7.4事件的独立性
1.抛掷一枚均匀的骰子两次,在下列事件中,与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是(
)
A.“两次得到的点数和是12”
B.“第二次得到6点”
C.“第二次的点数不超过3点”
D.“第二次的点数是奇数”
2..已知下列各对事件:
①甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生.今从甲乙两组中各选一名同学参加游园活动从甲组中选出一名男生与从乙组中选出—名女生;
②?一盒内放有5个白色乒乓球和3个黄色乒乓球.
“从8个球中任取1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取1个,取出的仍是白球”;
③?一筐内有6个苹果和3个梨,“从中任取1个,取出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内,再取1
个是梨
其中为相互独立事件的有(??
).
A.①②
B.①③
C.②
D.②③
3.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是且互相独立，灯亮的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
4.在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的.则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
5.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙、丙去北京旅游的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有人去北京旅游的概率为(???)
A.
B.
C.
D.
6.第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16
日在郑州举行，甲、乙两人都想去现场观看比
赛，他们到车站买动车票，甲买票用微信支付的概率为0.4，乙买票用微信支付的概率为0.
3，两人是否用微信支
付互不影响，则恰有一人用微信支付的概率为(
)
A.0.46
B.0.58
C.0.7
D.0.88
7.设两个独立事件和都不发生的概率为,
发生不发生的概率与发生不发生的概率相同,
则事件发生的概率=__________.
8.某单位有两辆车参加某种事故保险,对在当年内发生此种事故的每辆车,单位均可获赔(每辆车最多只获一次赔偿).设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和,且各车是否发生事故相互独立,则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为______.(结果用最简分数表示)
9.如图,系统由四类不同的元件构成.当元件至少有一个正常工作且元件至少有一个正常工作时,系统M正常工作.已知元件正常工作的概率依次为,元件连接成的系统正常工作的概率=__________.
10.某市派出甲、乙两支球队分别参加全省青年组,少年组足球赛,甲、乙两队夺冠的概率分别为和,则该市足球队夺取冠军的概率是__________.
11.甲、乙两名射击运动员分别对一个目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
1.2人中恰有1人射中目标的概率;
2.2人至少有1人射中目标的概率.
答案以及解析
1.答案：A
解析：“第二次得到6点”“第二次的点数不超过3点”“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立,而对于“两次得到的点数和是12”,则第一次一定是6点,第二次也是6点,故不相互独立,故选A.
2.答案：B
解析：判断两个事件是否相互独立，可以看的发生对事件发生的概率是否有影响，也可根据独立的定义来判断.
3.答案：C
解析：由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，
这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，
∴灯泡不亮的概率是
∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，
∴灯亮的概率是，
故选
C.
4.答案：B
解析：记事件A为“该毕业生赢得甲公司的面试机会”，事件B为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”，事件C为“该毕业生赢得丙公司的面试机会”.
由题易可得，.
则事件“该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会”为，
由相互独立事件同时成立的概率公式，可得
.故选B.
5.答案：B
解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为,,.
他们不去北京旅游的概率分别为,,,至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游,
至少有1人去北京旅游的概率为.
所以B选项是正确的.
6.答案：A
解析：设事件A为“甲买票用微信支付"，事件B为“乙
买票用微信支付”，事件C为“恰有一人用微信支付”，依题意得，,所以故选
A.
7.答案：
解析：由已知,得①,又,所以,即②,由①②,解得,所以
8.答案：
解析：因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，所以一年内该单位在此种保险中获赔的概率.
9.答案：0.752
解析：=0.752
10.答案：
解析：设甲夺冠为事件,乙夺冠为事件,则、相互独立.
该市夺冠为事件,
概率为
或
11.答案：1.记“甲射击1次,击中目标”为事件,“乙射击1次,击中目标”为事件,
则与,
与,与,与为相互独立事件.
“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:
一种是甲击中、乙未击中(事件发生),
另一种是甲未击中、乙击中(事件发生).
根据题意,事件与互斥,
根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,
所求的概率为:
.
?
∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.
2.?(法1):2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,
其概率为.
(法2):“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件,
2个都未击中目标的概率是,
∴“两人至少有1人击中目标”的概率为.
解析：
PAGE7.3频率与概率
1.有下列说法正确的是(
)
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度;
②在同一次试验中,每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数;
③在同一次试验中,每个试验结果出现的频率之和不一定等于1;
④概率就是频率.
