第一章DIYIZHANG数列
§1 数列
1.1 数列的概念
课后篇巩固探究
A组
1.将正整数的前5个数作如下排列:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.则可以称为数列的是
( )
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
解析:4个都构成数列.
答案:D
2.已知数列{an}的通项公式为an=,则该数列的前4项依次为( )
A.1,0,1,0
B.0,1,0,1
C.,0,,0
D.2,0,2,0
解析:把n=1,2,3,4分别代入an=中,依次得到0,1,0,1.
答案:B
3.数列1,,…的一个通项公式是( )
A.an=
B.an=
C.an=
D.an=
解析:1=12,4=22,9=32,16=42,1=2×1-1,3=2×2-1,5=2×3-1,7=2×4-1,故an=.
答案:A
4.已知数列{an}的通项公式an=,若ak=,则a2k=
( )
A.
B.99
C.
D.143
解析:由ak=,于是k=6(k=-6舍去).
因此a2k=a12=.
答案:C
5.已知数列,…,则三个数0.98,0.96,0.94中属于该数列中的数只有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.以上都不对
解析:由已知可得该数列的一个通项公式an=.令an=0.98,解得n=49,令an=0.96,解得n=24,令an=0.94,解得n=?N+.故只有0.98和0.96是该数列中的项.
答案:B
6.已知曲线y=x2+1,点(n,an)(n∈N+)位于该曲线上,则a10= .?
解析:由题意知an=n2+1,因此a10=102+1=101.
答案:101
7.数列,3,,3,…的一个通项公式是 .?
解析:数列可化为,…,即,…,每个根号里面可分解成两数之积,前一个因式为常数3,后一个因式为2n-1,故原数列的通项公式为an=,n∈N+.
答案:an=
8.已知数列{an}的通项公式an=,则-3是此数列的第 项.?
解析:令-3,得-3,解得n=9.
答案:9
9.写出下列各数列的一个通项公式:
(1)4,6,8,10,…
(2),…
(3),-1,,-,-,…
(4)3,33,333,3
333,…
解(1)各项是从4开始的偶数,所以an=2n+2.
(2)数列中的每一项分子比分母少1,而分母可写成21,22,23,24,25,…,2n,故所求数列的通项公式可写为an=.
(3)所给数列中正、负数相间,所以通项中必须含有(-1)n+1这个因式,忽略负号,将第二项1写成,则分母可化为3,5,7,9,11,13,…,均为正奇数,分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,…,故其通项公式可写为an=(-1)n+1·.
(4)将数列各项写为,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以an=(10n-1).
10.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出数列的第4项和第6项;
(2)问-49是不是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是不是该数列的一项呢?
解(1)a4=3×16-28×4=-64,
a6=3×36-28×6=-60.
(2)设3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),∴n=7,即-49是该数列的第7项.
设3n2-28n=68,解得n=或n=-2.
∵?N+,-2?N+,
∴68不是该数列的项.
B组
1.数列2,-,4,-,…的通项公式是( )
A.an=2n(n∈N+)
B.an=(n∈N+)
C.an=(n∈N+)
D.an=(n∈N+)
解析:将数列各项改写为,-,-,…,观察数列的变化规律,可得an=(n∈N+).
答案:C
2.已知数列{an}的通项公式an=,则an·an+1·an+2等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:∵an=,an+1=,an+2=,
∴an·an+1·an+2=.
答案:B
3.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有( )个点.
A.n2-n+1
B.2n2-n
C.n2
D.2n-1
解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n个图形中点的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.
答案:A
4.用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 .?
解析:∵a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,∴an=2n+1.
答案:an=2n+1
5.在数列,…中,有序数对(a,b)可以是 .?
解析:从上面的规律可以看出分母的规律是:1×3,2×4,3×5,4×6,…,分子的规律是:5,5+5,5+5+7,5+5+7+9,…,
所以解得a=,b=-.
答案:
6.导学号33194000已知数列{an}的通项公式an=a·2n+b,且a1=-1,a5=-31,则a3= .?
解析:由已知得解得
即an=-2n+1,于是a3=-23+1=-7.
答案:-7
7.如图,有m(m≥2)行(m+1)列的士兵队列.
·
·
·
…
·
·
·
·
·
·
·
…
·
·
·
·
…
…
…
…
…
…
…
…
·
·
·
…
·
·
·
·
·
·
·
…
·
·
·
·
·
·
·
…
·
·
·
·
(1)写出一个数列,用它表示当m分别为2,3,4,5,6,…时队列中的士兵人数;
(2)写出(1)中数列的第5,6项,用a5,a6表示;
(3)若把(1)中的数列记为{an},求该数列的通项公式an;
(4)求a10,并说明a10所表示的实际意义.
解(1)当m=2时,表示2行3列,人数为6;
当m=3时,表示3行4列,人数为12,依此类推,故所求数列为6,12,20,30,42,….
(2)队列的行数比数列的序号大1,因此第5项表示的是6行7列,第6项表示7行8列,故a5=42,a6=56.
(3)根据对数列的前几项的观察、归纳,猜想数列的通项公式.
前4项分别为6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6.因此an=(n+1)(n+2).
(4)由(3)知a10=11×12=132,a10表示11行12列的士兵队列中士兵的人数.
8.导学号33194001在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a2
017;
(3)是否存在m,k∈N+,满足am+am+1=ak?若存在,求出m,k的值,若不存在,说明理由.
解(1)设an=kn+b(k≠0),则由a1=2,a17=66得,
解得
所以an=4n-2.
(2)a2017=4×2017-2=8066.
(3)由am+am+1=ak,得4m-2+4(m+1)-2=4k-2,
整理后可得4m=2k-1,
因为m,k∈N+,所以4m是偶数,2k-1是奇数,
故不存在m,k∈N+,使等式4m=2k-1成立,
即不存在m,k∈N+,使am+am+1=ak.
51.2 数列的函数特性
课后篇巩固探究
A组
1.数列{n2-4n+3}的图像是( )
A.一条直线
B.一条直线上的孤立的点
C.一条抛物线
D.一条抛物线上的孤立的点
解析:an=n2-4n+3是关于n的二次函数,故其图像是抛物线y=x2-4x+3上一群孤立的点.
答案:D
2.已知数列{an}的通项公式是an=,则这个数列是
( )
A.递增数列
B.递减数列
C.摆动数列
D.常数列
解析:∵an+1-an=
=>0,
∴an+1>an,
∴数列{an}是递增数列.
