江苏省镇江市2020-2021学年高二上学期12月校际联考数学试题 Word版含答案

镇江市2020-2021学年高二上学期12月校际联考
数学试题
2020.12
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意要求的．
1．已知命题false，则命题p的否定是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．双曲线方程为false，则它的右焦点坐标为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．祖暅（公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为false，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面false上．以平行于平面false的平面于距平面false任意高d处可横截得到false及false两截面，可以证明false总成立．据此，短轴长为false，长轴为false的椭球体的体积是（ ）false
A．false B．false C．false D．false
4．正三棱柱false中，若false，则false与false所成的角的大小为（ ）
A．60° B．90° C．45° D．120°
5．等差数列false的前n项和为false．若false，false，则false的公差为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（ ）天，蒲草和菀草高度相同．（已知false，false，结果精确到0.1）（ ）
A．3.5 B．3.6 C．3.7 D．3.8
7．一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，设其方程为false，在杯内放置一个玻璃球，要使玻璃球能接触到酒杯的底部，玻璃球的半径的最大值为（ ）
A．false B．1 C．2 D．3
8．如图，四棱柱false中，底面false为正方形，侧棱false底面false，false，false，以D为圆心，false为半径在侧面false上画弧，当半径的端点完整地划过false时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题意要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的3分．
9．若m、n是两条不重合的直线，false、false为两个不重合的平面，下列说法正确的有（ ）
A．若false，则false B．若false，则false
C．若false，则false D．若false，则false
10．设椭圆false，双曲线false（其中false）的离心率分别为false，下列结论中正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知点false是椭圆上false一点（异于椭圆的项点），false、false分别为C的两个焦点，A、B是椭圆的左右两个顶点，则下列结论正确的是（ ）
A．false周长为16 B．false的最大值为7
C．准线方程为false D．直线false与false的斜率的乘积为false
12．已知等差数列false的首项为false，公差为d，前n项和为false，等比数列false的首项为false，公比为q，前n项和为false，下列说法正确的有（ ）
A．若false，则存在正整数n使得false且false
B．若false，则false有最小值无最大值
C．数列false是单调递增数列的一个充分不必要的条件是false
D．false对于任意正整数n恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．空间向量false，若三个向量false共面，则false可用false和false表示为______．
14．设数列false是以2为首项，1为公差的等差数列，false是以1为首项，2为公比的等比数列，则false________．
15．已知F为双曲线false的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为直线false上一点，O为坐标原点，已知false，且false，则双曲线C的离心率为________．
16．圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得．阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究．之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线．其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于false，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知false为等差数列，false分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且false中的任何两个数都不在下表的同一列．
第一列
第二行
第三行
第一列
第二行
4
6
9
第三行
12
8
7
请从①false，②false，③false的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列false存在；并在此存在的数列false中，试解答下列两个问题．
（1）（4分）直接将满足要求的条件填入相应的空格里，并求数列false的通项公式；
（2（6分）设数列false满足false，求数列false的前n项和false．
18．（本小题满分12分）
已知过抛物线false的焦点，斜率为false的直线交抛物线于两点false、false，其中false，且false．
（1）（6分）求该抛物线的方程；
（2）（6分）设O为坐标原点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为C，证明：B、O、C三点共线．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱false中，false，false，false，false，M是false的中点．
（1）（6分）求证：false；
（2）（6分）求二面角false的平面角的大小．
20．（本小题满分12分）
已知数列false满足false，且false，数列false满足false，且false，false．
（1）（5分）求证：数列false是等差数列，并求数列false的通项公式；
（2）（7分）解关于n的不等式：false．
21．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥false中，底面四边形false为正方形，已知false平面false，false，false．
（1）（6分）求false与平面false所成角的正弦值；
（2）（6分）在棱false上存在一点E，使得平面false平面false，求false的值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆false，点F，B分别是椭圆的右焦点与上项点，O为坐标原点，记false的周长与面积分别为C和S．
（1）（4分）求false的最小值；
（2）（8分）如图，过点F的直线l交椭圆于P，Q两点过点F作l的垂线，交直线false于点R，当false取最小值时，求false的最小值．
镇江市高二第一学期12月份九校联考
参考答案
一、单项选择题
1
2
3
4
8
6
7
8
A
C
B
B
C
B
B
A
二、多项选择题
9
10
11
12
CD
ABD
BD
BCD
三、填空题
13．false 14．1033 15．2 16．false
17．解析：（1）将②①③分别填入第一、二、三列第一行表格中
满足题意的false因为false是等差数列，设公差为d
则false
（2）false
false
false①
false②
false
false
false
18．解析：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为false，故直线false的方程为false，
联立false，可得false．
∵false，false，false，解得false．
∴经过抛物线焦点的弦false，解得false．
∴抛物线方程为false；
（2）由（1）知A点的坐标为false B点的坐标为false
过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为C，则C点的坐标为false
false 直线false与直线false有一个公共点O
所以B、O、C三点共线
19．解析：（1）证明：以C为原点，false，false，false所在直线为x，y，z二轴，建立空间直角坐标系，
则false，false，false，false，false，false，
∵false，∴false．
（2）∵false是直三棱柱，∴false平面false，又false平面false，∴false，
∵false，即false，又false，∴false平面false，即false平面false，
∴false是平面false的一个法向量，
设false是平面false的法向量，
false，false，∴false，
取false，得false，∴false．
∴二面角false的平面角的大小为45°．
20．解析：（1）证：由false，且false知，false
将原式取到数得：false，∴数列false是等差数列．又∵false，false，∴false．
（2）由false得false，由累乘法得，false，
则代入原不等式，化为false即false，令false，false，
逐一检验，false不满足，false时满足题意，false时false，
而false时，false，
综述，解集为false．
21．（1）以A为原点，false为x轴，false为y轴，false为z轴，建立空间直角坐标系，
则false，false，false，false，
false，false，false，
设平面false的法向量false，则false，取false，得false，
设false与平面false所成角为false，则false．
∴false与平面false所成角的正弦值为false．
（2）设在棱false上存在一点false，false，false，使得平面false平面false，
则false，∴false，
false，false，设平面false的法向量false，
则false，取false，得false，
∵平面false平面false，
∴false，解得false．
∴棱false上存在一点E，使得平面false平面false，且false．
22．解：（Ⅰ）false的周长false．false的面积false．
false，
当且仅当false时，false的最小值为false．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当false时，false的最小值为false．
此时椭圆方程可化为false
依题意可得过点F的直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为false．
联立false，整理得：false．
false，false
false．
当false时，false垂直横轴，false与横轴重合，此时false，false，
false．
当false时，设直线false，令false得false
false
false
综上所述：当且仅当false时，false取最小值为false．