(共32张PPT)
6.2
反比例函数的图象与性质
.
第2课时 反比例函数的性质
学习目标
1.
通过反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图
象和性质.
(重点)
2.
能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.
(重点)
3.
理解反比例函数的系数
k
的几何意义，并将其灵活
运用于坐标系中图形的面积计算中.
(重点、难点)
导入新课
复习引入
问题1
反比例函数的图象是什么？
问题2
函数
的图象在哪两个象限,由什么确定？
位置：有k决定
时的图象在第一、三象限；
时的图象在第二、四象限。
形状:
反比例函数
的图象由两支曲线组成，因此称反比例函数
的图象为双曲线.
相同点：1.
两支曲线构成；
2.
与坐标轴不相交；
3.图象自身关于原点成中心对称；
4.图象自身是轴对称图形。
问题3
函数
的图象还有哪些共同特点？
反比例函数的性质
一
讲授新课
例1
画反比例函数
与
的图象.
合作探究
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线.
需要注意的是在反比例函数中自变量
x
不能为
0.
解：列表如下：
x
…
－6
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
…
…
…
…
…
－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
－2
－2.4
－3
－4
－6
6
4
3
2.4
2
－12
12
O
－2
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
用光滑的曲线顺次连接各点，即可
的图象．
描点：
连线：
观察这两个函数图象，回答问题：
思考：
(1)
每个函数图象分别位于哪些象限？
(2)
在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？
你能由它们的解析式说明理由吗？
(3)
对于反比例函数
(k＞0)，考虑问(1)(2)，
你能得出同样的结论吗？
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限
它们与
x
轴、y
轴都不相交；
●在每个象限内，y
随
x
的增大而减小.
反比例函数
(k＞0)
的图象和性质：
观察与思考
当
k
=－2，－4，－6时，反比例函数
的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数
(k＞0)
的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数
(k＜0)的图象和性质吗？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
反比例函数
(k＜0)
的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
归纳：
(1)
当
k
>
0
时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y
随
x
的增大而减小；
(2)
当
k
<
0
时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y
随
x
的增大而增大.
一般地，反比例函数
的图象是双曲线，它具有以下性质：
k
的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
点A(2，y1)和B(3，y2)在函数
上，则y1
y2
(填“>”“<”或“=”).
<
练一练
举一反三：
变式：若改为A（-2，y1）和B（3，y2）呢？
y1
y2
y
x
O
例2
已知反比例函数
，y
随
x
的增大而增大，求a的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得
a=－3.
反比例函数的图象和性质的初步运用
二
练一练
已知反比例函数
在每个象限内，y
随着
x
的增大而减小，求
m
的值．
解：由题意得
m2－10=－1，且
3m－8＞0．
解得
m=3.
反比例函数解析式中
k
的几何意义
三
1.
在反比例函数
的图象上分别取点P，Q
向
x
轴、y
轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，
填写下页表格：
合作探究
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P
(2，2)
Q
(4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想
S1，S2
与
k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想与
k
的关系
P
(－1，4)
Q
(－2，2)
2.
若在反比例函数
中也
用同样的方法分别取
P，Q
两点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是
图象上的任意一点，作
PA
垂直于
x
轴，作
PB
垂直于
y
轴，矩形
AOBP
的面积与k
的关系是S矩形
AOBP=
|k|.
y
x
O
P
S
我们就
k
<
0
的情况给出证明：
设点
P
的坐标为
(a，b)
A
B
∵点
P
(a，b)
在函数
的图
象上，
∴
，即
ab=k.
∴
S矩形
AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点
P
在第二象限，则
a<0，b>0，
若点
P
在第四象限，则
a>0，b<0，
∴
S矩形
AOBP=PB·PA
=a·
(－b)=－ab=－k.
B
P
A
综上，S矩形
AOBP=|k|.
自己尝试证明
k
>
0的情况.
点
Q
是其图象上的任意一
点，作
QA
垂直于
y
轴，作
QB
垂直于x
轴，矩形AOBQ
的面积与
k
的关系是
S矩形AOBQ=
.
推理：△QAO与△QBO的
面积和
k
的关系是
S△QAO=S△QBO=
.
Q
对于反比例数
，
A
B
|k|
y
x
O
归纳：
反比例函数的面积不变性
SA
>SB>SC
B.
SAC.
SA
=SB=SC
D.
SA1.
如图，在函数
(x＞0)的图像上有三点A，B
，
C，过这三点分别向
x
轴、y
轴作垂线，过每一点
所作的两条垂线与x轴、
y轴围成的矩形的面积分
别为SA
，SB，SC，则
(
)
y
x
O
A
B
C
C
反馈练习1
2.
