八 用空间向量研究距离、夹角问题
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选C.因为平面α⊥平面β,且AC⊥l,BD⊥l,故AC⊥平面β,BD⊥
平面α,依题意建立坐标系如图所示,在Rt△ACD中,可得CD=,故A(0,0,1),
B(1,,0),C(0,0,0),D(0,,0),
则=(0,0,1),=(1,,0),=(0,,0).设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),
则?
令y=1,可得n=(-,1,0),
故所求距离d===.故选C.
2.两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为
( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.135°
【解析】选A.cos
===,
即=45°.所以两平面的夹角为45°.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角θ的正弦值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则B(1,1,0),B1(1,1,1),
A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),
所以=(0,0,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).令平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·=-x+y=0,n·=-x+z=0,令x=1,可得n=(1,1,1),
所以sin
θ=|cos|==.
4.正方形ABCD所在平面外有一点P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角的大小为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选B.建立空间直角坐标系如图,设AB=1,
则A(0,0,0),B(0,1,0),
P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0).
可知平面PAB的一个法向量为n1=(1,0,0).
设平面PCD的法向量为n2=(x,y,z),
则得令x=1,则z=1.
所以n2=(1,0,1),cos==.
设平面PAB与平面PCD所成的夹角为θ,
则cos
θ=|cos|=,所以θ=45°.
即平面PAB与平面PCD夹角的大小为45°.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为 .?
【解析】设a=(0,-1,3),b=(2,2,4),则cos==,又因为两向量的夹角与二面角相等或互补,所以这个二面角的余弦值为±.
答案:±
6.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,
AE∶ED∶AD=1∶1∶,则AF与CE所成角的余弦值为 .?
【解析】因为AE∶ED∶AD=1∶1∶,所以AE⊥ED,即AE,DE,EF两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=EF=CD=2,则E(0,0,0),A(1,0,0),
F(0,2,0),C(0,2,1),所以=(-1,2,0),=(0,2,1),所以cos<,>===,所以AF与CE所成角的余弦值为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.如图所示,已知在四面体ABCD中,O为BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
【解析】
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),
=(-1,0,1),=(-1,-,0),
所以cos<,>==.
8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(1)求BF的长;(2)求点C到平面AEC1F的距离.
【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),
C1(0,4,3).设F(0,0,z).
由面面平行的性质定理知四边形AEC1F为平行四边形,所以由=,
得(-2,0,z)=(-2,0,2),
所以z=2.所以F(0,0,2).所以=(-2,-4,2).
于是||=2=BF.
(2)设n为平面AEC1F的一个法向量,
显然n不垂直于平面ADF,故可设n=(x,y,1),
由
得
即所以
所以n=.
又=(0,0,3),设与n的夹角为α,则
cos
α===.
所以C到平面AEC1F的距离
d=||cos
α=3×=.
(15分钟·30分)
1.(5分)(多选题)已知向量a=(,0,-),则下列向量中与a所成的夹角为钝角的是
( )
A.(0,0,2)
B.(2,0,0)
C.(0,,)
D.(,-,0)
【解析】选AC.由题意,可设b与a成的夹角为钝角.
则有:a·b=|
a
|·|
b
|cos,因为为钝角,
所以a·b<0,①
对于A:a·b=-×2=-2,满足①式,A符合题意;
对于B:a·b=×2=2,不满足①式,B不符合题意;
对于C:a·b=×0+0×-×=-2,满足①式,C符合题意;
对于D:a·b=×+0×(-)-×0=2,不满足①式,D不符合题意.
2.(5分)如图所示,已知点P为菱形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,
PA=AD=AC,点F为PC中点,则平面CBF与平面BFD夹角的正切值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设AC∩BD=O,连接OF,
以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,
设PA=AD=AC=1,则BD=,
所以B,F,C,D.
所以=,且为平面BDF的一个法向量.
由=,=,可得平面BCF的一个法向量n=(1,,).
所以cos=,sin=.
所以tan=.
3.(5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则异面直线AD1,OB所成角的余弦值为 ,BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为 .?
【解析】建立空间直角坐标系如图
则B(1,1,0),O,A(1,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),
=(-1,0,1),=,
所以·=-+0-1=-,
=,=,cos<,>=-,
所以异面直线AD1,OB所成角的余弦值为.
=(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量.
所以BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为==.
答案:
4.(5分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是 .?
【解析】以BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系.设AB=BC=AA1=2,
则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),
则=(0,-1,1),=(2,0,2),
所以·=2,
所以cos<,>==,
所以EF和BC1所成的角为60°.
答案:60°
5.(10分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(1)求证:MN∥平面BDE;
(2)求平面CEM与平面EMN夹角的正弦值.
【解析】如图,以A为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),
D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).
(1)=(0,2,0),=(2,0,-2).
设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,
则
即
不妨设z=1,可得n=(1,0,1).
又=(1,2,-1),可得·n=0.
因为MN?平面BDE,所以MN∥平面BDE.
(2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x1,y1,z1)为平面EMN的一个法向量,则因为=(0,-2,-1),=(1,2,-1),所以不妨设y1=1,可得n2=(-4,1,-2).