答案:A
3.若数列{an}的通项公式an=,则在数列{an}的前20项中,最大项和最小项分别是( )
A.a1,a20
B.a20,a1
C.a5,a4
D.a4,a5
解析:由于an==1+,因此当1≤n≤4时,{an}是递减的,且a1>0>a2>a3>a4;当5≤n≤20时,an>0,且{an}也是递减的,即a5>a6>…>a20>0,因此最大的是a5,最小的是a4.
答案:C
4.已知{an}的通项公式an=n2+3kn,且{an}是递增数列,则实数k的取值范围是( )
A.k≥-1
B.k>-
C.k≥-
D.k>-1
解析:因为{an}是递增数列,所以an+1>an对n∈N+恒成立.即(n+1)2+3k(n+1)>n2+3kn,整理得k>-,当n=1时,-取最大值-1,故k>-1.
答案:D
5.给定函数y=f(x)的图像,对任意an∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an(n∈N+),则该函数的图像是( )
解析:由an+1>an可知数列{an}为递增数列,又由an+1=f(an)>an可知,当x∈(0,1)时,y=f(x)的图像在直线y=x的上方.
答案:A
6.已知数列{an}的通项公式是an=,其中a,b均为正常数,则an+1与an的大小关系是 .?
解析:∵an+1-an=
=>0,
∴an+1-an>0,故an+1>an.
答案:an+1>an
7.已知数列{an}的通项公式为an=2n2-5n+2,则数列{an}的最小值是 .?
解析:∵an=2n2-5n+2=2,
∴当n=1时,an最小,最小为a1=-1.
答案:-1
8.导学号33194002已知数列{an}满足an+1=若a1=,则a
2
017= .?
解析:a1=,a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,a4=2a3=,…,所以{an}是周期为3的周期数列,于是a2017=a672×3+1=a1=.
答案:
9.已知数列{an}的通项公式为an=n2-21n+20.
(1)-60是否是该数列中的项,若是,求出项数;该数列中有小于0的项吗?有多少项?
(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
解(1)令n2-21n+20=-60,得n=5或n=16.
所以数列的第5项,第16项都为-60.
由n2-21n+20<0,得1
(2)由an=n2-21n+20=,可知对称轴方程为n==10.5.又n∈N+,故n=10或n=11时,an有最小值,其最小值为112-21×11+20=-90.
10.已知函数f(x)=(x≥1),构造数列an=f(n)(n∈N+).
(1)求证:an>-2;
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?
(1)证明由题意可知an=-2.
∵n∈N+,∴>0,∴an=-2>-2.
(2)解递减数列.
理由如下:由(1)知,an=-2.
∵an+1-an=
=<0,
即an+1B组
1.若函数f(x)满足f(1)=1,f(n+1)=f(n)+3(n∈N+),则f(n)是( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.不能确定
解析:∵f(n+1)-f(n)=3(n∈N+),
∴f(n+1)>f(n),
∴f(n)是递增数列.
答案:A
2.设函数f(x)=数列{an}满足an=f(n),n∈N+,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3)
B.(2,3)
C.
D.(1,2)
答案:B
3.导学号33194003若数列{an}的通项公式为an=7·-3·,则数列{an}的( )
A.最大项为a5,最小项为a6
B.最大项为a6,最小项为a7
C.最大项为a1,最小项为a6
D.最大项为a7,最小项为a6
解析:令t=,n∈N+,则t∈(0,1],且=t2.从而an=7t2-3t=7.
又函数f(t)=7t2-3t在上是减少的,在上是增加的,所以a1是最大项,a6是最小项.故选C.
答案:C
4.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:
①该数列有无限多个正数项;②该数列有无限多个负数项;③该数列的最大值就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值;④-70是该数列中的一项.
其中正确的说法有 .(填序号)?
解析:令-2n2+13n>0,得0答案:②④
5.若数列中的最大项是第k项,则k= .?
解析:已知数列最大项为第k项,则有
即由k∈N+可得k=4.
答案:4
6.已知数列{an}满足an=+…+.
(1)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?
(2)证明:an≥对一切正整数恒成立.
(1)解因为an=+…+,
所以an+1=+…+
=+…+.
所以an+1-an=,
又n∈N+,所以.
所以an+1-an>0.
所以数列{an}是递增数列.
(2)证明由(1)知数列{an}是递增数列,所以数列的最小项为a1=,所以an≥a1=,即an≥对一切正整数恒成立.
7.导学号33194004已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.
(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?
(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?
(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.
解(1)由an=n2-n-30,得a1=1-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.
设an=60,则n2-n-30=60.
解得n=10或n=-9(舍去),即60是此数列的第10项.
(2)令n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).
∴当n=6时,an=0.
令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).
∴当n>6(n∈N+)时,an>0.
令n2-n-30<0,解得-5又n∈N+,∴0∴当0(3)由an=n2-n-30=-30(n∈N+),知{an}是递增数列,
且a1故Sn存在最小值S5=S6,Sn不存在最大值.
5§2 等差数列
2.1 等差数列
第1课时 等差数列的定义和通项公式
课后篇巩固探究
1.若{an}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是
( )
A.{}
B.
C.{3an}
D.{|an|}
解析:设{an}的公差为d,则3an+1-3an=3(an+1-an)=3d是常数,故{3an}一定成等差数列.
{},,{|an|}都不一定是等差数列,例如当{an}为{3,1,-1,-3}时.
答案:C
2.在等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,
∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.
答案:B
3.已知{an}是首项a1=2,公差为d=3的等差数列,若an=2
018,则序号n等于( )
A.670
B.671
C.672
D.673
解析:∵a1=2,d=3,∴an=2+3(n-1)=3n-1.
令3n-1=2018,解得n=673.
答案:D
4.等差数列{an}中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插入一个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是( )
A.
B.-
C.-
D.-1
解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,…,公差为d,则a5=a1+8d,所以d==-=-.故选B.
答案:B
5.已知点(n,an)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列{an}中有( )
A.a7+a9>0
B.a7+a9<0
C.a7+a9=0
D.a7·a9=0
解析:∵(n,an)在直线3x-y-24=0,∴an=3n-24.
∴a7=3×7-24=-3,a9=3×9-24=3,
∴a7+a9=0.
答案:C
6.在等差数列{an}中,若a1=7,a7=1,则a5= .?
答案:3
7.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12>31,则公差d的取值范围是 .?
解析:设此数列的首项为a1,公差为d,
由已知得
②-①,得7d>21,所以d>3.
答案:d>3
8.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点()在直线x-y-=0上,则数列{an}的通项公式为an= .?