A.①③
B.①②④
C.①②
D.③④
2.下列说法中正确的是(
)
A.任何事件的概率总是在之间
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
3.某校生物兴趣小组为了解种子发芽情况，重复做了大量种子发芽的实验，结果如下：
实验种子的数量n
100
200
500
1000
5000
10000
发芽种子的数量m
98
182
485
900
4750
9500
种子发芽的频率
0.98
0.91
0.97
0.90
0.95
0.95
根据以上数据，估计该种子发芽的概率是（
）
A．0.90
B．0.98
C．0.95
D．0.91
4.从一批电视机中随机抽出台进行检验,其中有台次品,则关于这批电视机,下列说法正确的是(??
)
A.次品率小于
B.次品率大于
C.次品率等于
D.次品率接近
5.在天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为85%
”,这是指(??
)
A.明天该地区有85%的地方降水,其他15%的地方不降水
B.明天该地区约有85%的时间降水,其他时间不降水
C.气象台的专家中,有85%的人认为会降水,另外15%的专家认为不降水
D.明天该地区降水的可能性为85%
6.已知某厂的产品合格率为0.8,现抽出10件产品检查,则下列说法正确的是(
)
A.合格产品少于8件
B.合格产品多于8件
C.合格产品正好是8件
D.合格产品可能是8件
7.下列说法正确的是(???)
A.一个人打靶,打了10发子弹,有7发子弹中靶,因此这个人中靶的概率为
B.一个同学做掷硬币试验,掷了6次,一定有3次"正面朝上"
C.某地发行福利彩票,其回报率为47%,有个人花了100元钱买彩票,一定会有47元的回报
D.大量试验后,可以用频率近似估计概率
8.在一次数学考试中,某班学生的及格率是,这里所说的“”是指
.（填“频率”或“概率”）
9.已知随机事件发生的频率是,事件出现了次,那么可能共进行了__________次试验.
10.一袋中有红球3只,白球5只,还有黄球若干只.某人随意摸100次,其摸到红球的频数为30次,那么袋中黄球约有__________只.
11.某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买三种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
答案以及解析
1.答案：C
解析：由频率、频数、概率的定义易知①②正确,故选C.
2.答案：C
解析：任何事件的概率总是在之间,其中必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0,“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”,故A错误.只有通过实验,才会得到频率的值,故频率不是客观存在的,一般来说,当试验的次数不同时,频率是不同的,它与试验次数有关,故B错误.当试验次数增多时,频率值越来越接近于某个常数,这个常数就是概率,故C正确.概率是一个确定的值,它不是随机的,它是频率的稳定值,故D错误.故选C.
3.答案：C
解析：根据以上数据，估计该种子发芽的概率是0.95，
故选：C．
4.答案：D
解析：
抽出的样本中次品的频率为,即,所以样本中次品率为,所以总体中次品率大约为.
5.答案：D
解析：由概率的意义知,“明天降水概率为85%
”
是指明天该地区降水的可能性为85%.
6.答案：D
解析：由某厂的产品合格率为0.8,知若抽出10件产品检查,则合格产品约为(件).根据概率的几何意义,可得合格产品可能是8件.故选D.
7.答案：D
解析：进行大量试验后,频率近似接近概率,因而可以用频率近似估计概率.
8.答案：频率
解析：在一次数学考试中，某班学生的及格率是，这里所说的
“”
是指“频率”.只有经过很多次考试得到的及格率都是，才能说是概率.故答案为频率.
9.答案：500
解析：设进行了次试验,则有,得,故进行了次试验..
10.答案：2
解析：
由,解得
11.答案：(1)由统计表可得在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,由频率估计概率,得顾客同时购买乙和丙的概率为.
(2)在这1000名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买三种商品的有(人),故顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买三种商品的概率约为.
(3)在这1000名顾客中,同时购买甲和乙的频率为,同时购买甲和丙的频率为,同时购买甲和丁的频率为,故顾客购买了甲,同时购买丙的可能性最大.
解析：
PAGE7.2古典概型
1.从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查,则甲被选中的概率是(
)
A.
B.
C.
D.
2.下列有关古典概型的四种说法:
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
②每个事件出现的可能性相当;
③每个基本事件出现的可能性相等;
④已知基本事件总数为n,若随机事件A包含k个基本事件,则事件A发生的概率.
其中说法正确的是(
)
A.①②④
B.①③
C.③④
D.①③④
3.下列问题中是古典概型的是(
)
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子,求出现1点的概率
C.在区间上任取一个数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率
4.手表实际上是个转盘,一天二十四小时,分针指到哪个数字的概率最大(
?)
A.12
B.6
C.1
D.12个数字概率相等
5.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,则这两个数都是奇数的概率是(??
)
A.0.1
B.0.2?
C.0.3
D.0.6
6.根据某医疗研究所的调查,某地区居民血型的分布为:O型,A型,B型,AB型.现有一A型血的病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为病人输血的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
7.掷一颗骰子,设事件A表示“出现点数5”,事件B表示“出现偶数点”,则等于(
)
A.