如图，过反比例函数
图象上的一点
P，作
PA⊥x
轴于A.
若△POA
的面积为
6，则
k
=
.
－12
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意
k＜0.
y
x
O
P
A
3.
若点
P
是反比例函数图象上的一点，过点
P
分别向
x
轴、y
轴作垂线，垂足分别为点
M，N，若四边形
PMON
的面积为
3，则这个反比例函数的关系式是
.
或
例3
如图，P，C是函数
(x>0)
图像上的任意两点，过点
P
作
x
轴的垂线
PA，垂足为
A，过点
C
作
x
轴的垂线
CD，垂足为
D，连接
OC
交
PA
于点
E.
设
△POA
的面积
为
S1，则
S1=
；梯形CEAD
的面积为
S2，则
S1
与
S2
的大小
关系是
S1
S2；△POE
的面
积
S3
和
S2
的大小关系是S2
S3.
典例精析
2
S1
S2
＞
＝
S3
如图所示，直线与双曲线交于
A，B
两点，P
是AB
上的点，△
AOC
的面积
S1、△
BOD
的面积
S2、
△
POE
的面积
S3
的大小关系为
.
S1
=
S2
<
S3
练一练
解析：由反比例函数面积的不变
性易知
S1
=
S2.
PE
与双曲线的一
支交于点
F，连接
OF，易知，
S△OFE
=
S1
=
S2，而
S3＞S△OFE，
所以
S1，S2，S3的大小关系为
S1
=
S2
<
S3
F
S1
S2
S3
y
D
B
A
C
x
1、如图，点
A
是反比例函数
(x＞0)的图象上
任意一点，AB//x
轴交反比例函数
(x＜0)
的图象于点
B，以
AB
为边作平行四边形
ABCD，其中点
C，D
在
x
轴上，则
S平行四边形ABCD
=___.
3
2
5
反馈练习2
2、
如图所示，在平面直角坐标系中，过点
的直线与
x
轴平行，且直线分别与反比例函数
(x＞0)
和
(x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ
的面积为
8，则k
=______.
Q
P
O
x
M
y
－10
课堂小结
反比例函数
的性质
性质
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
当k＞0时，在每一象限内，
y的值随x的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，
y的值随x的增大而增大.
作业：1、作业本课本157页
2、3题
2、导学案6.2
结束寄语：
打开你心灵的窗户，感受数学带给你的深秋红叶般美妙的感觉！《反比例函数的性质》测评练习
自我检测：
1.在反比例函数的图象的每一条曲线上，的增大而增大，则的值可以是（
）A．
B．0
C．1
D．2
2.对于反比例函数，下列说法不正确的是（
）
A．点在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大
D．当时，随的增大而减小
3.反比例函数在第一象限内的图象如图，
点M是图象上一点，MP垂直轴于点P，
如果△MOP的面积为1，那么的值是
；
3.在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是
.
4、若M(,)、N(,)、P(,)三点都在函数（k>0）的图象上，则、、的大小关系是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
5、如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点，若＝5，则的值为（
）
（A）
10
（B）
（C）
（D）
6、如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点，若S△AOB＝3，则的值为（
）
A、6
B、3
C、
D、不能确定
7、如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（
）
（A）S1＞S2
（B）S1＝S2
（C）S1＜S2
（D）大小关系不能确定
y
x
O
P
M《6.2反比例函数的性质（二）》教学设计
课题
反比例函数的图象及性质（二）
解读理念
面向全体学生，着眼于学生的中考，使学生理解并能灵活理解应用反比例函数的增减性并让学生根据矩形的面积确定K值，学会逆向思考问题。
学情分析
1、学生已初步学习了正比例函数、一次函数图象与性质等基本知识，在此基础上探索反比例函数的图象和性质，学生通过类比的方法学习，实现知识的正迁移，能够学的比较轻松。同时也会对二次函数和高中阶段各种函数的学习产生积极的影响。所以要增强引导学生的自主学习，培养学生自主探索，终身学习的意识。
2、在本节课中，学生通过反比例函数的图象归纳总结出反比例函数的性质会有一定的挑战性，但同时也为学生实行探究学习和合作学习提供了思维活动空间。在活动中培养学生实事求是的精神和团队精神，而且通过合作与交流能够加深对反比例函数的图象和性质的理解。增强学生学好数学的信心。3、因为学生认知水平，学以及学好函数信心等方面存有差异，所以探讨活动的效果也会因人而异。这个点我们应该尊重学生的个体差异，尽可能让每个学生都学有所获。
教材分析
内容标准
1、本节课是在学习了“正比例函数”和“一次函数”的基础上，从观察和分析反比例函数的图象入手，归纳、概括k＞0或k＜0时反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质。2、再以某一个具体的反比例函数为例实行分析，在图象上任取一点，过这点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积等于常量|k︳，通过具体操作，使学生理解到反比例函数的图象不但是轴对称图形而且是中心对称图形。
教学目标
情感态度价值观目标
培养学生勇于探索、创新的精神，并对学生实行由一般到特殊的辨证唯物主义观点教育。
能力目标
1、进一步巩固反比例函数的图象。2、理解反比例函数图象的增减性，逐步提升从函数图象中获取信息的水平。3、掌握反比例函数的图象和性质，并初步使用性质解决一些简单的问题。
知识目标
使学生理解并能灵活理解应用反比例函数的增减性并让学生根据矩形的面积确定k值。
教学资源
1.北师大版九年级反比例函数的图象及性质2.课件ppt
教学重点
画反比例函数的图像、理解反比例函数的性质。
教学难点
理解反比例函数的性质并灵活的使用。
方法解读
教学方法
观察——讨论——实际操作
教学准备
三角板
方格纸
多媒体课件.