解析:由题意知(n≥2),
∴{}是以为首项,以为公差的等差数列,
∴+(n-1)d=(n-1)=n.
∴an=3n2.
答案:3n2
9.已知数列{an},{bn}满足是等差数列,且bn=n2,a2=5,a8=8,则a9= .?
解析:由题意得,
因为是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=-,
所以=-,所以a9=-513.
答案:-513
10.如果在等差数列{3n-1}的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第 项.?
解析:设an=3n-1,公差为d1,新数列为{bn},公差为d2,a1=2,b1=2,d1=an-an-1=3,d2=,则bn=2+(n-1)=n+,b29=23,令an=23,即3n-1=23.故n=8.
答案:8
11.若一个数列{an}满足an+an-1=h,其中h为常数,n≥2且n∈N+,则称数列{an}为等和数列,h为公和.已知等和数列{an}中,a1=1,h=-3,则a2
016= .?
解析:易知an=∴a2016=-4.
答案:-4
12.已知a,b,c成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a,b,c的值.
解由已知,得
∴
解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9.
13.导学号33194005已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2;
(2)求{bn}的通项公式;
(3){bn}中的第110项是{an}的第几项?
解(1)∵a1=3,d=-5,∴an=3+(n-1)(-5)=8-5n.
∵数列{an}中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,…,
∴{bn}的首项b1=a3=-7,b2=a7=-27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项,即bn=am,
则m=3+4(n-1)=4n-1,
∴bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n(n∈N+).∴{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N+).
(3)b110=13-20×110=-2187,设它是{an}中的第m项,则8-5m=-2187,则m=439.
14.导学号33194006已知数列{an}满足a1=,且当n>1,n∈N+时,有,设bn=,n∈N+.
(1)求证:数列{bn}为等差数列.
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
(1)证明当n>1,n∈N+时,-2=2+=4?bn-bn-1=4,且b1==5.
∴{bn}是等差数列,且公差为4,首项为5.
(2)解由(1)知bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.
∴an=,n∈N+.
∴a1=,a2=,∴a1a2=.
令an=,∴n=11,即a1a2=a11.
∴a1a2是数列{an}中的项,是第11项.
4第2课时 等差数列的性质及应用
课后篇巩固探究
A组
1.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是
( )
A.15
B.30
C.31
D.64
解析:∵{an}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,
∴a12=16-1=15.
答案:A
2.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( )
A.-1
B.1
C.3
D.7
解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,
解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.
∵d=a4-a3=33-35=-2,
∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.
答案:B
3.若{an}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有
( )
①{an+3} ②{} ③{an+1-an} ④{2an} ⑤{2an+n}
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:根据等差数列的定义判断,若{an}是等差数列,则{an+3},{an+1-an},{2an},{2an+n}均为等差数列,而{}不一定是等差数列.
答案:D
4.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有
( )
A.a1+a101>0
B.a2+a100<0
C.a3+a100≤0
D.a51=0
解析:由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,得a51=0.
答案:D
5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为( )
A.an=2n-5
B.an=2n-3
C.an=2n-1
D.an=2n+1
解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,
∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.
∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2.
∴an=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.
答案:B
6.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9= .?
解析:由等差数列的性质,
得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8),
即39+(a3+a6+a9)=2×33,
故a3+a6+a9=66-39=27.
答案:27
7.若lg
2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值是 .?
解析:由题意,知2lg(2x-1)=lg2+lg(2x+3),
则(2x-1)2=2(2x+3),即(2x)2-4·2x-5=0,
∴(2x-5)(2x+1)=0,∴2x=5,∴x=log25.
答案:log25
8.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为 .?
答案:1,3,5或5,3,1
9.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{an}的通项公式.
解∵a1+a7=2a4=a2+a6,
∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5,
∴a2+a6=10,a2a6=9.
∴a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根.
∴
若a2=1,a6=9,则d==2,∴an=2n-3.
若a2=9,a6=1,则d==-2,∴an=13-2n.
∴数列{an}的通项公式为an=2n-3或an=13-2n.
10.已知f(x)=x2-2x-3,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x),求:
(1)x的值;
(2)通项an.
解(1)由f(x)=x2-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x,a3=x2-2x-3,
又因为{an}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x2-4x+x2-2x-3,解得x=0或x=3.
(2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-,
此时an=a1+(n-1)d=-(n-1);
当x=3时,a1=-3,d=a2-a1=,
此时an=a1+(n-1)d=(n-3).
B组
1.在数列{an}中,若a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则a4等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:令bn=,则b2=,b6==1.
由题意知{bn}是等差数列,
∴b6-b2=(6-2)d=4d=,∴d=.
∴b4=b2+2d=+2×.
∵b4=,∴a4=.
答案:A
2.已知数列{an}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( )
A.
B.±
C.-
D.-
解析:∵{an}为等差数列,∴a1+a7+a13=3a7=4π.
∴a7=,tan(a2+a12)=tan2a7=tan=-.
答案:D
3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )
A.1升
B.升
C.升
D.升
解析:设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由题意得
解得所以a5=a1+4d=.
答案:B
4.导学号33194007在等差数列{an}中,如果a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0( )
A.无实根
B.有两个相等实根
C.有两个不等实根
D.不能确定有无实根
解析:∵a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3.
又a4+a6=2a5=6,
∴关于x的方程为x2+6x+10=0,则判别式Δ=62-4×10<0,∴无实数解.
答案:A
5.已知logab,-1,logba成等差数列,且a,b为关于x的方程x2-cx+d=0的两根,则d= .?
解析:由已知,得logab+logba=-2,即=-2,从而有(lga+lgb)2=0,可得lga=-lgb=lg,即ab=1.
故由根与系数的关系得d=ab=1.
答案:1
6.导学号33194008已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|= .?
解析:由题意设这4个根为+d,+2d,+3d.
可得=2,∴d=.
∴这4个根依次为.
∴n=,m=或n=,m=.∴|m-n|=.
答案:
7.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?
解在数列{an}中,a1=5,公差d1=8-5=3.
∴an=a1+(n-1)d1=3n+2.
在数列{bn}中,b1=3,公差d2=7-3=4,
∴bn=b1+(n-1)d2=4n-1.
令an=bm,则3n+2=4m-1,∴n=-1.
∵m,n∈N+,∴m=3k(k∈N+),
又解得0∴0<3k≤75,∴0∴两个数列共有25个公共项.
8.导学号33194009已知数列{an}中,a1=,anan-1+1=2an-1(n≥2,n∈N+).数列{bn}中,bn=(n∈N+).