因此有cos==-,于是sin=.
所以平面CEM与平面EMN夹角的正弦值为.
1.如图所示,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos
θ的最大值为 .?
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,
设正方形的边长为2,则A(0,0,0),
F(2,1,0),E(1,0,0),设M(0,m,2)(0≤m≤2),
则=(2,1,0),=(1,-m,-2),
cos
θ=.令t=2-m(0≤t≤2),
cos
θ=×≤×=.
答案:
2.如图所示的几何体中,平面ADNM⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,∠DAB=,AB=2,AM=1,E是AB的中点,在线段AM上是否存在点P,使平面PEC与平面ECD夹角的大小为?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.
【解析】在线段AM上存在点P满足条件,理由如下:
由DE⊥AB,AB∥CD,得DE⊥CD,因为四边形ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD且交线为AD,
所以ND⊥平面ABCD.以D为原点,DE,DC,DN所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则D(0,0,0),E(,0,0),C(0,2,0),N(0,0,1),=(-,2,0),
设P(,-1,m)(0易知平面ECD的一个法向量为=(0,0,1).
设平面PEC的法向量为n=(x,y,z),则
即取z=1,则n=,
假设在线段AM上存在点P,使平面PEC与平面ECD夹角的大小为,则cos==?m=,所以符合题意的点P存在,此时AP=.
PAGE七 空间中直线、平面的垂直
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如图所示,在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中点,点D在平面Oyz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,则的坐标为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E.在Rt△BCD中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=.
所以DE=CD·sin
30°=,OE=OB-BD·cos
60°=1-=.所以D点坐标为,
即的坐标为.
2.(2020·楚雄高二检测)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,=λ,=3,若PN⊥BM,则λ=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则P(λ,0,1),N,B(1,0,0),M,
=,=,
所以·=λ-+-=0,即λ=.
3.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,则等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由·=0得3+5-2z=0,
所以z=4.又因为⊥平面ABC,
所以即
解得所以=.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于
( )
A.AC
B.A1D
C.BD
D.A1A
【解析】选C.建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),
C1(0,1,1),E.所以=,
=(-1,1,0),=(-1,-1,0),
=(-1,0,-1),=(0,0,-1).
因为其中只有·=(-1)×+(-1)×+0×1=0,所以CE⊥BD.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=,若α⊥β,则x-y= .?
【解析】因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.
答案:-1
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和为 .?
【解析】以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略),设CE=x,DF=y,
则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以=(x-1,0,1),=(1,1,y),因为B1E⊥平面ABF,所以·=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0,即x+y=1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1⊥MN.
【证明】设AB中点为O,作OO1∥AA1.以O为坐标原点,OB为x轴,OC为y轴,OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得A,B,C,
N,B1,
因为M为BC中点,所以M.
所以=,=(1,0,1),
所以·=-+0+=0.所以⊥,所以AB1⊥MN.
8.如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,
∠BCE=120°.
求证:平面ADE⊥平面ABE.
【证明】取BE的中点O,连接OC,则OC⊥EB,
又因为AB⊥平面BCE,
所以以点O为原点建立空间直角坐标系,如图所示.
则由已知条件有C(1,0,0),B(0,,0),E(0,-,0),D(1,0,1),A(0,,2).
设平面ADE的法向量为n=(a,b,c),
则n·=(a,b,c)·(0,2,2)=2b+2c=0,
n·=(a,b,c)·(-1,,1)=-a+b+c=0.令b=1,则a=0,c=-,所以n=(0,1,-).
又因为AB⊥平面BCE,所以AB⊥OC,
所以OC⊥平面ABE,
所以平面ABE的法向量可取为m=(1,0,0).
因为n·m=(0,1,-)·(1,0,0)=0,所以n⊥m,
所以平面ADE⊥平面ABE.
(15分钟·30分)
1.(5分)(多选题)(2020·连云港高二检测)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则
( )
A.AP⊥AB
B.AP⊥BP
C.BC=
D.AP∥BC
【解析】选AC.A.·=-2-2+4=0,所以⊥,即AP⊥AB.因此正确.
B.=+=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),·=3+6-3=6≠0,所以AP与BP不垂直,因此不正确.C.=-=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),
所以||==,因此正确.
D.假设=k,则无解,因此假设不正确,因此AP与BC不可能平行,因此不正确.
2.(5分)如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD的值为
( )
A.1∶2
B.1∶1
C.3∶1
D.2∶1
【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形的边长为1,PA=a,
则B(1,0,0),E,P(0,0,a).
设点F的坐标为(0,y,0),
则=(-1,y,0),=.
因为BF⊥PE,所以·=0,
解得y=,即点F的坐标为,
所以F为AD的中点,所以AF∶FD=1∶1.
3.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cos
x+1,2cos
2x+2,0)和点Q
(cos
x,-1,3),其中x∈[0,π],若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为 .?
【解析】由OP⊥OQ,得·=0.
即(2cos
x+1)·cos
x+(2cos
2x+2)·(-1)=0.