B.
C.
D.
8.若为互斥事件,则(
)
A.
B.
C.
D.
9.已知随机事件和互斥，且,则(
)
A.0.5
B.0.1
C.0.7
D.0.8
10.在掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率为,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件(表示事件B的对立事件)发生的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
11.已知五条线段的长度分别为2,3,4,5,6,若从中任选三条,则能构成三角形的概率是__________.
12.已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料.从这5瓶饮料中随机取2瓶,则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为__________.
13.在一只布袋中有形状、大小一样的32颗棋子,其中有16颗红棋子,16棵绿棋子.某人无放回地依次从中摸出1棵棋子,则第1次摸出红棋子、第2次摸出绿棋子的概率是__________.
14.事件互斥,它们都不发生的概率为,并且,则?____________?
.
15.某地医院一天派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如下:
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.26
0.1
0.25
0.25
0.04
1.求派出医生至多2人的概率
2.求派出医生至少2人的概率
答案以及解析
1.答案：A
解析：从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查,基本事件总数.
甲没被选中包含的基本事件个数,
因此甲被选中的概率.故选A.
2.答案：D
解析：②中所说的事件不一定是基本事件,所以②不正确;根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.故选D.
3.答案：D
解析：A,B两项中的基本事件的发生不是等可能的;C项中基本事件的个数是无限多个;D项中基本事件的发生是等可能的,且是有限个.故选D.
4.答案：D
解析：手表设计的转盘是等分的,即分针指到
1,2,3,…,12中每个数字的机会都一样,故选D.
5.答案：C
解析：总基本事件有,共种,两数都是奇数的有,共种,故所求概率为,故选C.
6.答案：D
解析：能给A型血病人输血的人的血型有O型与A型,故概率为.
7.答案：C
解析：∵互斥,∴.
8.答案：D
解析：由互斥事件的定义可知，选D.
9.答案：A
解析：因为事件和互斥，所以,
则，故.
故答案为A.
10.答案：C
解析：由题意可知,表示“大于等于5的点数出现”,事件A与事件互斥,由概率的加法公式可得.
11.答案：0.7
解析：基本事件为(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共10
种,其中能构成三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共7种情况,故所求事件的概率0.7.
12.答案：
解析：将5瓶饮料中的2瓶果汁饮料记为,另三瓶分别记为1,2,3.则基本事件有共10种,
其中至少有一瓶是果汁饮料的有,7种,故所求事件的概率为.
13.答案：
解析：无放回地依次从中摸出1颗棋子,则第1次摸出红棋子的概率是,第2次摸出绿棋子的
概率是,根据相互独立事件的概率公式可得,第1次摸出红棋子、第2次摸出绿棋子的概率是
.
14.答案：
解析：由题意知,即.又因为,所以,故.
15.答案：1.设事件A={不派医生},事件B={派出1名医生},事件C={派出2名医生},事件D={派出3名医生},
事件E={派出4名医生},事件F={派出5名及5名以上医生}.
∵事件彼此互斥,且,
∴.
故派出医生至多人的概率为.
2.设{派出医生至少人},
则{派出医生最多1人},
.
∴.
∴.
故派出医生至少人的概率为.
解析：
PAGE7.1随机现象与随机事件
1.下列现象中,随机现象的个数为(
)
①明天是阴天;
②方程有两个不相等的实根;
③明年长江武汉段的最高水位是29.8m;
④一个三角形的大边对小角,小边对大脚.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.下列现象中,是随机现象的有(
)
①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;
②若a为实数,则;
③发射一颗炮弹,命中目标.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3.在12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽出3件,则下列事件为必然事件的是(?
)
A.3件都是正品
B.至少有件是次品
C.3件都是次品
D.至少有件是正品
4.有下列现象:
①早晨太阳从东方升起;
②连续抛掷枚硬币两次,两次都出现正面向上;
③异性电荷相互吸引,
其中随机现象的个数为(
).
A.0
B.1
C.2
D.3
5.“李晓同学一次掷出3枚骰子,3枚全是6点”的事件是(??
)
A.不可能事件
B.必然事件
C.可能性较大的随机事件
D.可能性较小的随机事件
6.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(??
)
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
7.—个射手进行射击,记事件:
“脱靶”,
:
“中靶”,
:
“中靶环数大于4”
,
:
“中靶环数不小于5
”,则在上述事件中,互斥而不对立的事件共有(???
)
A.1对
B.2对
C.3对?