(1)求证:{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式,并求其最大、最小项.
(1)证明由anan-1+1=2an-1,得anan-1-an-1=an-1-1,
∴=bn,又bn-1=,
∴bn-bn-1==1(n≥2,n∈N+).
∵b1==-,
∴数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.
(2)解由(1)知bn=n-3.5,
又由bn=得an=1+=1+.
点(n,an)在函数y=+1的图像上.
显然,在区间(3.5,+∞)上,y=+1递减且y>1;在区间(0,3.5)上,y=+1递减且y<1.
因此,当n=4时,an取得最大值3;当n=3时,an取得最小值-1.
52.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
课后篇巩固探究
A组
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13
B.35
C.49
D.63
解析:S7==49.
答案:C
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=10,则a3的值为
( )
A.
B.1
C.2
D.3
解析:∵S5==5a3,
∴a3=S5=×10=2.
答案:C
3.已知数列{an}的通项公式为an=2n-37,则Sn取最小值时n的值为( )
A.17
B.18
C.19
D.20
解析:由≤n≤.
∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.
答案:B
4.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是( )
A.S17
B.S18
C.S15
D.S14
解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.
答案:C
5.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An与Bn,且满足(n∈N+),则的值是( )
A.
B.
C.
D.
解析:因为,
所以.
答案:C
6.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为 .?
解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,
∴
解得d=-2,a1=20,
∴S10=10a1+d=200-90=110.
答案:110
7.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a9=3a5,则= .?
解析:S17=17a9,S9=9a5,
于是×3=.
答案:
8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于 .?
解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.
答案:3
9.若等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.
(1)求数列{an}的首项a1和公差d;
(2)求数列{an}的前10项和S10的值.
解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.
(2)S10=10×a1+d=-10.
10.导学号33194010已知数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.
求:(1)此等差数列的公差d;
(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;
(3)当Sn是正数时,求n的最大值.
解(1)∵数列{an}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,
∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-(2)∵d<0,∴{an}是递减数列.
又a6>0,a7<0,∴当n=6时,Sn取得最大值,
即S6=6×23+×(-4)=78.
(3)Sn=23n+×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0B组
1.设数列{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=( )
A.18
B.20
C.22
D.24
解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.
答案:B
2.(2017全国1高考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.
答案:C
3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )
A.S7
B.S8
C.S13
D.S15
解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,
∴S13==13a7为常数.
答案:C
4.导学号33194011若等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列的前11项和为
( )
A.-45
B.-50
C.-55
D.-66
解析:∵Sn=,∴=-n,
∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.
答案:D
5.已知等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k= .?
解析:设等差数列{an}的公差为d,则an=1+(n-1)d,
∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.
∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.
又a4=1+3×,ak=1+(k-1)d,
由ak+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.
答案:10
6.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且1+<0.若Sn存在最大值,则满足Sn>0的n的最大值为 .?
解析:因为Sn有最大值,所以数列{an}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.
所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,
故满足Sn>0的n的最大值为19.
答案:19
7.导学号33194012在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.
解数列{an}的公差d==3,
∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an<0得3n-63<0,
解得n<21.
∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.
设Sn,Sn'分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和,
当n≤20时,Sn'=-Sn=-=-n2+n;
当n>20时,Sn'=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1260.
∴数列{|an|}的前n项和
Sn'=
8.导学号33194013设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;
(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.
解(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a5+a13=34,S3=9,
所以
整理得解得
所以an=1+(n-1)×2=2n-1,
Sn=n×1+×2=n2.
(2)由(1)知bn=,
所以b1=,b2=,bm=.
若b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列,
则2b2=b1+bm,
所以,
即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),
整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,
因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.
又因为m≥3,m∈N,
所以m=4或5或7,
当m=4时,t=5;
当m=5时,t=3;
当m=7时,t=2.
所以存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列.
5第2课时 an与Sn的关系及裂项求和法
课后篇巩固探究
A组
1.已知数列{an}的前n项和Sn=,则a5的值等于( )
A.
B.-
C.
D.-
解析:a5=S5-S4==-.
答案:B
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为( )
A.
B.
C.
D.
解析:∵S5==15,∴a1=1,
∴d==1,
∴an=1+(n-1)×1=n,
∴.
设的前n项和为Tn,
则T100=+…+
=1-+…+=1-.
答案:A
3.设{an}(n∈N+)是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论错误的是( )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6和S7均为Sn的最大值
解析:由S50.
又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,故B正确;
同理由S7>S8,得a8<0,
又d=a7-a6<0,故A正确;
由C选项中S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,
可得2(a7+a8)>0.
而由a7=0,a8<0,知2(a7+a8)>0不可能成立,故C错误;
∵S5S8,∴S6与S7均为Sn的最大值,故D正确.故选C.
答案:C
4.数列的前n项和Sn为( )
A.
B.
C.
D.
解析:,
于是Sn=
.
答案:C
5.设函数f(x)满足f(n+1)=(n∈N+),且f(1)=2,则f(20)为( )
A.95
B.97
C.105
D.192
解析:∵f(n+1)=f(n)+,
∴f(n+1)-f(n)=.
∴f(2)-f(1)=,
f(3)-f(2)=,
……
f(20)-f(19)=,
∴f(20)-f(1)==95.
又f(1)=2,∴f(20)=97.
答案:B
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5解析:an=Sn-Sn-1=(n2-9n)-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10(n≥2),又a1=S1=-8符合上式,所以an=2n-10.
令5<2k-10<8,解得又k∈N+,所以k=8.
答案:8
7.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=,且a4=54,则a1= .?
解析:因为a4=S4-S3==27a1,
所以27a1=54,解得a1=2.
答案:2
8.数列1,,…,,…的前n项和Sn= .?
解析:因为
==2,
所以Sn=1++…+=
2
=2.
答案:
9.正项数列{an}满足-(2n-1)an-2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解(1)由-(2n-1)an-2n=0,
得(an-2n)(an+1)=0,即an=2n或an=-1,
由于{an}是正项数列,故an=2n.
(2)由(1)知an=2n,所以bn=,
故Tn=.
10.导学号33194014已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N+,且a3+a6=4,S5=-5.
(1)求an;
(2)若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,求T5的值和Tn的表达式.
解(1)设{an}的首项为a1,公差为d,易由a3+a6=4,S5=-5得出a1=-5,d=2.
∴an=2n-7.
(2)当n≥4时,an=2n-7>0;当n≤3时,an=2n-7<0,
∴T5=-(a1+a2+a3)+a4+a5=13.