所以cos
x=0或cos
x=.因为x∈[0,π],
所以x=或x=.
答案:或
4.(5分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE= .?
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,
则B1(0,0,3a),D,C(0,a,0).
设E(a,0,z)(0≤z≤3a),则=,=(a,0,z-3a).
由题意得2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a.
故AE=a或2a.
答案:a或2a
【加练·固】
(2020·北海高二检测)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为 .?
【解析】以C1为原点,C1A1为x轴,C1B1为y轴,C1C为z轴,建立空间直角坐标系,
由题意A1(1,0,0),B1(0,1,0),D,
C1(0,0,0),A(1,0,2),设F(0,1,t),0≤t≤2,则
=,=(-1,1,-2),=(0,1,t),因为AB1⊥平面C1DF,
所以所以1-2t=0,解得t=.
所以线段B1F的长为.
答案:
5.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E为PC的中点,EF⊥BP于点F.求证:
(1)PA∥平面EDB;
(2)PB⊥平面EFD.
【证明】由题意得,DA,DC,DP两两垂直,所以以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图,设DC=PD=1,则P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),E.
所以=(1,1,-1),=,
=,设F(x,y,z),
则=(x,y,z-1),=.
因为⊥,所以x+-=0,
即x+y-z=0. ①
又因为∥,可设=λ,
所以x=λ,y=λ,z-1=-λ. ②
由①②可知,x=,y=,z=,
所以=.
(1)设n1=(x1,y1,z1)为平面EDB的法向量,
则有即
所以取z1=-1,则n1=(-1,1,-1).
因为=(1,0,-1),所以·n1=0.
又因为PA?平面EDB,所以PA∥平面EDB.
(2)设n2=(x2,y2,z2)为平面EFD的法向量,
则有即
所以取z2=1,则n2=(-1,-1,1).
所以∥n2,所以PB⊥平面EFD.
1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是
( )
A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD
B.当点Q为线段B1P的三等分点(靠近点P)时,DQ⊥平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD
D.不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直
【解析】选D.以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),
D,P(0,2,0),=(1,0,1),=,=(-1,2,0),
=.
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则取z=-2,则x=2,y=1,所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).假设DQ⊥平面A1BD,且=λ=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),则=+=,因为也是平面A1BD的法向量,所以n=(2,1,-2)与=共线,于是有===成立,但此方程关于λ无解.故不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直.
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点(不与C,C1重合).
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.
【解析】(1)以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,
z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a,则D(0,0,0),A(a,0,0),
B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).
设E(0,a,λ)(0<λ=(-a,-a,0),·=a2-a2+(λ-a)·0=0,所以⊥,即A1E⊥BD.
(2)设平面A1BD,平面EBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).
因为=(a,a,0),=(a,0,a),=(0,a,λ),所以
取x1=x2=1,
得n1=(1,-1,-1),n2=,
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2,所以2-=0,即λ=.所以当E为CC1的中点时,
平面A1BD⊥平面EBD.
PAGE六 空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长为1的正方体,下列结论中,正确的是
( )
A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)
B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)
C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
【解析】选ABC.DD1∥AA1,=(0,0,1);BC1∥AD1,=(0,1,1);直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0);C1点坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,所以D错误.
2.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),它的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是
( )
A.(1,-1,1)
B.
C.
D.
【解析】选B.要判断点P是否在平面α内,只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直,
即·n是否为0,因此,要对各个选项进行检验.
对于选项A,=(1,0,1),
则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;
对于选项B,=,
则·n=·(3,1,2)=0,故B正确;
同理可排除C,D.
3.设平面α的法向量的坐标为(1,2,-2),平面β的法向量的坐标为(-2,-4,k).若α∥β,则k等于
( )
A.2
B.-4
C.4
D.-2
【解析】选C.因为α∥β,所以==,
所以k=4.
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是
( )
A.相交
B.平行
C.垂直
D.MN在平面BB1C1C内
【解析】选B.以点C1为坐标原点,分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
由于A1M=AN=,则M,
N,=.
又C1D1⊥平面BB1C1C,
所以=(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量.
因为·=0,
所以⊥,又MN?平面BB1C1C,
所以MN∥平面BB1C1C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知O为坐标原点,四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直线BD∥CA,并且与坐标平面xOz相交于点D,点D的坐标为 .?
【解析】由题意可设点D的坐标为(x,0,z),
则=(x-2,-2,z),=(0,-2,5).
因为BD∥CA,所以所以
所以点D的坐标为(2,0,5).
答案:(2,0,5)
6.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值是 .?
【解析】因为a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),a∥b,
令a=tb(t∈R),则(λ+1,0,2)=t(6,2μ-1,2λ)=(6t,(2μ-1)t,2λt),
即解得或
答案:2,或-3,
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.如图,已知ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.
(1)求平面SAB的一个法向量;
(2)求平面SCD的一个法向量.
【解析】以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,
S(0,0,1).
(1)因为AD⊥AB,AD⊥SA,AB与SA相交于A,
所以AD⊥平面SAB,
所以=是平面SAB的一个法向量.