教学过程
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
问题情境引入新课
复习回顾借助对已学知识的
问题1、
反比例函数的图象是什么？
问题2
函数
的图象在哪两个象限,由什么确定？
问题3函数
的图象还有哪些共同特点？
1，当k＞0时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内。2、位置：有k决定：
时的图象在第一、三象限；k＜0时的图象在第二、四象限。学生总结师生纠正.
自主合作、探究学习
例1画反比例函数
的图象.
研究y＝-，y＝-,y=-的图象有哪些共同特征?通过我们刚才的讨论，能够得出如下结论：反比例函数y＝
的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大反馈训练1
例2
练一练3.想一想【课件展示】反比例函数解析式中
k
的几何意义1.
在反比例函数
的图象上分别取点P，Q
向
x
轴、y
轴作垂线，围成面积分别为S1，S2。填表研讨S1，S2及k的关系2、由前面的探究过程，可以猜想：若点P是
图象上的任意一点，作
PA
垂直于
x
轴，作
PB
垂直y
轴，矩形AOBP
的面积与k的关系是S矩形AOBP=|K|如果P，Q分别在不同的曲线，情况又怎样呢?例3及经典反馈练习（见ppt）
1、设疑：【课件展示】观察反比例
的图象，带着问题思考它们有什么共同点?激励：用你们的慧眼观察它们的图象，总结它们的共同特征.2、(1)函数图象分别位于哪几个象限?(2)在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？（3）将性质中的“在每一象限内”去掉能够吗？为什么？(4)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗？为什么？请大家先独立思考，再互相交流得出结论.引导学生讨论：反比例函数图象的增减性中的“在每一象限内”如何理解？其表现形式是怎样的？（教师引导得到：X＜0或X＞0）1)在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系?为什么?[师]在下面的图象上实行探讨.所以只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q.不管P、Q是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上.过P、Q分别作x.轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1＝S2=|k|
1、表达式中的k都是大于零的(1)函数图象分别位于第一、三象限内.(2)从图象的变化趋势来看，当自变量x逐渐增大时，函数值y逐渐减小.（3）不能够去掉。(4)因为图象在逐渐接近x轴,y轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x轴y轴相交2、在图象y＝-，y＝-,y=-中，在第二象限内任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),可知x1>x2，y1>y2，所以能够得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y随自变量x的增大而增大.(3)这些反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相现根据特殊值求S1与S2大小再比较k的关系。观察图象思考，讨论通过练习，举一返三，加深对知识的理解，培养学生应用知识解决问题的水平。
小结回顾
1、回顾反比例函数的性质总结教师最后汇总。
1、让学生谈谈本节课的收获？教师最后汇总2、你再有没有疑惑？
学生畅所欲言，各自谈自己的收获，同时梳理知识，使知识系统化，使其纳入已有的知识体系。效果：培养学生归纳、总结、概括水平。
当堂达标
经验学生的学习效果
看学生的完成情况
完成并展示作业
作业
1、作业本课本157页
2、3题
2、同步训练习6.2
板书设计
§6.2反比例函数的图象及性质（二）1
、反比例函数的性质当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内，
在每一象限内，y的值随x值的增大而增大；2
、若点P是图象上的任意一点，作
PA
垂直于
x
轴，作
PB
垂直于
y
轴，矩形
AOBP
的面积与k的关系是S矩形
AOBP=|K|
教学效果预测
本节课主要通过提出问题，让学生经历观察、思考、归纳等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识反比例函数的比例系数K的几何意义。在新知探究过程中，给学生更多的思维空间，教师适时加以引导，让学生自己发现并纠正错误，从而加深了学生对问题的理解。