当1≤n≤3时,Tn=-(a1+a2+…+an)=-n2+6n;
当n≥4时,Tn=-(a1+a2+a3)+a4+a5+…+an=n2-6n+18.
综上所述,Tn=
B组
1.若等差数列{an}的通项公式为an=2n+1,则由bn=所确定的数列{bn}的前n项之和是( )
A.n(n+2)
B.n(n+4)
C.n(n+5)
D.n(n+6)
解析:由题意知a1+a2+…+an==n(n+2),∴bn==n+2.于是数列{bn}的前n项和Sn=n(n+5).
答案:C
2.已知一个等差数列共n项,且其前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n为( )
A.24
B.26
C.25
D.28
解析:设该等差数列为{an},
由题意,得a1+a2+a3+a4=21,
an+an-1+an-2+an-3=67,
又a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,
∴4(a1+an)=21+67=88,∴a1+an=22.
∴Sn==11n=286,∴n=26.
答案:B
3.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+2n(n≥2),则a7=
( )
A.53
B.54
C.55
D.109
解析:∵an=an-1+2n,∴an-an-1=2n.
∴a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,an-an-1=2n(n≥2).
∴an=1+4+6+…+2n=1+=n2+n-1.
∴a7=72+7-1=55.
答案:C
4.已知数列{an}为,…,+…+,…,如果bn=,那么数列{bn}的前n项和Sn为( )
A.
B.
C.
D.
解析:∵an=,
∴bn==4,
∴Sn=4
=4.
答案:B
5.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,则an= .?
解析:当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.
此时,当n=1时,2n=2≠3.
所以an=
答案:
6.导学号33194015设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知S6=36,Sn=324,若Sn-6=144(n>6),则数列的项数n为 .?
解析:由题意可知
由①+②,得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=216,∴6(a1+an)=216,∴a1+an=36.
∴Sn==18n=324,∴n=18.
答案:18
7.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n-1)(n∈N+).
(1)求证:数列{an}为等差数列,并求an与Sn;
(2)是否存在自然数n,使得S1++…+-(n-1)2=2
019?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明由an=+2(n-1),
得Sn=nan-2n(n-1)(n∈N+).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),即an-an-1=4,
故数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列.
于是,an=4n-3,Sn==2n2-n.
(2)解存在自然数n使得S1++…+-(n-1)2=2019成立.理由如下:
由(1),得=2n-1(n∈N+),
所以S1++…+-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.
令2n-1=2019,得n=1010,
所以存在满足条件的自然数n为1010.
8.导学号33194016数列{an}的前n项和Sn=100n-n2(n∈N+).
(1)求证{an}是等差数列;
(2)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和.
(1)证明an=Sn-Sn-1
=(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]
=101-2n(n≥2).
∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1,
∴数列{an}的通项公式为an=101-2n(n∈N+).
又an+1-an=-2为常数,∴数列{an}是首项a1=99,公差d=-2的等差数列.
(2)解令an=101-2n≥0,得n≤50.5.
∵n∈N+,∴n≤50(n∈N+).
①当1≤n≤50时an>0,此时bn=|an|=an,
∴{bn}的前n项和Sn'=100n-n2;
②当n≥51时an<0,此时bn=|an|=-an,
由b51+b52+…+bn=-(a51+a52+…+an)
=-(Sn-S50)=S50-Sn,
得数列{bn}的前n项和为
Sn'=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn
=2×2500-(100n-n2)=5000-100n+n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
Sn'=
1§3 等比数列
3.1 等比数列
第1课时 等比数列的定义和通项公式
课后篇巩固探究
1.若{an}是等比数列,则下列数列不是等比数列的是
( )
A.{an+1}
B.
C.{4an}
D.{}
答案:A
2.在等比数列{an}中,2a4=a6-a5,则公比是( )
A.0
B.1或2
C.-1或2
D.-1或-2
解析:设公比为q(q≠0),由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,
∴2=q2-q,∴q2-q-2=0,
∴q=-1或q=2.
答案:C
3.若一个等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:在等比数列中,
∵,
∴n-3=1,即n=4,故选B.
答案:B
4.若数列{an}满足an+1=4an+6(n∈N+)且a1>0,则下列数列是等比数列的是( )
A.{an+6}
B.{an+1}
C.{an+3}
D.{an+2}
解析:由an+1=4an+6可得an+1+2=4an+8=4(an+2),因为a1>0,
所以an>0,从而an+2>0(n∈N+),因此=4,故{an+2}是等比数列.
答案:D
5.在等比数列{an}中,若a5·a6·a7=3,a6·a7·a8=24,则a7·a8·a9的值等于( )
A.48
B.72
C.144
D.192
解析:设公比为q,由a6·a7·a8=a5·a6·a7·q3,
得q3==8.
所以a7·a8·a9=a6·a7·a8·q3=24×8=192.
答案:D
6.数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn}的公比为( )
A.
B.4
C.2
D.
解析:∵a1,a3,a7为等比数列{bn}中的连续三项,
∴=a1·a7.
设{an}的公差为d,则d≠0,
∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),∴a1=2d.
∴公比q==2,故选C.
答案:C
7.(2017全国3高考)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .?
解析:设{an}的公比为q,则由题意,得解得故a4=a1q3=-8.
答案:-8
8.设数列{an}是等比数列,公比q=2,则的值是 .?
解析:∵q=2,∴2a1=a2,2a3=a4,
∴.
答案:
9.已知数列{an}满足a9=1,an+1=2an(n∈N+),则a5= .?
解析:由an+1=2an(n∈N+)知,数列{an}是公比q==2的等比数列.
所以a5=a1q4=.
答案:
10.若数列{an}为等差数列,且a2=3,a5=9,则数列一定是 数列(填“等差”或“等比”).?
解析:设{an}的公差为d,则
解得于是an=2n-1,
从而=2·,
设bn=2·,则,
故一定是等比数列.
答案:等比
11.导学号33194017在等比数列{an}中,a1·a9=256,a4+a6=40,则公比q= .?
解析:∵a1a9=q8,a4a6=a1q3·a1q5=q8,
∴a1a9=a4a6.
可得方程组
解得
∴q2=或q2==4.
∴q=±或q=±2.
答案:-2,2,-
12.在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式.
解(1)设{an}的公比为q(q≠0),由已知得16=2·q3,解得q=2,∴an=a1·qn-1=2×2n-1=2n.
(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32,
设{bn}的公差为d,
则有
解得
∴bn=-16+12(n-1)=12n-28.
13.导学号33194018已知关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N+)的两根α,β满足6α-2αβ+6β=3,且a1=1.