(2)在平面SCD中,=,=(1,1,-1).设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),
则n⊥,n⊥,所以
得方程组所以
令y=-1,得x=2,z=1,所以平面SCD的一个法向量是n=(2,-1,1).
8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.
【证明】以D为坐标原点,分别以,,为正交基底建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,
则A(1,0,0),E,C1(0,1,1),F,
所以=,=,=,=,
所以=,=,所以∥,∥,又因为F?AE,F?EC1,所以AE∥FC1,EC1∥AF,所以四边形AEC1F是平行四边形.
(15分钟·30分)
1.(5分)若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是
( )
A.相交
B.平行
C.在平面内
D.平行或在平面内
【解析】选D.因为=λ+μ(λ,μ∈R),
所以与,共面.
所以AB∥平面CDE或AB?平面CDE.
2.(5分)(2020
·武汉高二检测)如果直线l的方向向量是a=(-2,0,1),且直线l上有一点P不在平面α内,平面α的法向量是b=(2,0,4),那么
( )
A.直线l与平面α垂直
B.直线l与平面α平行
C.直线l在平面α内
D.直线l与平面α相交但不垂直
【解析】选B.因为直线l的方向向量是a=(-2,0,1),平面α的法向量是b=(2,0,4),又a·b=-4+0+4=0,所以直线l在平面α内或与平面α平行,又直线l上有一点P不在平面α内,所以直线l与平面α平行.
3.(5分)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为
PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为 .?
【解析】以点A为原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系.设AB=a,AP=c,AD=b,
则A(0,0,0),P(0,0,c),B(a,0,0),C(2a,b,0),
故E,则=.
又=(a,0,0)为平面PAD的一个法向量,且·=0,
BE?平面PAD,故BE∥平面PAD.
答案:平行
4.(5分)若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z= .?
【解析】因为α∥β,所以u1∥u2.所以==.
所以y=1,z=-4.所以y+z=-3.
答案:-3
5.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD
成30°角,求证:CM∥平面PAD.
【证明】由题意得CB,CD,CP两两垂直,以点C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为PC⊥平面ABCD,所以∠PBC为PB与平面ABCD
所成的角,所以∠PBC=30°.
因为PC=2,所以BC=2,PB=4.
所以C(0,0,0),D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M.
所以=(0,-1,2),=(2,3,0),=.令n=(x,y,z)为平面PAD的法向量,
则即所以
令y=2,得n=(-,2,1).
因为n·=-×+2×0+1×=0,
所以n⊥,又CM
?平面PAD,
所以CM∥平面PAD.
1.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为
( )
A.(1,1,1)
B.
C.
D.
【解析】选C.设AC与BD相交于O点,连接OE,
因为AM∥平面BDE,且AM?平面ACEF,
平面ACEF∩平面BDE=OE,所以AM∥EO,
又O是正方形ABCD对角线的交点,
所以M为线段EF的中点.
在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(,,1).
由中点坐标公式,知点M的坐标为.
2.如图,在长方体ABCD
-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
【解析】(1)以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示.
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1).
故·=-×0+1×1+(-1)×1=0,所以B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0).
使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0).
又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).
因为n⊥平面B1AE,
所以n⊥,n⊥,得
取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=
要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有-az0=0,
解得z0=.又DP?平面B1AE,
所以存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=.
PAGE五 空间向量运算的坐标表示
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知a=(2,-2,-1),b=(0,-1,2),则下列向量中与a+b平行的是
( )
A.(1,1,1)
B.(-2,-3,5)
C.(2,-3,5)
D.(-4,6,-2)
【解析】选D.a+b=(2,-3,1),若c=(-4,6,-2),则c=-2×(2,-3,1)=-2(a+b),所以a+b∥c.
【加练·固】
若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x的值为
( )
A.2
B.-2
C.0
D.1
【解析】选A.因为c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),所以(c-a)·(2b)=2(1-x)=2-2x=-2,
所以x=2.
2.已知a+b=(2,,2),a-b=(0,,0),则cos=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由已知得a=(1,,),b=(1,0,),所以cos===.
3.设A(1,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.利用中点坐标公式,得点P的坐标为,
由空间两点间的距离公式,
得|PC|==.
4.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为
( )
A.
B.-
C.2
D.±
【解析】选D.=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),
则·=(-6)×(-3)+1×2+2k×(-k)
=-2k2+20=0,所以k=±.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知点A(-1,3,1),B(-1,3,4),若=2,则点P的坐标是 .?
【解析】设点P(x,y,z),则由=2,得(x+1,y-3,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),
则解得即P(-1,3,3).
答案:(-1,3,3)
6.设向量a=(1,-2,2),b=(-3,x,4),已知a在b上的投影为1,则x= .?
【解析】因为a在b上的投影为1,所以|a|·cos=1,所以a·b=
|a||b|cos=|b|,所以-3-2x+8=,解得x=0或x=(舍去).
答案:0
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2a+b|;
(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b?(O为原点)
【解析】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)
=(0,-5,5),
故|2a+b|==5.
(2)=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若⊥b,
则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,E点坐标为.
8.设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).
