y)，
则该点到圆心的距离d＝
＝＝
＝，y∈[－1,1]，
∴当y＝－＝－时，
dmax＝
＝＝5.
∴圆上点P和椭圆上点Q的距离的最大值为dmax＋r＝5＋＝6.故选D.
12．B 设AB所在直线方程为x＝my＋t.
由消去x，得y2－my－t＝0.
设A(y，y1)，B(y，y2)(不妨令y1>0，y2<0)，
故y＋y＝m，y1y2＝－t.
而·＝yy＋y1y2＝2.
解得y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)．
所以－t＝－2，即t＝2.
所以直线AB过定点M(2,0)．
而S△ABO＝S△AMO＋S△BMO
＝|OM||y1－y2|＝y1－y2，
S△AFO＝|OF|×y1＝×y1＝y1，
故S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1＝y1－y2.
由y1－y2＝y1＋(－y2)
≥2＝2＝3，
得S△ABO＋S△AFO的最小值为3，故选B.
13．y2＝－4x
14．(0，±)
解析：由于k＋5>k－2，又曲线＋＝1的焦距与k无关，则k＋5>0，k－2<0，曲线是焦点在y轴上的双曲线，且a2＝k＋5，b2＝2－k，c2＝a2＋b2＝7或k－2>0，k＋5>0，曲线是焦点在y轴上的椭圆，且a2＝k＋5，b2＝k－2，c2＝a2－b2＝7.故焦点坐标为(0，±)．
————————————————————————————
15.已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是________．
16．已知椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合；过点M(1,1)且斜率为－的直线交椭圆C于A，B两点，且M是线段AB的中点，则椭圆C的方程为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)椭圆的两个焦点F1，F2在x轴上，以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P(3,4)，求椭圆的标准方程．
18．(12分)抛物线y＝－与过点M(0，－1)的直线l相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．
答案
15.
解析：由题意，得消去m，n得4c2＝a2，故椭圆的离心率e＝＝.
16.＋＝1
解析：焦点坐标为(2,0)．
设椭圆方程为＋＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
②－①得，
＝－. ③
∵＝1，＝－，
∴代入③式解得a2＝8.
17．解：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
焦点坐标为F1(c,0)，F2(－c,0)．
∵以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P(3,4)，
∴c＝|OP|＝＝5.
∴∴
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
18．解：设直线方程为y＝kx－1，
由得x2＋2kx－2＝0，
∴Δ＝(2k)2－4×(－2)＝4k2＋8>0，
∴x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2，
又1＝＋＝＋
＝2k－＝2k－k＝k，
故所求直线方程为y＝x－1.
————————————————————————————
19.(12分)一炮弹在A处的东偏北60°的某处爆炸，在A处测到爆炸信号的时间比在B处早4
s，已知A在B的正东方、相距6
km，P为爆炸地点(该信号的传播速度为1
km/s)，求A，P两地的距离．
20．(12分)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
答案
19．解：
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)．
∵|PB|－|PA|＝4×1<6，
∴a＝2，b＝，c＝3.
则P是双曲线－＝1右支上的一点．
∵P在A的东偏北60°方向，
∴直线AP的斜率kAP＝tan60°＝.
故线段AP所在的直线方程为y＝(x－3)．
由得
即点P的坐标为(8,5)．
故A，P两地的距离为
|AP|＝＝10(km)．
20．解：(1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a. ①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|，
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，
则即
代入C的方程，得＋＝1. ②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
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21.(12分)已知双曲线－＝1的离心率e＝，原点到过A(a,0)，B(0，－b)两点的直线的距离是.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝kx＋5(k≠0)交双曲线于不同的点C，D，且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值．
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－2,0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．
答案
21.解：(1)双曲线的离心率e＝＝， ①
过点A，B的直线为－＝1，
即bx－ay－ab＝0.
∵原点到直线AB的距离为，
∴＝＝. ②
由①②，得b＝1.
于是＝＝1＋＝，a2＝3.
故双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由得(1－3k2)x2－30kx－78＝0.
则x1＋x2＝.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD中点M(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋5＝.
于是直线MB的斜率kMB＝＝－，
即x0＋ky0＋k＝0，即＋＋k＝0，
解得k2＝7，故k＝±.
22．解：(1)由已知可得，＝，c＝2，所以a＝.
又由a2＝b2＋c2，解得b＝，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)设T点的坐标为(－3，m)，
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
因为四边形OPTQ是平行四边形，
所以＝，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2)．
所以解得m＝±1.
此时，四边形OPTQ的面积
S四边形OPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF|·|y1－y2|
＝2＝2.