(1)试用an表示an+1;
(2)求证:数列为等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式.
(1)解因为α,β是方程anx2-an+1x+1=0(n∈N+)的两根,
所以
又因为6α-2αβ+6β=3,所以6an+1-3an-2=0.
所以an+1=an+.
(2)证明因为an+1=an+?an+1-an-为常数,且a1-,
所以为等比数列.
(3)解令bn=an-,则{bn}为等比数列,公比为,首项b1=a1-,
所以bn=.
所以an=bn+.
所以数列{an}的通项公式为an=.
14.导学号33194019容积为a
L(a>1)的容器盛满酒精后倒出1
L,然后加满水,再倒出1
L混合溶液后又用水加满,如此继续下去,问第n次操作后溶液的浓度是多少?当a=2时,至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?
解开始的浓度为1,操作一次后溶液的浓度是a1=1-.
设操作n次后溶液的浓度是an,则操作n+1次后溶液的浓度是an+1=an.
所以{an}构成以a1=1-为首项,q=1-为公比的等比数列.
所以an=,即第n次操作后溶液的浓度是.
当a=2时,由an=,得n≥4.
因此,至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.
4第2课时 等比数列的性质及应用
课后篇巩固探究
A组
1.在等比数列{an}中,a5=3,则a2·a8=( )
A.3
B.6
C.8
D.9
解析:a2·a8==32=9.
答案:D
2.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值等于( )
A.-
B.
C.±
D.
解析:∵=1×4=4,∴b2=2或b2=-2(舍去).
又a2-a1==1,∴=-.
答案:A
3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a等于( )
A.4
B.2
C.-2
D.-4
解析:由解得a=-4或a=2.
又当a=2时,b=2,c=2,与题意不符,故a=-4.
答案:D
4.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m=( )
A.9
B.10
C.11
D.12
解析:因为{an}是等比数列,所以a1a5=a2a4=,
于是a1a2a3a4a5=.
从而am==(q2)5=q10=1×q11-1,故m=11.
答案:C
5.在正项等比数列{an}中,=81,则等于( )
A.
B.3
C.6
D.9
解析:∵=81,
∴=81,∴=81.
∵数列各项都是正数,∴=9.
答案:D
6.在等差数列{an}中,公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则= .?
解析:由题意知a3是a1和a9的等比中项,
∴=a1a9,∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),得a1=d,
∴.
答案:
7.在1和100之间插入n个正数,使这(n+2)个数成等比数列,则插入的这n个正数的积为 .?
解析:设插入的n个正数为a1,a2,…,an.
设M=1·a1·a2·…·an·100,则
M=100·an·an-1·…·a1·1,
∴M2=(1×100)n+2=100n+2,∴M=10=10n+2,
∴a1·a2·…·an=10n.
答案:10n
8.导学号33194020在表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比数列,所有公比相等,则a+b+c的值为 .?
a
b
6
1
2
c
解析:设公比为q,由题意知q=,q2=.
第四行最后一个数为.
因为每一行成等差数列,所以2×2=1+,即bc=6.
因为,所以
所以所以q=.
又=q3=,所以a=8,a+b+c=.
答案:
9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.
解由题意,这三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d(d≠0),∴a-d+a+a+d=6,∴a=2,
∴这三个数分别为2-d,2,2+d.
若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d).
解得d=6或d=0(舍去),
此时三个数分别为-4,2,8;
若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),
解得d=-6或d=0(舍去),此时三个数分别为8,2,-4.
10.已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn=(n∈N+).
(1)判断{an}是何种数列;
(2)若a8+a13=m,求b1·b2·…·b20.
解(1)设数列{bn}的公比为q,则q>0.
∵bn=,∴b1=,
∴bn=·qn-1,∴·qn-1=.
①
将两边取以3为底的对数得an=log3(·qn-1)
=a1+(n-1)log3q=log3b1+(n-1)log3q.
∴数列{an}是以log3b1为首项,log3q为公差的等差数列.
(2)∵a1+a20=a8+a13=m,
∴a1+a2+…+a20==10m,
∴b1·b2·…·b20=·…·
==310m.
B组
1.已知0A.成等差数列
B.成等比数列
C.各项倒数成等差数列
D.以上都不对
解析:∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,又=logna+lognc=lognac=lognb2=2lognb=,
∴logan,logbn,logcn的各项倒数成等差数列.
故选C.
答案:C
2.一个等比数列的前三项的积为3,最后三项的积为9,且所有项的积为729,则该数列的项数是( )
A.13
B.12
C.11
D.10
解析:设该等比数列为{an},其前n项积为Tn,则由已知得a1·a2·a3=3,an-2·an-1·an=9,(a1·an)3=3×9=33,∴a1·an=3,
又Tn=a1·a2·…·an-1·an,Tn=an·an-1·…·a2·a1,
∴=(a1·an)n,即7292=3n,∴n=12.
答案:B
3.在等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,且a5>a2,则an等于( )
A.(-2)n-1
B.-(-2)n-1
C.±(-2)n-1
D.-(-2)n
解析:∵|a1|=1,∴a1=1或a1=-1.
∵a5=-8a2=a2·q3,∴q3=-8,∴q=-2.
又a5>a2,即a2q3>a2,∴a2<0.
而a2=a1q=a1·(-2)<0,∴a1=1.
故an=a1·(-2)n-1=(-2)n-1.
答案:A
4.已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=( )
A.n(2n-1)
B.(n+1)2
C.n2
D.(n-1)2
解析:由等比数列的性质可得=a5·a2n-5=22n=(2n)2,
∵an>0,∴an=2n,故数列首项a1=2,公比q=2,
故log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1·a3·…·a2n-1)=log2[(a1)nq0+2+4+…+2n-2]=log2[2n·]=log2=log2=n2,故选C.
答案:C
5.导学号33194021在数列{an}中,a1=2,当n为奇数时,an+1=an+2;当n为偶数时,an+1=2an-1,则a12=( )
A.32
C.34
C.66
D.64
解析:依题意,a1,a3,a5,a7,a9,a11构成以2为首项,2为公比的等比数列,故a11=a1×25=64,a12=a11+2=66.故选C.
答案:C
6.在等比数列{an}中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积为 .?
解析:∵a1a2a3·…·a17=(a1·a17)(a2·a16)·…·a9=·…·a9==(-2)17=-217.
答案:-217
7.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,且a5,a8,a13是等比数列{bn}中相邻的三项,若b2=5,求数列{bn}的通项公式.