(1)若(ka+b)∥(a-3b),求k;
(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k.
【解析】(1)由于(ka+b)∥(a-3b),所以ka+b=λ(a-3b),
即ka+b=λa-3λb,由于a与b不共线,
所以有解得k=-;
(2)由于(ka+b)⊥(a-3b),所以(ka+b)·(a-3b)=0,即k|a|2-(3k-1)a·b-3|b|2=0,
而|a|2=27,|b|2=38,a·b=8,所以27k-8(3k-1)-114=0,解得k=.
(15分钟·30分)
1.(5分)(多选题)从点P(1,2,3)出发,沿着向量v=(-4,-1,8)方向取点Q,使|PQ|=18,则Q点的坐标为
( )
A.(-1,-2,3)
B.(9,4,-13)
C.(-7,0,19)
D.(1,-2,-3)
【解析】选BC.设Q(x0,y0,z0),则=λv,即
(x0-1,y0-2,z0-3)=λ(-4,-1,8).
由|PQ|=18得=18,所以λ=±2,
所以(x0-1,y0-2,z0-3)=±2(-4,-1,8),
所以或
2.(5分)已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为
( )
A.3
B.3
C.2
D.2
【解析】选B.|AB|=
==,
当a=-1时,|AB|min==3.
3.(5分)已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λ= ,μ= .?
【解析】因为=(λ-1,1,λ-2μ-3),=(2,-2,6),由A,B,C三点共线,得∥,即=-=,解得λ=0,μ=0.
答案:0 0
4.(5分)若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围是 .?
【解析】a·b=2x-2×3+2×5=2x+4,设a,b的夹角为θ,因为θ为钝角,所以
cos
θ=<0,又|a|>0,|b|>0,所以a·b<0,即2x+4<0,所以x<-2.又a,b不会反向,所以实数x的取值范围是(-∞,-2).
答案:(-∞,-2)
【加练·固】
已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),+λ与的夹角为120°,则λ的值为 .?
【解析】因为=(1,0,0),=(0,-1,1),
所以+λ=(1,-λ,λ),所以(+λ)·=λ+λ=2λ,|+λ|==,
||=.所以cos
120°==-,所以λ2=.
又<0
,所以λ=-.
答案:-
5.(10分)如图所示,在四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD
=2,AB=AD=.
(1)求线段AE的长;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
【解析】(1)连接OC,由题意知BO=DO,AB=AD,
所以AO⊥BD.又BO=DO,BC=CD,所以CO⊥BD.
以O为坐标原点建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,
,0),A(0,0,1),
E所以=,
所以==,
所以线段AE
的长为.
(2)因为=(-1,0,1),=(-1,-,0),
·=1+0+0=1,
==,
==2,
所以cos<,>==.
所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
1.若a=(2,3,-1),b=(-2,1,3),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为 .?
【解析】a·b=2×(-2)+3×1+(-1)×3=-4,|a|=,|b|=,所以cos==-.
所以sin==.因此以a,b为邻边的平行四边形的面积为|a||b|sin=××=6.
答案:6
2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是边AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长;
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
【解析】(1)设正三棱柱的侧棱长为h,
由题意得A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),B1(,0,h),C1(0,1,h),
则=(,1,h),=(-,1,h),
因为AB1⊥BC1,所以·=-3+1+h2=0,
所以h=.所以三棱柱的侧棱长为.
(2)由(1)可知=(,1,),=(-,1,0),
所以·=-3+1=-2.
因为||=,||=2,
所以cos<,>==-.
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
PAGE四 空间直角坐标系
(25分钟·40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的
( )
A.y轴上
B.Oxy平面上
C.Oxz平面上
D.第一象限内
【解析】选C.点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在Oxz平面上.
【加练·固】
点P(1,,)为空间直角坐标系中的点,过点P作Oxy平面的垂线,垂足为Q,则点Q的坐标为
( )
A.(0,0,)
B.(0,,)
C.(1,0,)
D.(1,,0)
【解析】选D.由空间点的坐标的定义,知点Q的坐标为(1,,0).
2.三棱锥P-ABC中,∠ABC为直角,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M为PC的中点,N为AC的中点,以,,方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz,则的坐标为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.=-
=(+)-(+)=-=i-k=.
3.(2020·铜陵高二检测)空间直角坐标系中,已知点P(3,-2,-5),点Q与点P关于Ozx平面对称,则点Q的坐标是
( )
A.(-3,2,5)
B.(3,-2,5)
C.(3,2,-5)
D.(-3,-2,-5)
【解析】选C.空间直角坐标系中,点P(3,-2,-5),
因为点Q与点P关于Ozx平面对称,
所以点Q的坐标是(3,2,-5).
4.正方体ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱长为1,且BP=BD＇,建立如图所示的空间直角坐标系,则P点的坐标为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.如图所示,过P分别作Oxy平面和z轴的垂线,垂足分别为E,H,过E分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为F,G,
由于BP=BD＇,所以==k,==i,==j,所以P点的坐标为.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.点P(1,2,-1)在Oxz平面内的射影为B(x,y,z),则x+y+z= .?
