江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题 Word版含答案

江苏省镇江中学高二教学质量检测（数学）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）
1．在等比数列false中，false，则false（ ）
A．8 B．false C．16 D．false
2．如图，在正方体false中，false，false分别是棱false，false的中点，则异面直线false与false所成角的大小是（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．下列命题中正确的是（ ）
A．若false是两条直线，false是两个平面，且false，则false是异面直线
B．若false是两条直线，且false，则直线false平行于经过直线false的所有平面
C．若直线false与平面false不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行
D．若直线false平面false，点false，则平面false内经过点false且与直线false平行的直线有且只有一条
4．“珠算之父”程大位是我国明代伟大的数学家，他的应用数学巨著《算法统宗》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成，程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（[注释]三升九：3.9升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ）
A．1.9升 B．2.1升 C．2.2升 D．2.3升
5．已知抛物线false的焦点为false，false是false上一点，false．则false（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．已知数列false、false满足false，其中false是等差数列，且false，则false（ ）
A．2020 B．false C．false D．1010
7．如图所示，用一边长为false的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成个蛋巢，将体积为false的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．如图所示，在多面体false中，已知false是边长为1的正方形，且false，false均为正三角形，false，则该多面体的体积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）
9．如图，在以下四个正方体中，直线false与平面false垂直的是（ ）
A． B． C． D．
10．等差数列false是递增数列，满足false，前false项和为false，下列选择项正确的是（ ）
A．false B．false C．当false时false最小 D．false时false的最小值为8
11．已知点false在双曲线false，false、false是双曲线false的左、右焦点，若false的面积为20，则下列说法正确的有（ ）
A．点false到false轴的距离为false B．false
C．false为钝角三角形 D．false
12．设false，false是抛物线false上的两点，false是坐标原点，下列结论成立的是（ ）
A．若false，则false
B．若false，直线false过定点false
C．若falsefalse到直线false的距离不大于1
D．若直线false过抛物线的焦点false，且false，则false
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，不需要写出解答过程，请将答案填写在符题卡相应的位置上．）
13．双曲线false的渐近线方程为__________．
14．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数），则下列埃及分数
false的和是_______．
15．四棱锥false的底面为正方形false，false底面false，false，若该四棱锥的所有顶点都在体积为false的同一球面上，则false的长为_______．
16．设双曲线false的左焦点为false，直线false过点false且与双曲线false在第二象限的交点为false，false为原点，false，则双曲线false的右焦点的坐标为___________，离心率为________．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，在三棱柱false中，false为棱false的中点，false，
false．
（1）证明：false平面false；
（2）证明：false平面false．
18．设false，数列false的前false项和为false，已知false，_________．
请在①false成等比数列，②false，③false这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题
（1）求数列false的通项公式；
（2）若数列false满足false，求数列false的前false项的和false．
19．如图，四边形false为菱形，false为false与false的交点，false平面false．
（1）证明：平面false平面false；
（2）若false，三棱锥false的体积为false，求该三棱锥的侧面积．
20．已知数列false满足false，设false．
（1）求证：false是等比数列；
（2）设false，数列false的前false项和为false，求证：false．
21．如图，在四棱锥false中，己知false平面false，且四边形false为直角梯形，false．
（1）求证平面false与平面false所成二面角的余弦值：
（2）点false是线段false上的动点，当直线false与false所成的角最小时，求段false的长．
22．已知双曲线false渐近线方程为false，false为坐标原点，点false在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知false，false为双曲线上不同两点，点false在以false为直径的圆上，求false的值．
镇江中学高二第一学期12月份月考
一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
D
B
A
B
D
A
二、多项选择题
9
10
11
12
BD
ABD
BC
ACD
三、填空题
13．false
14．false
15．1
16．false 5
17．【解答】证明：（1）连接false交false，与点false，连接false，在false中，false、false分别为false、false的中点，所以false，又false平面false．false平面false．
所以false平面false．
（2）因为false，false、false平面false．
所以false平面false，
又false平面false．
所以false；
又因为false，得
false，
所以false．
又false平面falsefalse，所以false平面false．
18．解：选①，（1）由false得：false．
∴数列false是以false为首项，2为公差的等差数列．
由false，false，false成等比数列得false，解得false．
∴false．
（2）false
false．
选②，（1）由false得false．
∴数列false是以false为首项，2为公差的等差数列．
由false得false，解得false．
（2）false，
false
false．
选③，（1）同理，由false得false．
∴数列false是以false为首项，2为公差的等差数列，
由false得false，解得false
false
（2）false，
false
false．
19．（1）证明：因为四边形false为菱形，所以false．
因为false平面false，所以false．
故false平面false．又false平面false，所以平面false平面false．
（2）设false，在菱形false中，由false，可得false．
因为false，所以在false中，可得false．
由false平面false，知false为直角三角形，可得false．
由已知得，三棱锥false的体积false，故false．
从而可得false，
所以false的面积为3，false的面积与false的面积均为false．
故三棱锥false的侧面积为false．
20．详解（1）false，
false
false，
false，又false，
而false，∴false是以1为首项，false为公比的等比数列，
（2）由（1）知false，
则false，
则false，所以
false，
所以false，则false单调递增，
所以false，
而false，①
false，②
①-②得：
false，
false，
综上：false
21．【解答】解：以false为坐标原点，以false、false、false所在直线分别为false、false、false轴建系false如图，
由题可知false．
（1）∵false平面false，∴false，是平面false的一个法向量，
false，
设平面false的法向量为false，
由false，得false，
取false，得而false，
false，
∴平面false与平面false所成两面角的余弦值为false；
（2）false，设false，
又false，则false，
又false，从而false，
设false，
则false
当且仅当false，即false时，
false的最大值为false，
因为false在false上是减函数，
此时直线false与false所成角取得最小值．
又false．
22．（1）∵双曲线的渐近线方程为false
∴设双曲线方程为false，
∵点false在双曲线上．
false．
∴双曲线方程为false，即false．
（2）由题意知false．
设false直线方程为false，
由false，解得false，
false．
由false直线方程为false．以false代替上式中的false，
可得false．
false．