?D.4对
8.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件表示“取出的都是黑球”；事件表示“取出的都是白球”；事件表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是(
)
A.与是互斥事件
B.与是对立事件
C.和是对立事件
D.和是互斥事件，但不是对立事件
9.一人连续投掷硬币两次,事件“至少有一次为正面”的互斥事件是(
)
A.至多有一次为正面
B.两次均为正面
C.只有一次为正面
D.两次均为反面
10.从装有红球、白球和黑球(球除颜色外,其余均相同)各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是下列事件中的哪几个?(
)
①两球都不是白球;②两球恰有一个白球;③两球至少有一个白球.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
11.某小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学去参加演讲比赛，有下列4对事件：
①至少有1名男生和至少有1名女生，
②恰有1名男生和恰有2名男生，
③至少有1名男生和全是男生，
④至少有1名男生和全是女生，
其中为互斥事件的序号是：________.
12.把红、黑、黄、白4球随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1球,事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是__________事件.
13.下列事件中必然事件为_________,不可能事件为_________,随机事件为_________.
(1)连续两次抛掷一枚硬币,两次都出现反面向上;
(2)甲、乙两位同学进行100米赛跑,甲同学获胜;
(3)直角三角形中只有一个角是直角;
(4)没有电,电灯泡会发光.
14.已知10件产品中有8件一级品,2件2级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是__________.
15.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件?是否为对立事件?并说明理由.
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10各10张)中,任取一张.
1.“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
2.“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
3.“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
答案以及解析
1.答案：B
解析：①③是随机现象,②④是不可能发生的现象,故选B.
2.答案：C
解析：当a为实数时,恒成立,是必然现象,其余2个均为随机现象.
3.答案：D
解析：12件产品中,有2件次品,任取3件,必包含正品,因而事件:抽取的3件产品中,至少有一件是正品,为必然事件,故选D.
4.答案：B
解析：据随机现象、必然现象的概念进行判断.①是必然现象,早晨太阳一定是从东方升起;②是随机现象,连续抛掷一枚硬币两次,可能出现的情况是(上,上),(上,
下),(下,上),(下,下),事先很难预料哪一种结果会出现;
③是必然现象,异性电荷一定互相吸引.
5.答案：D
解析：掷出的3枚骰子全是6点,可能发生.但发生的可能性较小.
6.答案：D
解析：事件“至少有一次中靶”表示中耙次数大于或等于1.
7.答案：B
解析：与,与均为互斥而不对立的事件.
8.答案：C
解析：C袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法共有如下几类：
①取出的两球都是黑球；
②取出的两球都是白球；
③取出的球一黑一白．
事件R包括①③两类情况，
∴事件P是事件R的子事件，故A不正确；
事件Q与事件R互斥且对立，
∴选项C正确,选项D不正确．
事件P与事件Q互斥，但不是对立事件，
∴选项B不正确.
故选：C
9.答案：D
解析：对于A,至多有一次为正面与至少有一次为正面,能够同时发生,不是互斥事件;对于B,两次均为正面与至少有一次为正面,能够同时发生,不是互斥事件;对于C,只有一次为正面与至少有一次为正面,能够同时发生,不是互斥事件;对于D,两次均为反面与至少有一次为正面,不能够同时发生,是互斥事件.故选D.
10.答案：A
解析：①根据题意,结合互斥事件、对立事件的定义可知,事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生,故它们是互斥事件.但这两个事件不是对立事件,因为它们的和事件不是必然事件.②事件“两球都为白球”和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件.③事件“两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生,故它们不是互斥事件.故选A.
11.答案：②④
解析：互斥事件是指不能同时发生的事件，
①至少有1名男生和至少有1名女生，不是互斥事件，当取出的2个人正好是1名男生和1名女生时，
这两件事同时发生了。
②恰有1名男生和恰有2名男生，这两件事不能同时发生，故是互斥事件。
③至少有1名男生和全是男生，不是互斥事件，因为“至少有1名男生”包含了“全是男生”的情况。
④至少有1名男生和全是女生，是互斥事件，因为这两件事不能同时发生。
故答案为②④.
12.答案：互斥但不对立
解析：因为两个事件不能同时发生,但可能同时不发生,所以是互斥事件,但不对立.
13.答案：(3);(4);(1)(2)
解析：(1)两次都出现反面向上可能发生也可能不发生,为随机事件;
(2)甲、乙两位同学进行100米赛跑,甲同学获胜可能发生也可能不发生,为随机事件;
(3)直角三角形中只有一个角是直角为必然事件;
(4)没有电,电灯泡会发光为不可能事件.
14.答案：至少有1件是二级品
解析：3件都是一级品的对立事件是只有
1件二级品和有2件二级品的和事件.
15.答案：1.是互斥事件,不是对立事件.从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件
2.既是互斥事件,又是对立事件.从40张扑克牌中,任意抽取1张.“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件
3.不是互斥事件,当然不可能是对立事件.从40张扑克牌中任意抽取1张.“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
解析：
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