【解析】点P(1,2,-1)在Oxz平面内的射影为B(1,0,-1),所以x=1,y=0,z=-1,所以x+y+z=1+0-1=0.
答案:0
6.已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段AB中点的坐标为 .?
【解析】设中点坐标为(x0,y0,z0),
则x0==4,y0==0,z0==-1,
所以中点坐标为(4,0,-1).
答案:(4,0,-1)
三、解答题
7.(10分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的坐标系,并写出各点的坐标.
【解析】如图所示,取AC的中点O和A1C1的中点O1,
连接BO,OO1,可得BO⊥AC,BO⊥OO1,分别以OB,OC,OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为各棱长均为1,
所以OA=OC=O1C1=O1A1=,OB=.
=0i-j+0k,所以A点的坐标为,同理:B,C.又因为
=0i-j+k,所以点A1的坐标为,
同理C1.
因为点B1在Oxy平面内的射影为点B,且BB1=1,
所以B1.
(15分钟·30分)
1.(5分)设z为任一实数,则点(2,2,z)表示的图形是
( )
A.z轴
B.与Oxy平面平行的一直线
C.与Oxy平面垂直的一直线
D.Oxy平面
【解析】选C.(2,2,z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线,即与Oxy平面垂直的直线.
2.(5分)点A(1,2,-1),点C与点A关于Oxy平面对称,点B与点A关于x轴对称,则的坐标为
( )
A.(1,2,-1)
B.(1,-2,1)
C.(0,-4,0)
D.(0,4,0)
【解析】选D.点A关于Oxy平面对称的点C的坐标是(1,2,1),点A关于x轴对称的点B的坐标是(1,-2,1),所以=i-2j+k,=i+2j+k,
所以=-=0i+4j+0k,的坐标为(0,4,0).
3.(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,则向量在基底{i,j,k}下的坐标是 .?
【解析】=++=++=3i+2j+5k,所以向量在基底{i,j,k}下的坐标是(3,2,5).
答案:(3,2,5)
4.(5分)以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则平面AA1B1B对角线交点的坐标为 .?
【解析】如图所示,A(0,0,0),B1(1,0,1).
平面AA1B1B对角线交点是线段AB1的中点,所以由中点坐标公式得所求点的坐标为.
答案:
【加练·固】
已知平行四边形ABCD,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为 .?
【解析】由平行四边形对角线互相平分知,AC的中点即为BD的中点,AC的中点M,
设D(x,y,z),则=,=4,=-1,
所以x=5,y=13,z=-3,所以D(5,13,-3).
答案:(5,13,-3)
5.(10分)如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.
【解析】以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为|C1C|=|CB|=|CA|=2,所以C(0,0,0),
=2i+0j+0k所以点A的坐标为(2,0,0),
同理B(0,2,0),C1(0,0,2),因为B1在Cxy平面内的射影为B(0,2,0)且=2,所以点B1的坐标为(0,2,2),
由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),
所以=(1,1,0)=i+j,=(0,1,2)=j+2k,
所以=(j+2k)-(i+j)=-i+2k,
==即DE=,
同理EF==.
PAGE三 空间向量基本定理
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b不能构成空间的一个基底的向量是
( )
A.
B.
C.
D.或
【解析】选C.因为=a-b且a,b不共线,
所以a,b,共面,所以与a,b不能构成空间的一个基底.
2.已知空间四边形OABC,其对角线为AC,OB,M,N分别是OA,BC的中点,点G是MN的中点,则等于
( )
A.++
B.(++)
C.(++)
D.++
【解析】选B.如图,=(+)=+×(+)=++
=(++).
3.已知l,m是异面直线,A,B∈l,C,D∈m,AC⊥m,BD⊥m且AB=2,CD=1,则异面直线l,m所成的角等于
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选C.如图,设=a,=b,=c,则=a+b+c,
所以cos<,>==,
所以异面直线l,m所成的角等于60°.
4.如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,
DF=DD1.若=x+y+z,则x+y+z=
( )
A.-1
B.0
C.
D.1
【解析】选C.因为=-=+-(+)=+--
=-++,所以x=-1,y=1,z=,所以x+y+z=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x= ,y= .?
【解析】因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,
即a-b+c=λxa+λyb+λc,
于是有解得
答案:1 -1
6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1C1和侧面CD1的中点,若+λ=0(λ∈R),则λ= .?
【解析】如图,连接A1C1,C1D,则E在A1C1上,F在C1D上,易知EFA1D,所以=,
即-=0,
所以λ=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.
(1)用向量a,b,c表示,;
(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.
【解析】(1)如图,=+=-+-=a-b-c,
=+=+=-(+)+(+)=(a-c).
(2)=(+)=(-+)
=(-c+a-b-c)
=a-b-c,
所以x=,y=-,z=-1.
8.如图,已知直三棱柱ABC-A＇B＇C＇中,AC=BC=AA＇,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB＇的中点.
(1)求证:CE⊥A＇D;
(2)求异面直线CE与AC＇所成角的余弦值.
【解析】(1)设=a,=b,=c,
根据题意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0.