解∵{an}是等差数列,
∴a5=a1+4d,a8=a1+7d,a13=a1+12d.
∵a5,a8,a13是等比数列{bn}中相邻的三项,
∴=a5a13,即(a1+7d)2=(a1+4d)(a1+12d),
解得d=2a1.
∴q=,b2=b1q=5,b1=5,b1=3,
∴bn=3·.
8.导学号33194022已知两个等比数列{an},{bn}满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}唯一,求a的值.
解(1)设{an}的公比为q,则b1=1+a1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.
由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-,
故{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.
(2)设{an}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)·(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0,由a>0得,Δ=4a2+4a>0,故方程aq2-4aq+3a-1=0有两个不同的实根.又{an}唯一,故方程必有一根为0,代入上式得a=.
53.2 等比数列的前n项和
课后篇巩固探究
A组
1.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}前7项的和为( )
A.63
B.64
C.127
D.128
解析:设公比为q(q>0),则1·q4=16,解得q=2(q=-2舍去).于是S7==127.
答案:C
2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:由题意知,
两式相减,得3a3=a4-a3,
即4a3=a4,则q==4.
答案:B
3.若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a∈R,且a≠0),则此数列是( )
A.等差数列
B.等比数列
C.等差数列或等比数列
D.既不是等差数列,也不是等比数列
解析:当n=1时,a1=S1=a-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)
=an-an-1=an-1(a-1).
当a-1=0,即a=1时,该数列为等差数列,当a≠1时,该数列为等比数列.
答案:C
4.公比q≠-1的等比数列的前3项,前6项,前9项的和分别为S3,S6,S9,则下面等式成立的是( )
A.S3+S6=S9
B.=S3·S9
C.S3+S6-S9=
D.=S3(S6+S9)
解析:由题意知S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列.
∴(S6-S3)2=S3(S9-S6),
整理得=S3(S6+S9).
答案:D
5.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为( )
A.或5
B.或5
C.
D.
解析:设{an}的公比为q.由9S3=S6知q≠1,
于是,整理得q6-9q3+8=0,所以q3=8或q3=1(舍去),于是q=2.
从而是首项为=1,公比为的等比数列.
其前5项的和S=.
答案:C
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4= .?
解析:设等比数列{an}的公比为q,很明显q≠1,则=4·,解得q3=3,所以a4=a1q3=3.
答案:3
7.已知lg
x+lg
x2+…+lg
x10=110,则lg
x+lg2x+…+lg10x= .?
答案:2
046
8.已知在等比数列{an}中,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1= .?
解析:设数列{an}的公比为q,由a2=2,a5=a2q3=,
得q=,∴a1==4.
∵=q2=为常数(n≥2),
∴数列{anan+1}是以a1a2=4×2=8为首项,以为公比的等比数列,
∴a1a2+a2a3+…+anan+1
=(1-4-n).
答案:(1-4-n)
9.(2017北京高考)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.
解(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.
解得d=2.所以an=2n-1.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.
从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=.
10.导学号33194023已知等差数列{an}满足an+1>an(n∈N+),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设Tn=+…+(n∈N+),求Tn.
解(1)设d,q分别为等差数列{an}的公差、等比数列{bn}的公比,由题意知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3得2,2+d,4+2d,
∴(2+d)2=2(4+2d),∴d=±2.
∵an+1>an,∴d>0,∴d=2.
∴an=2n-1(n∈N+).由此可得b1=2,b2=4,b3=8,∴q=2.∴bn=2n(n∈N+).
(2)∵Tn=+…+
=+…+,
①
∴Tn=+…+,
②
由①-②得Tn=+…+,
∴Tn=1+
=3-=3-.
B组
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列一定成立的是( )
A.若a3>0,则a2
017<0
B.若a4>0,则a2
016<0
C.若a3>0,则S2
017>0
D.若a4>0,则S2
016>0
解析:若a3>0,则a3=a1q2>0,因此a1>0,当公比q>0时,任意n∈N+,an>0,故有S2017>0,当公比q<0时,q2017<0,则S2017=>0,故答案为C.
答案:C
2.已知数列前n项的和Sn=2n-1,则此数列奇数项的前n项的和是( )
A.(2n+1-1)
B.(2n+1-2)
C.(22n-1)
D.(22n-2)
解析:由Sn=2n-1知当n=1时,a1=21-1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,当n=1时也适合,
∴an=2n-1.
∴奇数项的前n项和为Sn=(4n-1)=(22n-1).
答案:C
3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则数列{an}的公比为 .?
解析:由S1,2S2,3S3成等差数列知4S2=S1+3S3,
即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),整理得3a3-a2=0,∴,则数列{an}的公比为.
答案:
4.设数列{xn}满足lg
xn+1=1+lg
xn(n∈N+),且x1+x2+…+x100=100,则x101+x102+…+x200= .?
解析:由lgxn+1=1+lgxn,
得lgxn+1=lg(10xn),即=10.
故x101+x102+…+x200=q100(x1+x2+…+x100)=10100×100=10102.
答案:10102
5.已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6= .?
解析:∵x2-5x+4=0的两根为1和4,
又{an}为递增数列,∴a1=1,a3=4,q=2.
∴S6==63.
答案:63
6.导学号33194024数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,n∈N+.
(1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列;
(2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.
解(1)∵点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,
∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且n∈N+),an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,
∴an+1=4an,n>1,a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,
∴当t=1时,a2=4a1,数列{an}是等比数列.
(2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n,
Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)
=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)
=.
7.导学号33194025设数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn,数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)若cn=an·bn(n=1,2,3…),Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn.
解(1)由bn=2-2Sn,令n=1,
则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=.
当n≥2时,由bn=2-2Sn及bn-1=2-2Sn-1,
可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即.
所以{bn}是以为首项,为公比的等比数列,
于是bn=.
(2)由数列{an}为等差数列,公差d=(a7-a5)=3,可得an=3n-1.从而cn=an·bn=2(3n-1)·,
所以Tn=2
,
①
Tn=2
.
②
①-②得,
Tn=2
=2
=,
Tn=.
1§4 数列在日常经济生活中的应用
课后篇巩固探究
A组
1.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,则剩余钢管的根数为( )
A.9
B.10
C.19
D.29
解析:∵<200,而满足<200时,n可取的最大值为19.当n=19时,=190,∴200-190=10.
答案:B
2.银行一年定期的年利率为r,三年定期的年利率为q,为吸引长期资金,鼓励储户存三年定期存款,则q的值应略大于( )
A.