所以=b+c,=-c+b-a.
所以·=-c2+b2=0,所以⊥,
即CE⊥A＇D.
(2)因为=-a+c,所以||=|a|,||=|a|,
因为·=(-a+c)·=c2=|a|2,
所以cos<,>==.
所以异面直线CE与AC＇所成角的余弦值为.
(15分钟·30分)
1.(5分)空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且=2,N为BC中点,则为
( )
A.a-b+c
B.-a+b+c
C.a+b-c
D.a+b-c
【解析】选B.=++
=+-+(-)
=-++=-a+b+c.
2.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用,,作为基向量,则= .?
【解析】2=2+2+2
=(+)+(+)+(+)
=++,所以=(++).
答案:(++)
3.(5分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+2y+3z,则x+y+z=
.?
【解析】因为=++,
又=x+2y+3z,
所以x=1,2y=1,3z=1,
即x=1,y=,z=,
故x+y+z=1++=.
答案:
4.(5分)如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点,则
MN AB(填“∥”或“⊥”).?
【解析】设=p,=q,=r.
由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60°.
=-=(+)-=(q+r-p),所以·=(q+r-p)·p
=(q·p+r·p-p2)=(a2cos60°+a2cos60°-a2)=0.所以⊥.即MN⊥AB.
答案:⊥
5.(10分)如图所示,空间四边形OABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心,求证:GH∥OA.
【证明】设=a,=b,=c.
因为H为△OBC的重心,D为BC的中点,
所以=(+),=,
从而==×(+)=(b+c).
又=+=+,=-,
所以=+×(+)-
=(++)=(a+b+c).因为=-,所以=(b+c)-(a+b+c)=-a=-,所以∥,即GH∥OA.
1.点P是矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别是PC,PD上的点,且=,=,则满足=x+y+z的实数x,y,z的值分别为( )
A.-,,
B.,-,
C.-,,-
D.-,-,
【解析】选D.如图所示,取PC的中点E,连接NE,则=-=-(-)
=-=-=--(-++)=--+,比较知x=-,y=-,z=.
2.已知空间四边形OABC中,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,Q为OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.
【证明】如图,取向量,,为空间的一个基底,则=(+),=(+).
所以=-=(+)-
=(+-),
=-=(+)-
=(+-).又因为=-,
所以=(+),=(-),
所以·=(+)·(-)
=(||2-||2),又因为||=||,
所以·=0,即PM⊥QN.
PAGE二 空间向量的数量积运算
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为
( )
A.-6
B.6
C.3
D.-3
【解析】选B.由题意可得a·b=0,e1·e2=0,
|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,
所以2k-12=0,所以k=6.
2.如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是
( )
A.2·
B.2·
C.2·
D.2·
【解析】选B.2·=2a2cos
120°=-a2,2·=2·=2a2cos
60°
=a2,2·=·=-a2,2·=·=-·=-a2.
3.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则两直线所成的角为
( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选B.设向量a,b的夹角为θ,则cos
θ==-,所以θ=120°,则两直线所成的角为180°-120°=60°.
4.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于
( )
A.6
B.6
C.12
D.144
【解析】选C.因为=++,所以=+++2·+2·
+2·=36+36+36+2×36cos
60°=144,所以PC=12.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1=
60°,E为棱C1D1的中点,则·= .?
【解析】=++,·=·+·+=4×3×
cos
60°+0+×42=14.
答案:14
6.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 .?
【解析】不妨设棱长为2,则=-,=+,则·=(-)·=0-2+2-0=0,所以⊥.
答案:90°
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点.求下列向量的数量积:(1)·;(2)·.
【解析】如图所示,设=a,=b,=c,
则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.
(1)·=·(+)=b·=|b|2=42=16.
(2)·=(+)·(+)
=·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.
8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
【解析】(1)=++=++=(c-a)+a+(b-a)=a+b+c.
(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5,所以|a+b+c|=,所以||=|a+b+c|=,即MN=.
(15分钟·30分)
1.(5分)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是
( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
【解析】选B.因为+-2=(-)+(-)=+.所以(+-2)·(-)=(+)·(-)=-=0,
所以||=||,因此△ABC是等腰三角形.
2.(5分)(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题中正确的是
( )
A.(++)2=3
B.·(-)=0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为|··|
【解析】选AB.如图所示,(++)2=(++)2==3,故A正确;·(-)=·=0,B正确;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,C错误;正方体的体积为||||||,D不正确.
3.(5分)如图,已知平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC= .?
【解析】||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=62+42+32+2||||cos
120°=49.所以||=7.
答案:7
4.(5分)已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,=
135°,m⊥n,则λ= .?
【解析】由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,
所以a2+(1+λ)a·b+λb2=0,
所以18+(λ+1)·3×4cos
135°+16λ=0,
即4λ+6=0,所以λ=-.
答案:-
5.(10分)BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角.
【解析】如图所示,由题意知,?ABB1A1、?BB1C1C均为正方形.
因为=+,=+,
所以·=(+)·(+)=·+·+·+·.
因为AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,
所以·=0,·=0,·=0
且·=-a2.所以·=-a2.
又·=||·||cos<,>,
所以cos<,>==-.
又因为<,>∈[0,π],所以<,>=π,
又因为异面直线所成的角是锐角或直角,
所以异面直线BA1与AC所成的角为.
1.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若直线CF上有一点N,使MN⊥AE,则= .?
【解析】设=m,则=m=m,因为M为BC的中点,
所以=+=+m,
又因为=+,·=0,
所以·=(+)·=·+m·=·+m·=-+4m=0,所以解得m=.
答案:
2.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.
(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;
(2)求<,>.
【解析】(1)设=a,=b,=c,正四面体的棱长为1,则=(a+b+c),=(b+c-5a),
=(a+c-5b),=(a+b-5c),
所以·=(b+c-5a)·(a+c-5b)
=(18a·b-9|a|2)=(18×1×1×cos
60°-9)=0,
所以⊥,即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.
(2)=+=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),
所以||==.
又||==,
·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=,
所以cos<,>==.
又<,>∈[0,π],所以<,>=.
PAGE一 空间向量及其线性运算
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是
( )
A.与
B.与
C.与
D.与
【解析】选D.根据题意可知,与,与为相反向量,与只是模相等.
2.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,则++为
( )
A.
B.
C.
D.0
【解析】选A.++=+=.
3.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,M是AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则可以表示为
( )
A.a+b+c
B.-a-b+c
C.-a-b-c
D.a+b+c
【解析】选C.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,M是AC与BD的交点,所以=+,=-=-(+),所以=-c-a-b.
4.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x++,则x的值为
( )
A.1
B.0
C.3
D.
【解析】选D.因为=x++,且M,A,B,C四点共面,所以x++=1,x=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.把所有单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是 .?
【解析】在空间中把所有的单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是以这些单位向量的公共起点为球心,半径为1的球面.
答案:球面
6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则下列结论中正确的是 .?
①+与+是一对相等向量;
②-与-是一对相反向量;
③+++与+++是一对相反向量;
④-与-是一对相等向量.
【解析】依题意,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有+=0,+=0,
+=0,+=0,故(+++)+(+++)=0,③正确;
+与+是相反向量,①错误;-=,-=,所以-=-,②错误;-=,-=,与是相反向量,
所以④错误.
答案:③
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:
(1)+;(2)++;(3)--.
【解析】(1)+=.
(2)因为M是BB1的中点,所以=.
又=,所以++=+=.
(3)--=-=.
向量,,如图所示,
8.如图,已知M,N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线.
【证明】设=a,=b,=c,则=+=+
=-a+(a+b+c)=-a+b+c,
=+=+(+)
=-a+b+c=,所以∥.
又BN与BG有公共点B,所以B,G,N三点共线.
(15分钟·30分)
1.(5分)(多选题)已知空间向量,,,,则下列结论正确的是
( )
A.=+
B.-+=
C.=++
D.=+
【解析】选BD.+=,故A错;-+=++=+=,故B正确;++=+,故C错;+=,故D正确.
2.(5分)已知空间四边形OABC,其对角线为OB和AC,M,N分别是边OA,CB的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,用向量,,表示向量是
( )
A.=++
B.=++
C.=++
D.=++
【解析】选A.因为MG=2GN,M,N分别是边OA,CB的中点,所以=+=
+=+(++)=++(-)=++.
3.(5分)对于空间中的非零向量,,,有下列各式:①+=;
②-=;
③||+||=||;④||-||=||.其中一定不成立的是 .?
【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①:+=恒成立;对于③:当,,方向相同时,有||+||=||;对于④:当,,共线且,方向相同,||>||时,有||-||=||.只有②一定不成立.
答案:②
4.(5分)在三棱锥A-BCD中,若△BCD是正三角形,E为其中心,则化简+
--的结果为 .?
【解析】如图,延长DE交边BC于点F,则+=,+=+=,故+--=0.
答案:0
5.(10分)已知M,G分别是空间四边形ABCD的两边BC,CD的中点,化简下列各式.
(1)+(+);(2)-(+).
【解析】(1)如图所示,
取BD的中点H,连接MG,GH.
因为M,G分别为BC,CD的中点,
所以四边形BMGH为平行四边形,
所以(+)=+=,
从而+(+)=+=.
(2)分别取AB,AC的中点S,N,
连接SM,AM,MN,则四边形ASMN为平行四边形,
所以(+)=+=,
所以-(+)=-=.
1.如图,已知空间四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则= .(用向量a,b,c表示)?
【解析】设G为BC的中点,连接EG,FG,则=+=+=
(a-2c)+(5a+6b-8c)=3a+3b-5c.
答案:3a+3b-5c
2.如图,已知OE是平行六面体OADB-CFEG的体对角线,点M是△ABC的重心,求证:点M在直线OE上.
【证明】如图,连接AM并延长交BC于点H,
因为M是△ABC的重心,所以H为BC的中点,
所以=(+),所以=
=(+)=[(-)+(-)]
=+-,
所以=+=(++).又因为=++=++,所以=,所以点M在直线OE上.
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