B.[(1+r)3-1]
C.(1+r)3-1
D.r
解析:设储户存a元,存一年定期并自动转存,三年后的本利和为a(1+r)3元.三年定期的本利和为a(1+3q)元.为鼓励储户存三年定期,则a(1+3q)>a(1+r)3,即q>[(1+r)3-1].
答案:B
3.某运输卡车从材料工地运送电线杆到500
m以外的公路,沿公路一侧每隔50
m埋一根电线杆,又知每次最多只能运3根,要完成运载20根电线杆的任务,最佳方案是使运输卡车运行( )
A.11
700
m
B.14
600
m
C.14
500
m
D.14
000
m
解析:由近往远运送,第一次运两根,以后每次运三根,这种运法最佳,由近往远运送,每次来回行走的米数构成一个等差数列,记为{an},则a1=1100,d=300,n=7,
故S7=7×1100+×300=14000.
答案:D
4.某林厂现在的森林木材存量是1
800万立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年要砍伐固定的木材量为x万立方米,为达到经两次砍伐后木材存量增加50%的目标,则x的值是( )
A.40
B.45
C.50
D.55
解析:经过一次砍伐后,木材存量为1800(1+25%)-x=2250-x;
经过两次砍伐后,木材存量为(2250-x)×(1+25%)-x=2812.5-2.25x.
由题意应有2812.5-2.25x=1800×(1+50%),
解得x=50.
答案:C
5.一个卷筒纸,其内圆直径为4
cm,外圆直径为12
cm,一共卷了60层,若把各层都视为一个同心圆,π取3.14,则这个卷筒纸的长度约为 m(精确到个位).?
解析:∵纸的厚度相同,∴各层同心圆直径成等差数列.
∴l=πd1+πd2+…+πd60=60π·=480π=1507.2(cm)≈15(m).
答案:15
6.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2
kB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后 分,该病毒占据64
MB(1
MB=210
kB).?
解析:由题意可得每3分病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64MB时自身复制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,从而复制的时间为15×3=45(分).
答案:45
7.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄,甲存5年定期储蓄,年利率为2.88%,乙存一年定期储蓄,年利率为2.25%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄,按规定每次计息时,储户须交纳20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行中取出存款,则甲、乙所得利息之差为 元.?
解析:由已知甲所得本息和a=10000+10000×2.88%×5×80%,而乙实际上年利率在去掉利息税后为×2.25%,故乙所得本息和应为b=10000×,经计算a-b≈219.01(元).
答案:219.01
8.某地区有荒山2
200亩,从2015年开始每年年初在荒山上植树造林,第一年植树100亩,以后每一年比上一年多植树50亩(假定全部成活).则至少需要几年可将荒山全部绿化?
解设第n年植树造林an亩,数列{an}的前n项和为Sn,
则数列{an}为等差数列,其中a1=100,d=50,
∴an=100+50×(n-1)=50(n+1),
∴Sn=na1+d=100n+×50
=25(n2+3n),
要将荒山全部绿化,只要Sn≥2200,
即25(n2+3n)≥2200,
∴n2+3n-8×11≥0,得n≥8,
故至少需要8年可将荒山全部绿化.
9.导学号33194026为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,长沙市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.
(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数S(n);
(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a的最小值.
解(1)设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意知,数列{an}是首项为128,公比为1+50%=的等比数列,数列{bn}是首项为400,公差为a的等差数列.
所以数列{an}的前n项和Sn=
=256,
数列{bn}的前n项和Tn=400n+a.
所以经过n年,该市更换的公交车总数
S(n)=Sn+Tn=256+400n+a.
(2)若用7年的时间完成全部更换,
则S(7)≥10000,
即256+400×7+a≥10000,
即21a≥3082,所以a≥.
又a∈N+,所以a的最小值为147.
B组
1.通过测量知道,温度每降低6
℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34
℃时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温27
℃时,该元件的电子数目接近
( )
A.860个
B.1
730个
C.3
072个
D.3
900个
解析:由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列,且a1=3,q=2,由27-(-34)=61,=10,可得a11=3·210=3072,故选C.
答案:C
2.现存入银行8万元,年利率为2.50
%,若采用1年期自动转存业务,则5年末的本利和是( )万元.
A.8×1.0253
B.8×1.0254
C.8×1.0255
D.8×1.0256
解析:定期自动转存属于复利计算问题,5年末的本利和为8×(1+2.50%)5=8×1.0255(万元).
答案:C
3.某企业在2016年年初贷款M万元,年利率为m,从该年年末开始,每年偿还的金额都是a万元,并恰好在10年间还清,则a的值等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:由已知条件和分期付款公式可得,a[(1+m)9+(1+m)8+…+(1+m)+1]=M(1+m)10,
则a=.
答案:C
4.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及实数x(0答案:
5.已知某火箭在点火第一秒通过的路程为2
km,以后每秒通过的路程都增加2
km,在达到离地面240
km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是 秒.?
解析:设每一秒通过的路程依次为a1,a2,a3,…,an,则数列{an}是首项a1=2,公差d=2的等差数列.
由求和公式得na1+=240,
即2n+n(n-1)=240,解得n=15.
答案:15
6.某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元.两种方案使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种纯获利更多?(取1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)
解①甲方案获利:1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9=≈42.62(万元),
银行贷款本息:10(1+5%)10≈16.29(万元),
故甲方案纯获利:42.62-16.29=26.33(万元).
②乙方案获利:1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)=10×1+×0.5=32.5(万元),
银行本息和:1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9]=1.05×≈13.21(万元).
故乙方案纯获利:32.50-13.21=19.29(万元).
综上所述,甲方案纯获利更多.
7.导学号33194027某企业在第1年年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年年初M的价值比上年年初减少10万元;从第7年开始,每年年初M的价值为上年年初的75%.
(1)求第n年年初设备M的价值an的表达式;
(2)设An=,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年年初对M更新.证明:须在第9年年初对设备M更新.
(1)解当n≤6时,数列{an}是首项为120,公差为-10的等差数列,
an=120-10(n-1)=130-10n.
当n≥7时,数列{an}是以a7为首项,为公比的等比数列,又a7=70×,
所以an=70×=70×.
因此,第n年年初,M的价值an的表达式为
an=
(2)证明设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得,
当1≤n≤6时,Sn=120n-5n(n-1),
An=120-5(n-1)=125-5n.
当n≥7时,Sn=S6+(a7+a8+…+an)
=570+70××4×
=780-210×,
An=.
易知{An}是递减数列,
又A8==82>80,
A9==76<80,
所以须在第9年年初对设备M更新.
1